人教版高中數學必修2考點訓練：復數的四則運算（解析版）

7.2復數的四則運算

【考點梳理】

考點一：復數加減法的代數運算

考點二：復數加減法的幾何意義

考點三：復數代數形式的乘法除法運算

考點四：復數的和乘方

考點五：復數范圍內解方程

考點六：共枕復數問題

考點七：復數的綜合問題

【知識梳理】

知識點一復數加法與減法的運算法則

1.設Z|=〃+歷，Z2=c+c/i(a,b,c,d￡R)是任意兩個復數，貝U

(I)zi+22=(a+c)+(6+i/)i；(2)zi-&=(4-c)+S-d)i.

2.對任意Nl，Z2，Z3WC,有

(1)Z\+z2=Z2+zi；(2)(z)+Z2)+Z3=Z1+(22+23).

知識點二復數加減法的幾何意義

如圖，設復數Z1,Z2對應向量分別為々1,(五2，四邊形OZ|ZZ2為平行四邊形，向量應與復數0土交對應，向量ZZ

與復數力一22對應.

知識點三復數乘法的運算法則和運算律

1.復數的乘法法則

設Ni=a+/>i,Z2=c+di(a,b,<?>d￡R)是任意兩個復數，則z「Z2=S+/?i)m+di)=(ac-乩7)+34+是，)i.

2.復數乘法的運算律

對任意且數Zl，Z2，Z3UC,有

交換律ZlZ2=*.

結合律(Z|Z2)23=Z|(Z2=3)

乘法對加法的分配律Z1⑵+Z?)=Z[Z2+Z|Z3

知識點四復數除法的法則

設zi=〃+/?i,Z2=c+di(a,b,c,d￡R,且c+"i#O)是任意兩個復數，則2|="+”=。：+邛+〃："?i(c+di#()).

Z2cIdic7IcrcIa

1

【題型歸納】

題型一：復數加減法的代數運算

1.(2324高一下?廣東湛江?期末)若z—3i=3+i,則|z|=()

A.3B.而C.5D.V10

【答案】C

【分析】根據題意求得z=3+4i,進而求模長.

【詳解】因為z—3i=3+i,則z=3+i+3i=3+4i,

所以|z|=J32+4〃=5.

故選：C.

2.(2425高一下?全國)計算：

(l)(-2+3i)+(5-i)；

(2)^—1+>/^)+(1+)；

(3)(a+bi)-(2"3bi)—3i(a,beR).

【答案】(l)3+2i

(2)2x/2i

(3)-a+(4/?-3)i

【分析】(1)利用復數的加法運算可得答案；

(2)利用復數的加法運算可得答案：

(3)利用復數的減法運算可得答案.

【詳解】(1)(-2+3i)+(5-i)=(-2+5)+(3-l)i=3+2i；

(2)(-1+V2i)+(1+V2i)=(-1+1)+(V2+揚i=2歷；

(3)(a+bi)-(2a-3bi)-3i=(a-2a)+(b+3h-3)i=-a+(4b-3)i.

3.(23-24高一下?全國?課堂例題)計算：

(l)(3x/2-2i)-(-V2+3i)+(4x/2+3i)；

⑵(3及-4i)-16+2i)；

⑶(8-2i)-(-7+5i)+(35+7i).

【答案】(1)8拒-2i

2

(2)4x/5-6i

(3)15+36

【分析】根據題意由復數的加減法運算法則，代入計算，即可得到結果.

【詳解】(1)(3V2-2i)-(-x/2+3i)4-(4/2+3i)=(+叫《-2-3+)i=『2-2；

(2)(3百—4i卜(-6+2i)=(3正+S卜㈠-2)=4「6i；

(3)(8-2i)-(-7+5i)+(3^+7i)=8+7+33卜卜2—5+7)=15+3歲.

題型二：復數加減法的幾何意義

4.(2324高一下?河南南陽?期末)已知復數百，z?滿足,|=2同卜2正，且Zz=3+4i,則R+Zzb()

A.x/5B.2亞C.5D.5A/2

【答案】C

【分析】利用復數的幾何意義，把復數和平面向量建立一一對應關系，再利用向量的模長加減運算數形結合求解即

可.

