解題技巧01 巧用二級結(jié)論秒解集合問題（原卷版）2027年高考數(shù)學一輪復習

解題大招01巧用二級結(jié)論秒解集合問題

,題型01集合相等拓展性質(zhì)的應用

題型02利用德摩根定律簡化集合運算

-------------------------------/題型03例集相關結(jié)論的妙用

巧用二級結(jié)論秒解集合問題

-------------------------------.題型04判斷集合的子集個數(shù)

'(題型05求集合運算中的參數(shù)取值范圍

題型06利用容斥定理秒解元素個數(shù)問題

知識梳理

二級結(jié)論01集合相等的拓展性質(zhì)

若有限數(shù)集A=B,則有：

(1)兩個集合的所有元素之和相等；

(2)兩個集合的所有元素之積相等.

二級結(jié)論02一個與補集有關的定律一德摩根定律

德摩根定律：設U為全集，集合A、B是它的兩個子集則有：

⑴CU(ACB)=(CUA)D(C〃)(交集的補集等于補集的并集);

⑵(并集的補集等于補集的交集).

二級結(jié)論03整數(shù)集的相關結(jié)論

整數(shù)集Z的元素可用〃5EZ)表示;若分成兩類，則可用2〃,2〃+1(或2〃,2"-1)5EZ)表示，其中

2〃+1和2〃-1都表示奇數(shù);若分成三類則可用3〃,3〃+1,3〃+2(或3〃,3〃—1,3〃—2)(〃￡2)表示，其中

3〃+1和3〃-2表示一類數(shù)，3〃+2和3〃-1表示一類數(shù)；若分成四類則可用4〃,4〃+1,4〃+2,4〃+3或

4,7,4/2-1,4A?-2,4n-3)(〃￡Z)表示……，以此類推.

二級結(jié)論04集合的子集個數(shù)

1.若集合A中含有，個元素，則有21個子集，有2"-1個非空子集，有2"-1個真子集，有2"-2個

非空真子集.

2.設集合A有〃個元素，集合5有〃，個元素，

(1)若則M的個數(shù)是2〃F；

(2)若3qMOA,則M的個數(shù)是—

(3)若則”的個數(shù)是2f-1；

(4)若8種MA,則M的個數(shù)是2"-m一2。

二級結(jié)論05集合運算的相互轉(zhuǎn)化

兩集合之間的關系與運算可以相互轉(zhuǎn)化:

(\)Ar\B=A<=>A^B；

(2)AUB=4O4=4；

(3)dRA\JB=R<^>B.

(4)瘠A2《「BoAc(78)=0=AqB.

二皴結(jié)論06容摩定理——求集合中元素個數(shù)的利器

L容斥定理

在部分有限集中,我們經(jīng)常遇到有關集合中元素的個數(shù)問題，我們常用Venn圖表示兩集合的交、井、補,

如果用card表示有限集合中元素的個數(shù)，即card(A)表示有限集A的元素個數(shù)，則有如下結(jié)論：

(1)card(AuB)=card(A)+card(B)-card(AAB);

(2)card(AUBuC)=card(A)+card(B)+card(C)-card(AnB)-card(AnC)-card(BnC)+card(AnBnCi.

這一結(jié)論被稱為容斥定理.

2.容斥定理的兩種重要變形

card(A)+card(B)=card(AuB)+card(AAB)

card(AAB)=card(A)+card(B)-card(AUB).

典型解析

A題型01集合相等的拓展性質(zhì)的應用

若已知有限數(shù)集人=8,求集合中的參數(shù)，常規(guī)思路是利用“若兩個集合相等，則兩個集合中的

對應元素完全相同”這一結(jié)論進行分類討論，求解過程比較冗長繁雜.而巧用集合相等的拓展性質(zhì)，

則可迅速得到關于參數(shù)的方程（組），解方程（組）即得參數(shù)的值.

【典例1-1】已知集合人={/-1,犬+1,工},8={爐+1,/一［,0）且4二用則實數(shù).1的值為.

