2026年高考數學一輪復習講義集合（知識點+試題+8大考點+1類典型易錯）

第01講集合

目錄

第一部分：基礎知識................................................................1

第二部分：高考真題回顧............................................................3

第三部分：高頻考點一遍過..........................................................3

高頻考點一：集合的基本概念....................................................3

高頻考點二：元素與集合的關系..................................................4

高頻考點三：集合中元素的特性..................................................4

高頻考點四：集合的表示方法....................................................4

高頻考點五：集合的基本關系....................................................5

高頻考點六：集合的運算........................................................6

高頻考點七：/〃〃圖的應用.....................................................7

高頻考點八：集合新定義問題....................................................8

第四部分：典型易錯題型...........................................................10

第一部分：基礎知識

元素與集合

(1)集合中元素的三個特性：確定性、互異性、無序性.

(2)元素與集合的關系：屬于或不屬于，數學符號分別記為：￡和史.

(3)集合的表示方法：列舉法、描述法、韋恩圖(現〃屋圖).

(4)常見數集和數學符號

數集自然數集正整數集整數集有理數集實數集

符號NN*或N.ZQR

說明：

①確定性：給定的集合，它的元素必須是確定的；也就是說，給定一個集合，那么任何一個元素在不在這

個集合中就確定了.給定集合A={1,2,3,4,5},可知IwA,在該集合中，6/4,不在該集合中；

②互異性：一個給定集合中的元素是互不相同的；也就是說，集合中的元素是不重復出現的.

集合A={。,4(?}應滿足4。〃工C.

③無序性：組成集合的元素間沒有順序之分。集合A=(1,2,3,4,5}和8={1,3,5,2,4}是同一個集合.

④列舉法

把集合的元素一一列舉出來，并用花括號“{}”括起來表示集合的方法叫做列舉法.

⑤描述法

用集合所含元素的共同特征表示集合的方法稱為描述法.

具體方法是：在花括號內先寫上表示這個集合元素的一般符號及取值（或變化）范圍，再畫一條豎線，

在豎線后寫出這個集合中元素所具有的共同特征.

2、集合間的基本關系

（1）子集（subset）：一般地，對于兩個集合A、B,如果集合A中任意一個元素都是集合8中的元素,

我們就說這兩個集合有包含美系，稱集合4為集合〃的子集，記作人胃〃（或92八），讀作“A包含

于（或包含A”）.

（2）真子集（propersubset）：如果集合4口B,但存在元素xeB,且我們稱集合A是集合8的

真子集，記作AU3（或.讀作“A真包含于3”或“3真包含A”.

（3）相等：如果集合A是集合B的子集（Aq3,且集合8是集合A的子集（BqA）,此時，集合A

與集合B中的元素是一樣的，因此，集合A與集合8相等，記作A=〃.

（4）空集的性質：我們把不含任何元素的集合叫做空集，記作0；0是任何集合的子集，是任何非空集

合的真子集.

3、集合的基本運算

（D交集：一般地，由屬于集合A且屬于集合B的所有元素組成的集合，稱為A與8的交集，記作AC4,

即An3={x|xwA且xwB].

（2）并集：一般地，由所有屬于集合A或屬于集合B的元素組成的集合，稱為A與8的并集，記作AU

即AUB={R|xeA,垢￡8}.

（3）補集：對于一個集合A,由全集U中不屬于集合A的所有元素組成的集合稱為集合A相對于全集U

的補集，簡稱為集合A的補集，記作CuA,即=且x任A}.

4、集合的運算性質

（1）AC\A=A,AA0=0>AC\B=BC\A.

（2）ALM=A,A\j0=AtAUB=8UA.

（3）An（QA）=0,AU（QA）=U,CU（CUA）=A.

5、高頻考點結論

（1）若有限集A中有〃個元素，則A的子集有2"個，真子集有2〃-1個，非空子集有2"-1個，非空真子

集有2"-2個.

（2）空集是任何集合A的子集，是任何非空集合8的真子集.

