2026年高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)之一題多變講義：函數(shù)的值域與最值（學(xué)生版+解析）

專題03函數(shù)的值域與最值(一題多變)

■優(yōu)質(zhì)典例*展示

【典例展示】(1)已知關(guān)于x的函數(shù)=的定義域?yàn)椤＃舸嬖趨^(qū)間

使得的值域也是［4句，則當(dāng)［變化時(shí)，的最大值是.

(2)已知x20,yNO,且X+gy=l,求Z=/+y2的最值.

【思路分析】

解答(1)題，應(yīng)通過確定函數(shù)的值域，結(jié)合已知條件，確定匕-。的表達(dá)式，進(jìn)一步求其最

值.具體的，由于函數(shù)的單調(diào)性較為明確，故根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性尋求定義域與值域的對(duì)應(yīng)得

出滿足的方程.此方程有兩個(gè)相異實(shí)根，由△>()且20得出/的取值范圍，由韋達(dá)定

理得到(〃-a)2關(guān)于，的二次函數(shù)，運(yùn)用配方法求最值.

對(duì)于第(2)題，求二元函數(shù)的最值，常用消元法化歸為一元函數(shù)來處理.思路一，利用代入

法，將Z=/+y2轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)在指定范圍的值域；思路二，利用數(shù)形結(jié)合思想，把石可

看作線段x+1=l(0"Kl)上的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離，

【精細(xì)解析】(I)”x)=(lT)-f是(F，。)，(0,+8)上單調(diào)遞增函數(shù)，有［a,以口(YO,0)

或句q(0,+oc).

由單調(diào)性及題設(shè)得，，彳［；'即。、〃是方程(lT)-f=x在(-8,。)或(0,+e)上的兩個(gè)不相

等的實(shí)數(shù)根.

即丁+(r-i)x+r2=0滿足/\>0且/注0,得一1V，vg且wo,

:.(b-a)2=(b+a)2-4ab=(\-i)2-4r=-3(/+1］

I3；3

當(dāng)z=_Q時(shí)，S-a)2取得最大值，"-。)\=可，又〃-a>0,故仍-4)2=16

JJJ

(2)解法一由x+—y=l=>y=2(l-x)>0=>0<x<l.

414

AZ=X2+/=X2+4（I-X）2=5X2-8A+4=5-d--9

4~|「414

在xw0,-內(nèi)遞減，在xw三』內(nèi)遞增，顯然有45=4,zmin=^.

解法二（幾何法）正可看作線段x+]=l（0?x?l）上的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離，

易得A"G"2,故Znwx=4,Zmin=g.

【題后反思】本題均與“二次”問題相關(guān)，易于使人聯(lián)想配方法、判別式法，但對(duì)于11）

題，需首先根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性尋求定義域與值域的對(duì)應(yīng)得出。、人滿足的方程.再由△＞（）且

“0得出/的取值范圍，由韋達(dá)定理得到（/"“『關(guān)于/的二次函數(shù)，運(yùn)用配方法求最值.

對(duì)了第（2）題，從數(shù)的角度出發(fā)，易「想到代入消元法.而對(duì)「解法二，則需牢固樹“數(shù)形

結(jié)合的轉(zhuǎn)化意識(shí)，從“形”的角度出發(fā)，化數(shù)的問題為“形”的問題，化抽象為直觀.

【追根溯源】

一、在函數(shù)V=/（x）中，自變量x對(duì)應(yīng)的函數(shù)值的集合｛/（x）及e邛叫做函數(shù)的值域.

二、函數(shù)），=/（“在?”處的函數(shù)值是/5），如果對(duì)于定義域內(nèi)任意x,不等式/（“2/（廝）

恒成立，那么/（內(nèi)）就是函數(shù)丁=/（力的最小值，記作為^=/（無）；如果對(duì)于定義域內(nèi)任意

X,不等式〃燈工〃毛）恒成立，那么/（X。）就是函數(shù)y=/（x）的最大值，記作）』=/（%）.

