2027高考數學九大專題專項突破第8章 圓錐曲線解析版

§8.1橢圓及其性質1

考點1:橢圓的定義與標準方程3

考點2:橢圓方程的充要條件8

考點3:橢圓中焦點三角形的周長與面積及其他問題10

考點4:橢圓上兩點距離的最值問題18

考點5:橢圓上兩線段的和差最值問題20

考點6:離心率的值及取值范圍24

考點7:橢圓的簡單幾何性質問題52

考點8:利用第一定義求解軌跡56

§8.2雙曲線及其性質61

考點1:雙曲線的定義與標準方程63

考點2:雙曲線方程的充要條件67

考點3:雙曲線中焦點三角形的周長與面積及其他問題69

考點4:雙曲線上兩點距離的最值問題75

考點5:雙曲線上兩線段的和差最值問題77

考點6:離心率的值及取值范圍83

考點7:雙曲線的簡單幾何性質問題115

考點8:利用第一定義求解軌跡118

考點9:雙曲線的漸近線123

考點10:共焦點的橢圓與雙曲線127

§8.3拋物線及其性質131

考點1:拋物線的定義與方程133

考點2:拋物線的軌跡方程136

考點3:與拋物線有關的距離和最值問題139

考點4:拋物線中三角形，四邊形的面積問題148

考點5:焦半徑問題152

考點6:拋物線的性質164

§8.4圓錐曲線離心率題型全歸納170

考點1:建立關于a和c的一次或二次方程與不等式170

考點2:圓錐曲線第一定義176

考點3:圓錐曲線第二定義183

考點4:圓錐曲線第三定義(斜率之積)184

考點5:利用數形結合求解187

考點6:利用正弦定理189

考點7:利用余弦定理192

考點8:內切圓問題198

考點9:橢圓與雙曲線共焦點203

考點10:利用最大頂角θ207

考點11:基本不等式210

考點12:已知PF1?PF2范圍212

考點13:PF1=λPF2213

考點14:中點弦215

14

博觀而約取厚積而薄發

考點15:已知焦點三角形兩底角216

考點16:利用漸近線的斜率217

考點17:坐標法224

考點18:利用焦半徑的取值范圍231

考點19:四心問題233

§8.5曲線的軌跡方程238

考點1:直接法238

考點2:定義法240

考點3:相關點法244

考點4:交軌法247

考點5:參數法256

考點6:點差法257

考點7:立體幾何與圓錐曲線的軌跡260

考點8:復數與圓錐曲線的軌跡264

考點9:向量與圓錐曲線的軌跡266

考點10:利用韋達定理求軌跡方程269

§8.6直線與圓錐曲線的位置關系277

考點1:直線與圓錐曲線的位置關系278

考點2:中點弦問題281

考點3:弦長問題294

考點4:面積問題300

§8.7弦長問題320

考點1:弦長問題320

考點2:長度和問題325

考點3:長度差問題329

考點4:長度商問題331

考點5:長度積問題344

考點6:長度的范圍與最值問題350

考點7:長度的定值問題365

§8.8面積問題384

1

考點1:三角形的面積問題之S=?底·高385

△2

考點2:三角形的面積問題之分割法391

考點3:三角形、四邊形的面積問題之面積坐標化396

考點4:三角形的面積比問題之共角、等角模型406

考點5:三角形的面積比問題之對頂角模型413

考點6:四邊形的面積問題之對角線垂直模型419

考點7:四邊形的面積問題之一般四邊形422

§8.9垂直弦問題437

考點1:橢圓內接直角三角形的斜邊必過定點437

考點2:雙曲線內接直角三角形的斜邊必過定點443

考點3:拋物線內接直角三角形的斜邊必過定點446

考點4:橢圓兩條互相垂直的弦中點所在直線過定點451

考點5:雙曲線兩條互相垂直的弦中點所在直線過定點457

考點6:拋物線兩條互相垂直的弦中點所在直線過定點460

考點7:內接直角三角形范圍與最值問題467

考點8:兩條互相垂直的弦中點范圍與最值問題471

考點9:斜率題型全歸納473

24

考點10:斜率和問題473

考點11:斜率差問題486

考點12:斜率積問題493

考點13:斜率商問題508

§8.10存在性問題的探究519

考點1:存在點使向量數量積為定值519

考點2:存在點使斜率之和或之積為定值524

考點3:存在點使兩角度相等530