（3）4。0Ap|8=AOAUBUBOCUBUQ/.

（4）&（4（18）=（。"）11（。，3）,q（AU8）=（QA）n（G，B）.

第二部分：高考真題回顧

?北京?高考真題）已知集合M={x|-3<xvl},貝）M=N=（）

1.（2024N={x\-\<x<4}t

A.{x|-l<x<l|B.{x|x>-3}

C.{x|-3<x<4}D.{x|xv4}

2.（2024?全國甲卷?高考真題）若集合A={1,2,3,4,5,9},/3=卜,+16可，則人口8=（）

A.{1,2,3}B.{3,4,9}C.{1,2,3,4}D.{2,3,4,5}

3.（2024?全國甲卷?高考真題）已知集合4={123,4,5,9},8=k|6€N，則。（Ac8）=（）

A.{1,4,9}B,{3,4,9}C.{1,2,3}D.{2,3,5}

第三部分：高頻考點一遍過

高頻考點一：集合的基本概念

典型例題

例題1.（2024?西藏拉薩?一模）集合卜￡用國<3}中的元素個數為（）

A.2B.3C.5D.7

例題2.（23-24高三上?重慶渝中?階段練習）已知集合4={1?=4k攵￡4,B={4V=4〃?+1./〃CZ},

C=|x|x=4/7+2,neZ|,D={x|x=4r+3,rGZ},若acB,bsC,則下列說法正確的是（）

A.a+b&AB.a+beBC.a+beCD.a+b&D

精練高頻考點

1.（2025?黑龍江?模擬預測）下列關系正確的是（）

A.。史NB.石eQ

C.ZGQD.{I,2}C{A|X2-3X+2=0}

2.（2024?遼寧沈陽?模擬預測）下列四個命題正確的個數是（）

①網是空集；②若aeN,則-/N；③集合［wR1/-21+1=（）}有兩個元素；④集合卜

是有限集

A.1B.2C.3D.0

高頻考點二：元素與集合的關系

典型例題

例題1.（2025?陜西漢中?二模）三知集合4={2m+6沖〃WZ,〃WN},則（）

A.G足AB.-2+543eAC.4eAD.-l+2x/3eA

例題2.（2025?甘肅慶陽?二模）三知集合人={1仙-1|,〃+2},且2cA,則實數。的值為.

精練高頻考點

1.（2025?重慶?二模）已知全集0={123,4,5},集合M滿足={1,2,5},則（）

A.3更MB.2cMC.5wMD.41M

2.（2025?遼寧?二模）設集合八二八［2?1>處?若2《A，則切的取值范圍是（）

A.m<3B.rn>3C.m<3D.m>3

高頻考點三：集合中元素的特性

典型例題

例題1.（2025?全國?模擬預測）三知集合人={1,。},B={-1㈠},若人口8={0，則實數。的取值集合為

（）

A.{0}B,{-1,0}C.{0,1}D.{-1,0,1}

例題2.（24-25高三上?河北邢臺?階段練習）已知集合人={4/-2"}1={%+/川,3},若八二8,貝兒-〃=

（）

A.-2B.2C.-6D.6

精練高頻考點

1.（24-25高三下?廣東清遠?開學考試）集合4={0,2,f+i},B={0,x+3},若4口8=8,貝拉=（）

A.-1B.0C.2D.-1或2

2.（24-25高三上?上海?階段練習）設aeR,若集合S=+力中的最大元素為3,貝此=.

高頻考點四：集合的表示方法

典型例題

3

例題1.（24-25高三上?江西?階段練習）已知集合從二卜2一^Z,則用列舉法表示A=（）

x-1

A.{-2,0,1,2,4}B.{-2,0,2,4}C.{0,2,4)D.{2,4}

例題2.（2025?甘肅張掖?模擬預測）方程組"[的解集是（）

x-y=-3

A.{(x,y)|x=-l,或y=2}B.{(1,-2)}

x=lx-2y=-5

C.<(")卜D.升

1>，=-2Jx+>'=1

精練高頻考點

1.（23-24高三上?四川樂山?期中）集合{xwN[x-l<2x+l<7}用列舉法表示為（）

A.{-L0,l,2}B.{0,1,2}C.{1,2}D.{1}

2.（2024高三?全國?專題練習）用列舉法寫出集合A=（），|.y=V-2,xwZJx|?3}=.

