計數原理【12大重點題型60題】（期中專項訓練）解析版-2025-2026學年高二數學下學期（人教A版選擇性必修第三冊）

計數原理【12大重點題型60題】

1.（24-25高二下?黑龍江齊齊哈爾?期中）某同學從4個球類項目和2個田徑類項目中選1個項目參加，則不

同的選擇方案共有（）

A.6種B.8種C.12種D.16種

【答案】A

【解題思路】利用分類加法計數原理可得結果.

【解答過程】某同學從4個球類項目和2個田徑類項FI中選1個項目參加，

若選擇的為球類項目，有4種選擇，

若選擇的為田徑類項目，有2種選擇，

由分類加法計數原理可知，不同的選擇方案種數為4+2=6種.

故選:A.

2.（24-25高二下?黑龍H?雞西?期中）從甲地到乙地有2條路，從乙地到丙地有2條路，那么從甲地經乙地

到丙地共有（）種不同的走法.

A.3B.5C.6D.8

【答案】C

【解題思路】利用分步乘法計數原理即可.

【解答過程】由分步乘法計數原理可知，從甲地經乙地到內地共有3x2=6種不同的走法.

故選：C.

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3.（24-25高二下?河北承德?期中）2025有（）個不同的正因數

A.10B.12C.15D.25

【答案】C

【解題思路】把2025進行質因數分解，然后結合分步乘法原理計算.

【解答過程】2025=52x33故2025的正因數個數有（2+1）X（4+1）=15.

故選：C.

4.（24-25高二下?新疆吐魯番?期中）用0,I,…，5六個數字，可以組成無重復數字的三位數的個數為

【答案】100

【解題思路】無重復數字的三位數中，特殊位置優先考慮，百位數字不能為0,后面兩位不能重復，利用分

步計數方法求解.

【解答過程】百位的數字可以選擇的種數為5種，

十位，個位可以選的種數分別為5種，4種

則可組成無重復數字的三位數的種數為5x5x4=100.

故答案為:100.

5.（24-25高二下?黑龍江雞西?期中）從0、1、2、3、4這五個數字中任取三個不同的數字組成三位數，求:

（1）組成的三位數偶數的個數；

（2）組成的三位數中大于200的個數.

【答案】（1）30

⑵36

【解題思路】（1）組成三位數的偶數，需要分個位是0和個位不是0兩種情況討論：

（2）組成大于200的三位數，百位數字只能是2、3、4,進而求解即可

【解答過程】（1）當個位數字為0時

百位數字可以從1、2、3、4這4個數字中任選一個，有4種選法；

十位數字可以從剩下的3個數字中任選一個，有3種選法.

根據乘法原理，此時組成的偶數個數為4x3=12個.

當個位數字不為0時

個位數字只能從2、4中選一個，有2種選法；

百位數字不能為0,所以百位數字可以從剩下的3個非0數字中選一個，有3種選法：十位數字可以從

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剩下的3個數字中選一個，有3種選法.

根據乘法原理，此時組成的偶數個數為2x3x3=18,.

將兩種情況的個數相加，得到組成的三位數是偶數的總個數為12+18=30個.

（2）百位數字可以從2、3、4這3個數字中任選一個，有3種選法：

十位數字可以從剩下的4個數字中任選一個，有4種選法；

個位數字可以從剩下的3個數字中任選一個，有3種選法.

根據乘法原理，組成的三位數中大于200的個數為3x4x3=36個.

題型2

6.（24-25高二下?湖北省直轄縣級單位?期中）用4種不同的顏色給圖中6個區域染色，要求邊界有重合部

分的區域染上不同的顏色，則不同的染色方法有（）

A.384種B.168種C.108種D.192種

【答案】D

【解題思路】先涂2,5區域，再分類討論涂4的種數，根據對稱性知3,6的涂法，利用分步乘法計數原理得

解.

【解答過程】先給2,5染色，有鋁種方法，

若I和5同色，則4有2種涂法：若1和5不同色，則4有2XI=2種涂法.

因為1，4分別與3,6對稱，所以不同的染色方法有A：x（2+2/=192種.

故選：D.

7.（24-25高二下?黑龍江大慶?期中）春節期間，某地政府在該地的一個廣場布置了一個如圖所示的圓形花

壇，花壇分為5個區域.中心區域為雕塑，四周種植花卉.現有4種不同的花卉可供選擇，要求相鄰區域不能

布置相同的花卉，且每個區域,只布置一種花卉，則不同的布置方案有（）

3/28

A.84種B.72種C.64種D.56種

【答案】A

【解題思路】對五個區域進行編號，依次分析8、C、0、￡的布置方案種數，結合分步乘法與分類加法計數

原理可得結果.

8區域有4種選擇，C區域有3種選擇，

若區域8、。種同一種花，則。區域有1種選擇，E區域有3種選擇；

若區域8、。種所種的花不同，則D區域有2種選擇，E區域有2種選擇.