【詳解】設5對應的復數為4，礪對應的復數為？2，

則方+而對應的復數為ZI+Zz，8一礪對應的復數為Z1-Z2，

因為目=2石卜卜。，且歸—2|=5,由勾股定理逆定理知道，

作長方形AO6C，如圖所示，

則dA+OB=OC對應的復數為4+z?,故|z,+z,|=|de|=|府卜5.

故選：C.

5.(22-23高一下?江蘇常州?期末)已知卬Z2「C,%|=團=1,|馬+々|=6,則＜-2|=()

A.0B.1C.V2D.石

【答案】B

3

【分析】根據復數加減運算的幾何意義運算求解.

【詳解】在復平面中，設不Z?分別與向量對應,

▼▼▼▼*>rx▼▼-XX

|oz,|=|(?z|=i,

由題意可得2|OZ,+OZ2|=V3,

'Wipe/、

因為"Z1+OZ21+|OZ/OZ21=2(|7Z1[+|?Z2|1,

即3+|^+,解得卜4—ozj=

1,gp|z1-Z2|=l.

故選：B.

6.(22.23高一下?河南鄭州)復數6+5i與-3+4i分別表示向量方與麗，則表示向量0的復數為()

A.3+9iB.2+8iC.-9-iD.9+i

【答案】D

【分析】根據0=a-礪及向量的復數表示，運算得到答案.

【詳解】復數6+5i與-3+4i分別表示向量勿與方,

因為項=方-麗，所以表示向量曲的復數為(6+5i)-(-3+4i)=9+i.

故選：D.

題型三：復數代數形式的乘法除法運算

7.(24-25高一下?全國?單元測試)計算：

⑵(4卡(6+叫+(7+產)(4-至).

【答案】⑴—2+i

⑵47-39i

【分析】利用復數的乘法、乘方及除法運算求解即得.

【詳解】⑴端+周二等+目%i(l+噌加=_l+i+㈠產…

(2)原式=(4-i)(6-2i)+(7-i)(4-3i)=22-14i+25-25i=47-39i.

8.(2425高一下?全國?課堂例題)計算:

4+4i

⑵(2-i)2,

【答案】(1)1

428.

v(27)----2-5-十—251

4

【分析】(1)根據復數的除法和乘法運算可得結果.

(2)根據亞數的除法和乘法運算可得結果.

【詳解」(1)因為占=

1-1(1-1)(1+1)2

所以借

i8=l.

4+4i_4+4i_(4+4i)(3+4i)-4+28i_428.

(2)(2-i>-3-4i―(3-4i)(3+4i)-25一3十三，

9.(23-24高一下?黑龍江雞西?期中)計算

(l)5i-[(3+4i)-(-l+3i)]⑵(1二川+21(3)(2-i)2.

【答案】⑴-4+4i

(2)2-i

(3)3-4i

【分析】(1)根據復數的加減法法則求解；

(2)根據復數的乘除法法則求解；

(3)根據復數的乘法法則求解.

【詳解】(1)5i-[(3+4i)-(-l+3i)]=5i-(3+4i)+(-l+3i)=5i—3—4i—l+3i=-4+4i；

⑵(I)(l+2i)=『i)2(l+2i)「2i0+2i)二川+2i)=2.i

1+i(l+i)(l-i)2

(3)(2-i)2=4-4i+i2=3-4i.

題型四：復數的乘方

10.(24-25高一下?全國?單元測試)已知z=-/,則”+z、+l的值為()

A.iB.-iC.1+iD.1-i

【答案】B

【分析】先計算Zz,再由耗的運算求解即可.

【詳解】因為(l—i)2=l—2i+i2=—2i,所以0-0-T

2

所以ZH：O+Z54)+l=(z21+(z2)"+l=(—i)S<>+(—i)”+l=iS°—i2S+l=i2—i+l=—i

故選：B

2j2023

11.(24-25高一下?全國?期中)在復平面內，復數三一(i為虛數單位)對應的點在()

l+2i

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

5

【答案】C

【分析】根據復數的四則運算及幾何意義直接可得解.