三、求函數(shù)的值域與求函數(shù)的最值是有其內(nèi)在聯(lián)系的，解法也是相通的.這類數(shù)學(xué)問題的技

巧性較強(qiáng)，且常常可以一題多解，解題的關(guān)鍵在「變更問題和構(gòu)造模型，常用的方法主要有

以下幾種：

1.配方法

適用于二次函數(shù)或可轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)型的函數(shù)，要特別注意自變量的取值范圍.

2.判別式法

適用于可化為關(guān)于X的二次方程的函數(shù)），=/"）,由△?（）,求出），的取值范圍，要檢驗(yàn)函數(shù)

的這個(gè)最值在定義域內(nèi)是否有相應(yīng)的人值.

3.均值不等式法

利用均值不等式求函數(shù)值域或最值時(shí)，一定要注意滿足“一正二定三相等”的原則.

4.換元法

根據(jù)函數(shù)解析式的特點(diǎn)常用三角換元、整體代換，常可以使解析式復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為簡單易

求解的問題.當(dāng)然，用換元法求函數(shù)值域或最值時(shí)，要注意新變量的取值范圍.

5.數(shù)形結(jié)合法

從理解或構(gòu)造函數(shù)的幾何意義著手，看能否與距離、斜率及對(duì)稱問題等相通.

6.函數(shù)單調(diào)性質(zhì)法

利用函數(shù)在相應(yīng)區(qū)間上的單調(diào)性，由于值域或最值是對(duì)函數(shù)的總體而言.若需對(duì)問題分段討

論，最后必須加以整合.

7.導(dǎo)數(shù)法

設(shè)），=/（丫）的導(dǎo)數(shù)為尸（力，由,（力的符號(hào)確定區(qū)間上的單調(diào)性，由/'（丫）=0可求得極值

點(diǎn)坐標(biāo)，若函數(shù)定義域?yàn)榫洌瑒t最值必定為極值點(diǎn)和區(qū)間端點(diǎn)中函數(shù)值的最大值和最小

值.

在實(shí)際數(shù)學(xué)問題中，求函數(shù)的最值或值域，提問的角度不同，解答方式也會(huì)有所差異，求函

數(shù)最值時(shí)也要注意函數(shù)的定義域，若定義域?yàn)殚_區(qū)間，則在區(qū)間端點(diǎn)不可能出現(xiàn)最值.

■一題多變"變一

【變化角度】改變函數(shù)的表達(dá)形式，通過等價(jià)變形“構(gòu)造”二次型函數(shù)，應(yīng)用配方法求解.

x

求函數(shù)）=-的值域.

&+2工+2

【思路分析】本題是分式函數(shù)，分子分母是“同次”的，因此可以通過分子、分母同除以x,

是分子為常數(shù)，只需討論分母的“值域”，如解法一；另外注意到分母為根式，且可以變形為

X*2+2X+2=（A+1）2+1,聯(lián)想同角三角函數(shù)公式，而運(yùn)用“三角換元法”，將問題轉(zhuǎn)化成求三

角函數(shù)的值域，即解法二,

【詳解】解法一（分類討論法）當(dāng)x=0時(shí)'=0：

1

2（汨）+-!->-!=.???0<yW&.

2>/2

綜上所述，函數(shù)的值域?yàn)?/p>

解法二(換元法)???X2+2X+2=(X+1『+1,

故可設(shè)x+l=lan8,

11乃］

于是y=-母0__1=cos，-sin，=垃coseZ+1—.

sec。I4J

TUi

■一題多變*變二Hi

【變換角度】改變所求二元表達(dá)式的結(jié)構(gòu)，利用均值不等式求函數(shù)的最值.

23

已知x>l,y>0,且—+—=2,求xy的最小值.

【思路分析】根據(jù)限制條件，有兩種思路，思路一直接從限制條件入手，應(yīng)用均值不等式,

求得最小值.

思路二，從限制條件出發(fā)，應(yīng)用代入消元的方法，將問題轉(zhuǎn)化成“一元函數(shù)分式函數(shù)，利

用“分離常數(shù)法”，創(chuàng)造應(yīng)用均值不等式的條件求最值.如果在“分離常數(shù)”后，應(yīng)用“對(duì)勾函數(shù)”

的單調(diào)性，也是一種可行的方法.

