直線與圓的方程、位置關系（知識清單+9典例+6方法技巧+分層訓練）（解析版）

第34講直線與圓的方程、位置關系

(知識清單+9典例精講+6方法技巧+分層訓練)

考情導航

近3年考查情況題型分值

直線與圓的位置關系、弦長最值計算單選/多選題5分/6分

直線與圓的方程、位置關系判定、參數求解單選/填空/解5分/12分

答題

直線與圓的位置關系、距離最值問題單選/解答題5分/I2分

直線與圓的位置關系、圓的幾何性質應用單選/解答題12分

直線的方程、直線的傾斜角與斜率單選題5分

圓的標準方程、直線與圓的位置關系單選/多選/解5分/6分/12

答題分

品如詛清單

【知識點01】直線的方向向量

設48為直線上的兩點，則南就是這條直線的方向向量

【例1】求過點做2,3),8(-1,5)的直線的一個方向向量，并寫出該直線斜率對應的標準方向向量。

解：由兩點坐標求向量：=(-1-2,5-3)=(-3,2),該向量即為直線一個方向向量；

計算直線斜率：攵=三=一；；

根據斜率寫標準方向向量：(1水)二(1,一|),也可同乘3化為整數(3,-2)。

【知識點02】直線的傾斜角

(1)定義：當直線/與4軸相交時，我們以x軸為基準，x軸正向與直線/向上的方向之間所成的角a叫做直線/的

傾斜角.

(2)范圍：直線的傾斜角?的取值范圍為0°Wavl80°.

【例2】判斷卜.列直線傾斜角大小：①水平直線y=2；②豎直直線萬二-3：③從左卜到右上的直線。

解：①直線y=2平行于x軸，傾斜角a=0；

②直線％=-3垂直于x軸，傾斜角。=今

③從左下到右上的直線，傾斜角為銳角，即。￡（0,5。

【知識點03】直線的斜率

⑴定義：把一條直線的傾斜角Q的正切值叫做這條直線的斜率.斜率常用小寫字母M表示，即化=tana.（a關90。）

（2）過兩點的直線的斜率公式

如果直線經過兩點修出，》），夕2（必）”）但#%2），其斜率&=上".

【例3】已知直線傾斜角為135。，求直線斜率；直線過（1,2）,（3,5）,求直線斜率。

解：傾斜角求斜率：k=tan135°=—tan45°=—1；

兩點求斜率：上=分="

3-1Z

【知識點04】直線方程的五種形式

名稱方程適用范圍

點斜式），一和=A（X—Xo）不含直線x=.ro

斜截式y=kx-\-b不含垂直于”軸的直線

兩點式毅=建?#孫加土）不含直線X=X\和直線），=），］

截距式-=1不含垂直于坐標軸和過原點的直線

ab

一般式Ar+8y+C=0(A2+82#0)平面直角坐標系內的直線都適用

【例4】已知直線傾斜角為135。，求直線斜率；直線過（1,2）,（3,5）,求直線斜率。

解：傾斜角求斜率：/c=tanl35°=-tan45°=-l：

兩點求斜率：攵=夫=:。

3-1Z

【知識點05】兩條直線的位置關系

直線/］：y=&ix+"，［2：），=&>+岳，6：4x+3iy+G=（）,知42工+32），+。2=0（其中/|與/3是同一條直線，，2與

是同一條直線)的位置關系如下表:

位置關系八,/2滿足的條件h,滿足的條件

平行4歸2—4歷=0,且4。2—42。1。0（或歷C2—WGWO）

垂直h*2=-1AIA2+BIB2=O

相交A162—A261wo

【例5］判斷直線L：y=2無+3與舊y=一1的位置關系。

解：提取斜率：k1=2,七=一/

斜率乘積：R.七=2x(-}=-1：

結論：兩條直線互相垂直。

【知識點06】三種距離公式

⑴兩點間的距離公式

①條件:點P|(R,?),尸2(%2,”).

22

②結論：|P|P2\=J(x2-Xi)+(y2-yi).