2產2（-i）-2i（l-2i）-4-2i42.

【詳解】因為用［=號=訴"---------=----------1

1+455

所以復數對應的點是-,在第三象限，

故選：C.

12.（23-24高一下?江蘇無錫?階段練習）已知復數2=二一（i是虛數單位），則z在復平面內對應的點位于（）

l+2i

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

【答案】D

I2

【分析】利用復數乘方，除法法則化簡得到N=k-ti,從而確定所在象限.

JJ

i2024i506"1l-2il-2i12.

【詳解1z=------=-------=-------=-------=-------------------=-------=-------1

l+2il+2i\+2\1+2i（l+2i）（l-2i）1+455,

故z在復平面內對應的點坐標為忤位于第四象限.

故選：D

題型五：復數范圍內解方程

13.（23-24高一下?吉林?期中）已知復數4+3i是關于x的一元二次方程/+加丫+25=0（〃?€1＜）的一個根，則加=（）

A.-8B.-4C.4D.8

【答案】A

【分析】根據已知條件，復數4+3i和4-3i是關于x的一元二次方程—++25=0（〃?wR）的兩個根，結合方程的

根與系數關系即可求解.

【詳解】復數4+3i是關于x的一元二次方程/+必+25=0（〃?62的一個根，

則方程的另一根為4-3i,

故4+3i+4-3i=-〃？，解得〃?二一8.

故選：A.

14.（23-24高一下?上海黃浦?期末）已知2+i（i是虛數單位）是實系數一元二次方程/+px+夕=0的一個根，那

么p,q的值分別是（）.

A.p=-4,q=5B.p=-4,g=3

C.p=4,g=5D.p=4,q=3

6

【答案】A

【分析】將2+i代入方程，即可求解.

【詳解】由題意可知，（2+i『+p（2+i）+q=0,

則3+2p+g+(4+p)i=0,

[3+2p+（7=O,

即4c，得〃=-4,夕=5.

[4+”=0

故選：A

15.（23-24高一下?河南安陽）已知p,g為實數，2i—3是關于x的方程2/+川+夕=0的一個根，則P+4的值為（）

A.14B.-14C.38D.一38

【答案】C

【分析】把根代入方程，利用復數相等可求答案.

[詳解】由題意2（2i_3『+p（2i_3）+9=0,即（2p—24）i+10_3〃+g=0,

2〃—24=0|D=12

10—3p+q=0=0'解得|g=26所以p+g=38.

故選：C

題型六：共挽復數問題

16.（23-24高一下?內蒙古）若z=（|G-i|+i）（l+i3）,則z的共輯復數為（）

A.3+iB.3—iC.1+3iD.1—3i

【答案】A

【分析】計算出|道-i|=2,利用復數乘法法則計算出z=3-i,利用共挽復數的定義得到答案.

【詳解】2-i卜^/^R=2,

ttz=（2+i）（l+i3）=（2+i）（l-i）=2-2i+i-i2=3-i,；=3+i.

故選：A

17.（23-24高一下?廣東惠州?階段練習）若復數z=-2+i,則復數一■；在復平面所對應的點在（）

zz-5

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

【答案】B

【分析】設z=-2+i,則彳=-2-"代入三，利用復數的乘除計算即可.

zz3

7

【詳解】解：設z=-2+i,則5=-2—i,

2_-2-4-i_2+￡__1+

zz-3"(-2+i)(-2-i)-3-2'+*

???復數三在復平面內對應的點(T，：］在第二象限.

zz-3I2J

故選：B.

18.(23-24高一下?甘肅臨夏?期末)若復數z=-'+且"共規復數為彳，則行二()

22

A.-1B.—iC.1D.i

【答案】C

【分析】先求出其共攏及數為彳，然后由復數的乘法運算求解即可.