由分步乘法和分類加法計數原理可知，不同的布置方案種數為4x3x（1x3+2x2）=84.

故選:A.

8.（24-25高二卜??河北保定?期中）如圖“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形和一個小正方形拼成的一個

大正方形.現有紅、黃、藍、綠四種不同的顏色供選擇給趙爽弦圖涂色，要求每個區域只涂一種顏色且相

鄰兩個區域顏色不同，不同的涂色方法總數為（）

【答案】D

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【解題思路】根據題意，分選三種顏色與選四種顏色討論，結合排列數代入計算，即可得到結果.

【解答過程】若選三種顏色，則①③同色且②④同色，

則有第川=24種方法；

若選四種顏色，則①③同色或②?同色，

則有2Af=48種方法；

所以一共有24+48=72種方法.

故選：D.

9.（24-25高二下?云南?期中）用4種不同的顏色給圖中6個區域染色，要求邊界有重合部分的區域染上不

同的顏色，則不同的染色方法有種.

【答案】192

【解題思路】先對2,5染色，分1和5同色，或1和5不同色，兩種情況下討論4的涂法，再根據1,4

分別與3,6對稱得到答案.

【解答過程】先給2,5染色，有夠種方法.

若I和5同色，則4有2種涂法；

若I和5不同色，則4有2X1=2種涂法.

因為1,4分別與3,6對稱，所以不同的染色方法有A,x（2+2尸=192種.

故答案為：192.

10.（24-25高二下?湖南衡陽?期中）如圖，已知四棱錐S-ABCD.

BC

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（1）從5種顏色中選出3種顏色，涂在四棱錐S—ABC。的5個頂點上，每個頂點涂I種顏色，并使同一條棱

上的2個頂點異色，求不同的涂色方法數；

（2）從5種顏色中選出4種顏色，涂在四楂錐S—的5個頂點上，每個頂點涂1種顏色，并使同一條楂

上的2個頂點異色，求不同的涂色方法數.

【答案】（1）60

⑵240

【解題思路】（1）由分步乘法原理，先涂S,再涂兒再涂8,最后涂8計算即可.

（2）解法一：由分步乘法原理，先涂4C,再一次涂“8,計算即可；解法二：分類分步原理，先按照4

與C顏色相同與不同分類，再用分步乘法，最后求和即可.

【解答過程】（1）由題意知，四棱錐S-ABCD的頂點S,4,5所涂顏色互不相同，

則力，C顏色相同，且從。顏色相同，

所以共有5X4X3X1X1=60種不同的涂色方法.

（2）解法一：由題意知，四棱錐S-48。。的頂點S,A,〃所涂顏色互不相同，

則乩C可以顏色相同，B,。可以顏色相同，并且兩組中必有一組顏色相同，

所以先從兩組中選出一組涂同一顏色，有2種選法（如：B,。顏色相同）；

再從5種顏色中，選出4種顏色涂在S,A,B,C四個頂點上，

最后。涂8的顏色，有5x4x3x2xl=120種不同的涂色方法.

根據分步計數原理知，共有2x120=240種不同的涂色方法.

解法二：分兩類.

第一類,力與C顏色相同，

由題意知，四棱錐S-ABC。的頂點S,A,8所涂顏色互不相同.

它們有5x4x3=60種不同的涂色方法，

所以共有5x4x3xlx2=120種不同的涂色方法；

第二類，力與C顏色不同，

由題意知，四棱錐S—/18CD的頂點S,A,9所涂顏色互不相同.

它們有5x4x3=60種不同的涂色方法，

所以共有5X4X3X2X1=120種不同的涂色方法.

根據分類計數原理知，共有120+120=240種不同的涂色方法.

題型3排列數、組合數而置O]

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11.（24?25高二下?河北承德?期中）A3-C$=（）

A.92B.102C.120D.148

【答案】A

【解題思路】利用排列數和組合數的計算公式求解即可.

【解答過程】A，C8=6x5x4-翳=92.

故選：A.

12.（24-25高二下,重慶南岸?期中）計算A/—髭的值為（）

A.2B.-2C.-4D.4

【答案】A

【解題思路】根據排列數和組合數公式和性質計算即可.

【解答過程】A,—《=4x3—祭=12-10=2.

4X1.

故選：A.

13.（24-25高二下?山東臨沂?期中）若C%=C得N）則A|=（）

A.5B.12C.24D.36

【答案】C

【解題思路】先利用組合數性質得出x=3,再利用排列數公式計算.

【解答過程】因C"二武/1,貝Ijx=2工+1或工+2X+1=10,解得工=—1或工=3,

因x￡N*,則x=3,

則箱=A：=4x3x2=24.

故選：C.

14.（24-25高二下?廣西南寧?期中）計算若.（用數字作答）

【答案】等

【解題思路】根據排列數以及組合數的計算公式即可求解.

