庫侖定律 （解析版）

第九章靜電場及其應用

第2節庫侖定律

重點+難點核心素養思維導圖

1.了解點電荷、靜電力的概念。

2.掌握庫侖定律的內容和條件，并會簡單計算?！鰝}定律尺,?戲2卜1,d*學1＜究卜”侖實?分析

且曳生典盤色由g'8?應侖定樣

3.掌握庫侖力疊加原理，會計算靜電力作用下的平衡法國黑P回時黑度他逼—

問題。

知識點一電荷之間的作用力

?.實驗探究：利用如圖?所示的裝置探究影響電荷之間相互作用力的因素.

P、也p,]

c

圖1

實驗結論：電荷之間的作用力隨著電荷量的增大而增大，隨著距離的增大而減小.

2.庫侖定律

(1)點電荷：當帶電體之間的距離比它們自身的大小大得多,以致帶電體的蹴、大小及電荷分布狀

遠對它們之間的作用力的影響可以忽略時，這樣的帶電體可以看作帶電的點，叫作點電荷.

(2)庫侖定律

①內容：真空中兩個靜止點電荷之間的相互作用力，與它們的電荷量的乘積成正比,與它們的距離

的二次方成反比,作用力的方向在它們的連線上.這個規律叫作庫侖定律.這種電荷之間的相互作用力

叫作靜電力或庫侖力.

②公式：尸=鸞歲，其中％=9.0X109N-nf/Cz,叫作靜電力常量.

③適用條件：a.在真空中:b.靜止心電荷.

知識點二庫侖的實驗

1.庫侖扭秤實驗是通過懸絲扭轉的角度比較靜電力尸大小的.實驗結果發現靜電力尸與距離廠的空

方成反比.

2.庫侖在實驗中為研究尸與q的關系，采用的是用兩個完全相同的金屬小球,一個帶電，一個不帶

電，互相接觸后，電荷量平分的方法,發現尸與⑺和伙的塞也成正比.

知識點三靜電力計算

1.微觀粒子間的萬有引力遠小于庫侖力.在研究微觀帶電粒子的相互作用M，可以把萬有引力忽略.

2.兩個或兩個以上點電荷對某一個點電荷的作用力，等于各點電荷單獨對這個點電荷的作用力的宏

量和.

易錯易混點一對點電荷的理解

易錯易混點1.1對點電荷理想化模型認識不清。

例1.下列關于點電荷的說法正確的是（）

A.任何帶電球體，都可看成電荷全部集中于球心的點電荷

B.體積很大的帶電體一定不能看成是點電荷

C.當兩個帶電體的大小遠小于它們之間的距離時，可將這兩個帶電體看成點電荷

D.一切帶電體都可以看成是點電荷

【答案】C

【解析】能否把一個帶電體看成點電荷，關鍵在于我們分析時是否考慮它的體積大小、形狀及電荷

分布狀況，不能以它的體積大小而論，應該根據具體情況而定。若它的體積、形狀及電荷分布狀況

可不予考慮時，就可以將其看成點電荷，帶電球體也不是都能看成全部電荷集中于球心的點電荷，

故C正確。

易錯易混點1.1剖析

1.點電荷是物理模型：只有電荷量，沒有大小、形狀的理想化的模型，類似于力學中的質點，實際

中并不存在。

2.帶電體看成點電荷的條件：如果帶電體間的距離比它們自身的大小大得多，以致帶電體的形狀和

大小及電荷分布狀況對相互作用力的影響很小，就可以忽略形狀、大小等次要因素，只保留對問題

有關鍵作用的電荷量，帶電體就能看成點電荷。

3.兩帶電體靠得很近時，會影響兩帶電體的帶電分布，兩帶電體不能看成點電荷。

4.能不能把帶電體看成點電荷不能簡單看帶電體的大小。帶電體能否看成點電荷視具體問題而定。

如果帶電體的大小比帶電體間的距離小得多，則帶電體的大小及形狀就可以忽略，此時帶電體就可

以看成點電荷.