3.（23-24高三?全國?課后作業）已知集合知=[4/一?用用列舉法表示〃=

j-a

高頻考點五：集合的基本關系

典型例題

例題1.（24-25高三下?北京海淀,期中）已知集合"=kX=飆+￡?€21,N=[x="+則

424

（）

A.M=NB.MqNC.NqMD.MC\N=0

例題2.（2025?云南?一模）已知集合A=*|W—3x+2K0},B={x\x<a}t若A=則實數。的值可以

為（）

3

A.2B.-C.3D.1

2

例題3.（2025高三?全國?專題練習）已知{1,2仁加{123,4,5},這樣的集合M有_個.

精練高頻考點

1.（2025?河南?模擬預測）已知集合A={（）,1},8=若Aq8,貝lj〃=（）

A.2B.0C.（）或2D.-2或2

2.（2025?四川,模擬預測）已知集合A=<xx=],〃cZ，,A=rx=4〃eZ,，則（）

A.A=BB.4土3C.A=4D.=0

3.（24-25高三下?重慶沙坪壩?階段練習）已知集合4={1,2,3,4,5},8=[入奇64工€4],則集合6的真

子集個數為（）

A.3B.5C.7D.15

高頻考點六：集合的運算

典型例題

例題L（2025?陜西咸陽.模擬預測）己知集合何=卜卜—2區2],N={_2,_1,0,l,2,3},貝|]/30/=（）

A.{-L0,l,2}B.{-2-1.0J}C.{0,1,2,3}D.{1,2,3}

例題2.（2025?重慶九龍坡?三模）已知集合M={X0vxva},N={x|x2-6x+5v0},若N\JM=M,

則實數〃的取值范圍是（）

A.[5,-HC）B.（5,-KO）C.[3,+8）D.（3,-HX））

例題3.（24-25高三上?上海?期中）=集合B={x||x-a|R}.

⑴求集合A;

⑵若BcQA=4,求實數”的取值范圍.

例題4.（24-25高一上?江蘇蘇州?階段練習）已知集合4=卜尸+2.1-15=0},B={x|^-1=0}.

（1）若"9求Afl&B）；

（2）若求實數〃的取值組成的集合C.

精練高頻考點

r—2

1.(24-25高三上?湖南婁底?期中)若A={x|-2<xv2},8=卜—WO,則()

x+1

A.{.H-1W2}B.{x|-l<x<2}

C.{x|-2<x<2}D.{^-2<x<2}

2.(2025?江西三模)已知集則。的取值范圍為()

A.(YO,1]B.(f3]C.[l,+oo)D.[3,-KO)

3.(23-24高三下?北京朝陽?期中)設R為全集，集合A={H〃+10W24+1},8={y|)，=Y+2x-2,0WxW2}.

⑴若〃=3,求AcA,他A)c8；

(2)若AqB,求實數”的取值范圍.

4.（23?24高三上?遼寧盤錦?期中）設集合4={人|/-3/+2=0},6=卜卜2+2（"十1）八十“2-5=（）}.

（1）若An8={2},求實數〃的值；

⑵若AU3=A,求實數。的取值范圍.