考點4:存在點使等式恒成立536

考點5:存在點使線段關系式為定值543

§8.11切點與切點弦552

考點1:切線問題552

考點2:切點弦過定點問題559

考點3:利用切點弦結論解決定值問題564

考點4:利用切點弦結論解決最值問題575

考點5:利用切點弦結論解決范圍問題586

§8.12雙切線問題591

考點1:定值問題591

考點2:斜率問題595

考點3:交點弦過定點問題601

考點4:交點弦定值問題610

考點5:交點弦最值問題615

考點6:交點弦范圍問題620

§8.13定點、定值問題626

考點1:面積定值626

考點2:向量數量積定值632

考點3:斜率和定值637

考點4:斜率積定值642

考點5:斜率比定值645

考點6:線段定值648

考點7:直線過定點657

考點8:動點在定直線上663

考點9:圓過定點669

考點10:角度定值674

§8.14參數范圍與最值681

考點1:弦長最值問題681

考點2:三角形面積最值問題687

考點3:四邊形面積最值問題694

考點4:弦長的取值范圍問題700

考點5:三角形面積的取值范圍問題707

考點6:四邊形面積的取值范圍問題714

考點7:向量數量積的取值范圍問題720

考點8:參數的取值范圍723

§8.15圓錐曲線中的圓問題731

考點1:蒙日圓問題731

考點2:內圓與外圓問題740

考點3:直徑為圓問題746

34

博觀而約取厚積而薄發

考點4:四點共圓問題756

§8.16阿基米德三角形763

考點1:定點問題764

考點2:交點的軌跡問題770

考點3:切線垂直問題776

考點4:面積問題781

考點5:外接圓問題786

考點6:最值問題789

考點7:角度相等問題794

考點8:圓錐曲線拓展題型一799

考點9:定比點差法799

考點10:齊次化801

考點11:極點極線問題803

考點12:蝴蝶問題808

考點13:圓錐曲線題型拓展(二)820

考點14:仿射變換問題823

考點15:非對稱韋達問題828

考點16:橢圓的光學性質836

考點17:雙曲線的光學性質848

考點18:拋物線的光學性質859

考點19:三點共線問題868

44

§8.1橢圓及其性質

知識點一：橢圓的定義

平面內與兩個定點F1，F2的距離之和等于常數2a(2a>|F1F2|)的點的軌跡叫做橢圓，這兩個定點

叫做橢圓的焦點，兩焦點的距離叫做橢圓的焦距，記作2c，定義用集合語言表示為：

P||PF1|+|PF2|=2a(2a>|F1F2|=2c>0)

注意：當2a=2c時，點的軌跡是線段；

當2a<2c時，點的軌跡不存在．

知識點二：橢圓的方程、圖形與性質

橢圓的方程、圖形與性質所示．

焦點的位

焦點在x軸上焦點在y軸上

置

圖形

x2y2y2x2

標準方程+=1a>b>0+=1a>b>0

a2b2a2b2

統一方程mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n)

x=acosθx=acosθ

參數方程，θ為參數(θ∈[0,2π])，θ為參數(θ∈[0,2π])

y=bsinθy=bsinθ

第一定義到兩定點F1、?F2的距離之和等于常數2a，即|MF1|+|MF2|=2a(2a>|F1F2|)

范圍-a≤x≤a且-b≤y≤b-b≤x≤b且-a≤y≤a

Α1-a,0、Α2a,0Α10,-a、Α20,a

頂點

Β10,-b、Β20,bΒ1-b,0、Β2b,0

軸長長軸長=2a，短軸長=2b長軸長=2a，短軸長=2b

對稱性關于x軸、y軸對稱，關于原點中心對稱

焦點F1-c,0、F2c,0F10,-c、F20,c

LaoFan1

222

焦距F1F2=2c(c=a-b)

c2222

離心率e==c=a-b=1-b(0<e<1)

aa2a2a2

a2

準線方程x=±

c

點和橢圓>1外>1外

x2y2y2x2

0+0=1?點(x，y)在橢圓上0+0=1?點(x，y)在橢圓上

a2b200a2b200

的關系<1內<1內

xxyyyyxx

0+0=1((x，y)為切點)0+0=1((x，y)為切點)