③特例：點P(x,y)到原點0(0,0)的距離|OP|=

(2)點到直線的距離

點尸的，yo)到直線/：4x+8.v+C=0的距離〃=|4xo+8yo+C|

(3)兩條平行直線間的距離

兩條平行直線ZAv+B.y+G=o與占Av+8)，+C2=0間的距離-=

k+廣

【例6】求點(1,2)到直線2x+y—5=0的距離。

解：對應參數：x0=1，尢=2,A=2,B=lfC=-5；

加、A

代入X公AH式：d=I2X1+1X2-5I=詞|-1|=與V5。

【知識點07】圓的定義和圓的方程

定義平面上到定點的距離等「定長的點的集合叫做圓

圓心C(a,b)

標準(%—4)2+()，—6)2=戶">0)

半徑為工

方程

圓心《心，-f)

A-+r+DA-+￡>'+F=0

一般

砂+^一仍。)半徑「=4"+F一4尸

【例7】求圓為2+y2-2x+4y=0的圓心坐標和半徑。

解：配方變形：(產-2%)+(y2+4y)=0,(x-l)2-1+(y+2)2-4=0；

整理標準式:(工一+(y+2)2=5；

得出結果：圓心(1,一2),半徑r=遙。

【知識點08】點與圓的位置關系

平面上的一點M(xo,州)與圓C(x—a)2+(y—/?)2=3之間存在著下列關系：

(l)|MC]>r<=>M在圓外，即(助一〃)2+(刊一。)2>/=加在圓外：

(2)|MC1=roM在圓上，即(xo-a)2+(W一切2=在圓上；

⑶在圓內，即(x。-4)2+()用一力)2</0/0在圓內.

【例8]判斷點P(2,l)與圓。-I)2+y2=4的位置關系。

解：代入點坐標：(2-1)2+(1-0)2=1+1=2；

對比半徑平方：N=4,2<4；

結論：點在圓內。

【知識點09】直線與圓的位置關系(圓心到直線的距離為d,圓的半徑為r)

相離相切相交

G

圖形0

方程觀點d<0J=0J>0

量化

幾何觀點d>rd=rd<r

【例9】判斷直線*十y—1=0與圓/+必=2的位置關系。

解：提取參數：圓心(0,0),半徑丁=灰；

求圓心到直線距離：d=

大小對比：號<大;

結論：直線與圓相交。

【知識點10】圓與圓的位置關系(OQ,002的半徑分別為門，「2,d=\OiO2\)

圖形量的關系

外離0?ct>r\+「2

外切承d=r\+/2

&

相交

\r\—r2\<d<n+r2

內切d=\r\—r^

內含?

22

【例10】圓。1：(為一l)2+y2=4,W2:(x+2)+y=l,判斷兩圓位置關系。

解:提取參數：01(1,0),n=2：。2(-2,0),丁2=1；

計算圓心距:d=|l-（-2）|=3；

半徑和差：q+萬=3,-r2|=1；

對比得：d=q+〃，兩圓外切。

【知識點111直線被圓截得的弦長

（1）幾何法：弦心距4、半徑r和弦長|A用的一半構成史角三角形，弦長|A8|=242-d2.

（2）代數法：設直線y=H+,〃與圓f+V+Dr+Ey+FnO相交于點M,N,代入，消去），，得關于x的一元二次方

程，則［MM=J1+HJ（即+孫）2-4常刖

【例11】求直線x-y=0被圓/+產=4截得的弦長。

解：基礎參數：圓心（0,0）,半徑r=2；

求圓心到直線距離：4=等=0；

代入弦長公式：L=2V22-02=4；

結論：弦長為4。

用心典例精講

【題型一】直線方向向量、傾斜角與斜率綜合題

【例1】（2026?寧夏吳忠?二模）已知經過從（一1,0）.以1,2）兩點的直線的一個方向向量為（1,。，那么4=（）

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】C

【分析】根據直線的方向向量與斜率的關系求解.

【詳解】直線A8的斜率為三言二1,又因為直線的一個方向向量為（1次），所以該直線的斜率也為3故A=l.

故選：C.

【變式1］（多選）已知直線2：四無+丫一2=0,則下列選項中正確的有（）

A.直線2的傾斜角為:B.直線，的斜率為百

6

C.直線，不經過第三象限D.直線［的一個方向向量為0=（-73,3）

【答案】CD

【分析】由直線，：gx+y-2=0,可以得到直線的斜率和傾斜角，從而判斷A和B的正誤；通過計算直線的斜率

和截距，從而判斷是否經過第三象限，判斷C選項的正誤；取直線小反％+y-2=0上兩點，得到直線[的一個方向

向量，從而判斷D選項的正誤.

【詳解】因為+y-2=0,可以表示為y=-6第+2,所以k=一百，傾斜角為斗，故選項A和B錯誤；

因為直線y=-百％+2,故斜率々V0,縱截距b>0,所以直線1不經過第三象限，故選項C正確；

取直線上兩點4（0,2）,8（8,一1）,所以得到方向向量瓦？=（-遮,3）,得到直線，的一個方向向量為訝二（一百,3）,故選

項D正確.