【解答過程】3蜴+4a=3X5X4X3+4X需=3x60+4x20=130

3!3x2x163'

故答案為：胃.

3

15.（24-25高二下?寧夏銀川期中）（1）計算：已知%=C3則求C/2+cgi+C空的值.

Al+C.

（2）計算:

7/28

（3）解方程：3A1=8鬃;

【答案】（1）120：

（2）-5；

（3）n=7.

【解題思路】（1）根據已知條件及組合數公式求得m,再利用組合數的性質遞推關系喘占=腎+C；；1及

組合數公式即可求解；

（2）利用組合數和排列數公式計算求值；

（3）利用組合數和排列數公式代入計算，化簡求解方程即可.

【解答過程】(1)由C1=C3得而能=晨而，解得m=7.

111

所以CgT+eg-+C5=翁+砥+以=C$+篇=C{0=120.

(2)山窈一5X4+占一迎一_5

A3-A43X2X1-4X3-6

(3)由3A"i=8鬣得：3n(n+1)=8x整理可得九2—7幾=0,

由題意，九工0,故解得九=7.

題型4元素（位置）有限制的排列問題

16.（24-25高二下?江蘇南京?期中）甲乙丙等5人站在一排，且甲不在兩端，乙和丙中間恰好芍兩人，則不

同排法共有（）

A.24種B.16種C.12種D.8種

【答案】B

【解題思路】由分步乘法計數原理即可求解..

【解答過程】因為甲一定在乙丙之間，否則將在兩端，先排乙丙有A々種排法,

其次選一人在乙丙中間有G種排法，

然后乙丙中間排序有A,種排法，

最后另一人選在排頭排尾有G種排法，

共A犯從犯3=共種排法.

故選:B.

17.（24-25高二下?黑龍江雞西?期中）用（）、1、2、3、4、5這六個數組成無重復數字的四位數，其中偶數

有（）個.

A.156B.300C.180D.120

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【答案】A

【解題思路】根據分類加法和分步乘法計數原理，計算不同結果有多少.

【解答過程】組成四位偶數，分為兩種情況：

第一類：個位數是0,則十位、百位、千位沒有其他要求，共有Ag=60種.

第二類：個位不是0,則個位有兩個選擇，千位有除0外的4個選擇，十位、百位沒有要求，共有A^xA^x

A1=96種,則所有偶數有60+96=156種.

故選:A.

18.（24-25高二下?北京?期中）甲、乙、丙、丁和戊5名同學進行數學演講比賽，若安排上場順序時甲、

乙均不能第一個上場，且乙不能最后一個上場，則這5人上場順序的不同排法種數為（）

A.27B.48C.54D.72

【答案】C

【解題思路】利用特殊元素法，分兩種情況：甲最后一個上場和甲不能最后一個上場，再安排其他人，計

算即可得出結果.

【解答過程】甲、乙均不能第一個上場，且乙不能最后一個上場，

可以先排甲分兩種情況進行考慮：

甲最后一個上場，則乙有3個位置可選，再排另外3人有A[=6種，共有3Ag=18種排法，

甲不能最后一個上場，則甲、乙從3個位置可選2個進行排列，有A§=6種，

再排另外3人有慫=6種，共有A凈?Ag=36種排法，

所以,這5人上場順序的不同排法種數為18+36=54種.

故選：C.

19.（24?25高二下?浙江紹興?期中）為弘揚我國古代的“六藝文化”，某夏令營主辦單位計劃利用暑假開設

"禮''、"樂”、“射”、“御”、“書“、；'數"六門體驗課程，每周一門，連續開設六周，則課程“禮”不排在第一周,

課程“數”不排在最后一周，共有種排法.

【答案】504

【解題思路】依題意，六門課程的全排列為A3減去有限制要求的排法，即可得解.

【解答過程】依題意，六門課程的全排列為Ag,其中“禮”排在第一周有腐種，“數”排在最后一周有解種，

“禮”排在第一周且"數''排在最后一周有A：種，

所以符合要求的排法種數為A￡-2Ai+A：=504.

故答案為：504.

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20.（24-25高二下?安徽蕪湖?期中）從A、B、C等8人中選出5人排成一排.

（1M必須在內，有多少種排法？

（2）4、B、C都在內，且力在8前，C在B后，有多少種排法？

（3）A不允許站排頭和排尾，8不允許站在中間（第三位），有多少種排法？

【答案】（1）4200

(2)200

（3）4440

【解題思路】（1）先在剩余7人中選出4,再將這4人與A進行全排列；

（2）先在剩余5人中選出2,再根據部分定序問題排列方式進行排列；

（3）根據特殊元索與特殊位置分情況討論.