易錯易混點L2對點電荷與元電荷概念區分不清。

例2.關于元電荷和點電荷的說法正確的是（）

A.元電荷就是點電荷

B.質子就是無電荷

C.點電荷一定是電荷量很小的電荷

D.兩個帶電的金屬小球，不?定能將它們作為電荷集中在球心的點電荷處理

【答案】D

【解析】

元電荷是最小的電荷量.而點電荷是一種理想化的物理模型，二者不是同一物理概念,故A錯誤:

元電荷是最小的電荷量，不是質子，故B錯誤：點電荷是將帶電物體簡化為一個帶電的點，帶電體

能不能看作點電荷，不是看帶電體的體積大小和電荷量大小，而是看帶電體的大小相對于帶電體間

的距離能不能忽略不計，即兩個帶電,體的大小和形狀對它們之間相互作用力的影響能不能忽略不計，

所以即使體積很大的帶電體也可能看作點電荷，即使是電荷量很小的電荷也不一定能看作點電荷，

兩個帶電的金屬小球，不一定能將它們作為電荷集中在球心的點電荷處理，故C錯誤，D正確.

易錯易混點1.2剖析

1.元電荷是一個電子或一個質子所帶電荷量的絕對值，是迄今為止科學實驗發現的最小電荷量.

2.點電荷只是不考慮帶電體的大小和形狀及電荷分布狀況，是帶電個體，其所帶電荷量可以很大也

可以很小，但它一定是元電荷的整數倍。

易錯易混點二庫侖定律的理解和應用

易錯易混點2.1庫侖定律的適用條件

例3.關于庫侖定律，下列說法正確的是（）

A.庫侖定律適用于點電荷，點電荷其實就是體積最小的帶電體

B.根據尸=心詈，當兩個帶電體間的距離趨近于零時，靜電力將趨向于無窮大

C.所帶電荷量分別為Q和3Q的點電荷A、8相互作用時，8受到的靜電力是A受到的靜電力的3倍

D.庫侖定律的適用條件是真空和靜止點電荷

【答案】D

【解析】如果在研究的問題中，帶電體的形狀、大小以及電荷分布狀況對它們之間作用力的影響可

以忽略不計，即可將它看作是一個帶電的點，則這樣的帶電體叫作點電荷，故A錯誤；兩個帶電體

間的距離趨近于零時，帶電體已經不能看成點電荷了，/=修罟已經不能適用，故B錯誤：根據牛

頓第三定律可知，A、3相互作用時，B受到的靜電力與A受到的靜電力大小相等，故C錯誤；庫侖

定律的適用條件是真空和靜止點電荷，故D正確.

易錯易混點2.1剖析

庫侖定律適用條件

①真空中的靜止點電荷

②均勻帶電球體

注意：「一0時，帶電體不能看成點電荷，庫侖定律不再適用.

易錯易混點2.2庫侖定律中電荷量要取絕對值

例4.兩個分別帶有電荷量一。和+3Q的相同金屬小球（均可視為點電荷），固定在相距為/?的兩處，

它們間庫侖力的大小為幾兩小球相互接觸后將其固定距離變為合則兩球間庫侖力的大小為（）

A.?B.JF

C.|FD.12F

【答案】c

【解析】因為相同的兩帶電金屬小球接觸時，它們的電荷先中和后均分，所以接觸后兩小球帶電荷

量均為Q'=_Q%30=Q,由庫侖定律得，接觸前尸=斗，接觸后尸=內吟=斗，聯立得尸=

?

，，故選c。

易錯易混點2.2剖析

1.利用庫侖定律計算庫侖力大小時，不必將表示電性的正、負號代入公式，只代入磯、伙的絕對值

即可.

2.利用同種電荷相互排斥，異種電荷相互吸引來判斷方向.

3.兩個點電荷之間的庫侖力是一對作用力與反作用力.

易錯易混點三庫侖力的疊加

易錯易混點3.1兩個庫侖力的疊加

例5.如圖，帶電荷量分別為如、處、俏的小球〃、仄c（均可視為點電荷），固定在等邊三角形的三

個頂點上，。球所受庫侖力的合力/方向垂直于。、〃的連線，則：

⑴。、〃間為，。、。間為.（均選填“引力”或“斥力”）

哈---------

【答案】⑴引力斥力（2）2

【解析】（1）設等邊三角形的邊長為廣，由題意可知〃球所受庫侖力的合力/方向垂直于外。的連

線向下，故b對。為向右的引力，c對。為向左下的斥力.