故選：CD

【變式2】（2026?廣西柳州?二模）已知直線!的一個方向向量為卷=（3,-8），則直線Z的傾斜角為.

【答案】千

6

【分析】根據方向向量計算出直線的斜率k,再由k=tana可求傾斜角.

【詳解】因為直線，的一個方向向量為京=（3,-⑹，

所以斜率k=-g,

設傾斜角為a,則k=tana=-y,所以a=等.

故答案為：?

O

【變式3】（2025?上海靜安?一模）已知直線匕：3%-8、+10=0與12：x-V3y=0,則直線。與o的夾角大小是

【答案】？30。

【分析】先根據直線的斜率求出直線的傾斜角，再利用兩條直線傾斜角的大小求出兩條直線的夾角.

【詳解】直線4的斜率為心=百，設直線。的傾斜角為Q（aW[0m））,由tana=V5,可得a=全

直線%的斜率為七=今設直線，2的傾斜角為0（3w[0m）），由匕邛=?,可得"會

所以直線，與的夾角=u~P=7-

1GeO

故答案為：76-

【題型二】直線方程五種形式

【例2】已知直線］過點(皿3)和(3,2),且在“軸上的截距是1,則實數m等于()

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【分析】求得直線I的方程，代入點(m,3)的坐標，可求m的值.

【詳解】因為直線，在工軸上的截距是1，所以過點(1,0),

又直線1過點(3,2),所以直線，的斜率為上二蕓=1,

所以直線I的方程為：y-0=l(x-l),即直線方程為x—y—l=0,

又直線［過點(m,3),所以加一3-1=0,解得m=4.

故選：D.

【變式1】(2026?江西宜春—模)己知直線1的斜率為k,p:k=-l,q:直線/在兩坐標軸上的截距相等，則p是q的

()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【詳解】分析充分性：

己知p:k=-l,設直線Z的方程為：y=-x+b,

當％=0時，y=b,在y軸上的截距為b,

當y=0時,x=b,在%軸上的截距為b,

所以直線1在兩坐標軸上的截距相等，即充分性成立；

分析必要性：

已知q：直線E在兩坐標軸上的截距相等，分兩種情況：

(1)截距不為0時，設兩截距均為Q(aAO),則直線方程為?+，=1,即丫=-%+如此時斜率k=-l;

(2)截距為。時，直線過原點，此時斜率k不?定為-1.

所以必要性不成立.

【變式2】△ABC中，A(3,-1),人8邊上的中線CM所在直線方程為：6x+IOy-59=0,的平分線方程BT

為：x-4y+10=0,求直線8C的方程.

【答案】2x+9y-65=0.

【詳解】試題分析：設則的中點M(等，號)在直線CM上和點力在直線BT上，得8(10,5),求得分&.再根據

到角公式，求得K.，進而求得直線BC的方程.

試題解析：

設則力8的中點M(竽，號)在直線CM匕則6x等+10X第-59=0,即3%+5y0—55=

0..........................①，

又點8在直線87上，則出-4yo4-10=0..........................②聯立①②得6(10,5),,KAB=與署=?

JL/

有B7直線平分乙區則由到角公式得=在，得Ksc=

BC的直線方程為:2x+9y-65=0.

：

【變式3】已知直線k：x-2y+3=0,/22x+3y-8=0.

(1)求經過點M(l,4)且與直線"垂直的直線方程；

(2)求經過直線，1與。的交點，且在兩坐標軸上的截距互為相反數的直線方程.

(3)若直線/:此一丫+2+44=0色￡陽交工軸的負半軸于點4,交y軸的正半軸于點B,。為坐標原點，設4408的

面枳為S,求S的最小值及此時直線/的方程.

【答案】(1)3x-2y+S=0

(2)y=2x或％—y+1=0

(3)S的最小值為16,此時直線/的方程為y=1x+4.

【分析】(1)根據直線，2的斜率可設所求直線方程為y=|%+5，代入點4(1,4)即可求解；

(2)聯立直線。與％的方程可得交點坐標，分截距為。和截距不為0兩種情況分別求解;

(3)先求出4、8兩點的坐標，進而得到△AOB的面積表達式，然后利用基本不等式求出面積的最小值，即可確定直

線I的方程.

