拋體運動規律【9大考點+9大題型】（解析版）-2025-2026學年高一物理下學期（人教版必修第二冊）

拋體運動規律19大考點+9大題型】

【考點歸納】

【知識歸納】

知識點一：平拋運動的定義和性質

1.定義：以一定的速度將物體拋出，物體只受重力作用的運動.

2.平拋運動：初速度沿任方向的拋體運動.

3.平拋運動的特點：(1)初速度沿水壬方向.(2)只受重大作用.

4.平拋運動的性質，加速度為g的勻變速曲線運動.

知識點二、平拋運動的研究方法及規律

1.研究方法：采用運動分解的方法,將平拋運動分解為醛直方向的自由落體運動和水平方向的勻速直線運動.

2.平拋運動的時間：由得尸空,可知平拋運動時間只與上＞高度有關，與初速度無關.

2。

3.平拋運動的速度：

(1)水平方向：VX=V()豎直方向：Vy=gL

大小：0=+冰=Jv6+g2f2

(2)合速度勿期

方向：tanO=—=—(0是9與水平方向的夾角)

Vxvo

(3)速度變化：任意兩個相等的時間間膈內速度的變化和恒l，Ao=g&,方向豎直向下,如圖所示.

4.平拋運動的位移:

(1)水平方向：X=VQ1,豎直方向：歹=/乙

(大小：s=J—+.

⑵合位移y

方向：tana=：(a是位移s與水平方向的夾角)

5.平拋運動的軌跡：由X=W，尸，2得尸梟2,為拋物線方程，其運動軌跡為拋物線.

知識點二；.平拋運動的兩個推論

(1)平拋運動某一時刻速度與水平方向夾角為仇位移與水平方向夾角為則tane=2tana.

證明：因為lan0=°=矍，tan?=-=—,所以tan8=2tana.

vovox2。。

⑵做平拋運動的物體在任意時刻瞬時速度的反向延長線一定通過此時水平位移的中點.

證明：如圖所示，尸點速度的反向延長線交04于4點.則。6=卬，AB=^-=-gt2--=^v()t.可見力8=1。8.

tan02gt22

2

知識點四、平拋運動與斜面的結合

在解答平拋運動與斜面的結合問題時除要運用平拋運動的位移和速度規律，還要充分運用斜面傾角，找出位移或速

度與斜面傾角的關系，從而使問題得到順利解決.常見的模型如下：

方法內容斜面總結

水平：4=%

分解速度，構建速度三

豎直：叫=gf

分解速度

合速度：0=］送+碇角形

水平：X=VQt

豎直：y=$2分解位移，構建位移三

分解位移

角形

合位移：s=5+產

知識點五、一般的拋體運動

1.定義：初速度沿斜向上或混同工方向的拋體運動.

2.性質：斜拋運動可以看成是水平方向的勻速直線運動和豎直方向的豎直上拋或豎直工地運動的合運動.

3.斜上拋運動在兩個分方向的運動規律：

水平方向：6=WjC0S_仇X=VQICOS0

2

豎直方向：vv=7；（）sin/7—.歹=7Msin〃——^/.

4.可利用逆向思維方法，把斜上拋運動到最高點問題轉換為平拋運動問題.

【題型歸納】

題型一：平拋運動的基本計算

【例1】.（24-25高一下?寧夏銀川?月考）投壺是從先秦延續至清末的一種中國傳統禮儀，在圖甲中，小孩將箭矢水

平拋出投入壺中，將箭矢視為質點，不計空氣阻力和壺的高度，簡化后如圖乙所示，箭矢從離地面高力=0.8m的力

點以初速度%=5m/s水平拋出，正好落在壺口8點，已知g=10m，s2,求:

甲乙

3

(1)箭矢運動的時間；

(2)箭矢運動的水平距離；

(3)箭矢在B點的速度大小和方向。

【答案】(l)0.4s

⑵2m

(3)am/s，方向斜向右下方與水平夾角tan6=0.8

【詳解】(1)箭矢水平拋出后做平拋運動，由人二；g/

解得30.4s

(2)箭矢水平方向做勻速直線運動，則有水平位移為x=%/=5x0.4m=2m

(3)箭矢豎直方向的速度為。=g/=10x0.4m/s=4m/s

箭矢在B點的速度大小為v=&+1;=，5,+4%1/s=>/4Tin/s

v4

方向與水平方向夾角為。斜向右下方，則tan0=,=、=O.8

【舉一反三】

1.(24-25高一下?新疆阿克蘇?期末)一個物體以3m/s的速度水平拋出，落地時的速度大小是5m/s,不計空氣阻力,

取g=10m/s2,則下列說法正確的是1)