【詳解】復數z=」+且i,則其共粗復數為彳=一_!■一立i,

故答案為：C

題型七：復數的綜合問題

19.(23-24高一下?安徽黃山?期中)已知復數z=i2so+(l—i)2(其中1為虛數單位)，若復數z的共軌復數為之，且

z?Z)=4+3i.

⑴求復數相

(2)求復數Z|；

(3)若馬是關于x的方程/-川+9二。的一個根，求實數p,的值，并求出方程F-px+夕=0的另一個復數根.

【答案】(l*=l+2i

(2)4=2-i

(3)P=4,q=5,另一根為2+i

【分析】(1)化簡復數z,再根據共匏復數的概念求解；

(2)根據復數的除法的運算求解：

(3)將4=2-1代入方程/—川+夕=0運算求出〃〃代回方程求解

【詳解】(1)z=i2020+(l-i)2=i4-2i=l-2i，

所以復數z的共扼復數為1=i+2i.

(2)因為z?Z1=4+3i，

8

4+3i（l-2i）（4+3i）.

所以一幣？="對兩=丁=2T

所以4=2一二

（3）若Z[=2-i是關于x的方程一一px+g=o的一個根，則（2-i）~-〃（2—i）+q=0,

即（p_4）i+3-2p+q=0,

3-2p+g=0,

所以，

/_4_0,

解得：〃=4,g=5,

則Y7+5=0,BP（x-2）2=i2,

所以方程另一根為2+i.

20.（23-24高一下?河北?期中）在復平面內復數4=1-i,z,=2+3i.其所對應的點為下,Z2,。為坐標原點，i是

虛數單位.

⑴求卒2與?運；

（2）當。為何值時，關于x的二次方程/一的“-4+1）》-仁-2。=0有一個實根.

【答案】⑴zR2=5+i,OZ.OZ^-X

⑵。=E+€Z）

【分析】（1）根據條件，利用復數的運算，即可求出2尼；再利用復數的幾何意義，得無L（I,-1）,區=（2,3）,

即可求解；

（2）設%是方程的一個實根，利用復數相等，得到二匕?./一2二°,即可求解.

x0+1=0

【詳解】（1）因為z=l-i,z2=2+3i,

所以卒2=（l-i）（2+3i）=2+3i-2i-3f=5+i,又以（1,-1）乂2（2,3）,

得到應i=（l,—1）,西=（2,3）,所以鬲?西=1x2+（—1卜3=-1.

（2）設瓦是方程的一個實根，則x：-（tane+i）%—（i+2）=0.

根據復數相等的意義知:二，「2:。

9

7[.、

解得：/=-1，tan^=1,0=kn+—(kGZ).

4

所以，當。=E+：(kwZ)時，原方程有一實根%=7.

21.(24?25高一下?全國)已知復數N=l+〃?i(i是虛數單位，相wR),且彳-(3+i)為純虛數(彳是z的共掘復數).

⑴設兔數4=；心，求㈤；

1—1

?XP1

(2)設更數分==二，且復數Z2在復平面內所對應的點在第一象限，求實數。的取值范圍.

Z

【答案】(1)|4|=孚

⑵停-8)

【分析】(1)化簡=(3+i),由其為純虛數求出〃7的值，將〃7代入馬=與絲化簡，從而可求出其模；

1-1

Z,_；2O2I

(2)將N=l-3i代入Z2="」化簡，再由復數Z2在復平面內所對應的點在第一象限，列不等式組可求出實數a

Z

的取值范圍.

【詳解】(1)z-1+m\t：.,

/.z(3+i)=(1-wi)(3+i)=(3+w)+(l-3m)\.

又?.VT3+i)為純虛數，

3+m=0

解得m=-3,

1一3〃？工0

—_3+2i_(—3+2i)(l+i)_-5-i51.