【詳解】(1)由直線L2：2x+3y-8=0=y=-梟+軻得直線%的斜率為-(

依題意，所求直線斜率為j則其方程可設為y==x+b,

該直線經過點則4=：xl+b,解得b=q,

故所求直線方程為y=|x+"W3x-2y+5=0；

(2)聯立解得(J二;，即直線4與％的交點為(L2)，

當直線經過原點時，滿足題意，設直線方程為y=k%,

代入(L2)解得k=2,此時y=2x：

當直線的截距都不為0時，設直線方程為:+，=l(a,b00),

依題意解得a=-l,b=l,此時直線方程為％-y+l=0,

.ab

綜上，所求直線方程為y=2x或x-y+1=0.

(3)由題可■知〃>0.

在kx-y+2+4k=0中，令y=0,解得％=-4匕即得人(一專產.0),

再令％=0,可得y=4k+2,即得8(0,4k+2),

故S=；\0A\"OB|=[x噌x(4k+2)=2咒a=2(4k+白+4),

/ZKK\K/

則S=2(4A+番+4”2(21+4)=2x(4+4)=16

當且僅當4k=即A=；時取等號，

K乙

故S的最小值為16,此時直線/的方程為y=3%+4.

【題型三】兩條直線位置關系判定

Ax

【例3】(2026.重慶.模擬預測)在平面中，己知直餞Atx4-Bvy+=0當不同時為零)，％：z+

B2y+C2=0(4，B2不同時為零)，則442+&82=0是/1_1。的()

A.充要條件B.充分而不必要條件

C.必要而不充分條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【詳解】A.A2+B1B2=0是，1_L1的充要條件.

【變式1](2026?湖南郴州?模擬預測)以4(2,3),8(6,7),C(13,0),。(9,一4)為頂點的四邊形是()

A.矩形B.菱形C.直角梯形D.正方形

【答案】A

【詳解】根據斜率公式上="二力■，代入四個點坐標4(2,3),B(6,7),C(13.0),0(9,-4),

X2~X1

則=^=I'M==l&D=-^7=-I/BC==-1，

所以48IICD,ADIIBC,

兩組對邊分別平行，該四邊形是平行四邊形，

又因為kAB?%=1x(-1)=-1,所以力51AD,即鄰邊垂直，則該平行四邊形為矩形，

再根據兩點間距離公式可得：\AB\=J(6-2尸+(7-3尸=4y/2,\AD\=7(9-2)2+(-4-3)2=7/2,

由于鄰邊長度不相等，排除菱形、正方形，故該四邊形是矩形.

【變式2】若4,〃為正實數，直線工+(b-2)y+1=0與直線ax+y-2=0互相垂直，則岫的最大值為

【答案】1

【分析】由題得a+b-2=0,再利用基本不等式求解.

【詳解】解：依題意得ax1+b-2=0,所以a+b-2=0,

即2=a+bN2>/^,二abW1,當且僅當a=b=l時，等號成立，

故ab的最大值為1.

故答案為：1

【變式3]“Q=2”是“直線QX+2y+1=0和直線3%+(a+l)y-2=0平行”的條件(填"充分不必要是“必要

不充分”，“充分必要”或“既不充分又不必要”)

【答案】充分不必要

【分析】根據充分條件和必要條件的定義以及直線平行的性質，即可得到結論.

【詳解】若“a=2”則直線2%+2丫+1=0和直線3%+3丫-1=0平行，即充分性成立，

若a=0,直線ax+2y+1=0和直線3x+(a+l)y—2=0平行為2y+1=0和直線3%+y-1=0不平行，

若aH0,若直線ar+2y+1=0和直線3%+(a+l)y—2=0平行，貝哈二與士

即以Q+1)=6,解得a=2或a=-3,經檢驗a=-3或a=2均滿足，即必要性不成立，

故“a=2”是直線ax+2y+1=0和直線3X+(a+l)y-2=0平行的充分不必要條件，

故答案為：充分不必要

【點睛】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，利用直線平行的等價條件是解決本題的關鍵.

【題型四】三類距離公式計算題

【例4】在MBC中,設點4(心,%),8%,坊),。供，%)，利用二次函數知識可確定出到△4BC的3個頂點距離的平

方和最小的點為△力8。的()

A.重心B.垂心C.外心D.內心

【答案】A

【分析】設點P(x,y),根據兩點間的距離公式，結合二次函數的性質，即可求解.

【詳解】設點P(x,y),其中x,yER,

則|P*2+\PB\2+|PC|2=a_&)2+(y_g)2+(%一%)2+(y_知)2+(x,女產+(y-

=3/-2(孫+xB+xc)x+(M+4+=)+3y2_2(yA+yB+yc)y+(療+解+竟)

當y=以+；+*C且y=Z4++yc時,|p川2+|PB|2+|PC|2取得最小值，

此時點口工)，)為4/8C重心.

