相似三角形的判定 鞏固練-2025-2026學年九年級數學下學期（人教版）

27.2.1相似三角形的判定鞏固練

2025-2026學年下學期初中數學人教版九年級下冊

一、單選題

i.下列說法正確的是（）

A.相似三角形一定全等B.不相似的三角形不一定全等

C.全等三角形不一定是相似三角形D.全等三角形一定是相似三角形

2.如圖，四邊形A8CZ）的對角線AC、80相交于。，且將這個四邊形分成①、②、③、④四個三角

形.若OA:OC=OB:OD,則下列結論中一定正確的是（）

A.①與②相似B.①與③相似

C.①與④相似D.②與④相似

ArAp

3.VA8C中，尸為A8上的一點.下列四個條件：①=②NA尸。=NAC8：③七=.;

ABAC

④空=空等，其中能判斷AAPCSA4CB的有（）

ACCP

A.???B.??@C.②③④D.①②③

4.已知在.ABC中，4=78。,人4=4,AC=6,則下列選項中陰影部分的三角形與原-ABC不相似的

是（）

)

「ADAEnADDE

A./D=NBB.NE=NCv------=-------D.----------

ABACABBC

6.如圖，在VA8C中，點。、E分別在邊AB、AC上，則下列條件中：@Zfi=ZAED；@DE//BC；

Ar）sp

③前:年④A。-2能使得以4,D,E為頂點的三角形與一MC相似的條件前)

A.1個B.2個C.3個D.4個

7.在VA3C與9。中，有下列條件：①黑7=急；②益=務；③4=4’;

ADCCAC

?ZC=ZC\若從中任取兩個組成一組，則.ABC的概率（）

A.!B.—C.-D.—

2345

8.如圖，E為矩形ABCD的CD邊延長線上一點，BE交AD于G，AFJ_BE于F,圖中相似三

A.5B.7C.8D.10

二、填空題

9.如圖，在△ABC中，力在上，要說明△ACDs/XABC相似，已經具備了條件,還需

添加的條件是，或.

10.如圖，AB//EF,AE//BC,E戶與AC交于點G,則圖中相似三角形共有對.

11.如圖，在AA8c中，D是A8邊上的點，如果或,則.AA8CSA4C￡>

12.如圖，在VABC中，AB=AC,Zfi=ZC=45°,。、E是斜邊上兩點，過點A作AF_LAD,

垂足是A,過點C作C尸_L8C,垂足是C交"、于點F,連接E尸，其中。石二所.下列結論：①

一ABD^ACF，②BD+CE=DE；③若SAADE=8,5“EF=3.則5%或=19；?NBAD=45°-ZCAE.其

中正確的是（填序號）.

13.如圖，在直角三角形AC8中，ZC=90%。為AC中點，過點。作OEJ_AB,垂足為點E,點F

在CB的延長線上，且:AO=3:1,聯結DF,交AB于點H,如果BC=1,AC=2,那么EH=.

14.如圖，。是VA8C的邊AB上一點（不與點A,6重合），請添加一個條件后，使..ACZ>c.A8C,

則添加的這個條件可以是（只添加一個條件）.

15.如圖，在△ABC中，AB=AC,AD為BC邊上的中線，DEJ_AB于點E.求證：M3DE^\CAD.

16.已知：如圖，在△ABC中，點。、E分別在邊A8、AC上，且NA8E=N4C。，BE、CD交于點

G.

(1)求證：△AEQS/\A3C；

（2）如果8E平分NA8C,求證：DE=CE.

17.如圖，AB=AC,作AAZTC,。在AC異側，且AO=C。，ZBAC=ZADC,E是4c延長線上

一點，連接4石交C。于點F.求證：△ABCS/X/MC.

18.如圖，在MAC中，AA=4C,D是線段4c上一點，連接4D,若4二/員0.求證：ABAC^ABDA.

19.學習《圖形的相似》后，我們可以探索兩個直角三角形全等的條件所獲得的經驗，繼續探索兩個

直角三角形相似的條件.

（1）”寸于兩個直角三角形，滿足一邊一銳角對應相等，或兩直角邊對應相等，兩個直角三角形全等”，

類似地，你可以得到“滿足_____,或，兩個直角三角形相似”；

（2）“滿足斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等“，類似地，你可以得到滿足____兩個

百角二角形相似.請結合下列所繪圖形,寫出已知,并完成說理過程.