a2b200a2b200

切線方程22

對于過橢圓上一點(x0，y0)的切線方程，只需將橢圓方程中x換為x0x，y換為y0y

可得

切點弦所

xxyyyyxx

在的直線0+0=1(點(x，y)在橢圓外)0+0=1(點(x，y)在橢圓外)

a2b200a2b200

方程

2b2

①cosθ=-1，θmax=∠F1BF2，(B為短軸的端點)

r1r2

c|y|,焦點在x軸上

②12θ0

SΔPF1F2=r1r2sinθ=btan=(θ=∠F1PF2)

22c|x0|,焦點在y軸上

焦點三角

形面積

2

當P點在長軸端點時,(r1r2)min=b

③2

當P點在短軸端點時,(r1r2)max=a

焦點三角形中一般要用到的關系是

|MF1|+|MF2|=2a(2a>2c)

S=1|PF||PF|sin∠FPF

ΔPF1F221212

222

|F1F2|=|PF1|+|PF2|-2|PF1||PF2|cos∠F1PF2

左焦半徑：MF1=a+ex0上焦半徑：MF1=a-ey0

焦半徑又焦半徑：MF1=a-ex0下焦半徑：MF1=a+ey0

焦半徑最大值a+c，最小值a-c

b2

通徑過焦點且垂直于長軸的弦叫通徑：通徑長=2(最短的過焦點的弦)

a

設直線與橢圓的兩個交點為A(x1，y1)，B(x2，y2)，kAB=k，

弦長公式

222

則弦長AB=1+kx1-x2=1+k(x1-x2)-4x1x2

2LaoFan

2Δ

=1+1(y-y)-4yy=1+k2

k21212|a|

(其中a是消y后關于x的一元二次方程的x2的系數，Δ是判別式)