所以「1-i~(l-i)(l+i)~2------1

22

(2)由(1)知z=l-3i,

a-\("i)(l+3i)(〃+3)+(3a—l)i

-l-3i-(l-3i)(l+3i)-10,

又。??復數馬在復平面內所對應的點在第?象限,

a+3>0解得a>[,

3。一1>0

即實數。的取值范闈是I：,+8

【高分演練】

一、單選題

22.(24-25高一下?全國?單元測試)復數z=￡工(i為虛數單位)的虛部為()

1+1

10

A.1B.-1C.±1D.0

【答案】B

【分析】由復數的除法運算和虛部的概念即可求解：

【詳解】因為z=答=（，）；（＞?=2^1=_]_i,

所以復數z的虛部為-1.

故選：B

23.（2D25?廣東廣州?模擬預測）已知復數z在復平面內對應的點的坐標是（1,-2）,則運=（）

A.l+2iB.l-2iC.2+iD.-2+i

【答案】D

【分析】根據復數的乘法以及共規復數的定義，可得答案.

【詳解】由題意可得z=l-2i,則i：=i（l+2i）=-2+i.

故選：D.

24.（24-25高一下?全國?課后作業）復數（l+2i）-（3-旬在復平面內對應的點在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】B

【分析1利用復數的四則運算化簡，利用復數的幾何意義即可得解.

【詳解】由史數（l+2i）-（3-4i）=-2+6i,

可得其在復平面內對?應的點為（-2,6）,位于第二象限.

故選：B.

25.（24-25高三下?江西九江?階段練習）若2+i（i為虛數單位）是關于x方程/+G+方=0（。/eR）的一個根，則

b=（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】D

【分析】將x=2+i代入方程，利用復數的運算法則和復數相等的概念求解即叱

【詳解】因為2+i是關于x方程/+3+/,=（）的一個根，

所以（2+if+a（2+i）+b=0,整理得3+2a+6+（4+q）i=0,

3+2a+b=Qa=-4

所以〕4+…，解得

b=5'

故選：D

II

26.（23-24高一下?安徽黃山?期中）若復數z=〃?+l+（〃Ll）iW€Zj的共枕復數[對應的點在第一象限，則加的值

為（）

A.-1B.0C.iD.±1

【答案】B

【分析】由共貌更數的定義求出口再根據更數的幾何意義求解.

【詳解】由題，z=w+i-（w-l）i,三對應的點在第一象限，

[/?+1＞0,

則,C，可得一＜，”＜】，又加為整數，所以6=0.

[/7Z-1＜0

故選:B.

27.（24-25高一下?全國?課后作業）已知復數4=5-2024匕z2=2023+2ai（〃eR）,若z+與所對應的點在實軸上,

則。的值為（）

A.1010B.1011C.1012D.1013

【答案】C

【分析】利用復數對應點的性質求解即可.

【詳解】因為復數馬=5-2024i,z2=2023+2ai,

所以4+z?=5-2024i+2023+1i=2028+（2a-2024）i,

因為472所對應的點在實軸上,所以2"2024=0,

解得。=1012,故C正確.

故選：C

28.（23-24高一下?江蘇無錫?期末）已知i為虛數單位，則下列結論正確的是（）

A.i+i3+『+i，是純虛數

B.若z（l+i）=2,則z是方程x2_x+l=0的一個復數根

C.若zeC,則‘[二|z『

D.若第數z滿足1＜因＜2,則復數z在復平面內對應的點所構成的圖形面枳為兀

【答案】C

【分析】根據虛數i運算法則和復數的分類，可判定A錯誤；根據復數的運算法則，可判定B錯誤；根據復數模的

計算公式，可判定C正確；根據復數的幾何意義，結合圓的面積公式，可判定D正確.

【詳解】對于A中，由i+i3+i5+i7=iT+i—i=0,不是純虛數，所以A不正確；

12

/、2（1）

對于B中，由z（l+i）=2,可得z==1-

因為(I-"-(l-i)+l=-2i-l+i+l=-i^0,

所以z不是方程Y—X+]=()的一個復根，所以B不正確：

對于C中，設復數z=a+bi,(a,6eR),可得z?+2Mi，

所以FbJd-萬丫+(%=,

又由|z『=("77p')2=/+匕所以忖2=,,所以c正確;

對于D中，設z=x+yi,（x/wR）,由1（忖<2,可得

所以復數z在復平面內對應的點構成的圖形為一個圓環，

其中小圓的半徑為1,大圓的半徑為2,其面積為S=TTX22-兀乂12=3兀，所以D錯誤.