已知：如圖，.試說明用△ABCs陽△AbC.

20.已知D、E分別是△ABC的AB、AC上的點,NADE=/C,AB=9,AD=3,AC=6.求EC的長.

21.如圖，8￡為丫48。的高，請用尺規作圖法在8c邊上求作一點尸，使得△ACF~Z\8CE（保留

作圖痕跡，不寫作法）.

參考答案

題號12345678

答案DCDBDCAD

1.D

【分析】根據全等三角形是相似三角形的特殊情況，對各選項分析判斷后利用排除法求解.

【詳解】解：A、相似三角形大小不一定相等，所以不一定全等，故本選項錯誤；

B、不相似的三角形一定不全等，不是不一定全等，故本選項錯誤：

C、全等三角形一定是相似三角形，故本選項錯誤；

D、全等三角形是相似比為1的相似三角形，所以一定是相似三角形，正確.

故選D.

【點睛】本題考查全等三角形與相似三角形的關系，熟記全笨三角形是相似三角形的特殊情況是解題

的關鍵.

2.C

【分析】本題主要考查相似三角形的判定.由兩邊成比例和夾角相等（對頂角相等），即可得出

.AOBs._COD,即可得出結果.

【詳解】解：VOA:OC=OB:OD,ZAO/3=ZCOD,

AOBsqOD,C正確；

故選：C.

3.D

【分析】由相似三角形的判定依次判斷可求解.

【詳解】解：①NACP=N8,ZA=ZA,故①符合題意；

②ZAPC=ZACB,ZA=ZA,可證AAPCSMCB,故②符合題意；

AP

③=丁，ZA=Z4,可記AAPCSAACB,故③符合題意；

ABAC

④登=務，NA=NA,不能證明AAPCSAACB,故④不符合題意；

故選：D.

【點睛】本題考查了相似三角形的判定，靈活運用相似三角形的判定是本題的關鍵.

4.B

【分析】本題考查了相似三角形的判定.利用相似三角形的判定方法依次判斷可求解.

【詳解】解:A、由有兩組角對應相等的兩個三角形相似，可證陰影部分的三角形與原V/1BC相似，

故選項A不符合題意：

B、兩邊對應成比例，而夾角不一定相等，不能證明陰影部分的三角形與原VA8C相似，故選項B符

合題意；

C、由有兩組角對應相等的兩個三角形相似，可證陰影部分的三角形與原VABC相似，故選項C不符

合題意；

D、由兩組對應邊的成比例且夾角對應相等的兩個三角形相似，可證陰影部分的三角形與原VA3C相

似，故選項D不符合題意；

故選：B.

5.D

【分析】本題考查相似三角形的判定，根據N1=N2,可知因此只要添加一組角相

等，或-D4E與NB4C的對應邊的比相等即可.

【詳解】解：ZI=Z2,

NDA石=N8AC,

添加ND=N8后，兩組對角相等，可證8cs△A￡>￡,故A選項不合題意；

添加NE=NC后，兩組對角相等，可證△/14cs△4￡>￡,故B選項不合題意；

添加4M￡=/胡。后，兩組對應邊的比相等且相應的夾角和等，可證△ABCsaADE,故C選項

不合題意；

添加22=2與后，對應邊成比例但無法證明其夾角相等，不能說明△ABCSAAOE，故D選項符合

ABBC

題意；

故選：D.

6.C

【分析】本題考查的是相似三角形的判定.根據相似三角形的判定定理對各條件進行逐一判斷即可.

【詳解】解：①NB=ZAED,ZA=ZA,則故①符合題意；

②。￡〃4C,則△ADEs△的。，故②符合題意；

A/)AF

且夾角NA=N/b則.AOEjACB，故③符合題意：

ACAB

④由4OIC=Z)E-AC可得空=竺，此時不確定NA。石二NAC8,故④不符合題意，

/IV.-

故選：C.

7.A

【分析】根據相似三角形的判定定理：三組對應邊的比相等的兩個三角形相似、兩組對應邊的比相等

且夾角對應相等的兩個三角形相似、有兩組角對應相等的兩個三角形相似，即可得能判斷

△ABCs/\ABC的有：①②、②④、③④，任取兩個組成--組情況有①?,①③，①④、②?、②④、

③?共六種情況，根據概率公式即可求解.