A.物體落地的時間為0.5sB.落地時豎直方向的速度為4m/s

C.拋出點的高度為0.2mD.拋出點的高度為06m

【答案】B

【詳解】B.根據平拋運動規律，物體在水平方向做勻速直線運動，豎直方向做自由落體運動；落地速度大小

v=5m/s,其中均=3m/s,v=5m/s,g=1Om/s2,>

由落地速度大小為y=Jy；+*=5m/s

解得「二j25-9m/s=4m/s,故B正確：

A.豎言方向的速度大小為外=即

解得"0.4s,故A錯誤；

CD.下落時間"0.4s,則高度為力=；gJ=；xl0x(0.4)2m=0.8m,故CD錯誤。

故選B。

4

2.(25-26高三上?北京西城?月考)距地面高度為〃=20m的小球以％=10m/s的速度被水平拋出，g取助”收。求:

(1)小球在空中的飛行時間/；

(2)小球落地點距拋出點的水平距離x；

(3)落地時小球的速度v的大小和方向，

【答案】⑴2s

(2)20m

(3)10石m/s,方向斜向下，與水平方向夾角的正切值為2

【詳解】(1)小球做平拋運動，水平方向做勻速直線運動，豎直方向做自由落體運動，根據〃=；g尸

可得小球在空中的飛行時間/=2s

(2)根據工=即

解得小球落地點距拋出點的水平距離x=20m

(3)小球落地的豎直速度為%=即

解得20m/s

則落地時小球的速度v=屜+v；

解得】/=10x/？m/s

設此時速度與水平方向的夾角為則tan6=±=2

%

即方向斜向下，與水平方向夾角的正切值為2。

3.(25?26高一上?吉林?期末)如圖所示，一質量為6=O」Okg的小物塊以初速度%從粗糙水平桌面上某處開始運動,

經時間”0.3s后以速度v=3.0m/s飛離桌面，最終落在水平地面上。物塊與桌面間的動摩擦因數〃=0.2,桌面高

A=0.80m,不計空氣阻力，取重力加速度g=10m/s2。求：

(1)小物塊落地點距飛出點的水平距離x;

(2)小物塊落地時的速度大小M；

5

（3）小物塊的初速度％的大小。

【答案】（l）x=L2m

⑵M=5m/s

（3）%=3.6m/s

【詳解】（1）小物塊做平拋運動的時間為八，則豎直方向則有力

解得％=0.4s

故小物塊落地點距飛出點的水平距離為％=%=3.0x0.4m=1.2m

（2）小物塊落地時豎直方向的速度為。=g《=4.0m/s

小物塊落地時的速度大小M="+H=73.02+4.02m/s=5m/s

（3）小物塊在水平桌面上運動時，根據牛頓第二定律則有〃〃?g=〃刈

解得a=2m/s2

解得%=3.6m/s

題型二：飛機投彈問題

【例2】.（25-26高一上?黑龍江哈爾濱?期末）如圖，某軍隊在一次空地聯合軍事演習中，離地面〃=6000m高處的

飛機以水平對地速度M=100m/s發射一顆炸彈轟炸地面目標P,反應靈敏的地面攔截系統同時以初速度也豎直向上

發射一顆炮彈攔截（炮彈運動過程看作豎直上拋），設此時攔截系統與匕機的水平距離為s=2000m,若攔截成功,

不計空氣阻力，則匕的值應為（）

C.300m/s

【答案】C

【詳解】若攔截成功，根據炮彈和炸彈運動的同時性可知，炸彈運行的時間/='

在這段時間內E機發射炸彈在豎直方向上下落的位移為h、=1g/2

攔截炮彈在這段時間內向上的位移為%2=4-1卬2

6

且有H=九十兒

聯立解得H=v2t=V2-

vi

H%6000x100,.

可得匕=——L=-------------m/s=300in?s故選C。

s2000

【舉一反三】

I.（24.25高一下?廣東肇慶?期末）某次大學生飛行器空投比賽中，一飛行器在離地面高7.2m的空中以9m/s的速度

勻速直線飛行。某時刻，飛行器無動力釋放一沙袋，沙袋飛出后恰好擊中地面上的目標。沙袋可視為質點，不計空

氣阻力，重力加速度g取lOm/s?,則（）

A.沙袋釋放后經0.72s落地

B.沙袋的釋放位置與目標的水平距離為9m

C.沙袋擊中目標時的速度大小為15m/s

D.若僅減小飛行速度，沙袋釋放后在空中的飛行時間變長

【答案】C

【詳解】A.沙袋豎直方向做自由落體運動，由公式力=；卬2

解得"1.2s,A錯誤；

B.沙袋的樣放位置與目標的水平距離為x=%/=10.8m,B錯誤:

C.豎直方向速度％=g/=12m/s

水平速度也=9Hs

合速度大小為n=亞+1；=15m/s,C正確:

D.沙袋的飛行時間僅由豎直方向自由落體高度決定，與水平速度無關。減小飛行速度不會改變下落時間，D錯誤。

故選C。

2.（23-24高?下?江西?期中）現代戰爭可用無人機實施投彈，某無人機在離地高為〃的高空沿水平方向做勻加速運

動，某時刻釋放一顆炸彈，炸彈落地時與無人機的水平距離為s,重力加速度大小為g,不計空氣阻力，則無人機

運動的加速度大小為（）

八h、

C.D.(1——)g

s

7

【答案】A

【詳解】設投彈時無人機的速度大小為v,根據=可得，投彈后炸彈運動的時間為

'=楞

根據題意，無人機在水平方向上有

11

s=vt+—at2-vt=—at2

22

聯立解得無人機的加速度大小

故選A,

3.（23-24高一上?湖北荊州?期末）一架無人機以2m/s的速度在5m的高空水平飛行，從無人機上每隔0.5s釋放

一個小球，先后共釋放四個完全相同的小球。若不計空氣阻力，重力加速度取lOm/s?下列說法正確的是（）

A.第二個小球和第四個小球的下落所用時間均為1s

B.第三個小球落地時的速度大小為10m/s

C.第一個小球落地點與第四個小球的落地點間距為4m

D.第一個小球和第二個小球在空中的任何時刻都不在同一豎直線上

【答案】A

【詳解】A.每個小球都做相同的平拋運動，由A=知，落地時間

A項正確：

B.小球落地的速度

v=亞+.=J-：+2g〃=504m/s

B項錯誤;

C.第一個小球與第四個小球之間間隔1.5s,故落地點的間距

s=vt=2m/sxl.5s=3m

C項錯:吳：

D.小球都做相同的平拋運動，水平方向都是相同速度的勻速直線運動，所以在空中任何時刻總是排成豎直的直線,

D項錯誤。

故選A9

8

題型三：平拋運動的兩個推論

【例3工（24-25高一下?廣西費港?階段練習）如圖所示，某同學對著豎直墻壁練習打網球，該同學使球拍與水平方

向的夾角為a=37。，在0點擊中網球，球以匕尸15m/s的速度垂直球拍離開。點，恰好垂直擊中墻壁上的P點，忽

略空氣阻力的影響，取重力加速度大小g=10m/s2,sina=0.6,cosa=0.8,下列說法正確的是（）

A.網球在尸點與墻壁碰撞時的速度大小為10m/s

B.網球由。點運動到Q點的時間為1.6s

C.0、一兩點間的水平距離為103m

D.若O、尸兩點連線與墻壁的夾角為0,則tan。=丁」

2tana

【答案】C

【詳解】A.網球的逆向運動（由P點到。點）為平拋運動，對。點速度進行分解可得5=%sina=9m/s,故選

項A錯誤；

B.在豎直方向上有即=%cosa

解得z=L2s,故選項R錯誤：

C.0、尸兩點間的水平距離x=*=10.8m,故選項C正確；

vptvp

D.根據題意可知tan0=1]=2w，tana=2

5g廠《gt

聯'Z可得tan。=2tana,故選項D錯誤。

故選C。

【舉一反三】

1.（24-25高一上?山西呂梁?期中）“打水漂”游戲中要使得石子在水面上一跳一跳地飛向遠方，產生“水漂”的效果,

石子接觸水面時的速度方向與水面的夾角不能大于以為了觀察到“水漂”，一同學將一石子從距水面高度為h處以

初速度%水平拋出，不計石子在空中飛行時的空氣阻力，重力加速度大小為g,拋出的石子（）

A.在空中的運動時間為

9

B.接觸水面瞬間豎直方向的速度大小為向

C.接觸水面瞬間的速度大小為亞丁）

D.要產生水漂初速度%的最小值為4懣

tan。

【答案】D

【詳解】A.石子豎直方向做自由落體，根據力=

解得’=仔，故人錯誤；

B.豎直方向速度q=gf=7^,故B錯誤；

C.合速度v=舊+y；=Jv；+2g〃,故C錯誤；

v

D.速度方向與水面夾角。滿足tana=―lf

%

乂9=

解得%=1巫之也巫，故D正確。

tanatan0

故選D,

2.（24-25高一下?重慶?階段練習）如圖所示為固定的半圓形豎直軌道，力〃為水平直徑，。為圓心，哪吒和敖丙在/

點同時水平踢出兩個健子（可視為質點）,初速度分別為匕、匕，落在軌道上的C、。兩點，0C、00連線與豎直方

A.兩個健子不會同時落到軌道上B.匕：匕=1:3

C,兩個困子速度變化量方向不相同D.落在。點曲子的速度的反向延長線一定過。點

【答案】B

【詳解】A.由分析可知，兩個匿子均為平拋運動，由幾何關系，兩篋子豎直方向的位移相等為

yx=y2=/?cos30°=-^-7?