【解答過程】（1）先從余下的7人中選4人共有第=35種不同結果，

再將這4人與A進行全排列有Ag=120種不同的排法，

故由乘法原理可知共有G-=4200種不同排法；

（2）因4B,C都在內，所以只需從余下5人中選2人有髭=10種不同結果,

4B,C相對順序確定,共有窄=200種不同排法;

（3）分四類：第一類：所選的5人無小B,共有點=720種排法：

第二類：所選的5人有4、無B,共有源=1080種排法；

第三類：所選的5人無4有B,共有第C；A*=1440種排法；

第四類：所選的5人有A、B,若力排中間時，有（：M；=480種排法，

若片不排中間時，有總GGAX=720種排法，

共有480+720=1200種排法：

綜上，共有720+1080+1440+1200=4440種不同排法.

題型5相鄰、不相鄰排列問題

21.（24-25高二下?重慶?期中）2025年春節檔電影《哪吒之魔童鬧海》成為中國影史票房最高的電影，某

班甲、乙、丙、丁、戊這5位同學相約一起去電影院觀看，要求5人坐在同一排相鄰的5個位置.，甲、乙、

丙這三人相鄰，且丙不與丁相鄰，則不同的座位排列方法有（）種.

A.32B.28C.24D.20

【答案】B

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【解題思路】根據給定條件，利用相鄰問題捆綁法，結合排除法列式計算.

【解答過程】將甲乙丙三人視為整體與丁戊排列，有A弘。種，

當甲乙丙相鄰，丙不在甲乙的中間，丙丁相鄰時，甲乙丙丁視為一個整體與戊排列，有A從必界中，

所以不同的座位排列方法的種數是魔A號一A從必名=28.

故選：B.

22.（24-25高二下?四川綿陽?期中）甲、乙、丙、丁、戊、己等六人站成一排，要求甲、乙必須相鄰，丙、

丁不相鄰，則不同的安排方法有（）

A.72種B.120種C.180種D.144種

【答案】D

【解題思路】根據相鄰捆綁，不相鄰插空和分步乘法計數原理即可分析計算求解.

【解答過程】甲、乙必須相鄰，先將甲、乙兩人捆綁作為一人有A芻種排列方法，

接著和除丙、丁外的2人?起進行排列有A。種排列方法，

最后上述排列種形成的4個空中選出兩個空給丙、丁插入排列有A：種方法，

所以總的不同的安排方法有A必就7=144種.

故選：D.

23.（24-25高二下?福建福州?期中）在電影《哪吒之魔童鬧海》宣傳海報中，哪吒、敖丙、太乙真人、申

公豹、鹿童五個主人公站成一排，其中哪吒和敖丙必須相鄰，且太乙真人和申公豹不能相鄰，那么共有多

少種不同的站法（）

A.18B.12C.28D.24

【答案】D

【解題思路】利用捆綁法將相鄰的兩人看成一個大元素，再與無特殊要求的元素進行排列，最后將不相鄰

的元素利用插空法排列即可得出結果.

【解答過程】將哪吒和敖丙捆綁在一起，與鹿童進行排列，共有A必4種，

再把太乙真人和申公豹利用插空法放到符合題意的3個空隙當中，共有A馬=6種，

因此共有4X6=24種不同的站法.

故選：D.

24.（24-25高二下?云南曲靖?期末）某次志愿者活動需分配4名大學生（人B、C、0）和2名老師（甲、乙）

排成一列合影.要求大學生4與B必須相鄰，兩名老師不能相鄰，則滿足條件的排列方式共有種.

【答案】144

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【解題思路】先對力、8進行捆綁，再與C、D全排，最后用插空法求解即可.

【解答過程】由題知，先把學牛/與B進去捆綁有A9種，再與C、。進行全排，有種,

最后把2名老師插入4個空中，有A：種，所以共有A弘弘：=144.

故答案為：144.

25.(24?25高二下?重慶?期中)有4名男生和2名女生排成一排，下列各種情況分別有多少種排法？

(1)男生甲不站排頭和排尾.

(2)兩名女生必須相鄰.

(3)甲、乙、內三名同學兩兩不相鄰.

(4)甲不站排頭，乙不站排尾.

【答案】(1)480種

⑵240種

(3)144種.

(4)504種

【解題思路】(I)先考慮甲的位置，再全排列即可求解,

(2)根據相鄰問題捆綁法即可求解,

(3)根據不相鄰問題插空法即可求解,

(4)根據全排列，結合正難則反即可求解.

【解答過程】(1)由于甲不站排頭也不站排尾，所以甲要站在除去排頭和排尾的四個位置,

余卜的五個位置使五個元素全排列,

根據分步計數原理知共有A；A卜480種；

(2)兩名女生必須相鄰，利用捆綁法，有A弘怖=240種

(3)甲、乙、丙不相鄰，可以采用甲，乙和丙插空法，

首先排列除去甲，乙和丙之外的三個人，有鳥種結果，

再在三個元素形成的四個空中排列3個元素，共有信，

根據分步計數原理知共有A弘寵=144種.