故選：C.

29.(23-24高一下?云南昆明?期木)在復平面內，復數(3~41)1

(】為虛數單位)的共規復數是()

3+4i

247.247.247.247.

A.------1B.——十—1C.----一1D.—+—1

2525252525252525

【答案】A

【分析】根據復數的四則運算求解.

（3-4i）i_4+3i_（44-3i）（3-4i）_247

【詳解】由題意可得:

3+4i-3+4i-（3+4i）（3-4i）~25~~25

故選：A.

30.(23-24高二下?湖南邵陽?期末)已知復數z=8i2024+6i(i為虛數單位)，則慟二()

A.8B.9C.10D.100

【答案】C

【分析】先得到z,從而求得|z|.

【詳解】z=8i2024+6i=8xl+6i=8+6i,所以目=+6?=10,

故選：C.

31.(23-24高一下?湖北武漢?期中)復數機(3+i)-(l+i)在復平面內對應的點在第四象限，則實數〃?的取值范圍是

()

13

25,

C.—<ni<—D.m>\

36

【答案】A

【分析1將復數化為一般形式,，利用復數的幾何意義可得出關于實數〃?的不等式組，由此可解得實數機的取值范圍.

【詳解】復數“（3+i）-（l+i）=（3m-l）+（〃?-l）i,

由此復數在復平面內對應的點在第四象限，有?八，解得:<加<1.

〃7-1<（）3

故選：A

二、多選題

2

32.（24-25高一下?全國?課后作業）下列關于復:數2=三的四個命題，其中為真命題的是（）

1-1

A.|z|=2B.z2=2i

C.z的共物復數為1-iD.z的虛部為-1

【答案】BC

【分析】算出z=l+i,根據復數的基本概念即可判斷答案.

z=2=20+i)

【詳解】

1-i(l-i)(l+i)

/.|21=72,z?=2i，z的共視復數為1-i,z的虛部為1.

故選：BC.

33.（24-25高三上?甘肅白銀?期末）已知兩個復數4尼滿足zE=i,且則下面選項正確的是（）

1+i

A.z=---

22

C.歸+Z2,2

D.z1z2=-i

【答案】BD

【分析】根據復數的運算法則，模長的計算，以及共拆復數的求解，對每個選項進行逐一分析，即可判斷和選擇.

,iii(l+i)1li11.

【詳解】對A：4=二17rmi淌^十二一廣”故A錯誤;

區|=&m2卜率，卜』=看,故B正確;

對B：

,.11.11.故k+z21=等<2,故C錯誤;

對C：3.+Z,=1-1——+—1=-----------1，

1~2222

"=(l+i)(TTAA#=-i,故D正確;

對D：

故選：BD.

14

34.34高一下?安徽黃山?期中）已知復數”詈（i是虛數單位），則下列結論正確的是（）

A.更數z的虛部等于-2iB.ZZ=yf5

C.z+z=-2D.若〃是實數，Z+Q是純虛數，貝Ija=l

【答案】CD

【分析】先化簡復數z,然后根據復數的虛部概念，純虛數，共挽復數，及復數的運算逐項判定，即可求解.

l-3i(l-i)(「3i)

【詳解】由題意，復數z=百

(1-i)(l+i)

對于A項：z=-l-2i,所以復數z的虛部等于一2,故A錯誤；

對于B項：zz=|z|2=5,故B錯誤：

對于C項：z+z=（-l-2i）+（-l+2i）=-2,故C正確；

對于D項：因為z+a是純虛數且。是實數，即a-1-2i為純虛數，所以。-1=0,解得a=l,故D正確.

故選：CD.