思路三，代入消元轉(zhuǎn)化成一元分式函數(shù)后，應(yīng)用判別式法.

【詳解】解法一：(均值不等式法)0,「。，丁23丁2丁9產(chǎn)7氐b4，解得

?323

個(gè)”6’當(dāng)且僅當(dāng)L丁2且即戶2,尸3時(shí)，孫有最小值6.

233x3x2

解法二：(消元后配湊運(yùn)用均值不等式)由(+7=2得>'=而不/。)=孫=

2d)

3(x-l+l)2

即f(x)=+2

2(1)21

3I

Vx>l,A/(x)>-x(2+2)=6,當(dāng)且僅當(dāng)x-l=-即為x=2時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)尸3.

2x-\

解法三：(判別式法)由解法二知=令"善不">1),整理得

2(x-l)2(x-l)

3x2-2zx+2f=0,

此方程有大于1的根的必要條件是△=4〃-24,20.

Vx>l,t>6.反之當(dāng)年6時(shí)，方程3/一2戊+2f=()的兩艱都大于1.故，min=6(此時(shí)x=2,

y=3).

■一題多變?變?nèi)?//

【變換角度】改變分式函數(shù)分子、分母的次數(shù)，應(yīng)用“化部分分式法”轉(zhuǎn)化求解.

X2+k+\

設(shè)k為常數(shù)，求函數(shù)/@）=的最小值.

\lx2+k

【思路分析】本題分子參數(shù)高于分母次數(shù)，因此采用“化部分分式法“，轉(zhuǎn)化應(yīng)用均值不等

式或“對(duì)勾函數(shù)”的單調(diào)性求解.

、x+A+1r~i2~~\一

【詳解】/W=-rT==V-v+^+-/==>2,

\Jx'+k\Jx+k

當(dāng)且僅當(dāng)GTI=-^=,即J”時(shí)等號(hào)成立.

V.r+k

當(dāng)攵<1時(shí)，丁=1一&,工=±71^1時(shí)，/@)min=2,

當(dāng)左>1時(shí)，/=]_々不成立.此時(shí)，令f=&+1N&>1，尸⑺=，+；.由單調(diào)性的定義

可以證

明產(chǎn)”）是[4,+00）上的增函數(shù).???當(dāng)『=&,即x=0時(shí),/-（%=?+%.

綜上，當(dāng)」41時(shí),/Wmir=2;當(dāng)&>1時(shí),+不.

由7

■一題多變,變///

【變換角度】變具體函數(shù)為抽象函數(shù)關(guān)系式，與求函數(shù)解析式與求函數(shù)值域綜合考查.

已知函數(shù)/（“滿足2/3-/6）+：=0,求/（"的值域.

【思路分析】首先利用函數(shù)方程法，將/U）作為一個(gè)未知數(shù)來考慮，通過給自變量“賦值”，

建立方程（組），消去另外的未知數(shù)得到接下來可采用判別式法或基本

不等式法求其值域.

(1A1

【詳解】2/*)—/—=--.①

工

用工替代,，得=②

X\XJ

2，八1(2\

①x2+②，得3/(x)=---x=-x+—,整理得/。)=-彳x+-.③

xkX)31X)

I(2、

(i)用判別式法求③的值域：令丁=-彳x+-=>/+3/+2=().VXGRMX^O.

3kx)

Q

?A>0=>/>-.

“手或—半’/⑶的值域?yàn)?*十U十收

（ii）用基本不等式求③的值域：當(dāng)x>0時(shí)，Vx+->2V2,???_』（x+2]4_aZ,即

x31xj3

當(dāng)x<0時(shí)，一x>0,（一幻+]—1）之？^，則2夜.??.一；（x+2）2苧，即）亞舉

，/（X）的值域?yàn)?8，-二1D二丁，+8

JJ

?綜合訓(xùn)練★提高///

（2024高三?全國?專題練習(xí)）

1.函數(shù)/（x）=2x-1+?^的最小值是（）

A.3B.4C.5D.6

（2024.湖南岳陽?三模）

ev4-//r<?/

2.已知函數(shù)/（1）={2:，/*）不存在最小值，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是（）

x~+lax,x>a

C.(-l,0)U(|,±oo（一京卜1，十心）

A.（—1,0）B.十8D.