（2）由力的分解可知心cos60°="如故瓜=2尸血又憶“?=心晉，匕山=盧警，聯立可得外=2處，即

必=2

qb?

易錯易混點3.1剖析

1.兩點電荷間的庫侖力與周圍是否存在其他電荷無關.

2.兩個或兩個以上點電荷對某一點電荷的作用力，等于各點電荷單獨對這個點電荷的作用力的矢量

和.

3.靜電力的合成與分解滿足平行四邊形定則，如圖所示.

4.單獨一個庫侖力的方向要根據同種電荷相互排斥，異種電荷相互吸引來判斷方向。兩個庫侖力的

合力方向根據平行四邊形定則或三角形定則來判斷。

易錯易混點3.2同一直線上三個點電荷的平衡問題

例6.如圖所示，光滑絕緣的水平地面上有相距為L的點電荷A、B,帶電荷量分別為一4。和+Q,

今引入第三個點電荷C,使三個點電荷都處于平衡狀態，則C的電荷量和放置的位置是（）

AB

-?------?-

A.-Q,在A左側距A為乙處

B.-2Q,在A左側距A為亭處

C-4Q,在8右側距8為L處

D.+2Q,在人右側距A為半處

【答案】C

【解析】4、8、C三個電荷要平衡，三個電荷必須共線且外側兩電荷相排斥，中間也荷吸引外側

兩電荷，而且外側電荷電量大，所以。必須帶負電，放在8右側，

對C：翠空手，代入得：廠=心

對B:竣坐="4%0,代入得：伙=40.選項C正確.

廠"L

易錯易混點3.2剖析

共線的三個自由電荷的平衡問題有關特點

1.三個自由電荷的平衡規律

“三點共線”——三個點電荷分布在同一條直線上；

“兩同夾異”——正、負電荷相互間隔；

“兩大夾小”——中間電荷的電荷量最小；

“近小遠大”——中間電荷靠近電荷量較小的電荷.

2.只要其中兩個點電荷平衡，第三個點電荷一定平衡，只需根據平衡條件對其中的任意兩個電荷列式

即可.

注意：在三個共線點電荷的平衡問題中，若僅讓其中一個電荷平衡，則只需要確定其位置即可，對

其電性和所帶電荷量沒有要求.

易錯易混點四非共線力作用下帶電體的平衡

易錯易混點4.1帶電體的平衡的三力平衡

例7.如圖所示，〃、〃是兩個帶有同種電荷的小球，用絕緣絲線懸掛于同一點，兩球靜止時處于同一

水平高度，絲線與豎直方向間的夾角分別為心仇且則（）

Ao球的質量一定比力球的大

Ba球的電荷量一定比球的大

Co球受到的庫侖力比》球的小

D.絲線對a球的拉力比對b球的小

【答案】A

【解析】小球”受力如圖，根據受力分析可知￡;=tana,同理可得U=lan/?,其中戶率=遇警，由

牛頓第三定律可知兩球之間的庫侖力大小相等，但是無法判斷兩球電荷量之間的關系，所以B、C錯

F*F耳

誤.由于/?＞明則所以A正確.由于瓦-=sin。，下^=sin0,則產r”＞產出所以D錯誤.

易錯易混點4.1剖析

分析靜電力作用下點電荷的平衡問題時，方法仍然與力學中分析物體的平衡方法一樣，具體步驟如

下：

⑴確定研究對象：如果有幾個物體相互作用時，要依據題意，用“整體法”或“隔離法”選取合適

的研究對象.

⑵對研究對象進行受力分析，此時多了靜電力（尸=犁￥

（3）根據尸合=0列方程，若采用正交分解，則有尸產0,Fv=0.

（4）解方程求出未知量.