35.（23-24高一下?江蘇無錫?期中）已知不z?為復數，有以下四個命題，其中真命題的序號是（）

A.若歸設1,則-B.若㈤+田=0,則.=Z2=0

C.上囚二㈤㈤D.若4>?2，貝I”—>。

【答案】BCD

【分析】利用復數的意義判斷AD：由模的計算判斷BC.

【詳解】對于A,4是復數，如z=i,由不全是實數的兩個復數不能比較大小，A錯誤:

設4=a+bi,z2=c+di,a,b,c,deR,

對于B：由㈤+卜|=0,得，/+4+&2+笛=。,則/+〃=042+/二。，

因此a=6=C="=0,Z|=z2=0,B正確；

22

對于C,z(z2=(a+b\)(c+di)=ac-bd-i-(bc+ad)i,|Z]z21=yj(ac-bd]+(bc+ad)

2:2222222222

=\lac+hd+hc+ad=+h)(?+J)=6+b。?+d=\z,||z2|,C正確；

對于D,由々AZ2,得馬/2都是實數，因此馬-Z2>0,D正確.

故選：BCD

36.(24-25高三上?云南德宏?階段練習)設々，Z2為復數，則下列說法中正確的有()

A.若Z1=a+bi,z2=c+d'\,其中a,h,c,JGR,且a>c,h>d,則4>z?

15

B.若〃?2-3〃？+2+(陽2-l)i(w€R)為純虛數，貝h〃=2

C.若關于x的方程x2+px+g=0,P,qwR的一個虛根為2i-l,則〃+9=-5

D.若4=7+2i,z2=3+4i,則復數4-Z2在復平面內對應的點位于第三象限

【答案】BD

【分析】對于A：根據復數不能比較大小即可判斷：對于B：根據純虛數的概念列式求解；對于C：可知另一個虛

根為-2i-l,利用韋達定理運算求解：對于D：可得z-Z2=-4-2i,結合復數的幾何意義分析判斷.

【詳解】對于選項A：因為可知馬，Z2不可能均為實數，故不能比較大小，故A錯誤；

對于選項B：若〃/-3m+2+(〃/一1卜(WeR)為純虛數，

2

則”=，解得加=2,故B正確；

"一1/0

對于選項C：若關于X的方程x2+px+q=o,p,gwR的一個虛根為2i-l,

則另一個虛根為-2i-l,

一

p=(2i-l)+(-2i-l)=-2所以

可得^(2i-l)(-2i-l)J，i"故C錯誤;

對于選項D：若馬二-1+21,z2=3+4i,jjll|z,-z2=-4-2i,

復數4-4在復平面內對應的點為(-4,-2),位于第三象限，故D正確;

故選：BD.

三、填空題

37.(24-25高一下?全國?課后作業)若|z|=7^,且z-2+4i為純虛數，則復數z=

[答案】2±i

【分析】設z=x+yi(X,.veR),然后根據題意列方程組可求出工,丁，從而可求出行數z.

【詳解】設復數z=x+.yi(x,jeR),則z-2+4i=(v-2)+(j+4)i.

x-2=0,

由題意知，歹+4/0,二z=2±i

4/二5,

故答案為：2土i

38.(24-25高一下?全國?課后作業)已知復數z=S-l)i+(〃i]+l,aeR,若N+方＞0,則實數6的取值范圍

16

為?

【答案】(0，+8)

?f2ZX

【分析】根據復數的加法運算結合復數的概念可得+「:>,運算求解即可.

4-1=0

【詳解】由題意可得:z=(a-l)i+(^i)2+l=l-a2+(a-l)i,

因為z心1+―2+g_]”o,可得產?一了0,解得

[”1=0也>0

所以實數6的取值范圍為(0,+8).

故答案為：(。,+8).

39.(24-25高一?上海?課堂例題)若關于x的方程/+(4+2i)x+2+Zd=0有實根，則實數〃的值為.

【答案】-2及或2及

【分析】根據發數相等的定義求解.

【詳解】設原方程的實根為%,則x；+(A+2i)Xo+2+Ai=O,即*+5+2+(2/+〃)i=0,

片+4+2=0

所以,,解得或

〃二2及

2xo+k=Ok=-141

故答案為：-26或2五.