【解題方法總結】

2

(1)過橢圓的焦點與橢圓的長軸垂直的直線被橢圓所截得的線段稱為橢圓的通徑，其長為2b．

a

①橢圓上到中心距離最小的點是短軸的兩個端點，到中心距離最大的點是長軸的兩個端點．

②橢圓上到焦點距離最大和最小的點是長軸的兩個端點．

距離的最大值為a+c，距離的最小值為a-c．

(2)橢圓的切線

22

xyx0xy0y

①橢圓+=1(a>b>0)上一點P(x，y)處的切線方程是+=1；

a2b200a2b2

22

xyx0xy0y

②過橢圓+=1(a>b>0)外一點P(x，y)，所引兩條切線的切點弦方程是+=1；

a2b200a2b2

x2y2

③橢圓+=1(a>b>0)與直線Ax+By+C=0相切的條件是A2a2+B2b2=c2．

a2b2

考點1:橢圓的定義與標準方程

2

1(2024·高二課時練習)已知橢圓C上任意一點Px,y都滿足關系式x-1+y2+

2

x+1+y2=4，則橢圓C的標準方程為．

x2y2

【答案】+=1

43

【解析】由題可知橢圓C的焦點在x軸上，其坐標分別為1,0，-1,0，2a=4，

x2y2

故a=2，c=1，b2=3，所以橢圓C的標準方程為+=1．

43

x2y2

故答案為：+=1．

43

1

2(2024·山東青島·統考三模)已知橢圓C的長軸長為4，它的一個焦點與拋物線y=x2的焦點

4

重合，則橢圓C的標準方程為．

y2x2

【答案】+=1

43

【解析】拋物線方程化為標準方程得x2=4y，焦點坐標為F0,1，

∵拋物線焦點與橢圓C的一個焦點重合，∴橢圓焦點在y軸，

y2x2

設橢圓方程為+=1，(a>b>0)，

a2b2

LaoFan3

則由焦點坐標和長軸長知c=1，2a=4，∴a=2，

∴b2=a2-c2=3，

y2x2

∴橢圓C的標準方程為+=1．

43

y2x2

故答案為：+=1．

43

x2y2

3(2024·全國·高二專題練習)已知橢圓C：+=1(a>b>0)的左、右焦點為F(-1,0)，F

a2b212

3

(1,0)，且過點P1,，則橢圓標準方程為．

2

x2y2

【答案】+=1

43

【解析】由題知：c=1，①

3

又橢圓經過點P1,，

2

9

14

所以+=1，②

a2b2

又a2-b2=c2，③

聯立解得：a2=4，b2=3，

x2y2

故橢圓的標準方程為：+=1．

43

x2y2

故答案為：+=1．

43

x2y2

4(2024·浙江紹興·紹興一中校考模擬預測)已知橢圓E：+=1(a>b>0)，F是E的左

a2b2

焦點，過E的上頂點A作AF的垂線交E于點B．若直線AB的斜率為-3，△ABF的面積為

3

，則E的標準方程為．

13

x2y2

【答案】+=1

11

416

【解析】設O為坐標原點，直線AB交x軸于點C，如圖所示：

由題意知：AB⊥AF，直線AB的斜率為-3，即kAB=-3，

所以∠ACF=60°，∠AFC=30°．

a3a

由橢圓的性質知：OA=b，OF=c，則AF=a，所以OA=，OF=，

22

aa

則A0,，故直線AB的方程為y=-3x+．

22

4LaoFan

2y2

x+=1

2243a

abx=0x=

a13

聯立y=-3x+，解得：a或，

2y=y=-11a

226

b=a

2

43a11a2283a

所以B,-，故AB=0-43a+a+11a=，

1183a31

則S=AF?AB=×a×=，解得：a2=．

△ABF2213134

1a1x2y2

又a>0，所以a=，即b==，則E的標準方程為+=1．

22411

416

x2y2

故答案為：+=1．

11

416

x2y2

5(2024·全國·高二專題練習)已知橢圓焦點在x軸，它與橢圓+=1有相同離心率且經過

43

點2,-3，則橢圓標準方程為．

x2y2

【答案】+=1

86

x2y2ca2-b221

【解析】橢圓+=1的離心率為e===1-b=1-3=，

43aaa242

x2y2

設所求橢圓方程為+=1m>n>0，

m2n2

n21n23n3

則1-=，從而=，=，

m4m4m2

43

又+=1，∴m2=8，n2=6，

m2n2

x2y2

∴所求橢圓的標準方程為+=1．

86

x2y2

故答案為：+=1．

86

6(2024·北京·高二北大附中校考期末)與雙曲線4y2-3x2=12有相同焦點，且長軸長為6的橢

圓標準方程為．

x2y2

【答案】+=1

29

y2x2

【解析】4y2-3x2=12即-=1，焦點為0,±7，

34

22

2xy

橢圓長軸2a=6，即a=3，故短半軸b=32-7=2，故橢圓方程為+=1．

29

x2y2

故答案為：+=1．

29

x2y2

7(2024·福建福州·高二福建省福州屏東中學校考期末)已知橢圓E：+=1a>b>0的

a2b2

1

左、右焦點分別為F，F，過坐標原點的直線交E于P，Q兩點，且PF⊥FQ，且S=a2，

1222△PF2Q2

PF2+F2Q=8，則E的標準方程為．

LaoFan5

x2y2

【答案】+=1

168

【解析】連接PF1，QF1，因為OP=OQ，OF1=OF2，

所以四邊形PF1QF2是平行四邊形，