可得4=4

則兩個健子會同時落到軌道上，A選項錯誤；

10

B.由兩匿子平拋運動水平方向位移為x=W

HxiR-Rsin30°1,

可知一=_=B選項正確：

v2x2&+Asin303

C.由平拋運動僅受重力，故加速度始終為豎直方向，速度變化量公式心=84

可知速度變化量方向與加速度方向一致，故兩個腱子速度變化量方向相同，C選項錯誤；

D.由平拋運動推論，末速度的反向延長線與％軸的交點為水平位移的中點，由幾何關系可知。點不是水平位移中

點，則落在。點圓子的速度的反向延長線一定過。點，D選項錯誤。

故選

3.（2023高三?浙江臺州?競賽）如圖所示的半圓形凹槽，半徑為R從左側圓周上與圓心。點等高的力處平拋一小

球.若小球初速度為%一限，0為小球擊中凹槽位置與圓心。連線與豎直方向的夾角，則（）.

-叱oR_

W

A.夕二37。

3

B.=arccos—

4

C.^=arccos—

4

D.若小球的初速度可以任意選擇，則小球有可能垂直擊中凹槽

【答案】A

【詳解】ABC.兒何關系有

x2+y2=R2

平拋運動

x=3-R

12

尸清廣

%=百

代入解得

8=37。

故A正確，BC錯誤；

D.速度反向延長線必然均分水平位移，所以小球不可能垂直擊中凹槽,故D錯誤。

故選A,

II

題型四：平拋運動的追及和相遇問題

【例4工（24-25高一下?河南濮陽?階段練習）如圖所示，A.8兩小球置于同一豎直線上不同高度處，如果將A球

以速度力、B球以速度>水平拋出（前一個球落地后才拋另一個球），落地前兩球軌跡均經過P點,。現在將/、B

兩球同時水平拋出，拋球高度和速度不變，不計空氣阻力，下列說法正確的是（）

A.V/>V2

B.兩球在尸點相遇

C.落地前兩球在豎直方向上的距離越來越大

D.落地前兩球在豎直方向上的距離保持不變

【答案】D

【詳解】A.根據平拋運動力=；g/，x=vj

解得%=胞

44兩球到戶點的水平距離x相等，力小的初速度大，v2>v,,A錯誤；

B.根據方=；印2

解得咤

兩個小球到P點的高度分不同，到達P點的時間不同，兩球不能相遇，B錯誤；

CD.根據刀=gg/

可知兩球在相同時間內卜落相同的距離，所以落地前兩球在豎直方向上的距離保持不變，故C錯誤，D正確。

故選D,

【舉一反三】

1.（2025?湖北褰陽?三模）如圖所示，將小球甲、乙先后水平拋出，小球甲、乙將會在空中的夕點相遇，相遇時兩

小球的速度方向相互垂直，已知小球甲的拋出點到水平地面的高度4比小球乙的拋出點到水平地面的高度包大，小

球甲、乙的拋出點水平距離為L=25m,小球甲、乙拋出時的速度大小均為%=10m/s。取重力加速度大小g=10m/s2,

12

不計空氣阻力，小球可看成質點，則下列說法止確的是（)

甲

-o^乙

f、、、、Y不

、Z

、、?Z

h'、、/h

\y2

P

A.小球甲、乙在相遇前運動的時間之和為1.25s

B.小球甲、乙在相遇時速度偏轉角相同

C.小球甲在相遇前運動的時間為a=0.5s

D.小球甲、乙拋出點的高度差M=18.75m

【答案】D

【詳解】A.設籃球甲、乙從拋出到相遇運動的時間分別為4、芍，兩球在P點相遇，則在水平方向上有

￡=V0/1+V0Z2

代入數據解得4+G=2.5S,故A錯誤；

BC.由題知，在相遇時兩小球的速度方向相互垂直，設籃球甲落在P點時速度與豎直方向的夾角為0,作出速度分

析圖，如圖所示

由圖可知，小球甲、乙在相遇時速度偏轉角不相同，根據幾何關系可得tan0=9=&

可得怔=Is

又4+4=2.5s

且甲球下落的高度更高，則有乙＞，2,聯立解得4=2s,q=0?5s,故BC錯誤；

D.根據題意，可得小球甲、乙拋出點的高度差兇二9（彳-g）=18.75m,故D正確。

故選D,

13

2.(2425高一下?河南?階段練習)如圖，將A和B兩小球從同一水平直線上的兩位置沿水平方向分別拋出，運動

軌跡如圖所示，不計空氣阻力。以下說法正確的是()

