2026高中數學10大導數：專題33 單變量不等式能成立之參變分離法(學生版)

專題33單變量不等式能成立之參變分離法

【方法總結】

單變量不等式能成立之參變分離法

參變分離法是將不等式變形成一個一端是f(a)，另一端是變量表達式g(x)的不等式后，若f(a)≥g(x)在x

∈D上能成立，則f(a)≥g(x)min；若f(a)≤g(x)在x∈D上能成立，則f(a)≤g(x)max．特別地，經常將不等式變形

成一個一端是參數a，另一端是變量表達式g(x)的不等式后，若a≥g(x)在x∈D上能成立，則a≥g(x)min；若

a≤g(x)在x∈D上能成立，則a≤g(x)max．

利用分離參數法來確定不等式f(x，a)≥0(x∈D，a為實參數)能成立問題中參數取值范圍的基本步驟：

(1)將參數與變量分離，化為f1(a)≥f2(x)或f1(a)≤f2(x)的形式．

(2)求f2(x)在x∈D時的最大值或最小值．

(3)解不等式f1(a)≥f2(x)min或f1(a)≤f2(x)max，得到a的取值范圍．

注意“恒成立”與“存在性”問題的求解是“互補”關系，即f(x)≥g(a)對于x∈D恒成立，應求f(x)的最小

值；若存在x∈D，使得f(x)≥g(a)成立，應求f(x)的最大值．在具體問題中究竟是求最大值還是最小值，可

以先聯想“恒成立”是求最大值還是最小值，這樣也就可以解決相應的“存在性”問題是求最大值還是最小

值．特別需要關注等號是否成立問題，以免細節出錯．

【例題選講】

1

[例1]已知函數f(x)＝3lnx－x2＋x，g(x)＝3x＋a．

2

(1)若f(x)與g(x)的圖象相切，求a的值；

(2)若x0>0，使f(x0)>g(x0)成立，求參數a的取值范圍．

?

lnx

[例2]已知函數f(x)＝ax－ex(a∈R)，g(x)＝．

x

(1)求函數f(x)的單調區間；

(2)x∈(0，＋∞)，使不等式f(x)－g(x)＋ex≤0成立，求a的取值范圍．

?

[例3]已知a為實數，函數f(x)＝alnx＋x2－4x．

(1)若x＝3是函數f(x)的一個極值點，求實數a的值；

1

(2)設g(x)＝(a－2)x，若存在x0∈[，e]，使得f(x0)≤g(x0)成立，求實數a的取值范圍．

e

[例4]已知函數f(x)＝ln(1＋x)－asinx，a∈R．

(1)若y＝f(x)在點(0，0)處的切線為x－3y＝0，求a的值；

(2)若存在x∈[1，2]，使得f(x)≥2a，求實數a的取值范圍．

[例5]已知函數f(x)＝ex(2x－1)－ax＋a(a∈R)，e為自然對數的底數．

(1)當a＝1時，求函數f(x)的單調區間；

(2)①若存在實數x，滿足f(x)<0，求實數a的取值范圍；

②若有且只有唯一整數x0，滿足f(x0)<0，求實數a的取值范圍．

[例6]已知函數f(x)＝a(x－1)，g(x)＝(ax－1)·ex，a∈R．

(1)求證：存在唯一實數a，使得直線y＝f(x)和曲線y＝g(x)相切；

(2)若不等式f(x)＞g(x)有且只有兩個整數解，求a的取值范圍．

【對點精練】

22

1．已知函數f(x)＝ax－(2a＋1)lnx－，g(x)＝－2alnx－，其中a∈R．

xx

(1)當a>0時，求f(x)的單調區間；

1

(2)若存在x∈[，e2]，使得不等式f(x)≥g(x)成立，求實數a的取值范圍．

e

2．已知函數f(x)＝xlnx(x>0)．

(1)求函數f(x)的極值；

－x2＋mx－3

(2)若存在x∈(0，＋∞)，使得f(x)≤成立，求實數m的最小值．

2

3．已知函數f(x)＝x2－(2a＋1)x＋alnx(a∈R)．

(1)若f(x)在區間[1，2]上是單調函數，求實數a的取值范圍；

(2)函數g(x)＝(1－a)x，若x0∈[1，e]使得f(x0)≥g(x0)成立，求實數a的取值范圍．

?

b

x＋

4．已知函數f(x)＝ax＋blnx(其中a，b∈R)．

(1)當b＝－4時，若f(x)在其定義域內為單調函數，求a的取值范圍；

(2)當a＝－1時，是否存在實數b，使得當x∈[e，e2]時，不等式f(x)>0恒成立，如果存在，求b的取

值范圍，如果不存在，請說明理由．

x－a

5．已知函數f(x)＝，其中a為實數．

lnx

(1)當a＝2時，求曲線y＝f(x)在點(2，f(2))處的切線方程；

(2)是否存在實數a，使得對任意x∈(0，1)∪(1，＋∞)，f(x)＞x恒成立？若不存在，請說明理由，若存

在，求出a的值并加以證明．

6．已知函數f(x)＝lna2x－2ax＋alna．

(1)求證：f(x)≤a2－3；

(2)是否存在實數k，使得只有唯一的正整數a，對于x∈(0，＋∞)恒有：f(x)≤ea＋k，若存在，請求出

k的范圍以及正整數a的值；若不存在請說明理由．(下表的近似值供參考)

ln2ln3ln4ln5ln6ln7ln8ln9

0．691．101．381．611．791．952．072．20

ax2

7．已知函數f(x)＝xlnx，g(x)＝，直線l：y＝(k－3)x－k＋2．