2026年高考數學一輪練習 第十章 第三節 隨機事件與概率（附答案）

§10.3隨機事件與概率

分值：100分

知識過關

一、單項選擇題（每小題5分，共30分）

1.從5個男生、2個女生中任意選派3人，則下列事件中是必然事件的是（）

A.3個都是男生B.至少有1個男生

C.3個都是女生D.至少有1個女生

2.拋擲一枚質地均勻的硬幣，如果連續拋擲2025次,那么第2024次出現正面朝上的概率是（）

3.從2,3,5,7,11這5個素數中，隨機選取兩個不同的數，其積為偶數的概率為（）

A.|B.|C.l

4.某校希望統計學生是否曾在考試中作弊，考慮到直接統計可能難以得到真實的回答，故設計了如下方案:

在一個袋子里放入只有顏色和序號不同的紅球和綠球各50個，分別編號為1~50,被調查的學生從中隨機

摸出--個，確認顏色和序號后放回（調查者不知道），摸到紅球的學生回答“你摸到的球的序號是否為奇

數？”，摸到綠球學生的回答“你是否曾在考試中作弊？”.共調查了1200名學生，得到了390個“是”

的回答，據此估計該校學生的作弊率為（）

A.15%B.20%C.5%D.10%

5.甲、乙兩位同學到莆田市湄洲島當志愿者，他們同時從“媽祖祖廟”站上車，乘坐開往“黃金沙灘”站

方向的3路公交車（線路圖如下）.甲將在“供水公司”站之前的任意一站下車，乙將在“鵝尾神化石”站之

前的任意一站下車.假設每人自“管委會”站開始在每一站點下車是等可能的，則甲比乙后下車的概率為

12345678910111213141516）71?192（）21222321

后黃

東

鵝海

福下

白

下陽

港媽

輪

媽基

蓮

金蓮

北供

地

興閩

寶.

至

山

巷

樓

金

尾

佑

祖

池

水

景

石

海

范

渡

池

祖

稅

臺

海

白

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域

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沙

沙

公

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街

大

玉

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小

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風

街

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女

庫

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局

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Mi東

石

安

店

閣

街

環

里

)環

)

173

BCD

一

-一-

A.5

3010

6.15個人圍坐在圓桌旁，從中任取4人，他們兩兩互不相鄰的概率是（）

A瑞B目D郎

二、多項選擇題（每小題6分，共12分）

7.（2025?哈爾濱模擬）一個袋子中有4個紅球，6個綠球，采用不放回方式從中依次隨機取出2個球.事件

4="兩次取到的球顏色相同”，事件8:“第二次取到紅球"，事件C="第一次取到紅球”.下列說法正確

的是（）

A.AQB

B.事件8與事件C是互斥事件

C.P（AB）《

D.P（B+C），2

8.某冷飲店為了保證顧客能買到當天制作的雙皮奶，同時盡量減少滯銷，統計了30天的銷售情況，得到如

下數據：

日銷售量的[25,35)[35,45)[45,55)[55,65)[65,75]

天數46956

以樣本估計總體，用頻率代替概率，則下列結論正確的是（）

A.估計平均每天銷售50杯雙皮奶（同一組區間以中點值為代表）

B.若當天準備55杯雙皮奶，則售罄的概率為總

C.若當天準備45杯雙皮奶，則賣不完的概率為3

D.這3（）天雙皮奶日銷售量的80%分位數是65杯

三、填空題（每小題5分，共10分）

9.（2025?八省聯考）有8張相同的卡片，分別標有數字1,2,3,4,5,6,7,8.現從這8張卡片中隨機抽出

3張，則抽出的3張卡片上的數字之和與其余5張卡片上的數字之和相等的概率為.

10.通過手機驗證碼注冊某APP時,收到的驗證碼由四個數字0426皿其中的￡[0,1，2,…，9},1=1,2,

3,4）隨機組成，如果驗證碼mssoi滿足小＜。2＜的＜出，則稱該驗證碼為遞增型驗證碼.某人收到一個驗證

碼，則它是首位為2的遞增型驗證碼的概率為.

四、解答題（共28分）

11.（13分）某市A,8兩所中學的學生組隊參加辯論賽，A中學推薦了3名男生、2名女生，8中學推薦了3

名男生、4名女生，兩校所推薦的學生一起參加集訓.由于集訓后隊員水平相當，從參加集訓的男生中隨機

抽取3人，女生中隨機抽取3人組成代表隊.

