2025-2026學年人教A版高中數學選擇性必修第二冊全冊綜合測評練習卷

2025-2026學年人教A版數學選擇性必修第二冊

全冊綜合測評練習卷

一、選擇題:本題共8小題,每小題5分，共40分在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的.

1.（2024全國甲，理4）記S〃為等差數列優〃｝的前〃項和.已知S5=Sio,45=l,貝IJ〃尸（）

A.-7B7二C.-1-D.-7-

23311

2.設曲線於）=ln（x+a）在（1川））處的切線與直線）弓+1平行，則實數。=（）

A.-2B.2C.-lD.1

3.若數列｛〃〃｝的前〃項和為S產〃2_4〃+2,則3|+|G|+…+|的°|等于（）

A.15B.35C.66D.100

4.（2025湖北武漢高二檢測）先取一個實心正三角形，挖去一個“中心三角形”（即以原

三角形各邊的中點為頂點的三角形，即圖中的白色三角形）,然后在剩下的每個小三角形

中又挖去一個“中心三角形”，用上面的方法可以無限操作下去.操作第1次得到圖2,操作

第2次得到圖3……，若繼續這樣操作下去后得到圖2025,則從圖2025中挖去的白色三

5.已知等比數列｛小｝的各項均為正數⑼5M6是函數人幻=93-濘+山+1的極值點，則In

〃i+ln。2+…+ln4】0=（）

A.5B.6C.10D.15

6.已知函數於AfmRnx,a￡R,若於)在區間"+8)上單調遞增,則實數。的取值

范圍是()

A.(-°o,l)B.(-8,l]

C.(l,+8)D.[l,+co)

i55

7.數列｛a”｝中⑼=2,對任意mtn￡N*,a〃i+”=a〃a〃,若ak+1+。欠+2+,,,+ak+io=2-2M

k二()

A.2B.3

C.4D.5

8.(2025山西晉中高二檢測)函數/U)滿足八x)勺⑺，則下列選項正確的是()

A<3)>第2)B.e/(O)<A1)

C.e次1)?(1)D.然1)<穴2)

二、選擇題:本題共3小題,每小題6分.共18分.在每小題給出的選項中.有多項符

合題目要求,全部選對的得6分,部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.(2025江蘇鎮江高三檢測)已知函數共幻二(x-1)2(六4)+4的導函數為f(x),則下列選

項正確的有()

A.yU)只有兩個零點B/(4-x)=fM

C.x=\是/U)的極小值點D.當x20時《此20恒成立

10.已知等比數列伍〃｝的前〃項和為S〃，前〃項積為了〃，則下列選項判斷不正確的是

()

A.若S2O22>S2O2I,則數列｛〃”｝是遞增數列B.若乃022>乃。21,則數列｛Z｝是遞增數

列

C.若數列｛S“｝是遞增數列，則GO222so21D.若數列｛「｝是遞增數列，則420222。2

021

11.(2025浙江杭州高二檢測)著名物理學家牛頓用“作切線”的方法求函數零點:如圖,

在橫坐標為XI的點處作凡丫)的切線，切線與X軸交點的橫坐標為X2,用X2代替XI重復上面

的過程得到孫一直下去，得到數列｛心｝，叫作牛頓數列.若函數/?=/-r6?！?111若且

〃尸1死>3,數列｛〃〃｝的前〃項和為S〃,則下列說法正確的是()

=Un)

A?X/j+lXn~B.數列｛?。沁f增數列

/'(xn)

C.數列｛〃〃｝是等差數列DS023=22023

三、填空題:本題共3小題,每小題5分，共15分.

12.函數./U)=aF-6x的一個極值點為1,則火幻的極大值是.

13.寫出一個同時具有下列性質⑴(2)(3)的數列｛?。耐椆?/p>

式：an=.

(1)數列｛?。粏握{;

(2)數列｛|詞｝是遞增數列;

(3)｛?。菬o窮等比數列.

14.(2025江蘇南京高二檢測)某個體戶計劃同時銷售兩種商品，當投資額為

x(x>0)千元時，在銷售48商品中所獲收益分別為7?千元與g(x)千元，其中

?x)=2x,ga)=41n(2x+l),如果該個體戶準備共投入5千元銷售48兩種商品，為使總收益

最大，則B商品需投千元.

四、解答題:本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.(13分)已知函數段)=4P3『-18X+27K￡R.

(1)求大幻的單調區間與極值；

(2)求凡r)在區間［0,3］上的最大值與最小值.

16.(15分)(2024全國甲，理18)記S”為數列僅〃｝的前n項和，已知4$尸3雨+4.

(1)求他〃｝的通項公式；

(2)設瓦二(/)""〃小,求數列｛瓦｝的前n項和Tn.