A.若要兩球相遇，需先拋出A球

B.若要兩球相遇，先拋出B球

C.若要兩球相遇，同時拋出兩球

D.無論先拋出哪個小球，一定能夠相遇

【答案】C

【詳解】因AB的初始位置與相遇點的豎直高度相等，根據，=樣

則時間相等，即若要兩球相遇，只需兩球同時拋出。

故選C。

3.(24-25高三上?重慶?期中)如圖所示，在豎直平面內位于等高的P、。兩點的兩個小球相向做平拋運動，二者恰

好在M點相遇。已知夕。.”構成三角形，其邊長關系為尸。=4￡、QM=PM=45L,M()

、?

“M

A.兩個小球不一定同時拋出

B.兩個小球的初速度大小不相同

C.兩個小球相遇時速度相同

D.兩個小球相遇時速度方向是相互垂直的

【答案】D

【詳解】A.兩小球下落高度

h=^(>/5L)2-(2L)2=L

在平拋運動中，下落高度，則

L=；g『

14

解得下落時間

因為兩個小球下落高度相等，則下落時間相等，二者可以相遇，則一定是同時拋出的，故A錯誤;

B.因為NPMQ構成等腰三角形，P、。兩點處到M點的水平距離相等，均為2￡,時間相等，則初速度大小

%=與=7^

也相等，故B錯誤:

CD.兩小球相遇時，豎直方向速度大小符合

解得

vy=y/2gL

可知水平方向初速度

即速度與水平方向夾角為45。，尸處平拋的小球到相遇時速度為右下方與水平方向夾角45。，。處平拋的小球到相遇

時速度為左下方與水平方向夾角45。，則兩個小球相遇時速度方向是相互垂直的，速度大小相等，但方向不同。故

C錯誤，D正確。

故選D,

題型五：斜面上的平拋運動

【例5】.（25-26高一上,黑龍江?期末）如圖所示，小球P從位于傾角夕=30。的斜面上某點以一定初速度水平向右

拋出，司時右側等高處的小球Q以一定的初速度水平向左拋出。己知P、Q兩球都落在了斜面上的同一點，且小球

Q恰好垂直打到斜面上.不計空氣阻力，下列說法正確的是（）

A.P、Q兩球的加速度大小之比為1：2

氏P、Q兩球運動的時間之比為2：1

C.P、Q兩球拋出的初速度大小之比為2：3

D.P、Q兩球的水平位移大小之比為3：2

15

【答案】D

【詳解】A.P、Q兩球均做平拋運動，加速度均為重力加速度g,大小之比為1：1,故A錯誤;

B.兩球下落高度相同，由。=可知，兩球做平拋運動的時間之比為1：1,故B錯誤:

C.對小球P,根據平拋運動規律有gn°=2」=里

vpt2vP

解得『去郎,

對小球Q，有1@11夕=①

g，

解得

v3

則上p二弓，故c錯誤；

D.根據x=%/,可知P、Q兩球的水平位移大小之比為3：2,故D正確。

故選D,

【舉一反三】

1.（24-25高一下?貴州畢節?期中）某水流造景設施的截面如圖所示，尸為水平噴水口，水柱剛離開。的速度為

%=10m/s,從尸噴出的水柱恰好能垂直撞到傾角為30。的斜面4c上的8處。已知重力加速度為g=10m/s2,不計

空氣阻力，水柱在空中的運動可看成平拋運動，則一滴水從尸到8所用的時間為（）

「2A/2

A.x/3B.2s

3

【答案】A

【詳解】如圖所示

水平方向做勻速直線運動，速度匕=%=10m/s

豎直方向做自由落體運動，速度與=如

16

因水柱垂直撞擊傾角為30。的斜面.，故撞擊時速度方向與斜面垂直，即沿斜面方向的速度分量為零。將水平速度也

和豎直速度4分解到沿斜面方向，水平速度L沿斜面方向的分量為LCOS3（T；豎直速度5沿斜面方向的分量為

-v/in30:,負號表示與斜面正方向相反。沿斜面方向合速度為零，有聯os3（T-VySin3（r=0

代入得10X*-（10E）X4=0

化簡解得/=Gs

故選A,

2.（25-26高二上?河南開封?開學考試）如圖所示，傾角為37。的斜面體固定在水平地面上，斜面底端正上方某高度

處有一小球以水平速度%拋出，恰好垂直打在斜面上，已知重力加速度大小為g,sin37o=0.6,不計空氣阻力，下列

說法正確的是（）

A.小球從拋出到落在斜面上的時間為誓

B.小球從拋出到落在斜面上的時間為會

4g3g

C.小球拋出時距斜面底端的高度為簍D.小球拋出時距斜面底端的百度為冬?