故選：A.

【變式1](2026?江蘇南通?模擬預測)寫一個到直線k3x-4y-3=o,/2：3x-4y-9=0的距離相等的點的

坐標.

【答案】(2,0)

【詳解】，1：3%-4、-3=0,，2：3%-4、-9=0,

因為匕〃%，所以到，1和%距離相等的點在這兩條直線的中位線上，

設中位線的方程為士3x-4y+c=0,

根據平行線間的距離公式可得俘此的距離為責言/倒替的距離為懸深，

l￡-(-3)|_|c-(-9)|解得c=-6,即1:3%—4丫-6=0,

X/32+(-4)2732+(-4)2

當％=2時，代入可得y=0,即(2,0)到直線。和％的距離相等.

【變式2】(2025?吉林?模擬預測)平面上的整點(橫縱坐標都是整數的點)到直線15%+20丫+23=0的距離的最

小值為.

【答案】^/0.08

【分析】設整點(a,b),由點到線的距離公式5(3a+4b)=c-23,得到c-23是5的倍數，進而可求解.

【詳解】設整點(a,b)(a,bEZ),則d=If+231,

???a,bEZ,???15Q+20b+23=cGZ,

:.5(3。+4b)=c-23￡Z,是5的倍數，

2

?**c—23=-25,c=-2,：?dmm=

故答案為：言

【變式3】已知三角形ABC的頂點坐布為A(-1,5)、B(-2,-1)>C(4,3),M是BC邊上的中點.

(1)求人8邊所在的直線方程；

⑵求中線AM的長

(3)求A8邊的高所在直線方程.

【答案】(l)6x—y+ll=0；

(2)275；

(3)x+6y—22=0.

【分析】（1）由兩點式寫出直線方程，整理為一般式即可，也可求出斜率，再由點斜式得直線方程；

（2）由中點坐標公式求得中點M坐標，再由兩點間距離公式計算可得；

（3）先求直線的斜率，由垂直關系可得A8邊高線的斜率，可得高線的點斜式方程，化為一般式即可.

【詳解】（1）法一：由兩點式寫方程得拿二三、即6x—y+11=0；

-1-5-Z+1

法二；直線4Z7的斜率為A:==丁、=6,

一2一（一1）

直線48的方程為y-5=6（%+1）,即6%-y+ll=0：

（2）設M的坐標為（Xo，yo）,則由中點坐標公式可得a==F=l,y（）=三蛆=1,故

所以14Ml=J（1+1）2+（1-5）2=2V5；

（3）直線AB的斜率為上==6,

一2一（一1）

所以由垂直關系可得A8邊高線的斜率為-：，

6

故邊的高所在直線方程為y-3=-y（x-4）,化為一般式可得：x+6y-22=0.

6

【題型五】圓的方程求解（一般式與標準式互化）

【例5】（2025?山西晉中?三模）已知圓C的一般方程為一+丫2-6丫+4丫+12=0,則圓C的圓心坐標為（）

A.（3,2）B.（-3,2）C.（3,-2）D.（-3,-2）

【答案】C

【分析】由一般方程得到標準方程即可求解.

【詳解】由/+y2-6%+4y+12=0,

得（％-3）2+（y+2）2=1,

可知圓C的圓心坐標為（3,-2）.

故選：C

【變式1】（2025?北京海淀?一模）已知直線丫=。工+6經過圓/+/+2%=0的圓心，則小+力的最小值為（）

A.-1B.

C.0D.1

【答案】B

【分析】將圓的一般方程化為標準方程，從而得出圓心坐標，將其代入直線y=ax+b中得出b=a,從而將目標轉化

為求二次函數的最小值.

【詳解】x2+y2+2%=0可化為(x4-1)24-y2=1,故圓心為(一1,0),

因直線y=QX+b經過圓心，則匕=a,

則y=a2+b=a2+Q,此二次函數開口朝上，對稱軸方程為。=一也

2

故其最小值為(-3+一：

故選：B

【變式2】(多選)設。為坐標原點，直線x+77iy-m-2=0過圓+V-8%+6y=0的圓心且交圓于P,Q兩

點，則()

A.\PQ\=5B.m=1

C.AOPQ的面積為5遙D.0M1PQ

【答案】BC

【分析】對于A,整理圓的方程為標準方程，明確圓心與半徑，可得答案；

對于B,由題意，將圓心代入直線方程，求得參數，可得答案；

對于C,利用點到直線的距離公式求得三角形的高，結合三角形的面積公式，可得答案；

對于D,根據兩點求得斜率，利用垂直直線斜率的關系，可得答案.