高頻考點七：口〃〃圖的應用

典型例題

例題1.（24-25高三上?廣東廣州?階段練習）學校舉辦運動會，高三⑴班共有28名同學參加比賽，有15

人參加游泳比賽，有8人參加田徑比賽，有14人參加球類比賽，同時參加游泳比賽和田徑比賽的有3人，

同時參加游泳比賽和球類比賽的有3人，沒有人同時參加三項比賽,若從該班參加比賽的同學中隨機抽取1

人進行訪談，則抽取到的同學只參加田徑一項比賽的概率為（）

13_I5

A?—B.—C.-D.—

1428728

例題2.（23?24高三?湖南長沙）已知某校高三（1）班有51名學生，春季運動會上，有17名學生參加了

田賽項目，有22名學生參加了徑賽項目，田賽和徑賽都參加的有9名同學，則該班學生中田賽和徑賽都沒

有參加的人數為（）

A.25B.23C.21D.19

精練高頻考點

1.（24-25高三上?云南?階段練習）用card（A）表示有限集合A中元素的個數，例如，A={a/,c},則card（A）=3.

對于任意兩個有限集合A8,若card（A）=8,card（3）=6,card（Ac3）=4,貝lJcard（Au8）=（）

A.10B.12C.14D.18

2.（23-24高三上?新疆喀什?階段練習）2022年春節期間，《長津湖之水門橋》《狙擊手》《奇跡?笨小孩》

三大片集體上映.春節過后某城市文化局統計得知大量市民至少觀看了一部大片，在已觀影的市民中隨機抽

取了100人進行調查觀看情況和想法，其中觀看了《長津湖之水門橋》的有49人，觀看了《狙擊手》的有

46人，觀看了《奇跡?笨小孩》的有34人，統計圖如圖.計算圖中小心c的值.

/《狙山手》八\

27/一仕1《長津湖之水門橋》］

［《奇跡?笨小孩A------/

高頻考點八：集合新定義問題

典型例題

例題1.（2025?江西?模擬預測）中國剩余定理又稱“孫子剩余定理〃，它是中國古代史上最有創造性的成就

之一，其中“韓信點兵”“物不知數”等問題的解法在數論中有相應的推廣，數論中的“三名形式表示。

和力除以〃的余數相同.已知集合A3,C滿足A=3|"三2（mod3）,〃eN'},B=|m=1（moc4）,eN,},

C=Ap|B.對于集合C中的任意一個元素J下列結論錯誤的是（）

A.c=2（nxxi3）B.c=l（nxxi4）C.c=5（m（xi7）D.c=5（mod12）

例題2.（24?25高三下?浙江?開學考試）定義：A\x為在集合A中去掉一個元素x后得到的集合；S（A）為

集合A中的所有元素之和.已知由"個正整數組成的集合人={%,。2,…9j（〃wN,〃23）,若對于

GA（/=1,2,...,/Z）,都存在兩個集合B,C,使得A\q=BuCIcC=0,且S（8）=S（C）,就稱集合A為

“完美集〃.

（1）若A={1,235,6},判斷A是否為“完美集〃，并說明理由；

（2）若集合A={%,<4,…wN,,〃之3）是“完美集”，證明：〃是奇數；

（3）若集合A=…4}（〃wN=〃23）是“完美集”，且A中所有元素從小到大排序后能構成一個等差數列，

則稱A為“等差完美集".已知集合,4=?0,...”}（〃2〃之3）是“等差完美集〃，求〃的最小值.

精練高頻考點

1.（2025高三下?全國?專題練習）已知有限集合A=M，%%「?,4},定義集合

B=.+〃小金?〈八〃，仃cN」中的元素的個數為集合A的〃容量〃，記為〃4）.若集合4={xwN」lKxK3},

則L（A）=;若集合4=卜€乂||《"4〃},且〃A）=4047,則正整數〃的值是.

2.（2025?山東臨沂?二模）對集合43,定義集合/^4=卜上€4,工史B或rw仇x任A},記|X|為有限集合X

的元素個數.

（1）若％={1,2},4={2,3,4},求兒必

⑵給定集合S={1,2,3,4}的子集M,求集合{x|XqS,|X^M|=l}的元素個數；

⑶設A8,C為有限集合，證明：忸△1.

第四部分：典型易錯題型

易錯點一：忽視集合互異性，求解參數時沒有回代檢驗集合是否滿足互異性而造

成錯誤

1.（23-24高二下?上海浦東新?期末）己知集合4={2,（〃+1）2,"+為+3},且1“，則實數。的值為.