（I）求A中學至少有I名學生入選代表隊的概率；（6分）

（2）某場比賽前，從代表隊的6名隊員中隨機抽取4人參賽，求參賽女生不少于2人的概率。分）

12.（15分）第十五屆中國國際航空航天博覽會于2024年11月12日在珠海國際航展中心開幕，我國空軍匯

聚多方智慧，研討無人智能、通航建設，帶來「殲-35A、紅-19等新型裝備.某巾為了了解居民對航空航天

知識的認知程度，舉辦了一次“航空航天”知識競賽，滿分100分（90分及以上為認知程度高），結果認知

程度高的有機人，按年齡分成5組，其中第一組：［20,25）,第二組：［25,30）,第三組：［30,35）,第四

組：［35,40）,第五組：［40,45］,得到如圖所示的頻率分布直方圖.

().07

0.06

()5

(H

()3

()2

()1

2）253（）35?）45年齡/歲

（I）根據頻率分布直方圖，估計這用人年齡的第85百分位數；（6分）

（2）現從以上各組中采用按比例分配的分層隨機抽樣的方法抽取20人，擔任“航空航天”的宣傳使者.若有

甲（年齡31）、乙（年齡34）、丙（年齡42）三人已確定入選宣傳使者，現計劃從第三組和第五組被抽到的使者

中，再隨機抽取2人作為組長，求甲、乙、丙三人中至少有一人被選中的概率.（9分）

K能力拓展

每小題5分，共20分

13.整數集就像一片浩瀚無邊的海洋，充滿了無盡的奧秘.古希臘數學家畢達哥拉斯發現220和284具有如

下性質：220的所有真因數（小包括本身的因數）之和恰好等于284,同時284的所有真因數之和也等于220,

他把具有這種性質的兩個整數叫做一對“親和數”，“親和數”的發現掀起了無數數學愛好者的研究熱潮.

己知220和284,1184和1210,2924和2620是3對“親和數”，把這六個數隨機分成兩組，一組2個

數，另一組4個數，則220和284在同一組的概率為（）

A.-B.-C.—D.i

155155

14.（2025?泉州模擬）如圖，有一個質地均勻的正八面體，八個面分別標以數字I到8.將該八面體連續拋擲三

次，按順序記錄它與地面接觸的面上的數字，則這三個數恰好構成等差數列的概率為.

15.（2024?昆明模擬）在某次國際商貿交流會展期間，舉辦城市為了提升安保級別，在平時正常安保的基礎上

再將甲、乙等6名特警人員分配到展區附近的4個不同的路口進行執勤，若每個特警只能分配去1個路口

且每個路口至少安排1名特警，則甲和乙不安排在同一個路口執勤的概率是.

16.（2024?長沙模擬）已知集合B,。是集合A的真子集且BDC=0,如果W/W4,,c^C,使得a=Ab

+9,其中2,,1},則稱B,C是集合4的一組有序基底集，記為（8,。.已知A={1,2,3,4},

且（8,O為A的一組有序基底集，則集合8中的元素之和小于4的概率為.