17.(17分)某少數民族的刺繡有著悠久的歷史，圖中(1),(2),(3),(4)為她們刺繡中最簡

單的四個圖案，這些圖案都是由小正方形構成,小正方形數越多刺繡越漂亮，按同樣的規

律刺繡(小正方形的擺放規律相同)，設第n個圖形包含式〃)個小正方形.

(1)(2)(3)(4)

(1)求八6)的值；

(2)求出五〃)的表達式；

(3)求證:當時,4---I—--+…+---<

''7(1)/(2)-l/(3)-lz(n)-l2

18.（17分）（2023新高考/,19）已知函數*x）=4（c'+a）-r

⑴討論7U）的單調性；

（2）證明:當。＞0時次x）＞21na+|.

19.(17分)(2025山東濰坊高三期中)已知、/U)為定義域M內的連續函數/(x)為其導

函數，常數?！隀C若各項不相等的數列｛雨｝滿足小0W山>“(。叱)=如9,則稱｛。〃｝為

Qn-Q

段)的“拉格朗日數列“，簡記為乜⑷-數列

⑴若函數g(x)=\nx,數列｛d｝是g(?的乜(1)-數列"，且bke.

(，)求加，加;

(方)證明:｛5｝是遞減數列.

(2)正項數列｛6｝是函數力0)=,1+6*足x的“L(c)?數列”，己知c〃+i￡(c,c〃),記｛cj的前n

項和為S叫證明:當c>0時$+c〃2(〃-l)c+2cl.

參考答案

l.B2.D

3.C當n=\時,〃I=SI=1-4+2=-1,當時，4尸6年九lN/Ma+ZMS-iydS-

D+ZE"-]不滿足上式，所以“尸匕：：；?2所以⑶什廟|+…+|MO|=/L

。2+。3+。4+,一+410=-S2+SIO-S2=SIO-2s2=62-(-4)=66.故近C.

4.C5.A6.B7.C

8.C令函數g(x)二譬,求導得g<0,所以函數g(x)在R上單調遞減.

因為g(3)<g(2),臀<臀，則<3)<第2),所以A錯誤；

因為g(l)<g(0),也勺(()),則川)<然()),所以B錯誤;

e

因為g(l)vg(?l),空)--1),則e%l)次1),所以C正確;

e

因為g(2)vg(l),《§<"，則q/U)次2),所以D錯誤.故選C.

9.ABD/U)=3(x-1)(A-3),4^f(x)=3(x-1)(x-3)=0,

則x=l或x=3,

當x>3或x<l時/(x)〉0,當lvx<3時/(x)<0,

故於)在區間(?8,1)上單調遞增,在區間(1,3)上單調遞減,在區間(3,+8)上單調遞增，所

以fix)的極大值為#1)=4,/k)的極小值為#3)=0,且尺1)<0,有且僅有兩個零點，故A

正確；

八4??=3(4?"1)(4」-3)=3(3?%)(1?%)=3(43)(4?1)=/(X),故B正確；

x=l是極大值點，故C錯誤；

當x20時網)=0府)的極小值為x3)=0,結合函數的單調性可得於)20恒成立，故D

正確.故選ABD.

10.ABC

11.AB對于A,由*6,得八x)=2x-l,

所以7W在點⑶憂］”))處切線的斜率為/(X”)=2。-1,所以切線方程為y-fiXn)=f(Xn)(X-

Xn).

因為切線過點(R〃+I,0),所以；/31)力(%5+卜犬〃),所以工〃+1=樂廠爭4所以A正確;

/(無71)

由選項A可知華華,

292

所以心+|+2=x〃-竽7W+2=竽4-.%+卜3=工〃-竽0-3二學斗，所以2當=

‘孫-1^Xn-1^Xn-L￡Xn-lXn+]-J

2

(如+29=(xn+2\

2

(xn-3)~\xn-3),

2

所以In配吟=ln(釁)=21。①境所以m+i=2的所以數列｛〃〃｝是以1為首項,2為

Xn+l-3\Xn-5/Xn-3

公比的等比數列，所以C錯誤;因為小+1s=2"-2〃J=2"」>0,所以數列｛〃”｝是遞增數列，所以

1?2023

B正確；因為S2023二fF—二22023/,所以D錯誤.故選AB.

1-Z

12.4=aA6x的定義域為R『(X)=3OY2_6,由題意得/(1)=3。-6=0,解得。二2,故

八x)=6.F-6,令八x)=0,解得x=±1,令人x)>0得/>1或X<-1J(x)單調遞增，令/(x)<0得,-

1<A<1<x)單調遞減，故J(x)=2x^-6x在x=-1處取得極大值，極大值為/(-1)=-2+6=4.

13(2)〃(答案不唯一)數列為不單調的無窮等比藪列,???數列｛m｝的公比為負值,

而數列｛|涮｝是遞增數列，則首項為正，公比的絕對值在(1,+8)上，則藪列｛｝的通項公式

n

可以為an=(-2).

id3

142

15.解(1)由題設/(A)=12A?-6A-18=12(A+I)(A-|),

令yv)=o,得x=-i或A=-,

當/W>0時，即12(x+l)(x-9)>0,解得弓或x<-l式x)的單調遞增區間為(-8,-1)和

3

點+8).