（22-23高一上?陜西西安?期末）

3.已知正實(shí)數(shù)x，y滿足丹=丁+9_12,則X+），的最大值是（）

A.24B.12C.4百D.273

（2024高三?全國?專題練習(xí)）

4.（多選）若函數(shù)），=/-3*—4的定義域?yàn)閇0,〃小值域?yàn)閇一書，-4],則實(shí)數(shù)〃?的取值范

圍可以是（）

3

A.[0,4]B.[-,2]

8

C.2JD.[1,2]

（2024高三?全國?專題練習(xí)）

5.已知函數(shù)/(”=%+曰0<〃06)在上的最大值比最小值大則〃=

?A

(2021高三?全國?專題練習(xí))

6.若x,y為實(shí)數(shù)且滿足./+)1+2冷，+工一)，=0,試分別求x、y的最值.

專題03函數(shù)的值域與最值（一題多變）

?優(yōu)質(zhì)典例?展示

【典例展示】（1）已知關(guān)于犬的函數(shù)/“）=魚土士。￡用的定義域?yàn)椤＃舸嬖趨^(qū)間

X

恒力仁Q，使得/（X）的值域也是可，則當(dāng)，變化時(shí)，4的最大值是_____.

（2）已知xNO,”0,且工+；y=l,求z=Y+y2的最值.

【思路分析】

解答（1）題，應(yīng)通過確定函數(shù)的值域，結(jié)合已知條件，確定人-。的表達(dá)式，進(jìn)一步求其最

值.具體的，由于函數(shù)的單調(diào)性較為明確，故根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性尋求定義域與值域的對(duì)應(yīng)得

出八。滿足的方程.此方程有兩個(gè)相異實(shí)根，由得出，的取信范圍，由韋認(rèn)定

理得到（〃-〃『關(guān)于，的二次函數(shù)，運(yùn)用配方法求最值.

對(duì)于第（2）題，求二元函數(shù)的最值，常用消元法化歸為一元函數(shù)來處理.思路一，利用代入

法，將z=V+y2轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)在指定范圍的值域；思路二，利用數(shù)形結(jié)合思想，把〃可

看作線段x+］=l（O?xG）上的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離，

【精細(xì)解析】（I）f（x）=（lT）-匚是（7,0），（。，?）上單調(diào)遞增函數(shù)，有［4句a（7o,0）

或可￡(0,~K?).

%)=。，

由單調(diào)性及題設(shè)得即。、》是方程（1->卜x在（F0）或（0，+e）上的兩個(gè)不相

f(b)=b.

等的實(shí)數(shù)根.

即/+（/一］）x+/=0滿足人>o且，=o,得一|</<Q且，=0,

???(b-a)~=(。+。)2—4(ib=(1—/)2—4t~=-3(tH—H—4.

I3J3

當(dāng),二T時(shí)，8―4取得最大值，仍-4）-=:又b-a>0,故（方一編修二,石

JJJ

(2)解法一由x+；y=ln)，=2(17)20=。WE.

2

z=x2+y2=x2+4(1-x)-=5x2-8x+4=5x——十一,

k5/5

41「414

在xe(X-內(nèi)遞減，在工三-J內(nèi)遞增，顯然有Za=4,zmin=^.

J■JJ

解法二(幾何法)正可看作線段x+1=l(O<x〈l)上的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離，

易得故Zn1ax=4，zmin-.

【題后反思】本題均與“二次''問題相關(guān)，易于使人聯(lián)想配方法、判別式法，但對(duì)于(I)

題，需首先根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性尋求定義域與值域的對(duì)應(yīng)得出4、〃滿足的方程.再由△>()且

30得出/的取值范圍，由韋達(dá)定理得到eif關(guān)于f的二次函數(shù)，運(yùn)用配方法求最值.