【詳解】由圓的方程/+y2-8x+6y=0,

則(％—4產+(y+3)2=25,所以圓心”(4,一3),半徑r=5,

易知|PQ|=10,故A錯誤；

將M(4,-3)代入直線方程％+my-m-2=0,則4-3m-m-2=。，解得m=5故B正確；

將m=§代入直線方程3+my-m-2=0,整理可得直線方程2%+>-5=0,

原點到直線2x+y-5=0的距離d=!群『=V5,且此為△OPQ底PQ上的高，

所以SAOFQ=?d?\PQ\=|xV5xlO=5V5,故C正確；

由。(0,0)與M(4,-3),則直線0M的斜率燈-：，

4-04

由直線方程2%+y-5=0,則直線PQ斜率七=一2,

由自42二|。一1,則。M與PQ不垂直，故D錯誤.

故選：BC.

【變式3】(2025?上海浦東新?二模)設圓C方程為"+'2+4%一6了+10=0,則圓C的半徑為.

【答案】V3

【分析】將圓。的方程化為標準方程，可得出圓C的半徑.

【詳解】將圓C的方程化為標準方程可得Q+2)2+⑶一3尸=3,故圓C的半徑為6.

故答案為：V3.

【題型六】點與圓的位置關系判斷

【例6】(2026.吉林?二模)己知圓。：(％-l)2+y2="，則“點M[2,l)在圓。外”是“點N(0,2)在圓。外”的()

A.充要條件B.充分不必要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【分析】根據點與圓的位置關系，充分條件、必要條件的概念判斷即可.

【評解】若點M(2,l)在圓。外，則(2-1)2+M>r2,所以2V2.

若點N(0,2)在圓。外，則(0—1)2+22>產，所以。<產<5.

顯然｛MIO<r2<2｝是｛/0<r2<5｝的真子集，

故“點M(2,l)在圓。外”是“點N(0,2)在圓。外”的充分不必要條件.

【變式1】(2026?湖北省直轄縣級單位?模擬預測)若點P(2,l)在圓好+丫2+4%一2)/+左一1=0外，則實數k的取

值范圍為()

A.(-10,+0□)B.(-10,6)C.(-oo,-10)D.(6,+oo)

【答案】B

【分析】先找到圓心坐標及半徑，然后根據點到圓心的距離大于半徑時點在圓外計算即可.

【詳解】點P(2,l)在圓/+3/2+4%一2丫+左一1=0外，即點到圓心的距離大于半徑.

將圓方程化為標準形式得(％+2)2+(y-l)2=6-k,圓心為(一2,1),點P到圓心距離為4,

故有貨>6-f,解得_iovk<6;

(6-/c>0

故選：B

【變式2](多選)(2026?河南?三模)已知點A(l,0),B(4,0),M為圓。：/+丫2=4上一點，則()

A.點8在圓。外B.|MB|的最大值為6

C.\MB\=^\MA\D.|M*+|MB|的最大值為9

【答案】ABD

【分析】由點與圓的位置關系以及兩點間的距離求解即可.

【詳解】對于A,|0B|=4>2,所以.B在圓。外，A正確；

對于B,\MB\<\OB\+2=6,B正確；

對于C,當M(2,0)時，|M8|=2,|M*=1,|MB|w||MA|,C錯誤；

對于D,設M?),%)),則以+羽=4,故|M8|=J(XQ-4。+據=J(xo-4"+4-歐=25/5-2出,

2

\MA\=7(x0-I)+yS=—I)?+4—已=V5-2x0,所以|M川+\MB\=<9,

當且僅當|MB|=6時取等，D正確.

【變式3](2024.廣西南寧.二模)若過點P(0,l)可作圓Q—1)2+。—27=5-。的兩條切線，則Q的取值范圍是

【答案】(3,5)

【分析】由方程表示圓可得5-。>0,由題意可得點P(O,1)在圓外，可得(0-1)2+(1-2)2>5-%可求a的取值

范圍.

【詳解】由Q-I)2+(y-2/=5-a表示圓，則5-a>0,所以Q<5,

又過點;P(O,1)可作圓Q-1)2+(y-2)2=5—a的兩條切線，

所以點P(O,1)在圓外,所以(0-1)2+(1—2)2>5-a,解得Q>3.

所以Q的取值范圍是(3,5).

故答案為：(3,5).