(4)甲不站排頭，乙不站排尾.利用間接法,可得有就一2人濟慶*=504種.

題型6組合計數問題

26.(24-25高二下?廣東陽江?期中)從包含甲、乙兩人的7人中選M3人分別擔任學習委員、宣傳委員、體

育委員，則甲、乙兩人都入選的不同選法共有()種

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A.120B.60C.30D.20

【答案】C

【解題思路】從除了甲乙外的5人中任選一人，再將甲，乙和所選的人進行全排列，即可求出甲、乙兩人都

入選的不同選法的種數.

【解答過程】由題意，

甲乙兩人都入選，還要先在其他5人里選一人有廢種，再和甲乙一起全排列有A1,

???甲乙兩人都入選的不同選法有=5x3x2x1=30（種）.

故選：C.

27.（24-25高二下?江蘇南京?期中）從1,2,3,…，1（）這10個數中任取5個不同的數即，a2,a3,a4,

as，貝悟在1WiV/W5,i,jwN",使得|七一出|=1的取法種數為（）

A.176B.225C.246D.252

【答案】C

【解題思路】由題知，從1（）個數中任取5個的組合數為：第o=252,又5個數均不相鄰的有既=6,用總

數減去不相鄰的即可.

【解答過程】總情況數：從1（）個數中任取5個的組合數為：Cf0=252,

不相鄰組合數：要求5個數均不相鄰，相當于在10個數中插入至少1個間隔，

此時問題等價于從10—（5—1）=6個位置中選5個數，組合數為：瑞=6,

符合條件的組合數：總情況數減去不相鄰的組合數：252-6=246.

故選：C.

28.（24-25高二下?云南昭通?期中）甲、乙兩位同學從5種課外讀物中各自選讀2種，則這兩人選讀的課

外讀物中恰有1種相同的選法共有（）

A.30種B.60種C.120種D.15種

【答案】B

【解題思路】根據分類分步計數原理，利用組合數計算即可得出結果.

【解答過程】根據題意可知，首先選取1種相同課外讀物的選法有心種，

再選取另外兩種課外讀物需不同，則共有C；0種，

所以這兩人選讀的課外讀物中恰有1種相同的選法共有心以&=60種；

故選：B.

29.（24-25高二下?黑龍江雞西?期中）從4名男生和3名女生中任選3人參加某項活動，其中至少有1名

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女生的選法共有種.

【答案】31

【解題思路】分有1名女生及2名女生，3名女生分別求出選法再應用加法原理計算求解.

【解答過程】從4名男生和3名女生中任選3人參加某項活動，

有I名女生共有6髭=18種選法；

有2名女生共有C久仁12種選法：

有3名女生共有種選法：

其中至少有1名女生的選法共有18+12+1=31種.

故答案為：31.

30.(24-25高二下?安徽?期中)某社團共有學生9名，其中有5名男生和4名女生，現從中選出4人去參

加一項創新大賽.(列式表明計算過程，結果用數字表示)

(1)如果4人中男生女生各選2人，那么有多少種選法？

(2)如果男生中的甲和女生中的乙必須在內，那么有多少種選法？

(3)如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在內，那么有多少種選法？

(4)如果4人中必須既有男生又有女生，那么有多少種選法？

【答案】(1)60

⑵21

⑶91

(4)120

【解題思路】(1)根據要求直接選取即可：

(2)在剩下的7人中任選2人即可；

(3)利用間接法可求得總的方法數；

(4)從所有9人中選4人，去掉只有男生和只有女生的情況.

【解答過程】(1)如果4人中男生女生各選2人，有鬣鬣=60種選法.

(2)如果男生中的甲和女生中的乙必須在內，

則在剩下的7人中任選2人,有弓=21種選法.

(3)如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在內，

共有C3—G=91種選法.

(4)如果4人中必須既有男生又有女生，

14/28

先從所有9人中選4人，去掉只有男生和只有女生的情況，

故有C$-（4一6=120種選法.

分組分配問題。

31.（24?25高二下?吉林?期中）學校運動會，高二年級某班有甲、乙、丙、丁四位同學將參加跳高、跳遠、

100米三個項目的比賽，每人只能參加一個項目，每個項目至少有一個人參加，則不同參賽方案總數是

（）

A.20B.24C.30D.36

【答案】D

【解題思路】根據題意，先將四人分組，再分配，結合分步乘法計數原理代入計算，即可得到結果.

【解答過程】先將四位同學按照LL2分成三組，有喑i=6種情況，

然后分配到三個項目，有=6種情況，

結合分步乘法計數原理可得，不同參賽方案總數是6x6=36.

故選：D.