對(duì)于第(2)題，從數(shù)的角度出發(fā)，易于想到代入消元法.而對(duì)于解法二，則需牢固樹立數(shù)形

結(jié)合的轉(zhuǎn)化意識(shí)，從“形”的角度出發(fā)，化數(shù)的問題為“形”的問題，化抽象為直觀.

【追根溯源】

一、在函數(shù)y=/(x)中，自變量X對(duì)應(yīng)的函數(shù)值的集合｛/W|xe3叫做函數(shù)的值域.

二、函數(shù)y=/(x)在/處的函數(shù)值是/(M),如果對(duì)于定義域內(nèi)任意工，不等式/(X)之/(%)

恒成立，那么/(小)就是函數(shù)y=/。)的最小值，記作加n=/E)；如果而于定義域內(nèi)任意

X，不等式/(“4/($)恒成立，那么/(小)就是函數(shù)y=/(x)的最大值，記作人=/(%).

三、求函數(shù)的值域與求函數(shù)的最值是有其內(nèi)在聯(lián)系的，解法也是相通的.這類數(shù)學(xué)問題的技

巧性較強(qiáng)，且常常可以一題多解，解題的關(guān)鍵在于變更問題和構(gòu)造模型，常用的方法主要有

以下幾種：

1.配方法

適用于二次函數(shù)或可轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)型的函數(shù)，要特別注意自變量的取值范圍.

2.判別式法

適用于可化為關(guān)于X的二次方程的函數(shù))，=/%),由△？()，求出y的取值范圍，要檢驗(yàn)函數(shù)

的這個(gè)最值在定義域內(nèi)是否有相應(yīng)的x值.

3.均值不等式法

利用均值不等式求函數(shù)值域或最值時(shí)，一定要注意滿足“一正二定三相等''的原則.

4.換元法

根據(jù)函數(shù)解析式的帶點(diǎn)常用二角換元、整體代換，常可以使解析式復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為尚單易

求解的問題.當(dāng)然，用換元法求函數(shù)值域或最值時(shí)，要注意新變量的取值范圍.

5.數(shù)形結(jié)合法

從理解或構(gòu)造函數(shù)的幾何意義著手，看能否與距離、斜率及對(duì)稱問題等相通.

6.函數(shù)單調(diào)性質(zhì)法

利用函數(shù)在相應(yīng)區(qū)間上的單調(diào)性，由于值域或最值是對(duì)函數(shù)的總體而言.若需對(duì)問題分段討

論，最后必須加以整合.

7.導(dǎo)數(shù)法

設(shè)），=/（x）的導(dǎo)數(shù)為r（x）,由r（x）的符號(hào)確定區(qū)間上的單調(diào)性，由/'（力二。可求得極值

點(diǎn)坐標(biāo)，若函數(shù)定義域?yàn)榭桑瑒t最值必定為極值點(diǎn)和區(qū)間端點(diǎn)中函數(shù)值的最大值和最小

值.

在實(shí)際數(shù)學(xué)問題中，求函數(shù)的最值或值域，提問的角度不同，解答方式也會(huì)有所差異，求函

數(shù)最值時(shí)也要注意函數(shù)的定義域，若定義域?yàn)殚_區(qū)間，則在區(qū)間端點(diǎn)不可能出現(xiàn)最值.

■一題多變?變一

【變化角度】改變函數(shù)的表達(dá)形式，通過等價(jià)變形“構(gòu)造”二次型函數(shù)，應(yīng)用配方法求解.

【思路分析】本題是分式函數(shù)，分子分母是“同次”的，因此可以通過分子、分母同除以X,

是分子為常數(shù)，只需討論分母的“值域”，如解法一；另外注意到分母為根式，且可以變形為

X2+2X+2=（X+1）2+1,聯(lián)想同角三角函數(shù)公式，而運(yùn)用“三角換元法”，將問題轉(zhuǎn)化成求三

角函數(shù)的值域，即解法二.

【詳解】解法一（分類討論法）當(dāng)％=0時(shí)，=0；

綜上所述，函數(shù)的值域?yàn)?-1,正］.