【典例1?2】含有3個實數(shù)的集合可表示為伍,21},也可表示為{/,〃+"（）},則〃”儂+從西=

a

【跟蹤訓練】

1.已知:A={1,2,3,4,5,6},1={l,2x,2y,2z},C={l,孫,”?},且5=。,x,y,zeA,則集合8

2.已知集合A={a,4+〃,a+?},B={a,acMc2},若A=8,貝壯=

A題型02利用德摩根定律簡化集合運算

利用德摩根定律，我們可以把求兩個集合補集的交集或并集問題轉(zhuǎn)化成求它們并集或交集的補

集問題，從而減少了一步集合運算，簡化解題過程.

【典例2】設集合U={1,2,3,4.5},4={1,3},區(qū)={2,3,4},則（2人中色⑶等于（）?

A.{1}B.{5}C.{2,4}D.{1,2,4,5）

【跟蹤訓練】

1.已知全集。=4口8中有〃z個元素，（GJA）D（Q圖）中有“個元素.若AcB非空，則Ac區(qū)的元素個

數(shù)為（）

A.mnB."?+〃C.n-mD.ni-n

2.設集合U=R,A={X|A>1）.2?={A|A<2},貝義為42@〃）二.

A題型03整數(shù)集相關結(jié)論的妙用

利用整數(shù)集的相關結(jié)論可以迅速判斷兩集合間的關系.

J_,buZ,c1

、

【典例3］已知集合人=?x\x=a+—yacZ，B=<,c=x\x=—+—,<?cZ?,則

62326

A,也。之間的關系（）

A.A=BOCB.AOB=CC.A揶8CD.BOC=A

【跟蹤訓練】

1.已知集合4=?=攵sz[,B=<#=《￡z｝,見（）

A.A^BB.B^AC.A=BD.A與8的關系不確定

oY4,I7

2.已知集合M={y[y=等、xeZ],N={y|y=，-LxEZ),則集合M,N的關系是()

A.M=NB.MuNC.MnND.MnN=(|)

A題型04判斷集合的子集個數(shù)

1.在寫集合的子集或真了?集時，一般是按照集合中的元素的個數(shù)的多少，遵循由少到多的原

則，做到不重不漏.需要特別注意的是，空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集,因此，

在寫集合的子集或真子集的時候，不要遺漏空集.

2.確定集合的子集、真子集的個數(shù)時，可以利用“若集合A中元素的個數(shù)為n,則集合A中有

2“個子集，2〃-1個真子集，2”-2個非空真子集”直接求解.

【典例4?1】集合4=｛刈1-2區(qū)1/eZ｝,則A的子集有（）個

A.8B.7C.6D.3

【典例4?2】滿足｛1,3｝胃「2｛1,2,3,4,5｝集合。的個數(shù)為.

【跟蹤訓練】

1.已知集合八={0,2},^={-1,1,2},C={ab\aGA,bGB}t則集合C的子集有（）

A.64個B.63個C.16個D.15個

A題型05求集合運算中的參數(shù)取值范圍

利用集合運算與集合間關系的二級結(jié)論能迅速將集合的運算轉(zhuǎn)化為兩集合間是否包含的關

系，再進一步轉(zhuǎn)化為元素與集合的關系速解.

【典例5?1】已知集合1={#工2+4%=0},8={幻/+2(。+1)%+/-1=0}

⑴若AA=8,求實數(shù)。的取值范圍；

(2)若A8=8,求實數(shù)。的取值范圍.

【典例5?2】在①卬04=0；②QBLM=R；③解A工躥這三個條件中任選一個補充到下面的問題中,

并解答.

已知集合人=(兄1＜一2或不＞1},eR|y=Jx+a,yeRj.

(1)若41QA=0,求實數(shù)。的取值范圍；

(2)若Q3A=R,求實數(shù)。的取道范圍；

(3)若觸G*,求實數(shù)。的取值范圍.

【跟蹤訓練】

1,若集合4={X|Y+3x+2=0|,5|x2+(m+l)x+zz/=0|

⑴用列舉法表示集合A.

(2)若4r8=8,求實數(shù)出的值.

2.（25-26高一下?四川內(nèi)江?期中）設全集為U=R,集合A=N（X+3）（6—X）?O},B={x|-2<x<14）.

⑴求如圖陰影部分表示的集合;

(2)己知。=卜次>%且x<a+l},若CJB=B,求實數(shù)。的取值范圍.

