第9章 平面向量 復習提升-2026蘇教版高中數學必修第二冊章節練（含解析）

2026蘇教版高中數學必修第二冊

本章復習提升

易混易錯練

易錯點1對向量的相關概念、運算律理解不透致錯

1.下列關于平面向量的說法中，正確的是()

A.對于向量a,b,c,有(ab)c=a(bc)

B.若向量力反Cfi共線，則點A,B,C,D必在同一條直線上

C.若A(l,m),B(m+l,3),C(l-m,7)三點共線，則m=5

D.若點G為2ABC的重心，則百芥麗+35=()

易錯點2忽視向量的方向致錯

2.(多選題)(2024江蘇連云港月考)已知平面向量a=(l,D,b=(-3,4),則下列說法正確的是

()

五

A.cos<a,b>=y^

B.b在a上的投影向量為fa

c.與b垂直的單位向量的坐標為(《9

D.若向量a+Xb與a-Xb共線,則實數X=0

3.(多選題)(2025重慶巴蜀中學校月考)對于任意兩個平面向量a和b,下列命題中正確的是

()

A.若a〃b,|a|=|b|,則a=b

B.a〃b是|a+b|=|a|+|b|的必要不充分條件

C.|a.b|<|a||b|

D.若21al二網翔,向量a在b上的投影向量為-與，則cos<a,b>=-^

63

易錯點3對向量的夾角理解不準確致錯

4.在△ABC中，“方?配〈0”是“△ABC為鈍角三角形”的()

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

5.(多選題)(2024江蘇鎮江期中)下列選項中正確的是()

A.已知向量a=（2,V2）,b=（sinO,cos0）,若a〃b,則tan0=V2

B.已知向量a=（l,3）,b=（m,-2）,若a,b的夾角為鈍角，則m<6

C若平面向量a,b,c兩兩間的夾角都相等，且|a|二|b|二l,|c|=3,則|a+b+c|=2或5

D.若刀+3而+4沅=0,則4AOC和^ABC的面積之比為3:8

6.單位向量a,b滿足（a+2b>（a-b尸q,則a與b夾角的余弦值為;若ka+b與a+3b

的夾角為銳角，則實數k的取值范圍為.

思想方法練

一、函數與方程思想在向量問題中的應用

1.在△ABC中,M是AB上的點且滿足翔=3磁,N是AC上的點且滿足布=配,CM與BN

交于點P,設前二a,癌0則?=（）

A.%小B.“b

2.（2025江蘇無錫錫東高級中學月考）己知非零向量而與充滿足儒+jg）BC=0,且

|荏-充|=2&,詼+元|=675,點D是^ABC的邊AB上的動點，則而?反的最小值為（）

A.-1B,-iC,-lD.-2

二、數形結合思想在向量問題中的應用

3.（2025江浙皖高中發展共同體聯考）已知向量a,b,c滿足a-c=|b-4c|=|c|=2,則|a-加的最小值

是（）

A.OB.2C.V2D.5

4.（2024江蘇揚州紅橋高級中學月考）已知四邊形ABCD是邊長為2的菱形,NABC、，P為

平面ABCD內一點,AC與BP相交于點Q.

⑴若舒=比亞=x^J+y前，求x,y的值；

⑵求（9+而）.元的最小值.

三、轉化與化歸思想在向量問題中的應用

5.（2025廣東廣州月考）在4ABC中4月=（2m,m+5）,4?=（cosa,sina）（m,a￡R）,若對任意的實

數口法-四日前—就|恒成立，則BC長度的最小值是（）

A.710B.AC.V19D.2V5

6.（2025江蘇宿遷沐陽高級中學月考）如圖，“六芒星”是由兩個邊長為3的正三角形組成的,

中心重合于點O且三組邊分別平行，點A,B是“六芒星”的兩個頂點，動點P在“六芒星”（包

括邊界）內，則赤?存的取值范圍是（）

△

A.[-2,2]B,E，；

C.[-V3,V3]D.[-2,75]

四、分類討論思想在向量問題中的應用

7.（2025河北唐山第一中學月考）如圖，延長正方形ABCD的邊CD至點E,使得DE二CD,動

點P從點A出發，沿正方形的邊按逆時針方向運動一周后回到點A,若據癡§+誦后則下

列判斷不正確的是（）

A.滿足X+g=2的點P必為BC的中點

B.滿足X+g=l的點P有兩個

C.滿足X+g=3的點P有且只有一個

D.滿足九卬=|的點「有兩個

8.在平面直角坐標系中，已知三點A（2,0）,B（Ll）,C（3,l）,t￡RQ為坐標原點.