3g9g

【答案】D

【詳解】AB.小球做平拋運動恰好垂直打在斜面上，根據幾何關系可得tan53o=^=^=：

解得"魯，故AB錯誤；

3g

CD.小球垂直打在斜面上，設小球拋出時距斜面底端的高度為人根據平拋運動規律，在水平方向上有工=卬

在豎直方向上有丁=3磔2

根據幾何關系有tan370-0

X

解得人=等,故C錯誤，D正確。

9g

故選D,

3.（24-25高一下?甘肅張掖?階段練習）如圖所示，從傾角為。的足夠長的斜面頂端尸以速度如拋出一個小球，落

在斜面上某處。點，小球落在斜面上的速度與斜面的夾角為*若把初速度變為2叩，小球仍落在斜面上，則以下

說法正確的是（）

17

A.夾角a將變大

B.夾角a與初速度大小無關

C.小球在空中的運動時間不變

D.后一次落點與尸點的間距是PQ間距的2倍

【答案】B

2

【詳解】ABC.小球做平拋運動，且豎直位移與水平位移滿足tan9=2=2'=里

彳%，2%

,,,,2vtan0

運動時可為/=-n-----

g

故運動時間與初速度有關，變為之前的2倍。小球落在斜面上的速度方向與水平方向的夾角為?+a）,則

tan（^+a）=-=—=2tan^

%%

斜面傾角不變，故。角也保持不變，所以夾角a與初速度大小無關，故AC錯誤，B正確；

D.小球的水平位移為x=%f

解得x=2%，an6

g

則落點與尸點的間距scos6=x

解得$=’4=久鬻

cos0cos'ug

所以間距與初速度的平方成正比，后一次落點與尸點的間距是PQ間距的4倍，故D錯誤。

故選

題型六：曲面上的平拋運動

【例6】.（2025?全國?模擬預測）如圖.8為豎直圓軌道的左端點，它和圓心O的連線與豎直方向的夾角為a=60。.