【詳解】能判斷AABCsZSABC的有；①②、②④、??

???能判斷△ABCs/\ABC的共有3組.

,??任取兩個組成一組情況有①②，①③，①@、②③、②④、③?共6種情況

???從中任取兩個組成一組，則AA8C“A/TC的概率為：|=

62

故選：A

【點睛】本題考查了相似三角形的判定定理，利用列舉法求隨機事件概率.

8.D

【詳解】試題解析：：矩形ABC。

:.AD"BC,AI3//CD,ZDAB=ZADE=90Q

:?AEDGsAECBSABAG

'：AFLBE

JZAFG=ZBFA=ZDAB=ZADE=90°

?：4AGF=4BGA,/ABF;NGBA

:.XGNFsXGBhsXABF

：.AEDGs叢ECBSABAGs、AFGs叢BFA

，共有10對

故選D.

9.NA=NA,NACD=NB（答案不唯一），NAOGNACB（答案不唯一）.

【分析】直接根據相似三角形的判定定理即可得出結論.

【詳解】:/A是公共角，

???若NACD=NB或NAOG/ACB,則4ACD^^ABC.

故答案為/月:NA,ZACD=Z13（答案不唯一）,ZADC=ZACB（答案不唯一）.

【點睛】考查的是相似三角形的判定，熟知有兩組角對應相等的兩個三角形相似是解答此題的關鍵.

10.3

【分析】根據相似三角形的判定即可判斷.

【詳解】圖中三角形有：AA￡G,'CFG,ACBA,

VAB//EF,AE//BC

，MESXCFSXCBA

共有3個組合分別為：AMEG^ACFG,,NCF3>bCBA

故答案為：3.

【點睛】此題主要考查相似三角形的判定，解題的關鍵是熟知相似三角形的判定定理.

11.NB=ZACDZACB=ZADC

【分析】利用三角形相似的判定求解即可.

【詳解】由圖可知N84C=NOAC,根據相似三角形的判定，再加一個對應角相等即可，

所以，可以為：/8=//4。。或/4。8=44。。使得兇8。6入4。。

故答案為NB=NACD或NAC5=Z4OC

【點睛】此題主要考查學生對相似三角形的判定定理的理解司掌握.

12.①③④

【分析】證明/84。=/。1產，ZACF=/B,得出判定①正確；

證明八48叫八4。”，得出8D=b,AD=AF,S^ABD=S^FC,根據EC+B>律，DE=EF,

得出EC+BO>OK,說明②錯誤；

證明△AED^Z\A￡尸，得出SA“E=S?.,ZDAE=ZME=iZDAF=45°,根據

1=1

Spq邊形AECF=S.ECF+SAEF=SAEC+SACF，得illS^AEC^^ACF^^AECS△八血印】，求山

S△人sc=S&AEC++S^ABD~U+8=19,說明③正確；

根據NE4E=45,Z/<4C=ZFAE-ZEAC,得出NR4Q=NC4尸=N〃E—NE4C=45-NEAC，說

明④正確.

【詳解】解：VAB=AC,NB=NC=45。，

，ZBAC=90,

VAFLAD,CF-LBC,

ZDAF=ZECF=90°,

/.ABAD+ADAC=ZG4F+ZDAC=90°,

/.ZBAD=ZCAF,

'：ZACF=ZFCE-ZACH=45°,

，N4C尸=NA,

AABD=^ACF,故①正確；

VZBAD=ZCAF,AB=AC,ZACF=ZB,

???^BD^^ACF,

?**BD=CF,AD=AF?S^ABD=S^FC,

VEC+CF>EF,DE=EF,

/.EC+Cb>DE,即EC+BD>DE,故②錯誤；

/AE^AE,AD=AF,DE=EF

Z\AED^Z\AEF，

JS?.,)*E?<x=oS.f3iLfr，，NDAE=ZFAE=-2ZDAF=45°,

+

S四邊形AECF=.ECF+SAEF-SAECACF，

若S〉ADE=8,S^CFF3?則S1EC+S4&CF=S4AEC+S“8〃=l1?