⑴若△ABC是直角三角形，求I的值；

⑵若四邊形ABCD是平行四邊形，求|歷|的最小值.

答案與分層梯度式解析

本章復習提升

易混易錯綜

1.D對于A,平面向量不滿足乘法結合律，故A錯誤；

對于B,若向量拔，而共線測點A,B,C,D在同一條直線上或AB〃CD（易錯點）.故B錯誤；

對于匚易得萬=（1口,3-01）,比=（-21力,4）,若A,B,C三點共線,則荏匚灰，所以4m=-2m（3-m）,解

得m=（）（易錯點）或m=5,故C錯誤；

對于D,延長AG交BC于點D,則D為BC的中點，且就=2百,所以

GB+GC=2GD=AG=-:GA,^l^GA+GB+GC=O.HiD正確.

2.AD由題意知|a|=5/l2+l2=V2,|b|=J(-3)2+42=5,a-b=1x(-3)+1x4=1.

對于A,cos<a,b>=gj=^=^^A正確；

對于B,b在a上的投影向量為器步急斗，故B錯誤;

對于C,設與b垂直的單位向量的坐標為（xo,yo）,

則；2，八解得

卜3為+4為=0,

所以與b垂直的單位向量的坐標為g,9或（q,_g（易錯點），故c錯誤;

對于D,因為向量a+Xb與a-Xb共線，

所以存在t￡R,使得a+入b=t（a-世尸ta-入tb,則解得故D正確.

3.BCD對于A,a和b可能為相反向量（注意共線可以是同向共線,也可以是反向共線），故

A錯誤.

對于B,當a=-2b時2〃b,但a+b用a|+|b|,充分性不成立,

當a=0或b=0時,|a+b|=|a|+|。,此時a/7b,

當a#)且b翔時，由|a+b|=|a|+|b|得|a+bk(|a|+|b|)2,

即|aF+2|a||b|cos<a,b>+|bF=|aF+2|a||b|+|bF,故cos<a,b>=l,va,b>=0,貝I]a〃b,必要性成立,

所以a/7b是|a+b|=|a|+|b|的必要不充分條件，故B正確.

對于C,|a?b|=|a||b||cos<a,b>|,由|cos〈a,b>|Wl得|a?b|0|a||b|,故C正確.

對于D,向量a在b上的投影向量為|a|cos〈a,b>《=-￥b,

1切6

把2憶|二|h|代入卜式得co*<a,h>=T，故DF確.

易錯警示在將模的關系轉換為向量之間的關系時，需要從向量方向的角度加以分析，若

不能確定方向，則需分類討論.

4.DABBC=-BABC=-\BA\\BC\cosB<0,即cosB>0,因為所以0<B<：，不能推出

△ABC為鈍角三角形，故充分性不成立；

當△ABC為鈍角三角形時,假設然B<%則萬?比=-瓦［?比=-|瓦7||居cosB>0,不能推出

布?就<0,故必要性不成立.

綜上所述,“方反〈0”是“△ABC為鈍角三角形”的既不充分也不必要條件.

易錯警示研究向量的夾角時要將兩個向量平移到同一起點去觀察，注意首尾相連的向

量所呈現的角是其夾角的補角，同時注意向量的夾角的范圍是［0,兀］,因此根據圖形找向量

的夾角時要注意夾角是相應有向線段所成的角還是該角的補角.如本題中向量方,能的夾

角是NABC的補角，不是NABC.

5.ACDX寸于A,若a〃b,則VIsin0=2cos0,

可得tan6=75,故A正確.

力7-6<0,

對于B,若a,b的夾角為鈍角，則［3mr-2（易錯點）解得m<6且m#9/故B錯誤.

對于C,由平面向量a,b,c兩兩間的夾角都相等，得它們兩兩之間的夾角為0或青

當它們兩兩之間的夾角為0時,顯然有|a+b+c|=|a|十|b|十|c|二l+1+3=5;

當它們兩兩之間的夾角為g時，過平面上任一點0作C7=a,OB=b,OC=c,令

37+而=無，如圖所示，則四邊形OADB為菱形,|歷|=1,且向量沉，歷方向相反，又|中3,所

以|a+b+c|=|歷+函=3-1=2.

