專項(xiàng)復(fù)習(xí)：平面與平面平行

8.5.3平面與平面平行

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.借助長(zhǎng)方體，通過(guò)直觀感知，/解空間中平面與平面的平行關(guān)系，理解并掌握平面與平面平

行的判定定理.2.理解并掌握平面與平面平行的性質(zhì)定理.

一、平面與平面平行的判定定理

問(wèn)題1如圖(1),。和匕分別是矩形硬紙片的兩條對(duì)邊所在直線，它們都和桌面平行，那么硬紙片和桌面

平行嗎？如圖(2),c和“分別是三角尺相鄰兩邊所在直線，它們都和桌面平行，那么三角尺和桌面平行

嗎？該如何判定平面與平面平行呢？

知識(shí)梳理平面與平面平行的判定定理

如果一個(gè)平面內(nèi)的___________與另一個(gè)平面平行，那么這兩

文字語(yǔ)言

個(gè)平面平行

au仇____________

符號(hào)語(yǔ)言

,b//aj

圖形語(yǔ)言

Ld

簡(jiǎn)記線面平行，則面面平行

例1(1)已知機(jī)，〃是兩條直線，a,4是兩個(gè)平面，有以下三個(gè)命題：

①〃相交且都在平面a,“外，/〃〃夕，鹿〃a,〃〃夕，則a〃￡；

②若w〃a,〃夕，貝ija〃1；

③若〃〃夕，/“〃〃，貝ija〃夕.

其中正確命題的個(gè)數(shù)是()

A.OB.1

C.2D.3

(2)如青，在正方體A8CD?A|BiGDi中,M，E,F,N分別是4囪，BC,GA，54的中點(diǎn)

D

求證：①￡F,。，A四點(diǎn)共面;

②平面M4N〃平面EFDB.

反思感悟平面與平面平行的判定方法

①定義法：兩個(gè)平面沒有公共點(diǎn).

②判定定理：一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線分別平行于另一個(gè)平面.

③利用平行平面的傳遞性：若a〃氏p//yf則a〃y.

④借功面面平行判定定理的推論，轉(zhuǎn)化為線線平行的證明.

跟蹤訓(xùn)練I如圖，在四棱錐A4AC。中，AB//CD,E,F,G分別是PC,PD,的中點(diǎn)，求證:

平面〃平面EFG.

二、平面與平面平行的性質(zhì)定理

問(wèn)題2若兩平面a與夕平行，那么平面Q內(nèi)的宜線。與平面”有何位置關(guān)系？平面。內(nèi)的直線。與平面夕

內(nèi)的任一直線〃有何位置關(guān)系？何時(shí)。與〃平行？

問(wèn)題3通過(guò)問(wèn)題2,請(qǐng)歸納出從面面平行推出線線平行的結(jié)論，并進(jìn)行證明.

知識(shí)梳理兩個(gè)平面平行的性質(zhì)定理

兩個(gè)平面平行，如果另一個(gè)平面與這兩個(gè)平面相交，那么兩

文字語(yǔ)言

條交線__________

符號(hào)語(yǔ)言a//p,aC\y=a,0n尸b=______

圖形語(yǔ)言

簡(jiǎn)記面面平行，則線線平行

例2如圖，已知C。是夾在兩個(gè)平行平面如尸之間的線段，M,N分別為A8,。。的中點(diǎn).

求證：//a.

反思感悟應(yīng)用平面與平面平行性質(zhì)定理的基本步躲

'定翁件:審題看是否有平面與平面平行

找平面］~~?［找（或作）第三個(gè)平面與已知兩個(gè)平面相交

'定交線:-I確定一線的值一

、得隨得兩條交線互相平行

跟蹤訓(xùn)練2如圖，在三棱錐A4AC中，。，E,尸分別是尸4,PB,PC的中點(diǎn)，M是48上一點(diǎn)，連

接MC,N是與OE的交點(diǎn)，連接NP,求證：NF//CM.

三、平行關(guān)系的綜合應(yīng)用

例3如圖，在三棱柱A8C-AIC］中，E,F,G分別為EG，AS，A8的中點(diǎn).

⑴求證：平面4GG〃平面BEP；

(2)若平面AiGGA8c二〃，求證：〃為8c的中點(diǎn).

跟蹤訓(xùn)練3已知平面a〃6P是a,夕外一點(diǎn)，過(guò)尸點(diǎn)的兩條直線抬，PB分別交a于點(diǎn)A,B,交4

于點(diǎn)C,D,且PA=6,AC=9,48=8,則CO的長(zhǎng)為.

■課堂小結(jié)-------------------------------------------------------------------------------------

1.知識(shí)清單：

(1)平面與平面平行的判定定理.

(2)平而與平面平行的性質(zhì)定理.