所以PF1=F2Q，PF2=QF1，

又∵PF2⊥F2Q，所以四邊形PF1QF2為矩形，

設PF1=m，PF2=n

m+n=2a=8

222a=4

則由題意得m+n=4c，解得，

c=22

1mn=1a2

22

x2y2

則b2=a2-c2=8，則標準方程為+=1，

168

x2y2

故答案為：+=1．

168

x2y2

8(2024·山東青島·高二青島二中校考期中)過點5,-3，且與橢圓+=1有相同的焦

259

點的橢圓標準方程是．

x2y2

【答案】+=1

204

x2y2

【解析】由題意設橢圓的方程為+=1，0<λ<9，

25-λ9-λ

53

將點5,-3代入，+=1，

25-λ9-λ

整理可得：λ2-26λ+105=0，

得λ=5或λ=21(舍)，

x2y2

所以橢圓的方程為：+=1，

204

x2y2

故答案為：+=1．

204

9(2024·浙江麗水·高三校考期中)我們把焦點在同一條坐標軸上，且離心率相同的橢圓叫做“相

x2y2

似橢圓”．若橢圓E：+=1，則以橢圓E的焦點為頂點的相似橢圓F的標準方程為

1612

．

6LaoFan

x2y2

【答案】+=1

43

1

【解析】∵橢圓E的離心率為e=16-12=，

162

x2y2

且設橢圓F的標準方程為+=1a>b>0，則a=16-12=2，

a2b2

x2y2

∴橢圓F的c=1，b2=a2-c2=3，即橢圓F的標準方程為+=1．

43

x2y2

故答案為：+=1．

43

x2y2

10(2024·全國·高三專題練習)已知橢圓C：+=1(a>b>0)的左、右焦點分別為F，F，

a2b212

左、右頂點分別為M，N，過F2的直線l交C于A，B兩點(異于M、N)，△AF1B的周長為43，且

2

直線AM與AN的斜率之積為-，則橢圓C的標準方程為．

3

x2y2

【答案】+=1

32

【解析】由△AF1B的周長為43，可知AF1+AF2+BF1+BF2=4a=43，解得a=3，

2b22

由直線AM與AN的斜率之積為-，可得-=-?b2=2，

3a23

x2y2

所以橢圓C的標準方程為+=1，

32

x2y2

故答案為：+=1

32

11(2024·高二課時練習)已知橢圓C的焦點在坐標軸上，且經過A(-3，-2)和B(-23，1)兩

點，則橢圓C的標準方程為．

x2y2

【答案】+=1

155

【解析】設所求橢圓方程為：mx2+ny2=1(m>0，n>0，m≠n)將A和B的坐標代入方程得：

1

3m+4n=1m=

，解得15，

12m+n=1n=1

5

x2y2

所求橢圓的標準方程為：+=1．

155

x2y2

故答案為：+=1．

155

【解題方法總結】

(1)定義法：根據橢圓定義，確定a2，b2的值，再結合焦點位置，直接寫出橢圓方程．

(2)待定系數法：根據橢圓焦點是在x軸還是y軸上，設出相應形式的標準方程，然后根據條件列

出a，b，c的方程組，解出a2，b2，從而求得標準方程．

注意：①如果橢圓的焦點位置不能確定，可設方程為Ax2+By2=1(A>0,B>0,A≠B)．

x2y2x2y2

②與橢圓+=1共焦點的橢圓可設為+=1(k>-m,k>-n,m≠n)．

mnm+kn+k

x2y2x2y2

③與橢圓+=1(a>b>0)有相同離心率的橢圓，可設為+=k(k>0，焦點在x軸

a2b2a2b211

LaoFan7

x2y2

上)或+=k(k>0，焦點在y軸上)．

a2b222

考點2:橢圓方程的充要條件

12(2024·全國·高三對口高考)若θ是任意實數，方程x2sinθ+y2cosθ=5表示的曲線不可能是

()

A.圓B.拋物線C.橢圓D.雙曲線

【答案】B

2

【解析】對于A，當cosθ=sinθ=時，由x2sinθ+y2cosθ=5得x2+y2=52，方程表示圓，故A

2

正確；

對于B，當θ是第一象限角時，cosθ>0，sinθ>0，x2sinθ+y2cosθ=5不會是拋物線方程；

當θ是第二象限角時，cosθ<0，sinθ>0，x2sinθ+y2cosθ=5不會是拋物線方程；

當θ是第三象限角時，cosθ<0，sinθ<0，x2sinθ+y2cosθ=5不成立，不會是拋物線方程；

當θ是第四象限角時，cosθ>0，sinθ<0，x2sinθ+y2cosθ=5不會是拋物線方程；

當θ的角的終邊落在x軸正半軸上時，cosθ=1，sinθ=0，得y2=5，不是拋物線方程；

當θ的角的終邊落在y軸正半軸上時，cosθ=0，sinθ=1，得x2=5，不是拋物線方程；

當θ的角的終邊落在x軸負半軸上時，cosθ=-1，sinθ=0，得-y2=5不成立；

當θ的角的終邊落在y軸負半軸上時，cosθ=0，sinθ=-1，得-x2=5不成立；故B錯誤；

πx2y2

對于C，當θ=時，由x2sinθ+y2cosθ=5，得+=1，方程表示焦點在y軸上的橢圓，

3232

3

故C正確；

2πx2y2

對于D，當θ=時，由x2sinθ+y2cosθ=5，得-=1，方程表示焦點在x軸上的雙曲

3232

3

線，故D正確；

故選：B．

13(2024·上海徐匯·位育中學校考三模)已知m∈R，則方程2-mx2+m+1y2=1所表示的

曲線為C，則以下命題中正確的是()