綜上所述,|a+b+c|=2或5,故C正確.

對于D,若

H7+3麗+4。？=0,則（37+爐）+3（麗十說=0,可得2而十6赤=0（D,E分別為AC,BC的中點），即

麗=-3瓦，故點O在線段DE上，且OD=|DE,

c

貝ijSAABC=2S^ACE=2X：SAOC=；SAOC,即^^■=],

33^ABC8

所以△AOC^llAABC的面積之比為3:8,故D正確.

6.答案j；(-H)DG'+o°)

解析因為|a|二|b|=1,(a+2b).(a-b)=-p

所以a2+a-b-2b2=1,即l+ab2=：,則a?b=1則cos〈a,b>=W，即a與b夾角的余弦值為;.

333匕陰33

若ka+b與a+3b的夾角為銳角廁(ka+b>(a+3b)>0且ka+b與a+3b不共線(易錯點).

由(ka+b)?(a+3b)>0,得ka2+(3k+l)ab+3b2>0,

即k+(3k+l)xg+3>0,解得k>-|,

當kaib與ai3b共線時，有ka+b=X(a+3b)(XGR),

即ka+b=Xa+3Xb,

易知a與b不共線，所以$解得k=1,

U74，3

故實數k的取值范圍為(J,；)□(；,+8).

易錯警示求解此類題時常常會忽略兩向量a,b共線的情形,認為a-b>0與向量a,b的夾角

為銳角是等價的.設兩個非零向量a與b的夾角為0,當0=0。時,cos0=l,a-b=|a||b|;當0為銳

角時,cos0>0,ab>0且a,b#|a||b|;當0為直角時,cos0=0,a?b=0;當0為鈍角時,cos0<0,ab<0且

a-b/-|a||b|.

思想方法練

1.B如圖，由得4優由NN=NC得4N=；/C,

由C,RM三點共線，可得力=沆+(1-入)；砒入￡R),即護譏+牛存,

由N,P,B三點共線，可得據而+(1-口)；行(R￡R),即痔■(1下)翔,

(在，卜={

故3(A),解得2

(丁=5("丁

根據平面向量基至定理的唯一性建立方程組.

故N=ga+gb.

2.C;備，卷分別表示與法/同方向的單位向量，

.??以|需為鄰邊長的平行四邊形是菱形，故券+券所在直線為/BAC的三分線所

在直線，

???(魯+韻.芯=0,?,?NBAC的平分線與BC垂直，故AB二AC.

取BC的中點O,連接AO,則AO1BC,

由題意得I法一就|=|無|=20,|方+布=2|而|=6立，

，|而|=3夜.

如圖，以O為坐標原點,BC所在育線為x軸,OA所在直線為y軸，建立平面百角坐標系，

則B(-0,O),C(V5,O),A(O,30),故而=(您,3夜).

設前=入函(0W公1),貝IJ辦(V5人,3加1),???D(V2X-V2,3V2^),

?\P5=(-V2X-3A/2X),^C=(2V2-V2X-3V2X),

APS-PC=-V2X(2A/2-V2X)+(-3V2X)(-3V2X)=20X2-4X,

建鑫利坐標it?B企i則數量積甚吃醫UH元三函數

思想.

當人-W時，麗反取得最小值，為T

ZX2U103

啖一

B0

思想方法一般運用方程思想解決平面向量中的線性運算問題，解題的關鍵在于設置變

量,然后利用已知條件或公式、定理構造方程（組）求解

一般運用函數思想解決平面向量中的最值問題，解題的關鍵在于設置變量，將所求用

變量表示H；來，構造關于變量的函數，函數一般為二次函數、反比例函數等.在利用函數性

質求解最值時，要注意變量的取值范圍.

3.D根據向量的數量積以及向量差的模為定值，畫出圖形，賦予止b］幾何意義，將數轉化為

畛由圖形特征求解,體現了數形結合思想.

令刀二c/r=4c,

因為lb-4c|=2,所以b的起點為點A,終點在以點C為圓心,2為半徑的圓上，

因為a-c=|c|=2,所以a在c上的投影向量的模為I,

所以a的起點為點A,終點在線段AB的垂直平分線1上，

所以|a-b|的最小值為a的終點與b的終點的距離的最小值,即線段DE最短時的長,易知當

D位于M處,E位于N處時，線段DE的長最短，所以|a-b|的最小值為5.