32.（24-25高二下?福建福州?期中）將6本不同的書全部分給4個學生，每個學生至少一本，則不同的分

法種數為（）

A.1440種B.1560種C.3960種D.7200種

【答案】B

【解題思路】先進行分組，有」，1,2,2和1,1,1,3兩種情況，利用排列組合知識分別求出兩種情況

卜.的情況數，再相加求出答案.

【解答過程】先將6本書進行分為4組，每個學生至少一本，有1,1,2,2和1,1,1,3兩種情況，

其中分為1,1,2,2的情況有嚙以=1080種，

分為1,1,I,3的情況有延等?A/=480種，

故不同的分法種數為1080+480=1560,

故選：B.

33.（24-25高二下?福建福州?期中）某大學開設了《古今數學思想》《世界數學通史》《幾何原本》《什

么是數學》四門選修課程，要求數學系每位同學每學年至多選三門，大一到大三三個學年必須將四門選修

課程修完，則每位同學的不同選修方式有（）

A.60種B.78種C.96種D.144種

15/28

【答案】B

【解題思路】結合題意可得每位同學每年所修課程數可以分為1,1,2或0,1,3或0,2,2,先將課程分組，再分配

到三個學年，最后按照分類加法計數原理、分步乘法計數原理計算即可.

【解答過程】由題意可知三年修完四門課程，且每年至多選三門，

則每位同學每年所修課程數可以分為1,1,2或0,1,3或0,2,2,

若按1,1,2選修四門課程，則先將四門選修課分成二組，有半嬋種不同方式，

再分配到三個學年，由分步乘法計數原理可得共有喀=36種不同的選修方式：

若按0,1,3選修四門課程，則先將四門選修課分成三組，有3髭種不同方式，

再分配到三個學年，由分步乘法計數原理可得共有心=24種不同的選修方式；

若按022選修四門課程，則先將四門選修課分成三組，有甯種不同方式，

再分配到三個學年，由分步乘法計數原理可得共有筆1?=18種不同的選修方式；

所以每位同學的不同選修方式有36+24+18=78種.

故選：B.

34.（24-25高二下?河北秦皇島?期中）某學校社會實踐小組共有5名成員，該小組計劃前往三個紅色教育

基地進行“學黨史，頌黨恩，跟黨走”的主題宣講志愿服務，若每名成員只去一個基地，每個基地至少有一名

成員前往，且甲，乙兩名成員前往不同基地，則不同的分配方案共有種.

【答案】114

【解題思路】正難則反，采用間接法，先求每名成員只去一個基地，每個基地至少有一名成員前往的方法

種數，再求在此條件下，甲，乙兩名成員前往同一基地的方法種數，兩數相減即可得解?.

【解答過程】若每名成員只去一個基地，每個基地至少有一名成員前往，

則分組方式為1,1,3；1,2,2；

此時不同的分配方案共有（心以色」禺鬣0）噂=50x3ISO種；

若甲，乙兩名成員前往同一基地，考慮到甲乙特殊，

若三組人數為3,1,1,則甲乙還需一名成員，故不同的分配方案有CjAg=18；

若三組人數為2,2,1,則甲乙為一組，不同的分配方案有鬣Ag=18,所以共計36種，

故所求為150-36=114種.

故答案為：114.

16/28

35.（24-25高二下?山東臨沂?期中）學校有一隊含有2名教師、3名高一學生、3名高二學生和2名高三學

生的忐愿者隊伍，現從這10名志愿者中選調6名志愿者平均分配到人B兩個社區作宣傳活動.求:

（1）若選調的志愿者中必須有教師，則有多少種選調方法（不需要分配到社區）？

（2）若每個社區必須有教師帶隊，且不含高三學生，則有多少種分配方法？

（3）若選調的志愿者中高一與高二學生選調人數相等，則有多少種分配方法？

【答案】（1）182

(2)180

(3)1280

【解題思路】（1）分恰有1名教師和恰有2名教師兩種情況討論，利用組合數公式計算可得;

（2）從高一、高二6名學生中選4人，然后在進行平均分配，其中兩名教師有兩種分配方法;

（3）分高一高二各選1、2、3名學生三種情況討論，先選人，再平均分配到社區.

【解答過程】（I）選調的志愿者中恰有1名教師，先選I名教師，再從剩余8人中選5人，共有弓勰

=2x56=112種選法.

選調的志愿者中恰有2名教師，先選2名教師，再從8人中選4人，共有C《=70種選法.

所以志愿者中有教師的選調方法為：112+70=182種.

（2）若每個社區中必有教師，則2名教師均需選用,

再從高一、高二6名學生中選4人，然后在進行分配，共有A犯［髭=180種分配方法.

（3）選調的志愿者中高一與高二學生選調人數相等，有分配時有三種情況:

當高一高二各選1名學生時，以GGC=180種分配方法;

當高一高二各選2名學生時，C初犯式寵=1080種分配方法;

當高一高二各選3名學生時，髭弓髭=20種分配方法;

則共有180+1080+20=1280和分配方法.