答案精析

1.B2.D3,A

4.A［調查的1200名學生中，摸到紅球的概率是］,其編號是奇數的概率也是:,摸到綠球的概率為1,即

摸到紅球的人數約為1200X；=600,摸到綠球的人數約為I2OOX/=6OO,所以回答問題“你摸到的球的序

號是否為奇數？”且回答“是”的學生人數約為600X1=300,回答問題“你是否曾在考試中作弊？”且回

答“是”的學生人數約為390-300=90,所以估計該校學生的作弊率為券X100%=15%.］

5.C［甲從“管委會”站到“北康（東環）”站的每一站下車都可以，有8種情況，

乙從“管委會”站到“東至”站的每一站下車都可以，有15種情況，

若乙在“管委會”站下車，則甲有7種情況，

若乙在“地稅分局”站下車，則甲有6種情況，

若乙在“興海路”站下車，則甲有5種情況，

若乙在“閩臺風情街”站下車，則甲有4種情況，

若乙在“蓮池小學”站下車，則甲有3種情況，

若乙在“金海岸”站下車，則甲有2種情況，

若乙在“蓮池沙灘”站下車，則甲有1種情況，

因此，甲比乙后下車的概率為p」+2+3：4：5+6+7=三二

8X158X1530

6.A[15個人圍坐在圓桌旁，從中任取4人，他們兩兩互不相鄰，則可先讓11個人入坐好，再讓其余4人

插空，共有等小3種不同的圍坐方法，所以所求概率是當&

11AI591

IT

7.CD[由題意可得，事件A包含的取球顏色為｛（紅，紅），（綠，綠）｝,事件8包含的取球顏色為｛（紅，紅），

（綠，紅）｝,事件C包含的取球顏色為｛（紅，紅），（紅，綠）｝,則A不包含于8,選項A錯誤；

Bncw。,選項B錯誤；

事件AA包含的取球顏色為｛（紅，紅）｝,P（4B尸學二，選項C王確；

Cio15

事件B+C包含的取球顏色為｛（紅，紅），（綠，紅），（紅，綠）｝,P（B+C）二弋常三，選項D正確.]

AUzv

8.BCD|平均每天雙皮奶的銷售量為

30X4+40X6+50X9+60X5+70X6_,."、o

---------------------二51（杯），A錯供；

JU

日銷售量不小于55杯的概率為誓:總，B正確；

日銷售量小于45杯的概率為詈專，C正確；

1-^=0.8,因此這30天雙皮奶日銷售量的80%分位數是65杯，D正確

9.-

56

解析從8張卡片中隨機抽出3張，則樣本空間中總的樣本點個數為備=56,

因為1+2+3+4+5+6+7+3=36,

所以要使抽出的3張卡片上的數字之和與其余5張卡片上的數字之和相等，則抽出的3張卡片上的數字之

和應為18,

則抽出的3張卡片上的數字的組合有8,7,3或8,6,4或7,6,5共3種，

所以符合抽出的3張卡片上的數字之和為18的樣本點有3個，

所以抽出的3張卡片上的數字之和與其余5張卡片上的數字之利相等的概率為

56

10.—

2000

解析由題意設該驗證碼為。1。2的44,則。尸2,2＜〃2＜的＜。4,；?〃2,。3,從3,4,5,6,7,8,9中選，

選出3個數，讓其按照從小到大的順序排列有?=35（種）排法，

又四位驗證碼共有10X10X10X10=10000（種）排法,

???它是首位為2的遞增型驗證碼的概率為口二義.

100002000

II.解(1)由題意，參加集訓的男生、女生各有6名.

參賽學生全從B中學抽取(等價于A中學沒有學生入選代表隊)的概率為察二七，

C6c6100

故A中學至少有1名學生入選代表隊的概率為1-*=捺.

100100

(2)設“參賽的4人中女生不少于2人”為事件C,“參賽女生有2人”為事件。，“參賽女生有3人”為

事件E.

則P(D)二萼q,

Pn(/rEr\)=~^=1?

%'

由互斥事件的概率加法公式，得

P(Q=P(D)+P(E)=^--=-,

ODO

故所求事件的概率為，

12.解(I)由頻率分布直方圖得,年齡在[2。,25),[25,30),[30,35),[35,40),[40,45]的頻率分別為

0.05,0.35,0.3,0.2,0.1,

由各組頻率知第85百分位數。￡(35,40),

由(40-4)X0.04=0.9-0.85,解得。=38.75,

所以第85百分位數為38.75.

(2)由第三組、第五組的頻率可知第三組抽取20義0.3=6(人)，第五組抽取20X0.1=2(人)，

方法一不妨設除甲、乙、丙外的五人為A,8,C,。，E,于是從第三組和第五組被抽到的使者中抽取2

人的所有情況為：

甲A,甲8,甲C,甲。，甲E,甲乙，甲丙，乙A,乙8,乙C,乙。，乙E,乙丙，丙A,丙8,丙C,

丙。，丙石，43,AC,4。，AE,8C,肛BE,CO,CE,OE,共28種，

其中甲、乙、丙都沒被抽到的情況有A8,AC,AO,AE,8C,8。，,CO,CE,DE,共10種，

所以甲、乙、丙三人中至少有一人被選中的概率為1--.

方法二由題意知，甲、乙、丙三