40.(24-25高三上?江蘇無錫?階段練習)宣平面上兩個點4,4分別對應兩個復數馬，z2,它們滿足下列兩個條件:

①Z2=z「2i：②兩點4，Z2連線的中點對應的復數為-l+3i,若。為坐標原點，則△ZQZ?的面枳為.

【答案】8

【分析】令4(/%〃)，Z2(a,b),且aeR,結合條件求參數，進而確定函，區的位置關系及模長，即可求

△ZQZ2的面積.

【詳解】令4(〃?,〃)，Z2(a,b),且a,瓦“mcR,

a=一2〃

由Z2=z_2i,則a+bi=(機+“i)-2i,即“+歷=-2〃+2加,故，b=2m①'

a+m.

--7--="?,)

由兩點4，Z,連線的中點對應的復數為—l+3i,則入/,即La+m=A-2②_,

b+n-n+n=6

----=3

2

17

a==2

聯立①②，可得（二，且｛二，即誣=（2,2）,衣=（-4,4）,

D=4[n=2v7、

由該?返=-4x2+4x2=0,即西_L西，故△ZQZ?為直角三角形,

又|西卜2夜，場司=4拉，故△ZOZ2的面積為:x4《x2近=8.

故答案為：8

四、解答題

2

41.（24-25高一下?全國?單元測試）（1）計算：-2"+悟]+（4-8ip-（-4j-8i）；

1+261<1+1）H框

（2）已知z=l+i,求Z=3Z+6的模.

z+1

【答案】（1）0;（2）血.

【分析】根據復數代數形式的乘除運算以及乘方運算法則計算，結合模長定義即可解.

「）-|1009

【詳解】（1）原式=里上~----'—°[-）（~/=------——i+（-產+o=o.

l+2V3iU+UVll-V7i

/r、z2—3z+6（1+i）2—3（1+i）+63—i..

z+12+i2+i

.?.zf+6的模為

z+1

42.（24-25高一下?全國?單元測試）已知MGR,復數z=（/n-2）+（加2-9）i.

（1）若z對應的點在第一象限，求機的取值范圍；

（2）若Z的共枕復數5與復數a+5i相等,求，〃的值.

m

【答案】（1）｛間加>3｝

⑵機=-2

【分析】（1）由實部虛部均大于0,聯立關于〃?的不等式組即可求解；

（2）寫出z的共規復數，再由復數亍與復數色+5i的實部與虛部相等，列方程組求解加的值.

tn

（〃?一2>0

【詳解】（1）由題意得2c八，解得力>3,

\m"-9>0

所以〃?的取值范圍是｛〃？〃?>3｝.

（2）因為2=為-2）+（4―9],

所以亍=胴-2+（9-〃/）i,

18

Q

因為彳與復數a+5i相等，

ni

r8

m—L———

所以<in?解得小=-2.

9-m2=5

43.(24-25高一下?上海?單元測試)設z+1為關于x的方程/+蛆+〃=0(〃?,〃￡1<)的虛根，i為虛數單位.

⑴當復數N=-l+i時，求〃7,〃的值：

(2)若〃=1,在復平面上，設復數z所對應的點為P,復數2+4i所對應的點為Q,試求|「。|的取值范圍.

【答案】(1)〃?=0，n=1

⑵[4,6]

【分析1(1)由題意可知：方程/+〃d+〃=0的兩根分別為：i,-i,結合韋達定理分析求解；

(2)設2=4+人(4乃eR),利用韋達定理可得(4+1)2+/=1,設G=-1+COS。，6=sin。，。目0,2花)，根據兩點

間距離公式結合三角函數的最值分析求解.

【詳解】(1)當z=—l+i時，貝ljz+l=i,

可得方程/+必+〃=()的兩根分別為：i,-i,

[i+(-i)=-m

則｛./.、，解得〃7=0,〃=1.

1-(-1)=/?

(2)當〃=1時，方程為f