題型8排列與組合的綜合應用

36.（24-25高二下?陜西榆林?期中）2024年湯姆斯杯暨尤伯杯羽毛球團體錦標賽于4月27日在四川成都

開賽.為保證錦標賽順利進行，組委會需要提前把各項工作安排好.現要把甲、乙、丙、丁四名志愿者安

排到七天中服務，若甲去兩天，乙去三天，丙和丁各去一天，則不同的安排方法有（）

A.140種B.210種C.420種D.840種

【答案】C

【解題思路】根據分步乘法計數原理，結合排列組合公式即可得解.

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【解答過程】由已知，甲的安排方法為&種，乙的安排方法為以種，剩余的兩天安排丙、丁有A弁中方法，

故共有它?讖?A名=420（種）.

故選：C.

37.（24-25高二下?河北?期中）衡水湖國際馬拉松賽是經國家體育總局批準的國際性馬拉松賽事，自2012

年起每年9月份舉行一屆.競賽項目分為全程馬拉松、半程馬拉松和迷你馬拉松.甲、乙、丙等5名馬拉

松愛好者均計劃參加衡水湖國際馬拉松賽，若甲和乙均參加迷你馬拉松，且每人只參加一個競賽項目，這5

名馬拉松愛好者的競賽項目涵蓋了三個競賽項目，則不同的參賽方案有（）

A.6種B.12種C.24種D.18種

【答案】B

【解題思路】根據參加迷你馬拉松的情況進行分兩類進行討論，只有甲和乙參加迷你馬拉松和有3人參加

迷你馬拉松，分別求出方案數，再相加即可二

【解答過程】若只有甲和乙參加迷你馬拉松，則剩下的3人按1,2分成2組，

所以有4CA號=6種參賽方案;

若有3人參加迷你馬拉松，則從剩下的3人中選1人參加迷你馬拉松，

再將剩余的2人按1,1分成2組，所以有&A；=6種參賽方案.

故不同的參賽方案共有6+6=12種，

故選：B.

38.（24-25高二下?廣東?期中）小明計劃從4地到B地，途經4個旅游景點，其按照A—1—2—3—4一B

的順序方式出行，其中從力地到第1個景點以及第1個景點到第2個景點，他可以選擇地鐵或者滴滴打車這

兩種出行方式，從第2個景點到第3個景點以及第3個景點到第4個景點，他可以選擇滴滴打車或者共享

單車這兩種出行方式，從第4個景點到B地可以選擇巴士或者動車這兩種出行方式，則小明從4地到8地用

到了四種不同的出行方式的方案有（）

A.12種B.14種C.16種D.18種

【答案】C

【解題思路】由題意可分析得到前4段路需要用到3種不同的出行方式，由此分類前2段路都選擇地鐵和

選擇不同的出行方式，分別計算兩類所包含的方案，再根據分類加法計數原理可得答案.

【解答過程】從力地到8地，一共5段路，前4段路一共有3種出行方式，最后一段路有2種出行方式，且

與前3種不同，

故前4段路需要用到3種不同的出行方式，由此可分類為：

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若從力地到第I個景點以及從第I個景點到第2個景點小明選擇相同的出行方式（只能選擇地鐵），

則共有lxA孑xG=4種方案；

若從4地到第1個景點以及從第1個景點到第2個景點小明選擇不同的出行方式，

則有A號x3x?=12種方案，

根據分類加法計數原理，則共有4+12=16種不同的出行方式.

故選：C.

39.（24-25高二下?北京?期中）現有5名教師帶領3個興趣小組（生物、人文、經濟）外出學習考察，要

求每個興趣小組的帶隊教師至少一人至多兩人，張老師是年輕教師，學校要求他不能單獨帶隊，不同的教

師帶隊方案有種.（用數字作答）

【答案】72

【解題思路】教師人數的安排為2,2,1,先安排張老師，選擇1人和張老師為一組，并安排一個興趣小組，

然后再考慮其他3人，結合排列組合知識進行求解.

【解答過程】教師人數的安排為2,2,1,

先從除張老師剩余的4名教師中選擇1人和張老師為一組，有C1種，

再從3個興趣小組中選擇1個安排給張老師這組，有?種，

再將剩余3人分為2組，安排到另外2個興趣小組，有和，

綜上，不同的教師帶隊方案有心=72種.

故答案為：72.

40.（24-25高二下?海南?期中）有甲、乙、丙、丁、戊5位同學，求：

（1）5位同學站成?排，甲、戊相鄰有多少種不同的排法？

（2）5位同學站成一排，要求甲乙必須相鄰，丙丁不能相鄰，有多少種不同的排法？

（3）珞5位同學分配到三個班，每班至少一人，共有多少種不同的分配方法？

【答案】（1）48

⑵24

⑶150

【解題思路】（1）相鄰問題用捆綁法；

（2）先將甲乙捆綁與戊排列，再用插空法排列丙J.,根據分步乘法計數原理計算即可；

（3）分兩步，第一步，先將5人分為三組，分兩類討論，第二步再將這三組分配給三個班，根據分類加法

和分步乘法計數原理計算即可.