.SABC=SAEC+SAED+SABD

+=

??SA48c=%AEC+S^AED+SgBD="^】9,故③正確；

,/ZFAE=45,ZMC=ZFAE-ZEAC,

AABAD=ZCAF=ZFAE-ZE4C=45-NE4C，故④正確.

故答案為：①③④.

【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質，相似三角形的判定，解題的關鍵在于找到三角形

全等的條件,證明△4/?力^/\4C/./\AED^/\AF.F.

13.9石

35

【詳解】解：過B作8G〃C4交。/于G.\*AC=2,。為AC的中點，：,AD=DC=\,?:BF：AD=3：

3._________

1,：,BF=3.,:BG〃CA,:?BG：CD=BF：CF=3：4,:,BG=-.VAC=2,BC=1,^AB=JAC1+BC2

4

=也.,：BG〃CA,：.BG：AD=BH：AH,工-=逐一"〃一?.Z=五，.?.AH=—.在RtAADE和RtAABC

4AH4AH7

中，VZA-ZA,NAED-NCfO。，：.AADEs4ABC,：.AE,AC-AD：AB,：.AE,2-1；：,\E-

—,:.EH=AH-AE=巫-正=名~.故客案為處.

5753535

點睛：本題考查了相似三角形的判定與性質的綜合運用，關鍵是通過做輔助線8G〃C4而把所有相關

線段聯系起來.

14.ZACD=NB（答案不唯一）

【分析】根據相似三角形的判定定理：有兩角對應相等的兩三角形相似，添加條件NACO=N4即可.

【詳解】解：添加條件是：ZACD=ZB,

理由是：ZA=ZA,ZACD=ZB,

...△ACD^AABC,

故答案為：ZACD=/B（答案不唯一）.

【點睛】本題考查了對相似三用形的判定定理的應用，本題是一道比較好的題目，答案不唯一，主要

考查了學生對相似三角形的判定定理的運用能力.

15.見解析

【分析】由已知條件可得N3:NC,AD1BC,/4以7=/由=90°,即可證明結論.

【詳解】證明：在VA3c中，AB=AC,BD=CD,

AZB=ZC,AD±BC,

DEJ.AB,

Z4/X7=ZD/^=9O°,

:?MDEsACAD.

【點睛】本題考查的知識點是相似三角形的判定定理，根據已知條件得出稗=9（尸是解此題

的關鍵.

16.（1）證明見解析；（2）證明見解析.

ApAR

【詳解】試題分析：（1）先證△ABKS/XAC。，得出黑=黑，再利用NA是公共角，即可求證；

ADAC

（2）在BC上截取BF=BD,連接EF,先證△BDE^ABFE,得出DE二FE,NBDE二NBFE,再證EF=EC

即可.

解：（1）VZABE=ZACD,且NA是公共角，

.AEABAEAD

??=,Bapn,

ADACABAC

又???NA是公共角，

/.△AEOS^ABC.

（2）在BC上截取BF=BD,連接EF,

在ABDE與ABFE中，BD=BF,ZDBE=ZFBE,BE=BE,

/.△BDE^ABFE,

ADE=FE,NBDE=NBFE,AZADE=ZEFC,

■:XAEDSXNBC,/.ZADE=ZACB,

AZEFC=ZACB,

/.EF=EC,

：,DE=CE.

17.見解析

【分析】根據兩邊對應成比例且夾角相等即可證明△ABCs.。.本題考查了相似三角形的判定,

熟練掌握相似三角形的判定方法是解題的關鍵.

【詳解】證明：???A8=4C,AD=CD,

.ABAC

??,

ADCD

???ZBAC=ZADC,

：.Z^ABC^/^DAC.

18.見解析

【分析】根據等腰三角形及相似三角形的判定定理即可求解.

【詳解】解：???A3=AC,

，NB=NC.

?：ZB:/BAD,

/.NC=/BAD.

又：ZB=/B,

???/^BAC^ABDA.

【點睛】此題主要考查相似三角形的判定，解題的關鍵是熟知等腰三角形的性質.

19.（1）一個銳角對應相等，兩直角對應成比例（2）見解析

【詳解】（1）一個銳角對應相等，兩直角對應成比例；

（2）斜邊和一條直角邊對應成比例.

在RdABC和/?/△A'8c中，ZC=ZC=90°,空=