針對訓練

1.真空中兩個相同的帶等量異種電荷的金屬小球A和B（均可看作點電荷），分別固定在兩處，兩

球之間的靜電力為凡現用一個不帶電的同樣的金屬小球C先與A接觸，再與B接觸，然后移

開C,此時A、B之間的靜電力變為（）

【答案】D

【解析】設AB分別帶電量為+Q和-Q；則開始時兩球之間的庫侖力為

F=k駕

用一個不帶電的同樣的金屬小球C先與A接觸，再與B接觸，然后移開C,此時A、B分別帶電

量為+Q和一工。，則此時A、B之間的靜電力變為

-Q-Q]

故選Do

2.如圖所示，三個完全相同的金屬小球。、b、c固定在等邊三角形的三個頂點上。。、“球帶等量

異號電荷，c球受到的靜電力大小為F,帶電小球〃、機c均可視為點電荷，則將c球移至。、〃球

連線的中點時c球受到的靜電力大小為（）

O

A.0B.4FC.8FD.一6尸

3

【答案】C

【解析】設三角形的邊長為幾根據題意得

F=k晦

F'=2k

解得

F=8F

故選C。

3.如圖所示，直角三角形ABC中N8=30。，A、8兩處的點電荷所帶電荷量分別為0、2，測得

在C處的某正點電荷所受靜電力方向平行于A4向左，則下列說法正確的是（)

A.A處電荷帶正電，2A：QH=1：8

B.A處電荷帶負電，。人念=1：8

c.A處電荷帶正電，e.：a=i：4

D.A處電荷帶負電，QjQs=l：4

【答案】B

【解析】A、8都為正電荷、都為負電荷、或A為正電荷8為負電荷，。處的某正點電荷所受靜電

力方向都不能平行于A3向左。所以A為負電荷、6為正電荷，受力情況如圖所示

r

BC

尸浮、

\FAC、、、、、、、

i.........%

由庫侖定律可知

F_%a

rBC-2

rBC

F_kQ.、Qc

又因為

二=屋」

rBcFRC2

聯立可得

色」

a8

故選Bo

4.在相距為，?的4、B兩點分別固定兩個點電荷，C為A8的中點,如圖所示，現引入帶正電的試

探電荷切則下列說法正確的是（）

QA：QH

?------i-----?———

AC\BD

A.如果q在C點受力為零，則兩個點電荷一定是等量異種可荷

B.如果q在人C段上的某一點受力為零，則QI一定是負電荷，且電荷量的關系有QA<Q

C.如果q沿A3的垂直平分線移動時受力方向始終不變，則QA和Q3?定是等量同種電荷

D.如果q在A8延長線離8較近的。點受力為零，則QA和。8一定是異種電荷，且電荷量的關系

有QA>QB

【答案】D

【解析】A.如果夕在。點受力為零，根據平衡條件有

kQAqkQHq

由于Gc=7c，因此Q,A=Qs,且QA、QB為同種電荷,故A錯誤；

B.當9在4c段上的某一點受力為零時，九<加，因此且“、QH為同種電荷，04、

Q8并不一定是負電荷，故B錯誤；

C.當QA、Q3為帶等量同種電荷時，4沿A8的垂直平分線移動時受力方向始終平行于AB垂直平

分線，當Q4、Q4為帶等量異種電荷時，q沿的垂直平分線移動時受力方向始終垂直于AB垂直

平分線，因此，這兩種情況下令沿A8的垂直平分線移動時受力方向都不變化，故C錯誤；

D.當q在AB延長線離8較近的。點受力為零時，口）>/，因此QA>QN，且QA、Q8為異種電

荷，故D正確。

故選Do

5.（多選）如圖，光滑絕緣圓環豎直放置，a、b、c為三個套在圓環上可?自由滑動的空心帶電小

球，已知小球c位于圓環最高點，ac連線與豎直方向成60。角，連線與豎直方向成30。角，三個

小球均處于靜止狀態。下列說法正確的是（)