1

A.當m∈,2時，曲線C表示焦點在x軸上的橢圓

2

B.當曲線C表示雙曲線時，m的取值范圍是2,+∞

C.當m=2時，曲線C表示一條直線

D.存在m∈R，使得曲線C為等軸雙曲線

【答案】A

13311

【解析】對于A，當m∈,2時，0<2-m<，<m+1<3，∴0<<，

222m+12-m

x2y2

∴+=1表示焦點在x軸上的橢圓，即曲線C表示焦點在x軸上的橢圓，A正確；

11

2-mm+1

對于B，若曲線C表示雙曲線，則2-mm+1<0，解得：m<-1或m>2，

即實數m的取值范圍為-∞,-1∪2,+∞，B錯誤；

3

對于C，當m=2時，曲線C:3y2=1，即y=±，

3

即曲線C表示兩條直線，C錯誤；

8LaoFan

2-mm+1<0

對于D，若曲線C為等軸雙曲線，則，解集為?，

-2-m=m+1

∴不存在m∈R，使得曲線C為等軸雙曲線，D錯誤．

故選：A．

14(2024·全國·高三專題練習)已知方程Ax2+By2+Cxy+Dx+Ey+F=0，其中A≥B≥C

≥D≥E≥F．現有四位同學對該方程進行了判斷，提出了四個命題：

甲：可以是圓的方程；乙：可以是拋物線的方程；

丙：可以是橢圓的標準方程；丁：可以是雙曲線的標準方程．

其中，真命題有()

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】C

【解析】因為方程Ax2+By2+Cxy+Dx+Ey+F=0，其中A≥B≥C≥D≥E≥F，

所以當A=B=1≥C=D=E=0≥F=-1時，方程為x2+y2-1=0，即x2+y2=1是圓的方

程，故方程可以是圓的方程；

當A=1≥B=C=D=0≥E=-1≥F=-2時，方程為x2-y-2=0，即y=x2-2是拋物線的

方程，故方程可以是拋物線的方程；

x2

當A=2≥B=1≥C=D=E=0≥F=-1時，方程為2x2+y2-1=0，即y2+=1是橢圓的

1

2

標準方程，故方程可以是橢圓的標準方程；

若方程為雙曲線的標準方程，則有AB<0，C=D=E=0，F<0，這與A≥B≥C≥D≥E≥F

矛盾，故方程不可以是雙曲線的標準方程；

所以真命題有3個．

故選：C．

15(2024·全國·高三專題練習)“0<a<1，0<b<1”是“方程ax2=1-by2表示的曲線為橢圓”的

()

A.充要條件B.必要不充分條件

C.充分不必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】D

【解析】[解法一]

方程ax2=1-by2即方程ax2+by2=1，表示橢圓的充分必要條件是a>0，b>0，a≠b，

顯然“0<a<1，0<b<1”是“a>0，b>0，a≠b”既不充分也不必要條件，

故“0<a<1，0<b<1”是“方程ax2=1-by2表示的曲線為橢圓”的既不充分也不必要條件，

[解法二]

1

當a=b=時，滿足“0<a<1，0<b<1”，此時題中方程可化為：x2+y2=4，表示的曲線是圓

4

x2y2

而不是橢圓，當a=1，b=4時，不滿足“0<a<1，0<b<1”，只是題中方程可化為：+=1，

1212

2

1

表示中心在原點，半長軸為1，半短軸為的橢圓，

2

故：“0<a<1，0<b<1”是“方程ax2=1-by2表示的曲線為橢圓”的既不充分也不必要條件，

故選：D

LaoFan9

x2y2

16(2024·云南楚雄·高三統考期末)已知曲線C：+=1，則“a>0”是“曲線C是橢圓”

4a3a+2

的()

A.充要條件B.充分不必要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

4