【題型七】直線與圓位置關系判定

【例7】(2024.河北衡水.模擬預測)直線上工-m、+7?;+2=0與圓。:％2+'2+4無+3=0的位置關系為()

A.相交B.相切C.相離D.與〃?的取值有關

【答案】A

【詳解】圓C：(x+2)2+y2=i,則圓心c(一2,0),半徑R=L

所以圓心。到直線/的距離d=者!〒=區V1=R,所以直線/與圓C相交.

V7n2+1m2+l

【變式1](2026?廣東清遠?二模)(多選)已知方向向量為(a,2a)3H0)的直線/與圓/+y2=5相切，則直線1的

方程為()

A.2%—y+5=0B.2x—y+3=0

C.2x—y-5=0D.2x—y-3=0

【答案】AC

【詳解】由題意可得直線的斜率/c=2,

設直線方程為y=2%-匕，

因為直線/與圓+y2=5相切，所以號=yjs=>b=±5,

所以直線[的方程為2%-y+5=0或2%-y-5=0.

【變式2](2024.新疆烏魯木齊.一模)已知集合4={(x,y)|x-y=l},B={(x,y)|(x-2)2+(y+3)2=9},則

4nB的子集個數為.

【答案】4

【分析】根據直線與圓的位置關系求出集合力nB的元素個數，再求解子集個數即可.

【詳解】集合力表示直線％-y=1上點的集合，集合B表示圓a-2)2+⑶+3)2=9上點的集合.

圓(％-2)2+0+3)2=9的圓心坐標為(2,-3),半徑為3,

點(2,-3)到直線x-y=1的距離為卻嗎=2V2<3,

所以直線x-y=1與圓(之一2)2+(y+3)2=9相交，

所以AnB共有2個元素，所以An8的子集個數為2?=4.

故答案為：4.

【變式3】已知直線/：x-2y-l=0,圓C：(%+2尸+(y—l)2=5,寫出一個與直線/和圓C都相切且半徑為

2y的圓的標準方程.

【答案】(X+3)2+(y-3)2=20(答案不唯一)

【分析】結合題意，判定該直線與圓相切，找到滿足與該直線和該圓外切和內切的圓即可.

【詳解】易知圓C：G+2產+(y—1)2=5的圓心為C(一2,1),半徑為近，

所以圓心C到直線/的距離d=匕科=V5,所以直線/和圓C相切.

V5

易知過圓心C且與/垂直的直線方程為2x+y+3=0,聯立方程得解得［;二;，

所以直線/與圓C的切點的坐標為(一1,-1),

易得點關于圓心(-2,1)的對稱點的坐標為(一3,3),于是符合條件的?個圓的標準方程為。-3)2+(y+3)2=

20；(此時兩圓相內切).

點(一3,3)關于點(一1,一1)的對稱點的坐標為(1,-5),因此符合條件的另一個圓的標準方程為(％-1尸+(y+5)2=

20；(此時兩圓外切，且在直線/的兩測).

過點(一3,3)且與直線/：x-2y-l=0平行的直線方程為％-2y+9=0,

設所求圓的圓心為(2b-9,b),由(2b-9+27+(8-1)2=45,解得力=3±2或,

所以圓心為(一4企一3,-2或+3)或(4近-3,2或+3),

于是得符合條件的圓的標準方程為(x+3+4&)+(y-3+2V2)=20或(％+3-4&)+(y-3-2a)=

20.(此時兩圓外切，且在直線/的同測).

故答案為：(％+37+(y-3)2=20,或(％—1尸+(y+5)2=20,

或(4+3+4V2)2+(y-3+2a)2=20,或(x+3-472)24-(y-3-2/『=20.

(答案不唯一，只需寫出一個圓的標準方程即可).

【題型八】圓與圓位置關系判定

【例8】(2025?河南?模擬預測)圓/+y2-2%-2y+l=0與圓/+丫2+軌+6、+9=0的位置關系是()

A.相切B.外離C.內含D.相交

【答案】B

【分析】將兩圓的方程化為標準形式，求出圓心和半徑，根據圓心距與半徑和差的大小關系判斷圓與圓的位置關系即

可.

【詳解】圓32+y2-2x-2y+l=0即(無一l)2+(y-l)2=l,圓心為(1,1),半徑為1;

圓必+y*+4x+6y+9=0即(％+2)z+(y+3)z=4,圓心為(一2,-3),半徑為2；

圓心距為)(1+2尸+(1+3尸=5,因為5>1+2,所以兩個圓外離.