4.解析（1）當萬工而時,P為AD的中點,

易得△APQS/XCBQ,所以

Co（.pL

所以曲|AC=；港次）=；BA+；元

所以x=-1,y=1.

(2)根據圖形特點建立平面直角坐標叁怪形轉化為數盤過向量的坐標運算進行求解四分

體現了數形結合的思想.

v^^*^-^^^ww^*v?--^>^rfW>zww-?-^--^^wszvw^?szv^<-<^^w^wv\z^r^-?^.

根據題意畫出圖形，并建立如圖所示的平面直角坐標系，

則A(2,O),B(O,O),C(1,V3),

取AB的中點M,連接PM,則M(l,0)^+ra=2m

設P(x,y),x,y￡R,則麗=(1-x,-y),同=(1-x,V5-y),

貝|」(百+通)?京=2萬??左

=2[(l-x)(l-x)-y(V3-y)]

=2(x2+y2-2x-V3y+1)

■,).

=2(X-l)2+(^-y)-|,

故當x=l,y#時，(麗序2)?元取得最小值，且最小值為-?

思想方法數形結合思想作為一種重要的數學思想方法，在平面向量中有*重要的應用：

1.以數解形，化繁為簡.可以通過建立平面直角坐標系，利用向量的坐標運算解決幾何問題.

2.以形助數，化難為易.可以利用平面向量的幾何表示、三角形法則、平行四邊形法則和模

的幾何意義等將給出的向量在幾何圖形中表示出來，根據幾何圖形的相關知識，解決平面

向量的相關計算問題.

5.C畫出圖形，將不等式恒成立問題轉化為幾何圖形中的垂線段最短問題,體現了轉化與

化歸思想.

設布=充，如圖所示，

由|荏-布|=|方-而1=1而因前-布=|赤|恒成立，知AC±BC,

因為力8=(2m,m+5)/C=(cosa,sina),

所以前1=J5(〃什1)2+2O,|7C1=1,

所以區。=小力砰15(〃什1-+20-1,

易知當m=-l時,|比|取得最小值，為E.

6.B如圖，由對稱性得OB〃CD,連接AO,與CD交于點E,則E為AO,CD的中

點,AOJLOB,|^Q=|ED|=|,|O4|=3x^x|=6,|麗|二2xsin30°=1,

P的位置不確定，可以根據數量積的幾何意義將麗和的范圍問題轉化為萬在而上的投

影向量的模的范圍問鼠從而找到點P的臨界位置，體現了轉化與化歸思想.

過點P作直線OB的垂線，垂足為P,

則向量喬在向量退上的投影向量為方，

所以9?/=而?而1,

如圖，過點C作CC」OB,交OB的延長線于點C,過點D作DDUOB,交BO的延長線于

點D；

所以|麗

由圖可得|宓國灰汩麗|,其中萬心與瓦同向,。Z?與。5反向，

所以當點p位于點c的位置時，麗?/取得最大值，為攝

當點P位于點D的位置時，麗?刀取得最小值，為V，

所以麗?萬的取值范圍是［-W.

思想方法在向量問題中，常通過平面向量基本定理將待求向量轉化為己知向量的和或

差;在研究圖形問題時,有時可通過畫出圖形，轉化為圖形中線段的長度問題;在求數量積時,

有時可根據其幾何意義轉化為求投影向量的模問題;等等.這都是轉化與化歸思想在向量

問題中的應用.

7.A建立如圖所示的平面直角坐標系，令AB=1,

則A(O,O),B(1,O),D(O,1),

??,AE=AD+DE=AD^AB,

：.7?-市+卜L7S=(九-Q割+U25-Q-N)(1,0)+R(0,1)=Q-內N),

動點P的位置不確定遹要對P的位置分類討論/本現了分類討論思想.

動點P從點A出發,沿正方形的邊按逆時針方向運動一周回到A點，

當PWAEL時.gX-超1且g=O,/.O<X<l,/.X+ge[OJ];

當EWBC時入--1且0WH1,則X=!i+UAl<X<2,.,.X+nG[i,3]；

當PWCD.時,。。-"1且產1,則必入令+1,；?l<X<2,.,.X+p