當/?<()時，即12Q+1)(心會〈(),

解得-1vx<%W的單調遞減區間為(-1,務.

□77

函數段)的極大值為於1)=38,極小值為居)二系

(2)由羅［(),3］川)=2743)=54,則居)勺(())</(3),且以)在區間［0,3］上連續,函數段)在

乙乙

97

區間［0,3］內的最大值為54,最小值為年.

16.解⑴因為4s〃=3。〃+4,所以4s〃+1=3〃”+1+4,

兩式相減，得4a〃+1=3?！?|-34〃,即an+\=-3an,

又4sk3山+4,則山二4,故數列｛?。鞘醉棡?,公比為?3的等比數列，則a“=4x(?3)〃”.

0,2/,1

(2)從二(-1)〃/〃“尸4〃3「所以7；J=4(lx3+2x3+3x34-?+/7.3-).

37；,=4(1X3'+2X32+3x3?+…+〃?3〃)，

兩式相減，得?27;產4(1+31+32+…+3"-L/r3")=4(Mr-/r3")=(242)?3"-2,

17

所以7；,=(2/?-1)3/,+1.

17.(1)解根據題意,由題干中的圖形可得

?1)=1<2)=1+4=543)=1+4+8=13?4)=1+4+8+12=2545尸1+4+8+12+16=41/6)=1+4

+8+12+16+20=61.

(2)解根據題意次2)貝)=4=4*1,

火3)哄2)=8=4x2,

旭)哄3)=12=4x3,

?次4)=16=4x4,

由此類推1)次〃)=4〃.

則犬〃)二伏〃)力小?)]+[X〃-1)次〃-2)]+…+伏3)次2)]+伏2)次1)]+fi1)=4(小1)+4(“

2)+…+4x2+4x1+1=4"+叱月①1)+1=2后2〃+1.

(3)證明由⑵的結論JW)=2〃2-2〃+1,

當“22時，/(n”-2n2-2〃=2(商—”

則高+高+舟+―+舟=1+和尚+?*?+*一》=1+1(討)=1—右

又由;白V之故結論成立.

LLnL

18.(1)解八的二訛1?1/￡艮

①當〃W0時/(x)WO對任意x￡R恒成立，所以火外在(?8,+8)內單調遞減.

②當a>0時，令八%)=0,得x=ln^=-lna.

防工的變化/(0次工)的變化如下表：

X(-oo,-Ina)-Ina(-In。,+8)

八X)-0一

“V)單調遞減極小值單調遞增

所以函數/U)的單調遞增區間是(-In4,+8),單調遞減區間是(-8,-Ina).

綜上，當aWO時?x)的單調遞減區間是(-8,+8),無單調遞增區間；當。>0時4E)的單

調遞增區間是(-In+8),單調遞減區間是(-8,-Inci).

(2)證明當〃>0時,要證於)>21na+4恒成立，即證?min>21na+,成立.

當6/>0時，由⑴知府)的極小值同時也是最小值，是火-lna),下面證明尺ln〃)>21n

"1?

/(-Ina)=a(e4na+a)-(-\na)=\+a2+\na.

?1

令g(a)=7Una)-21na--=a2-\na--,aG(0,+oo),

則g'(a)=2aq=笠士令g'(a)=O,得a*.

“tv乙

隨a的變化,g'(〃),g⑷的變化如下表:

(()，爭V2

a(冬+s)

T

g'(a)-0+

g(。)單調遞減極小值單調遞增

所以在〃二境時,g(a)取最小值.

g(a)min=g(仔)二;-吊仔-1=-ln-^=lnV2>ln1=0.因此人-lnt/)>21n成立.

因此當〃>()時於)>2ln嗚.

19.(1)(〃解因為"y,⑴二,

X

所己乙以一內，，歷i、尸瓦1=FInbi^-Inez=bIne-lnl=言得歷二e-1,

fJL

1_Inb2_In(e-l)_In(e-l)但e-2

g"瓦-b^T-7TT-付

(方)證明當x>l時，易知0<lnx<『l,所以Ov空vl,

x-1

因為">1.所以0<瞥<1.

Di-1

1

所以Ov『<l,所以岳〉1,…，以此類推/??>1,

要證bn+l<bn,只需證，=T~—>印證Inbn>-^-——1

%T^n+1如bnbn

設函數(p(x)=\nx-11),(p-^2=*N°，

所以當x￡(1,+8)時刈(外單調遞增，所以叭x)>3(1)=0,

所以Inbn-\+!>0,即Inhn>1—

bnbn

即P->2>0,所以d+1<5，

bn+lbn

所以數列｛d