A.a、〃小球一定帶同種電荷B.a、c小球可能帶同種電荷

C.〃、〃小球電量之比為3D..、〃小球電量之比為立

69

【答案】AD

【解析】AB.對小。受到重力、環的支持力以及〃、。對。的庫侖力，重力的方向在豎直方向上，

環的支持力以及〃對。的庫侖力均沿圓環直徑方向，故c對"的庫侖力為引力，同理可知，c對〃

的庫侖力也為引力，所以。與c的電性一定相反，與》的電性一定相同。即：a、。小球帶同種電

荷，b、c小球帶異種電荷，選項A正確，B錯誤；

CD.對。小球受力分析，將力沿水平方向和豎直方向正交分解后可得

k絳sin60°=k埠sin30°

又由幾何關系知

喙:Q=l：g

解得

%=收9

選項C錯誤，D正確。

故選ADo

6.（多選）兩個質量分別是沏、〃72的小球，各用絲線懸掛在同一點，當兩球分別帶同種電荷，且

電荷量分別為卬、/時，兩絲線張開一定的角度力、仇,如利所示，此時兩個小球處于同一水平面

上，則下列說法正確的是（）

A.若則明>&B.若機尸〃?2,貝！J。尸仇

C.若nn<ni2,貝lj0i>02D.若qi>q2,則。尸仇

【答案】BC

【解析】以〃〃為研究對象，對/川受力分析如圖所示，由共點力平衡，得

Fysin0i=F斥

FTCOS

得

tan6\=

叫g

同理

tan6,=

"m2g

因為不論小、3大小如何，兩帶電小球所受庫侖力屬于作用力與反作用力，大小永遠相等，故從

tan0=

mg

知，川大，則tan夕小，夕亦?。ㄏ?lt;/）,加相等，夕亦相等。

故選BCo

7.（多選）如圖所示，同一直線上的三個點電荷夕/、俏、/，恰好都處在平衡狀態，除相互作用的

靜電力外不受其他外力作用。已知％、.間的距離是小、小間距離的2倍。下列說法正確的是

（）

.2一小廠,

O---O—O-

小夕213

A.若q/、夕3為正電荷，則/為負電荷

B.若qi、?3為正電荷，則夕2為正電荷

C.夕/團42Hq3=36團409

D.夕/因2附3=904036

【答案】AC

【解析】AB.三個自由電荷在同一直線上處于平衡狀態，則一定滿足“兩同夾異，兩人夾小，近小

遠大”，所以劣和%是同種電荷，%是異種電荷，故A正確，B錯誤；

CD.根據庫侖定律和欠量的合成，則有

攵芻%_=女9=女生魚

（2r）2（3r）2r2

化簡可得

%：%:%=36:4:9

故C正確，D錯誤。

故選AC<.