19/28

【解答過程】（I）因為甲、戊相鄰，故把甲、戊捆綁，與其余人全排列,

所以有A外f=48種不同的排法；

（2）首先將甲乙兩人捆綁，與戊一起排，有A9xA界中排法,

此時，共有3個空，丙、丁兩人插空排列，共有A專種排法，

所以共有A當xA^xA專=24種不同的排法.

（3）分2步進行分析：

①將5位同學分成3組，

若分成1、1、3的三組，有瞎=10種分法，

若分成1、2、2的三組，有喀=15種分法，

A2

則一共有10+15=25種分組方法;

②將分好的三組對應三個班，有“=6種情況，

則一共有（10+15）x6=150種不同的分配方法.

題型9求二項展開式的特定項（系數）

41.（24-25高二下?湖北?期中）在（爐一1）6的展開式中，常數項為（）

A.160B.-160C.-80D.-120

【答案】B

【解題思路】由二項式展開式的通項公式即可求解.

【脩答過程】由題可得二項式展開式的通項公式為4+1=C^（X3）6-^（-1）r=（一2汽"18-

令18-6r=0=r=3,所以展開式中的常數項為（-2）3總=-160.

故選：B.

42.（24-25高二下?河南周口?期中）（白一爐）6的展開式的第4項為（）

A.2Ox3B.-2Ox3C.15x8D.-15x8

【答案】B

【解題思路】寫出通項公式，令k=3,求出第4項即可.

【解答過程】因為7k+1=以6廣”（73人所以九二虱專八一好尸二一2。眼

故選：B.

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43.(24-25高二下?新疆喀什?期中)若(/一的展開式的二項式系數之和為64,則其展開式的常數項為

()

A.1B.15C.-15D.-1

【答案】B

【解題思路】先求出〃=6,再利用二項展開式的通項即可求出其常數項.

【解答過程】由題意，2rt=64,解得〃=6,

則二項式(/一96的通項為7r+]=〃(%2)6-「(_》「二(一3r,

由12-3r=0可得r=4,即其展開式的常數項為(-1)4《=15.

故選:B.

44.(24-25高二下?天津河東?期中)在庫+—6的展開式的中間一項是.

【答案】20

【解題思路】由二項展開式的性質結合通項計算可得.

【解答過程】由二項式展開式的性質可得展開式一共有7項，所以中間一項為第4項，

所以在(乎+—6的展開式的中間一項是琢亨=20

故答案為：20.

45.(24-25高二下?天津西青期中)已知(/+￡)”的展開式中的所有二項式系數之和為64.

(1)求九；

(2)求常數項；

(3)求展開式的中間項.

【答案】(1)九=6；

⑵5

3

(3)T4=20X.

【解題思路】(1)由二項式系數和有2n=64,即可求參數值;

(2)寫出二項式的展開式通項，進而求其常數項；

(3)根據二項式確定中間項是第四項，對應r=3,即可得.

【解答過程】(1)由題設2〃=64,可得九二6：

(2)由(1)得展開式通項為Tr+1=CW(%2)6—rG)『=C"12—3r,廠=0,1,..,6,

21/28

當12—3r=0,即r=4,則常數項n=4=15；

（3）由（2）知，展開式中間項是第四項，即r=3,所以74=競爐=20爐.

題型10求展開式中系數最大（小）項

46.（24-25高二下?河南洛陽?期中）（3+x）i2的展開式中系數最大的是（）

A.好的系數B.爐的系數C./的系數D.無5的系數

【答案】B

【解題思路】利用展開式的通項得不等式組可得答案.

【解答過程】設（3+%）12的展開式的通項為77+1=的2312-31/€{0,1,2,3,112},

（rr012—r>r^+lqll—r

由題意可得院就屋13T，

解得;WrW與，因為r￡{0,l,2,3L,12}

所以r=3,

所以（3+乃12的展開式中系數最大的是好的系數

故選：B.

47.（24-25高二下?天津河東?期中）（l+x）2n的展開式中系數最大的項是（）

A.第九一1項B.第〃項

C.第n+1項D.第2九+1項

【答案】C

【解題思路】根據展開式的通項可知第r+1項的系數為G”，結合二項式系數的性質分析最值即可.

r

【解答過程】因為（1+程2n的展開式的通項為77+1=Cinx,r=0,1,2,-,2n,

可知第r+1項的系數為C%，即為第丁+1項的二項式系數，

根據二項式系數的性質可知：的最大值為C%,

所以系數最大的項為第九+1項.

故選：C.