(3)平行關(guān)系的綜合應(yīng)用.

2.方法歸納：轉(zhuǎn)化與化歸.

3.常見誤區(qū)：平面與平面平行的條件不充分.

?__隨___堂_-演...練..._._._.____________

1.已知m〃表示直線，?,尸，y表示平面，則下列推理正確的是()

A.an夕=a,Z?UQ=a〃/?

B.a//a,a//[i=^a//p

C.a〃4，b//p,aua,bua=a〃B

D.a〃人aDy=a,pC\尸b0a〃b

2.已知平面a,夕和直線〃z,〃，〃ua,則“/〃〃夕〃〃,8"是"a〃夕”的()

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

3.如圖所示，設(shè)E,F,Ei，R分別是長(zhǎng)方體A8CO-481GA的棱A8,CD,4囪，Gd的中點(diǎn)，則平

面EFDIAI與平面BCF\E\的位置關(guān)系是()

C.異面D.不確定

4.如圖所示，尸是△ABC所在平面外一點(diǎn)，平面a〃平面43C,。分別交線段HA,PB,尸。于點(diǎn)4,

B',C',若PA'：AA'=2：3,則S"B'C'=_________.

SRABC

p

答案精析

問(wèn)題I三角尺和桌面一定平行，硬紙片不一定平行.即如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平

行，那么這兩個(gè)平面平行.

知識(shí)梳理

兩條相交直線bu/SaC\h=Pa//a

例1(1)B

(2)證明①如圖，連接囪。|,

,:E,尸分別是邊5G,GDi的中點(diǎn),

:?EF〃B\D\.

而BD〃B\D\,

：,BD//EF.

F,。，〃四點(diǎn)共面.

②易知MN〃BiD\,BD〃BD,

又MMZ平面EFDB,

BQu千面EFDB,

???MN〃平面EFDB.連接MF,

IM,尸分別是48,GW的中點(diǎn),

???MF〃A|Oi,MF=AiDit

又AQi〃A。，A\D]=AD,

：.MF//ADtMF=AD,

???四邊形AOFM是平行四邊形，

：.AM//DF,

又AMQ平面EFDB,

DFuT面EFDB,

???AM〃平面EFDB.

AM,MNu平面MAN,

.??平面MAN〃平面EFDB.

跟蹤訓(xùn)練1證明?:E,G分別是PC,BC的中點(diǎn)，???EG〃P8,

又???E(8平面PAB,

PBu平面PAB,

???EG〃平面PAB,

VE,尸分別是尸C,尸。的中點(diǎn),

：.EF//CDy又???A8〃CO,

:,EF〃AB、

?:EFd平面PAB,ABu平面PA8,

尸〃平面PAB,

又EFCEG二E,

EF,EGu平面EFG,

???平面PA8〃平面EFG.

問(wèn)題2直線。與平面夕平行.直線。與平面夕內(nèi)的任一直線〃平行或異面.當(dāng)。與〃不異面，卻在同一個(gè)平

面內(nèi)時(shí)，。與/?平行.

問(wèn)題3歸納結(jié)論：兩個(gè)平面平行.如果另一個(gè)平面與這兩個(gè)平面相交，那么兩條交線平行.

證明如圖，平面。〃從平面y分別與平面。，￡相交于直線小b.

?「an尸a,

0n產(chǎn)b,

?.aua,

又a%

：?a,b沒有公共點(diǎn).

又a,b同在平面y內(nèi)，a//b.

知識(shí)梳理

平行a//b

例2證明若A8,。。在同一平面內(nèi)，則平面ABDC與a,4妁交線分別為8。，AC.

,:J.AC//BD.

VM,N分別為A8,8的中點(diǎn)，

又BDua,MNQa,：.MN//a.

若48,CO不在同一平面內(nèi)，如圖，過(guò)點(diǎn)A作AE〃C。交a于點(diǎn)石，取AE的中點(diǎn)P,連接仞P,PN,

BE,ED.

9：AE//CD,

：.AE.CO確定平面AEOC,且與a,￡的交線分別為EO,AC.

■:a/邛,：.ED//AC.

又P,N分別為AE,CD的中點(diǎn)，

：,PN//ED,又PNGa,EDua,

:.PN//a、

同理可得MP〃呢

又MPCPN=P,

MP,PNu平面MPN,

???平面MPN〃*

又MMz平面MPN,：.MN//a.

跟蹤訓(xùn)練2證明因?yàn)镈,E分別是PA,PB的中點(diǎn)，所以。E〃AB.又D助平面48C,48二平面A8C,

所以DE〃平面A8C,

同理D/7〃平面ABC,

且DECDF二D,

DE,DRz平面DEF,

所以平面DE尸〃平面ABC.

又平面PCMCI平面DEF=NF,

平面PCA/n平面ABC=