A題型06利用容斥定理秒解元素個數(shù)問題

對于這類問題，一般有兩種策略：一是畫出Venn圖，設出未知數(shù)，借助Venn圖列出方程

(組)求解；二是利用容斥定理速解.

【典例6?1】共有50名學生參加甲、乙兩頊體育括動，每人至少委加尸頊，慘加甲頑的里有30名，參

加乙項的學生有25名，則僅參加了一項活動的學生人數(shù)為

A.50B.45C.40D.35

【典例6?2】在開秋季運動會時，某班共有28名同學參加比賽，有15人參加徑賽，有8人參加田賽，有14

人參加球類比賽，同時參加田賽和徑賽的有3人，同時參加徑賽和球類比賽的有3人，沒有同時參加三項

比賽的同學，問：同時參加田賽和球類比賽的有多少人？只參加徑賽的同學有多少人？

【跟蹤訓練】

1.為了豐富學生的課余生活，某校開設了籃球社團、AI社團、圍棋社團，高一某班學生共有30人參加了

學校社團，其中有15人參加籃球社團，有8人參加AI社團，有14人參加圍棋社團，同時參加籃球社團

和AI社團的有3人，同時參加籃球社團和圍棋社團的有3人，沒有人同時參加三個社團，只參加圍棋社

團的人數(shù)為（）.

A.10B.9C.7D.4

2.某年級先后舉辦了數(shù)學、歷史、化學講座，其中有70人聽了數(shù)學講座，62人聽了歷史講座，58人聽

了化學講座，記4={#.1是聽了數(shù)學講座的學生},8={x|x是聽了歷史講庫的學生},C={x|x是聽了化

學講座的學生}.用card（M）來表示有限集合M中元素的個數(shù)，若card（A「為=17,card（AC）=I3,

card（^rC）=5,BK=則（）

A.card（An^nC）=35B.card（4.4）=115

C.card（Z?C）=120D.card（/IBJC）=190

鞏固提升

1.（2026?重慶沙坪壩?模擬預測）已知集合A={0,1,4},3={1?方+3},若A=B,則"=（）

A.&B.2C.-1D.1

2.（2026?廣東?模擬預測）已知宜線4"-y=0,l2：x+y-2=0,：5%-價-15=0能構(gòu)成三角形，設滿

足條件的k值構(gòu)成集合A,則4人的子集個數(shù)為（）

A.8B.16C.2D.1

3.?江西?一模）已知集合八={小《/<9}.集合8={xwZ|-27vV<27},則集合4cA的直子集

個數(shù)為（）

A.3B.4C.15D.16

4.（25-26高三下?湖南邵陽?月考）若{T,0,l}[4q{0,Tl},則A的真子集個數(shù)為（）

A.3B.8C.7D.6

5.（2026?安徽馬鞍山?二模）已知集合4={x|x=2k,k￡N},6={劉％=2左-1/eN},則（）

A.AD3=NB.AB=ZC.AC8={0}D.ACB=0

6.（2026?湖南長沙,二模）已知集合M={（x,），）-+（『『=（）[,N={0,l},則M與N的關系是（）

A.M=NB.MqNC.M2ND.McN=0

7.（2026?四川遂寧?二模）i^M={xlx=4k-LkeZ},N={x\x=2k+Lke7^,則（）

A.MqNB.NqM

C.M=ND.McN=0

8.（2026?湖南懷化?二模）已知集合人=",>力，Z?={X|X2-4X+3<0）.若A=8=A,則。的取值范圍

是（）

A.（fl]B.S,3]C.S,l）D.（-oo,3）

9.（25-26高三下?湖南長沙?階段檢測）已知集合4={1,4/+2},8={1,/},且則。=（）

A.1B.-1C.2D.-2

10.（25-26高一上?甘肅白銀?期中）某班50名學生參加三個科創(chuàng)社團：機器人社、編程社、航模社，其

中參加機器人社的有30人，參加編程社的有20人，參加航模社的有30人，同時機器人社和編程社的有

10人，同時參加機器人社和航模社的有15人，同時參加編程社和航模社的有13人，則三個科創(chuàng)社團都參

加的學生人數(shù)為（）