解法二(換元法)???42+2工+2=(X+1)2+1,

故可設(shè)X+I=tan<9,Oe

Xz，

于是y=-1a"O~~-=cos-sin=V2cos0+—

seee14

7f3兀、,7T\

由吒G,知cos0n+—e

4J李

用

【變換角度】改變所求二元表達(dá)式的結(jié)構(gòu)，利用均值不等式求函數(shù)的最值.

23

已知0,y>0,且丁12'求xy的最小值.

【思路分析】根據(jù)限制條件，有兩種思路，思路一直接從限制條件入手，應(yīng)用均值不等式,

求得最小值.

思路二，從限制條件出發(fā)，應(yīng)用代入消元的方法，將問題轉(zhuǎn)化成“一元函數(shù)分式函數(shù)，利

用“分離常數(shù)法”，創(chuàng)造應(yīng)用均值不等式的條件求最值.如果在“分離常數(shù)”后，應(yīng)用“對(duì)勾函數(shù)”

的單調(diào)性，也是一種可行的方法.

思路三，代入消元轉(zhuǎn)化成一元分式函數(shù)后，應(yīng)用判別式法.

2393I?

【詳解】解法一：(均值不等式法)x>l,y>0,-+-=2,A2=-+->2解得

xyxyy

2323

926,當(dāng)且僅當(dāng)一+—=2且一=一，即x=2,y=3時(shí)，盯有最小值6.

xyxy,

?33r3r2

解法二：(消元后配湊運(yùn)用均值不等式)由二十二=2得>，=---，,/(A)="=—.

xy2(x-l)2(x-1)

即小)=￥4?臼1+-4+印

2(1)x-1)

31

Vx>l,A/(x)>-x(2+2)=6,當(dāng)且僅當(dāng)x-l=-即為x=2時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)尸3.

2x-\

3r23x2

解法三：(判別式法)由解法二知令整理得

2(x7)2(.1)

3x2-2枕+2f=0,

此方程有大于1的根的必要條件是△=4產(chǎn)-24,20.

VA->1,r>6.反之當(dāng)噂6時(shí)，方程3/_2a+2，=0的兩艱都大于1.故Ln=6（此時(shí)x=2,

y=3).

，嗝11

■一題多變?變?nèi)鼿i

【變換角度】改變分式函數(shù)分子、分母的次數(shù)，應(yīng)用“化部分分式法”轉(zhuǎn)化求解.

x2+k+\

設(shè)上為常數(shù)，求函數(shù)f（r）=的最小值.

x/Y+k

【思路分析】本題分子參數(shù)高于分母次數(shù)，因此采用“化部分分式法“，轉(zhuǎn)化應(yīng)用均值不等

式或“對(duì)勾函數(shù)”的單調(diào)性求解.

【詳解】/W=-TT==^+^+-TT=^2，

\Jx'+k\Jx+k

當(dāng)且僅當(dāng)J==-^=,即J2時(shí)等號(hào)成立.

+k

當(dāng)&K1時(shí)，X2=\-k,x=時(shí)，/“）min=2,

當(dāng)左>1時(shí)，/=]_々不成立.此時(shí)，令f=&+1N&>1，尸⑺=/+；.由單調(diào)性的定義

可以證

明/⑺是[4,內(nèi)）上的增函數(shù).，當(dāng)，=4,即x=o時(shí)，/a）min=F（t）min=4k+^.

綜上，當(dāng)」Ml時(shí),/Wmir=2；當(dāng)」>1時(shí),f（x）*n=a+不.

■一題多變*變四

【變換角度】變具體函數(shù)為抽象函數(shù)關(guān)系式，與求函數(shù)解析式與求函數(shù)值域綜合考查.

已知函數(shù)/（X）滿足2/3-f6）+T=O,求/（”的值域.

【思路分析】首先利用函數(shù)方程法，將八r）作為一個(gè)未知數(shù)來考慮，通過給自變量“賦值”，

建立方程（組），消去另外的未知數(shù)得到人%）=-:口+；）.接下來可采用判別式法或基本

不等式法求其值域.

