北師大版高中數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)-從位移的合成到向量的加減法

§2從位移的合成到向量的加減法

借助實(shí)例和平面向量的幾何表示，掌握平面向量

最新課標(biāo)

加、減運(yùn)算及運(yùn)算規(guī)則，理解其幾何意義.

2.1向量的加法

出川川川川川川川川川川川川川I川M川川川川h琳伽G南團(tuán)即陶?|課面|債|習(xí)|伽川伽州州卅伽卅州伽州卅川州咖川伽，

［教材要點(diǎn)］

要點(diǎn)一向量的加法

定義求兩個(gè)向量和的運(yùn)算，稱為向量的加法

前提已知兩個(gè)______的向量〃，h,在平面內(nèi)任取一點(diǎn)4

作法作麗=0BC=/>,連接4C

有向線段通表示的向量即為“與力的和，記作________,即。+方

向量加法的三結(jié)論

=AB+BC=_

角形法則c

圖形

NaB

前提已知兩個(gè)________的向量〃，b,在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O.

作法作就=〃，而=b,以。4。8為鄰邊作“Z4C8.

結(jié)論以。為起點(diǎn)的向量比就是向量〃與〃的和，即玩=_

向最加法的平

行四邊形法則

圖形

(JGA

規(guī)定對(duì)于零向量與任一向量a,我們規(guī)定“+0=0+。=。

1.在使用向量加法的三角形法則時(shí)，要注意“首尾相接”，即第一個(gè)向量的

終點(diǎn)與第二個(gè)向量的起點(diǎn)重合，則以第一個(gè)向量的起點(diǎn)為起點(diǎn)，并以第二個(gè)向量的終點(diǎn)為終

點(diǎn)的向量即兩向量的和；向量加法的平行四邊形法則的應(yīng)用前提是“共起點(diǎn)”，即兩個(gè)向量

是從同一點(diǎn)出發(fā)的不共線向量.

2.三角形法則與平行四邊形法則的適用條件

三角形法則平行四邊形法則

適用條件

兩向量位置關(guān)系兩向量共線或不共線均可只適用于兩向量不共線的情況

一個(gè)向量的終點(diǎn)為另一個(gè)

兩向量起點(diǎn)、終點(diǎn)的特點(diǎn)兩向量起點(diǎn)相同

向量的起點(diǎn)

要點(diǎn)二向量加法的運(yùn)算律

1.交換律：a+b=

2.結(jié)合律：（a+b）+c-

1.當(dāng)兩個(gè)向量共線時(shí)，向量加法的交換律和結(jié)合律也成立.

2.我們可以從位移的物理意義理解向量加法的交換律：

一質(zhì)點(diǎn)從點(diǎn)A出發(fā)，方案①先走過的位移為向量市再走過的位移為向量6,方案②先

走過的位移為向量6,再走過的位移為向量定則方案①②中質(zhì)點(diǎn)A一定會(huì)到達(dá)同一終點(diǎn).

3.多個(gè)向量的加法運(yùn)算可按照任意的次序與任意的組合進(jìn)行，如何+6)+管+日)=(6+

d)+(a4-c)：a+b+c4-c+e=［d+(a+c)］+(b+e).

［教材答疑］

［教材P對(duì)思考交流］

矩形中，記麗=〃，|通|=3,AD=/>,|AD|=1,

則同一網(wǎng)W|Q+4W|4|+同

當(dāng)a,6共線時(shí)等號(hào)成立.

［基礎(chǔ)自測(cè)］

1.判斷正誤(正確的畫“J”，錯(cuò)誤的畫“X”)

(1)兩個(gè)向量的和可能是數(shù)量.()

(2)兩個(gè)向量相加就是它們的模相加.()

(3)MN+NP=MP.()

(4)向量加法的平行四邊形法則適合任意兩個(gè)向量.()

2.［多選題］在平行四邊形力8c。中，下列結(jié)論中正確的是()

A.AB=DC

B.AP+AB=AC

C.AB=BD+AD

D.AD+CB=O

3.a、力為非零向量，且,+例=同+同,則()

A.a〃"且。與力方向相同B.a、力是方向相反的向量

C.a=—hD.m〃無論什么關(guān)系均可

4.化簡下列各向量：

(1)AB+BC=.

(2)PQ+0M+Q0=.

,川川川川川川卅川川川川川川川川川川川C川川川I川川川川h國國團(tuán)困?I喇堂I解飽I則伽伽伽――

題型一向量加法法則的應(yīng)用——師生共研

例1(1)如圖①，用向量加法的三角形法則作出岳

⑵如圖②，用向量加法的平行四邊形法則作出

①②

方法歸相

用三角形法則求向量和，關(guān)鍵是抓住“首尾相連”，和向量是第一個(gè)向量的起點(diǎn)指向第

二個(gè)向量的終點(diǎn)，平行四邊形法則注意“共起點(diǎn)”，且兩種方法中，第一個(gè)向量的起點(diǎn)可任

意選取，可在某一個(gè)向量上，也可在其它位置.兩向量關(guān)線時(shí)，三角形法則仍適用，平行四

邊形法則不適用.

