中考數學復習講義：一元二次方程及其解法

課題一元二次方程及其解法

重點、難點1、選擇適當的方法解一元二次方程.

2、體會“換元”、“降次”等數學思想方法.

教學內容

一.學習目標：

1.學生充分了解一元二次方程的概念；正確掌握一元二次方程的一般形式。

2.通過問題情境，進一步體會學習和探究一元二次方程的必要性，體會數學知識來源于生活，又能為生活服務，從而

激發學習熱情，提高學習興趣。

3.能根據方程的特征，選擇適當的求解方法，體會方程解法的靈活性和多樣性；

4.在解方程的過程中，體會“換元”、“降次”等數學思想方法.

二.學習過程：

典型例題

例1.下列方程：

(1)2x2--=2(2)---=5(3)3x2=8(4)2x2-2x(x+7)=0

X32

(5)(x+2)2=x+2(6)2x2+3x-l(7)2(x2-l)=3y(8)5x2-1=4x

其中是一元二次方程的是_____________________________

例2.將下列一元二次方程化為一般形式，并指出它們的二次項、一次項和常數項及它們的系數。

(1)4/=81(2)3Mx-l)=5(x+2)(3)(8-2.城5-2x)=18

例3.(1)一元二次方程(〃2+1)冗2+工+加2-1=0有一個解為0,并求2加一1的值;

(2)關于x的方程//一2%(2工-1)=依+1,在什么條件下它是一元二次方程？在什么條件下它是一元一次方程？

【課堂練習】

1.解下列方程:

(1堞f=l；(2；5.金=公；(3)3〃戶+1=4〃2；

⑷(X-2)2=9.F：(5)〃2_4〃-5=0；(6)(x+l)(x-l)=2y/lv；

(7)3(X—2)2=X(X—2)：(8)(X+1)2+3(X+1)—4=0；⑼2A2+6工-5=0(配方法)

2.⑴給出以下方程的解題過程，其中正確的有.

①解方程加-2)2=16,兩邊同時開方，得x-2=±4,移項得即=6,也=-2；

②解方程成1-1)2=。-1)2,兩邊同時除以得x=l,所以原方程的根為為=X2=1；

③解方程(x—2)(x—1)=5,由題得x—2=1,x—1=5,解得xi=3,12=6；

④方程(x一6)2=〃的解是內=m+如，也=加一血.

⑵①。-2)2=5；②/一31一2=0：③$+.丫-6=0.較適當的方法分別為

3.填空：①/一3八+1=0；②3/—1=0;③-3〃+/=0；④/-4人=2；⑤Z?一《=0；

⑥5(m+2)2=8；03/-y-l=0；?2r+4x-l=0：?(A—2)2=2(A—2)

適合運用直接開平方法;適合運用因式分解法;

適合運用公式法;適合運用配方法.

【新知探究】

I.能選擇適當的方法解方程

(1)(3X-2)2-49=0；(2)(3X-4)2=(4X-3)2；(3)4y=1-1r；

(4)(x—2)(x—4)=8：(5)3)心，-1)=2—2〉；(6)(31一2)。+1)=28.

II.會用換元法解方程

(2X-I)2-(2X-1)-12=0

III.用配方法證明:關于”的方程（汴一12七+37*+3，玄+1=0,無論機取何值，此方程都是一元二次方程.

M已知關于x的一元二次方程加+/求+1=03#0）有兩個相等的實數根，求7一;1/27的值.

【即時練習】

I.解方程2（5）-1）2=3（5%—1）的最適當的方法是（）

A.直接開平方法B.配方法C.公式法D.因式分解法

2.方程1）2=/—1）的根是（）

A.x=1B.C..r=l,x=2D.以上均不對

3.若要使*一31一5的值等于4-6x的值，則x應為（）

3333

A.-2或一3B.2或一3C.一5或3D.耳或3

4.一元二次方程/一依+6=0,配方后為(x—3>=3,則。=.

5.若〃?是方程/一201以一1=0的根，則。〃2—2014m+3)(m2—2014加+4)的值為()

4.16B.12C.20D.30

6.已知則x與y之積等于.

7.已知關于x的一元二次方程f一,以+〃?-2=0.求證：方程有兩個不相等的實數根。

【拓展延伸】

1.在下列方程中：⑴/=4；(21?—：=1；(3)=4工；“Mf+V+i—),是一元二次方程的是.(只

填序號)

2.如果方程a*+2x+1=0有兩個不等實數根，則實數。的取值范圍是

3.關于％的一元二次方程一爐+(2〃?+1),LH—/=O無實數根，則tn的取值范圍是__________.

4.關于』的一元二次方程f+云+c=0的兩個根為制=-1,及=2貝次+法+c分解因式的結果為

5.解方程(x+a)2=〃得()

A.x=±y[b-aB.x=±。+加C.當/>20時，x=—a士福D.當時，x=a土也

7.已知汨=—1是方程A25=0的一個根，求機的值及方程的另一根工2.

8.求證：如果關于x的方程f+Zt=m+9沒有實數根，那么關于)，的方程>，2+,“―2加+5=0一定有兩個不相等的實

數根.

9.已知：直線>，=-瓜+46與工軸相交于點A,與直線y=&A■相交于點P(2,25/3).

(I)求點A的坐標和上的值.

(2)請判斷△OPA的形狀并說明理由.

(3)動點E從原點0出發，以每秒1個單位的速度沿著O-PTA的路線向點A勻速運動(E不與點。、4重合)，

過點E分別作軸于凡E8_L)，軸于從設運動，秒時，矩形E8O尸與出重疊部分的面積為S.求；S與，

之間的函數關系式

【解方程專項練習】

一、用直接開平方法解下列一元二次方程。

1、4x2-1=02、(x-3)2=23、81(x-2)2=16

二、用配方法解下列一元二次方程。

1.>,2-6y-6=02、3x2-2=4x3、x2-4x=96

4、X2-4X-5=05、2/+31=06、3x2+2x-7=0

三、用公式解法解下列方程。

2

1、X2-2A--8-02、4y=l-1^3、3y2+一2島

4、2X2-5A:+1=05、-4X2-8X=-16、-V3x-V2=0

四、用因式分解法解下列一元二次方程。

1、x2=2x2、(X+1)2-(2X-3)2=03、X2-6X+8=0

4、4(x+3)2=25(x-2)5、(1+V2)x2-(l-V2)x=06、(2—3x)+(3x—2)2=0

五、用適當的方法解下列一元二次方程,（選用你認為最簡單的方法）

1、3Mx-1）二心+5）2、2x2-3=5x3、x2-2y+6=0

4、x2-7x4-10=05、(x-3)(x+2)=66、4(x-3)2+-3)=0

7、(51)2-2=08、3/-4y=09、X2-7X-30=0

10、(y+2")=411、4.4-1)=3(1)12、(2x+i)2-25=0

1Z1,7531

13、x2-4ax=b2-4a214、尸+—x=—15、(y+3)(y-l)=2