8.（多選）如圖所示，一勻強電場E大小未知、方向水平向右。兩根長度均為L的絕緣輕繩分別將

小球M和N懸掛在電場中，懸點均為0。兩小球質量均為加、帶等量異號電荷，電荷量大小均為

（，/>0）。平衡時兩輕繩與豎直方向的夾角均為9=45。。若僅將兩小球的電荷量同時變為原來的2

倍，兩小球仍在原位置平衡。已知靜電力常量為上重力加速度大小為g，下列說法正確的是

（）

A.M帶正電荷B.N帶正電荷

…押D.…件

【答案】BC

【解析】AB.由題圖可知，對小球M受力分析如圖（a）所示，對小球N受力分析如圖（b）所

示，由受力分析圖可知小球M帶負電，小球N帶正電，故E正確，A錯誤；

CD.由幾何關系可知，兩小球之間的距離為

r=6L

當兩小球的電荷量為，/時，由力的平衡條件得

2

"igUn4$=Eq-k4

廣

兩小球的電荷量同時變為原來的2倍后，由力的平衡條件得

mgtan45=E2q-k

整理解得

故C正確，D錯誤。

故選BCo

9.（多選）在光滑的水平桌面上有三個點電荷A、B、C,電荷量為十1,-%,十%.若要保證三

個點電荷在庫侖力作用下保持靜止，則它們電荷量應滿足的關系是（）

十%

◎

A.q、>q2B.%>%

111

D.—+—

1%%

【答案】AC

【解析】設AB球之間的距離為外,8c球之間的距離為4，則有

對于A球

k件二女上與

4億+4

對于C球

6+力ri

整理后得

_L=_n__L

瓜今+4瓜

_L=/__L

\[^\弓+4\[02

故

4>%

%>%

所以AC.正確；BD錯誤；

故選ACo

10.（多選）如圖所示，。、b、c、d四個質量均為機的帶電小球恰好構成"三星拱月"之形，其中

a、b.c三個完全相同的帶電小球在光滑絕緣水平面內的同一圓周上繞。點做半徑為R的勻速圓周

運動，三小球所在位置恰好將圓周等分。小球d位于。點正上方〃處，且在外力廠作用下恰處于靜

止狀態，已知4、b、c?三小球的電荷量均為心d球的電荷量為6%/?=&/?。重力加速度為g,靜

電力常量為2，則（）

2TTR1/nR

B.小球〃的周期為qNk

C.小球c的加速度大小為

3mR~

D.外力尸豎直向上，大小等于"唱+功2

【答案】CD

【解析】A.小球〃、氏。均做半徑相同的圓周運動，且受力情況相同，故三個小球的各運動參量

大小均相等，以小球〃為例，小球〃做圓周運動的向心力由小球”對小球〃的引力的水平分力及小

球仄c對小球a斥力的合力提供，僅可以判斷四個小球所帶電荷電性的異同，但不能確定小球〃

是否帶正電，A錯誤；

BC.由牛頓第二定律得

-2k-------?----7cos300+k，/,x72=：=nia

(2/?cos30°)2h2+R2個R、*

其中〃=0R，解得

3mR2

向心加速度公式

0

3mR2T2

可得

T_2冗R3〃?R

qk

B錯誤C正確；

D.對小球d受力分析，由平衡條件可知

6q2h2瓜kq?

F=mg+3k/『+X必了=mg+

R2R2

D正確。

故選CDo

11.（多選）如圖，絕緣輕桿A端用光滑水平餃鏈裝在豎直墻面上，另一端點O固定一個帶正電的

小球〃，并用絕緣輕繩拴住小球斜拉并固定在墻面6處，在小球。同一水平線的右側有一帶負電小

球力，從無窮遠處沿水平方向緩慢向小球，靠近的過程中，小球。始終保持靜止狀態，小球〃重力

不可忽略，則（）

B

O

b

A.細繩80的拉力一直變大B.細繩80的拉力先變小后變大

C.小球對輕桿A0的彈力一定一直變小D.小球對輕桿4。的彈力可能先變小后變大

【答案】AD

【解析】以小球。為研究對象，受力分析如圖甲所示，四力陶成一個閉合矢量四邊形如圖乙，帶負

電小球人緩慢從無窮遠處向小球，靠近過程中，庫侖力變大，直接從這閉合矢量四邊形中動態變化

可以看出細繩60的拉力?直變大，小球對輕桿AO的彈力可能先變小后變，所以AD正確；BC錯

誤;

12.（多選）質量均為切的三個帶電小球A、B、C用三根長度均為/的絕緣絲線相互連接，放置在

光滑絕緣的水平面上，A球的電荷量為+外在C球上施加一個水平向右的恒力尸之后，三個小球

一起向右運動，三根絲線剛好都伸直且沒有彈力，”的作用線的反向延長線與A、B間的絲線相交

于絲線的中點，如圖所示。已知靜電力常量為A下列說法正確的是（）

A

A.B球的電荷量可能為+2q

B.C球的電荷量為一2夕

C.三個小球一起運動的加速度大小為正筑

ml-

D.恒力廣的大小為氈”

【答案】BC

【解析】A.根據對稱性可知，A球的電荷量和B球的電荷量相同，故A錯誤；

BC.設C球的電荷量大小為兆，以A球為研究對象，B球對A球的庫侖斥力為

C球對A球的庫侖引力為

rCAa

由題意可知小球運動的加速度方向與產的作用線平行，則有

FCAsin309=FBA

FcACOs300=ma

解得

qc=2q

。=笄

ml-

C球帶負電，故C球的電荷量為一2%故B、C正確；

D.以三個小球整體為研究對象，根據牛頓第二定律可得

F=3ma=、'

I2

故D錯誤。

故選BC.

13.如圖所示，一個掛在絕緣細線下端的帶正電的小球B靜止在圖示位置，其左側固定著另一個帶

正電的小球A,已知B球的質量為〃?，帶電荷量為小靜止時細線與豎直方向的夾角6=37。，A和

B在同一條水平線上，整個裝置處于真空中（A、B可視為質點，重力加速度大小為g,靜電力常量

為k,sin37°=0.6,cos37。=0.8）。

（1）求此時小球B受到的電場力大小和方向；

（2）若小球A所帶電荷量為0,求A、B間的距離