（1A1

【詳解】2/（幻—/—=一一.①

W工

用工替代,，得=②

X\xj

2，八1（2、

①X2+②，得3/（幻=---1=-x+—,整理得/"）=-；x+-.③

i/2)

(i)用判別式法求③的值域：令,'=-7x+—=x-+3yx+2=°.,?，xwR且xwO.

31X)

Q

iftA>O=>y2^-.

:.yN巫或陣—巫,/(x)的值域?yàn)?70,-￥]=[￥，+8.

33I3JL3)

（ii）用基木不等式求③的值域：當(dāng)X>0時(shí)，?.?x+2>2忘，A-lLr+-,即

x3（3

當(dāng)x<0時(shí)，-x>(),(—X)+(-：)之2立，則x+；W-2>/2..??_g(x+2)2半，即,,之竽.

*'?/"）的值域?yàn)?/p>

mi

?綜合訓(xùn)練★提高Hi

（2024高三?全國?專題練習(xí)）

I.函數(shù)/（x）=2x-l+VT^的最小值是（）

A.3B.4C.5D.6

【答案】A

【分析】設(shè)/（/對(duì)）,則函數(shù)〃x）=2x—1+等價(jià)于y=2/+/+3,r>0,結(jié)

合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.

【詳解】設(shè)=此0,則x=/+2,

則函數(shù)/（力=2%-1+77^等價(jià)于），=2/+/+3,t>0,

??3=2產(chǎn)+f+3在［0,+?）上是增函數(shù),兒加=2x02+0+3=3.

???函數(shù)〃x）=2x-l+"工的最小值是3.

故選：A.

（2024.湖南岳陽?三模）

e'+〃x<〃

2.已知函數(shù)f（x）=,；,/'（X）不存在最小值，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是（）

x~+lax,x>a

A.(-1,0)B.C.(T0)U6+8)D.1；,0)11(1,+2)

【答案】C

【分析】分別在。<0，。20條件下結(jié)合指數(shù)函數(shù)單調(diào)性及二次函數(shù)性質(zhì)，確定函數(shù)/(力的

取值規(guī)律，由條件列不等式求。的范圍，可得結(jié)論.

【詳解】(1)當(dāng)。<0時(shí)，若x<a,則/(x)=e'+a,

因?yàn)楹瘮?shù)/(x)=e'+a在(TO,。)上單調(diào)遞增，所以a</(x)<e"+a,

^x>a,則/(x)=f+2.="+々)2一/之一々2,當(dāng)且僅當(dāng)x=一〃時(shí)取等號(hào)，

因?yàn)?(“不存在最小值，

所以一所以一IvavO,

(2)當(dāng)aWO時(shí)，若x",則〃")=eX|a,

因?yàn)楹瘮?shù)/(x)=e、+a在(T?M)上單調(diào)遞增，所以。v/("〈e"+〃，

若則/(x)=d+2仆=(x+〃)2—=當(dāng)且僅當(dāng)x=a時(shí)取等號(hào)，

因?yàn)?(“不存在最小值，

所以3a2>〃，所以a>g,

所以實(shí)數(shù)〃的取值范圍是［7,0)

故選：C.

(22-23高一上?陜西西安?期末)

3.已知正實(shí)數(shù)工)，滿足個(gè)=/+丁_12,則的最大值是()

A.24B.12C.473D.2G

【答案】C

【分析】設(shè)x+y=L則尸代入已知等式，化為關(guān)于"勺方程，由判別式非負(fù)，解

得/的最大值.

【詳解】設(shè)x+y=f,則尸f-x,

因?yàn)锳y=Y+y2-12,

所以丁+（/—幻2—X（/一外一]2=0,即：3x2-3rx+r-12=0,

所以A二9產(chǎn)—12（——⑵=一3—+14420,

解得：T耳￡，￡4垂），

又因?yàn)榇螅瑸檎龑?shí)數(shù)，

所以0V/W4Q,

所以x+y的最大值為4G.

故選：C.

（2024高三?全國?專題練習(xí)）

25

4.（多選）若函數(shù)y=N—3x—4的定義域?yàn)閇0,機(jī)],值域?yàn)閇——,—41，則實(shí)數(shù)，〃的取值范

圍可以是（）

A