一小球在圓軌道左側的力點以速度q=5m/s平拋,恰好沿8點的切線方向進入圓軌道。已知重力加速度為g=10m&,

不計空氣阻力，則彳、8之間的水平距離為：（）

18

C.速mD.遇m

63

【詳解」由小球恰好沿8點的切線方句進入圓軌道可知，小球在8點時的速度方向與水平方向的夾角為。。由

tanor=—,x=vJ

%

聯立解得力、4之間的水平距離為

2

故選A,

【舉一反三1】

1.（2223高一下?云南昭通?期末）如圖所示，MON是一個半球形容器的水平直徑，。為圓心，。為容器的最低點。

從M點沿MV分別以速度力、口拋出小球。和〃，分別落在容器的瓜廠兩點上，ZMOE=60°,E、尸關于直線

對稱。不計空氣阻力，則下列說法錯誤的是（）

A.兩個球都不可能垂直撞向半球形容器B.v2=3v,

C.兩球在相同時間內速度變化量相同D.力球飛行時間長

【答案】D

【詳解】A.若小球垂直撞上半球面，由于平拋運動中速度的反向延長線相交于水平:位移中點，這個交點則是。點,

球將落在N點，這是不可能的。所以兩個球都不可能垂直撞向半球形容器，A正確，不符合題意；

D.由題意可知E/兩點距離M點的豎直高度相同，根據產可知，兩球運動的時間相等，D錯誤，符合題意；

B.根據幾何關系，可知落到尸點的水平位移等于E點的3倍，根據%=7

可知為=34

B正確：不符合題意；

C.小球速度變化量為小，=卬，兩球加速度均為g,相同時間內速度變化量相同，C正確，不符合題意。

故選D,

19

2.（23?24高一下?河南?期中）如圖所示，水平固定的半球形碗的球心為。點；最低點為4點。在碗的邊緣向著球

心分別以初速度匕，匕，匕平拋出三個小球，分別經過4，G，4的時間落在“、B、C三點，拋出點及落點4、B、

C三點在同一個豎直面內，且/、C點等高，則下列說法正確的是（）

A.三個小球平拋運動時間的大小關系為4＜，2＜G

B.三個小球平拋初速度的大小關系為片＜匕＜匕

C.落在。點的小球，在C點的瞬時速度可能與C點的切線垂直

D.落在8點的小球，在8點的瞬時速度方向與水平方向夾角小于60。

【答案】B

【詳解】A.豎直方向上，根據

1，

方z=5磔~

可得

可知小球豎直位移越大，運動時間越太，故三個小球平拋運動時間的大小關系為

故A錯誤；

B.三個小球下落相同高度的情況下，C小球拋得最遠，A小球拋得最近，由尸可知平拋初速度滿足

M＜為＜匕

故B正確；

C.做平拋運動的物體，其某點的瞬時速度反向延長線交于此時水平位移的中點，落在C點的小球，在C點的瞬時

速度若與碗垂直，則速度反向延長線交于碗心。點，并不是水平位移中點，故落在C點的小球，在C點的瞬時速

度不可能與C點的切線垂直，故C錯誤；

D.落在8點的小球，此時位移與水平方向的夾角為45。，設速度與水平方向夾角為根據平拋運動速度偏轉角

與位移偏轉角的關系

tana=2tan45°=2＞tan60°

速度與水平方向夾角大于60。，故D錯誤。

20

故選B。

3.（23-24高一下?四川綿陽?期中）如圖所示，在豎直平面內有一半圓形軌道，圓心為一小球（可視為質點）從

與圓心等高的圓形軌道上的4點以速度%=10m/s水平向右拋出，落于圓軌道上的C點。已知。。的連線與04的

夾角為6=53。,重力加速度為g=10m/s2,則小球從/運動到C的時間為（國1153。=0.8,cos530=0.6）（）

A.4sB.6sC.8sD.3s

【答案】A

【詳解】小球拋出后做平拋運動，設圓形軌道的半徑為七豎直方向有

7?sin0=；g/

水平方向有

R-RcosO=vQt

解得

/=4s

故選A>

題型七：斜拋運動

【例7】.（24-25高一下?安徽蕪湖?月考）甲圖是籃球運動員正在進行投籃訓練的示意圖，某次投籃情景如圖乙，A

是籃球的投出點，8是籃球的投入點。已知籃球在4點的初速度為%,與水平方向的夾角為60°,力8連線與水平

方向的夾角為30。，重力加速度為g,不計空氣阻力。求：

（1）籃球在飛行過程中距力點的最大高度/?;

（2）離AB連線最遠時的速度大小V；

（3/8之間的距離s。

21

【答案】（1）患（2）乎%（3）空

【詳解】（1）籃球在飛行過程中距4點的最大高度為6=（%-60）二殂

2g8g

（2）離力8連線最遠時，籃球速度與48平行，由于籃球在水平方向上做勻速直線運動，則i，cos3（T=%cos6（T

得v=

3。

（3）水平方向x=%cos607

豎直方向歹二%sin60/-；卬2

又tan30°=2

X

,曰2"

得工二~7一%

3g

間距離為s=々77

得$=當

△g

【舉一反三】

1.（2025高一下?全國?專題練習）不計空氣阻力，將物體從地面以初速度W斜向上拋出，拋射角為弘若物體到達

離地高度〃=5m處時，水平位移為x=5bm,且此時豎直分速度為0,g=10m/s2,則初速度也的大小為（）

A.5\/7m/sB.105/2m/sC.15m/sD.20m/s

【答案】A

【詳解】將斜拋看成反方向的平拋，根據人=；印2可知運動時間為/=1s

根據X=VJ可知水平速度為5石m/s

則斜拋的豎直速度為5=g^=10m/s

可知斜腦的初速度為%=正”;=標m/s=5V7m/s

故選A>

2.（25-26高三上?江蘇無錫?月考）在播種季節，農民經常采用拋秧的方式種植水稻。如圖所示，某次拋秧時農民將

秧苗（視為質點）從4點以大小為必尸5m/s、方向與水平面成Q37。的速度拋出，秧苗落在水平水田上的8點（圖

中未畫出）,己知4、8兩點的水平距離x=4m,不計空氣阻力,取重力加速度大小g=10m/s2,sin37°=0.6,cos370=0.8.