故選：B

【變式1](2024?山西陽泉?三模)(多選)已知圓C:爐+西=1,4(4,a),8(4,-a),若圓C上僅存在一點P使P4_L

PB,則正實數a的取值可以是()

A.2B.3C.4D.5

【答案】BD

【分析】由題意可得以A8為直徑的圓與圓C相內切或外切，得出該圓圓心與半徑后，結合圓與圓的位置關系計算即可

得.

【詳解】若圓C上僅存在一點P使PA1P8,則以AB為直徑的圓與圓C相內切或外切，

由4(4,a),8(4,-a),則以為直徑的圓的圓心為(4,0),半徑為。＞0,

則有J(0-4)2+(0-0)2=1+a或J(0-4尸+(0—0①=|l-a|,

分別解得a=3或a=5,故。=3或a=5,

故B、D正確，A、C錯誤.

故選；BD.

【變式2］已知圓G的圓心在直線“+2y-l=0上，點(3,0)與(1,一2)都在圓G上，圓C2:(%—3尸+(y+=1,

則G與Cz的位置關系是.

【答案】相交

【分析】利用待定系數法求得圓G的標準方程，求出圓心距IC1C2I，與兩圓的半徑和、差比較即可得出結論.

【詳解】設圓Q的標準方程為a-a)2+(y-b)2=療，

因為圓心G在直線％+2y-1=0上，且該圓經過(3,0)與(1,一2)兩點，

a+2b—1=0(a=1

(3-a)2+(0-b)2=中，解得b=0,

((1-a)2+(-2-bp=r}卜=2

即圓G的標準方程為Q—l)2+y2=4,圓心cI(l,0),半徑q=2,

又圓。2：(第一3)2+(y+1)2=1,圓心。2(3,—1),半徑廠2=1，

；?IGC2I=J(3—+I2=縣,又ri+z*2=3,rt-r2=1?而1VV5V3,

???G與G的位置關系是相交.

故答案為：相交.

【變式3］己知圓。:(％+1)2+'2=/(丁＞0),點4(2,0),8(0,4).

(1)若圓。上存在點P滿足而?而=0,求半徑丁的取值范圍；

(2)對于線段48上的任意一點Q,若在圓C上都存在不同的兩點M,N,使得點M是線段QN的中點，求r的取值范圍.

【答案】(1)[2/-62或+網

⑵殍，嗡

【分析】(1)根據垂直關系可得以48為直徑的圓的方程為1)2+y2=5,即可根據兩圓位置關系求解.

(2)根據中點坐標公式得到M,N,再將兩點的坐標代入圓。方程，建立方程組，根據方程組有解轉化為圓與圓的位

置關系進行求解.

【詳解】(1)力8的中點為E(l,2),所以以4B為直徑的圓的方程為Q-l)2+y2=5,

由于圓C上存在點P滿足希?而=0,

則P在以48為直徑的圓上，故該圓與C:Q+1)2+f=丁2。>0)有交點即可,

所以一"+r，解得2&-V5<r<V5+2V2

(2)由題可知，圓。:。+1)2+、2=產(丁>0),所以圓心C(-l,0),

直線48:y=4-4=—2x+4,

因為Q為線段48上的任意一點，所以設Q(a,—2a+4),0<a<2,NQ,y),

因為M為QN的中點，

所以M(等，號3，

又因為M,N都在以點C為圓心的圓上，

((x+l)2+y2=r2222

所以g+i)2+(方r4)2=/，即(x+I)+y=r

(無+a+2)2+(y-2a+4)2=4r2'

所以方程組有解，即。(-1,0)為圓心r為半徑的圓與(-Q-2,2a-4)為圓心2/?為半徑的圓有公共點，兩圓圓心距離為

J(a+1)2+(2a-4尸=卜(口一丁+日,

所以廠工<3r對aW[0,2]恒成立，

因為a€[0,2]時，Jf4/（""+養舊,所以?"后，解得日工廠工竿，

（3r>>/17

又因為Q[a,-2a+4）在圓C外，所以（a+1）?+（-2。+4）>r?恒成立，所以r2V（5a?-14a+17）疝…aW[0,2],

所以r<等，

所以山苧，等），

【題型九】直線截圓弦長計算

【例9】（2026?重慶?模擬預測）設圓M：x2+y2=l與圓N：（x-I）2+（y-I）2=2交于P,Q兩點，則線段

PQ的長度為（）

A.；B.；C.V3D.李

222

【答案】D

（詳解】圓M：/+y2=1,圓N：（X—1）2+（y-1）2=2.

展開圓N：x2—2%+1+y2-2y4-1=2,即產+y2—2x-2y=0.