跟蹤訓(xùn)練1已知向量mb,c,如圖，求作“+〃+c.

題型二向量的加法運(yùn)算——師生共研

例2化簡下列各式：

(1)BC+AB：

(2)而+CD4-BC；

(3)AB+DF+CD+BC+FA.

方法歸的

向量加法運(yùn)算律的應(yīng)用原則及注意點(diǎn)

(1)應(yīng)用原則：利用代數(shù)方法通過向量加法的交換律，使各向量“首尾相接”，通過向

量加法的結(jié)合律調(diào)整向量相加的順序.

(2)注意點(diǎn)：①三角形法則強(qiáng)調(diào)“首尾相接”，平行四邊形法則強(qiáng)調(diào)“起點(diǎn)相同”；②

向量的和仍是向量；③利用相等向量轉(zhuǎn)化，達(dá)到“首尾相連”的目的.

跟蹤訓(xùn)練2如圖，在平行四邊形力8。中.

(1)AB+AD=

(2)AC+CD+D0=

(3)AB+AD+CD=

.........??

(4)AC+BA+DA=

題型三向量加法的實(shí)際應(yīng)用——師生共研

例3在靜水中船的速度為20m/min,水流的速度為10m/min,如果船從岸邊出發(fā)沿垂

直于水流的航線到達(dá)對(duì)岸，求船行進(jìn)的方向.

作出船的速度與水流速度示意圖.

變式探究本例中的條件不變，改為若船沿垂直于水流的方向航行，求船實(shí)際行進(jìn)的方

向的正切值(相當(dāng)于河岸的夾角).

方&歸他

應(yīng)用向量解決平面幾何問題的基本步驟

(1)表示：用向量表示有關(guān)量，將所要解答的問題轉(zhuǎn)化為向量問題.

(2)運(yùn)算：應(yīng)用向量加法的平行四邊形法則和三角形法則，將有關(guān)向量進(jìn)行運(yùn)算，解答

向量問題.

(3)還原：根據(jù)向量的運(yùn)算結(jié)果，結(jié)合向量共線、相等等概念回答原問題.

易錯(cuò)辨析忽視向量共線情況出錯(cuò)

例4已知非零向量小b,c,以表示mb,c的有向線段構(gòu)成三角形的充要條件是。

+A+c=0,這個(gè)判斷正確嗎？

解析：不正確

因?yàn)椤＃ü簿€時(shí)，即使〃十分+。=()成立，

但不能構(gòu)成三角形.

當(dāng)叫h,。不共線時(shí)，”+〃+c=0,則以表示a,b,。的有向線段能構(gòu)成三角形.

易錯(cuò)警示

易錯(cuò)原因糾錯(cuò)心得

解決向量問題時(shí)不要忽視特殊情形，如零向量、向量司向、

忽視了向量共線的特殊情況.

向量反向、向量相等.

§2從位移的合成到向量的加減法

2.1向量的加法

新知初探?課前預(yù)習(xí)

［教材要點(diǎn)］

要點(diǎn)一

不共線a+bAC不共線a+b

要點(diǎn)二

l.b+a

2.。+(b+c)

［基礎(chǔ)自測(cè)］

1.(1)X(2)X(3)V(4)X____________

2.解析：A,B,DJE確；C錯(cuò)誤，因?yàn)榭?心+麗云而+而.

答案：ABD

3.解析：只有〃〃6且。與b方向相同時(shí)才有|〃+力|=同+網(wǎng)成立，故A項(xiàng)正確.

答案：A

4.解析：(I)麗+前=A2.

(2)PQ+0M+QO=PQ+Q0+OM=PO+OM=PM.

答案：⑴熊(2)PM

題型探究?課堂解透

題型一

例1解析：⑴在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O.作靠=a,麗=從再作向量而，0B=fl+6.

(2)如圖，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O,作加=a,0B=/>,再作平行麗的前=〃，連接BC,

則四邊形。NC8為平行四邊形，OC=a+Z>.

跟蹤訓(xùn)練1解析：在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O,作鼐=〃，而=力，BC=r,如圖，則由向量

加法的三角形法則，得麗=。+力，前=a+b+c.

題型二

例2解析：⑴前+第=語+配=嵐.

(2)I)B+CD+BC=(DB+BC)4CD=DC+CD=O5K,DB+CD+BC=(DB+CD)4BC=

(CD+DB)+BC=CB+BC=O.

(3)AB+DF+CD+BC+FA

=AB+BC+CD+DF+FA

=AC+CD+DF4-FA

=AD+DF+FA

=AF+FA

=0.

跟蹤訓(xùn)練2解析：⑴麗