22

求:

(1)秧苗在空中的運動時間，；

(2)4和4兩點的豎直高度。：

(3)秧苗落到水田前瞬間的速度的大小。

【答案】⑴1s

⑵2m

(3)V65m/s

【詳解】(1)秧苗在水平方向做勻速直線運動，水平速度匕=%cos0=4m/s

X

則秧苗在空中運動的時間/=一=Is

匕

(2)選豎直向上為正方向，秧苗的豎直初速度％，=%sinO=3m/s

在豎直方向的位移方=%3-=-2下

即1和8兩點的豎直高度為2m

(3)根據勻變速直線運動規律可知，秧苗落入水田中時豎直方向的速度為匕.=%，-磔=-7m/s

即豎直方向速度大小為7m/s，則秧苗落入水田中的速度v=+W=病m/s

3.(24-25高一下?福建?期中)如圖所示，甲、乙兩位置在同一豎宜面內，距水平地面的高度分別為a=4.2m，H=1.8m,

現在甲、乙兩位置同時分別拋射出小球1、2(均可視為質點)，最終兩小球落在水平地面上的同一點C。已知小球1

以與水平方向夾角0=53。斜向上、大小為匕=25m/s的初速度射出，小球2以大小為彩=10m/s的速度水平射出,

23

⑴小球1、2從拋出到落地的時間差加；

(2)甲、乙兩點間的水平距離與。

【答案】⑴3.6s

(2)57m

【詳解】(1)小球1上升階段所用時間為4=3g=2s

g

小球1上升階段的高度為片=空空二20m

2g

小球1從最高點到落地做平拋運動，豎直方向有可十%=；卬＞

解得r=2.2s

則小球I從拋出到落地的時間為乙=f：+f：=4.2s

小球2做平拋運動，則有力2=；g"

解得小球2從拋出到落地的時間為L=0-6s

則小球I、2從拋出到落地的時間差為&=6-2=3.6s

v

(2)甲、乙兩點間的水平距離為小=內一々=icos^-?1-v2/2=25x0.6x4.2m-10x0.6m=57m

題型八：類平拋運動

【例8】.(24-25高一下?云南?期中)如圖所示，一個傾角為30°的斜面固定在水平面上，其上表面光滑且為

邊長。=2.5m的正方形。現將一小球從B處水平向左拋出，小球沿斜面恰好運動到底端的。點。重力加速度g取

A.小球的運動軌跡一定為拋物線

B.小球在斜面上運動的時間為1s

C.小球在3點的速度大小為2.5m/s

D.小球速度變化量的大小為10m/s

【答案】D

【詳解】A.山分析可知小球在光滑斜面上運動時，僅受重力和斜面支持力的作用。重力沿斜面向下的分力為

24

F,r=/〃gsin3°

故小球受到的合力為恒力。小球從8點水平向左拋出，初速度?與合力分不共線，所以小球做勻變速曲線運動，

其軌跡為一條拋物線，故A正確，不符合題意；

BC,將小球的運動分解為沿初速度方向（水平向左，設為x軸）和垂直初速度方向（沿斜面向下，設為y軸）的兩

個分運動：設小球沿斜面向下即歹軸方向的加速度為%,根據牛頓第二定律有wgsin30°=〃％

解得明=gsin30=5m/s2

即小球沿斜面向下的分運動為勻加速直線運動，設運動時間為匕見有y=Q=

解得"假=ls

乂因為小球沿水平方向向左做勻速直線運動，設在8點的速度為%,則有%=。=叼

解得％=2.5m/s,故BCiF確，不符合題意：

D.速度變化最△口由加速度和時間決定，故小球的速度變化只發生在沿斜面向下的方向上。已知加速度%=5m/s2,

時間z=ls,則速度變化量AxaZSm/s,故D錯誤，符合題意。

故選D,

【舉一反三】

1.（24-25高一下,河南南陽?期中）如圖所示，坐標系的x軸水平向右，質量為小=0.5口的小球從坐標原點。處，

以初速度%=Gm/s斜向右上方拋出，同時受到斜向右上方恒定的風力E^5N的作用，風力與切的夾角為30。，風

力與x軸正方向的夾角也為30。，重力加速度g取10m/s2。下列說法正確的是（）

A.小球的速度先減小后增大B.小球的加速度保持不變

C.小球的加速度與初速度卜的夾角為60。D.小球的加速度大小為10匹m/s?

【答案】B

【詳解】受到斜向右上方恒定的風力尸產5N的作用，同時受到豎直向下的重力〃吆=5N,則兩個力的夾角為120。,

25

合力尸=2/〃gcos60=5N

方向沿右下方與x軸成30。角，正好與初速度由方向垂直，可知小球做類平拋運動，速度一直增加，因合力為恒力,

則加速.度保持不變，加速度方向與初速度噸垂直，加速度大小為o=C=10m/s2