易錯點二：忽視空集，特別提醒當時，優先考慮A=0

1.（多選）（25-26高三上?全國,課后作業）已知集合4={-1,2},8=3?=1},若則實數〃的值

可以為（）

A.gB.-1C.0D.一一

22

2

2.（24-25高三上?山東棗莊?階段練習）已知集合4=口|/-/“+15=0},B={x\x-ax-b=0}t

4U〃=12,3,5},ACB={3}.

（1）求p,a,b的值；

（2）若。={?〃次+2=0},且CqB,求機的值.

3.(24-25高三?福建廈門?階段練習)已知全集。=1<,集合

A=-4X+3K()},8=何卜-3<1},C=兇加KxKa+2,4￡火}.

⑴求Ac笈和AD(4B)；

(2)若8uC=8.求。的取值范闈.

第01講集合

目錄

第一部分：基礎知識................................................................1

第二部分：高考真題回顧............................................................3

第三部分：高頻考點一遍過..........................................................3

高頻考點一：集合的基本概念....................................................3

高頻考點二：元素與集合的關系..................................................4

高頻考點三：集合中元素的特性..................................................4

高頻考點四：集合的表示方法....................................................4

高頻考點五：集合的基本關系....................................................5

高頻考點六：集合的運算........................................................6

高頻考點七：現〃〃圖的應用.....................................................7

高頻考點八：集合新定義問題....................................................8

第四部分：典型易錯題型...........................................................10

第一部分：基礎知識

1、元素與集合

（1）集合中元素的三個特性：確定性、互異性、無序性.

（2）元素與集合的關系：屬于或不屬于，數學符號分別記為：￡和仁

（3）集合的表示方法：列舉法、描述法、韋恩圖（現〃〃圖）.

（4）常見數集和數學符號

數集自然數集正整數集整數集有理數集實數集

符號

NN?或MZQR

說明：

①確定性：給定的集合，它的元素必須是確定的；也就是說，給定一個集合，那么任何一個元素在不在這

個集合中就確定了.給定集合A={1,23,4,5},可知1￡人，在該集合中，6乏A,不在該集合中；

②互異性：一個給定集合中的元素是互不相同的；也就是說，集合中的元素是不重復出現的.

集合A={a,〃,c}應滿足。工〃工c.

③無序性：組成集合的元素間沒有順序之分。集合A=（1,2,3,4,5}和4={1,3,5,2,4}是同一個集合.

④列舉法

把集合的元素一一列舉出來，并用花括號“{卜括起來表示集合的方法叫做列舉法.

⑤描述法

用集合所含元素的共同特征表示集合的方法稱為描述法.

具體方法是：在花括號內先寫上表示這個集合元素的一般符號及取值（或變化）范圍，再畫一條豎線，

在豎線后寫出這個集合中元素所具有的共同特征.

2、集合間的基本關系

（1）子集（subset）：一般地，對于兩個集合A、B,如果集合A中任意一個元素都是集合8中的元素,

我們就說這兩個集合有包含美系，稱集合4為集合〃的子集，記作人胃〃（或92八），讀作“A包含

于（或包含A”）.

（2）真子集（propersubset）：如果集合4口B,但存在元素xeB,且我們稱集合A是集合8的

真子集，記作AU3（或.讀作“A真包含于3”或“3真包含A”.

（3）相等：如果集合A是集合B的子集（Aq3,且集合8是集合A的子集（BqA）,此時，集合A

與集合B中的元素是一樣的，因此，集合A與集合8相等，記作A=〃.

（4）空集的性質：我們把不含任何元素的集合叫做空集，記作0；0是任何集合的子集，是任何非空集

合的真子集.

3、集合的基本運算

（D交集：一般地，由屬于集合A且屬于集合B的所有元素組成的集合，稱為A與8的交集，記作AC4,

即An3={x|xwA且xwB].

（2）并集：一般地，由所有屬于集合A或屬于集合B的元素組成的集合，稱為A與8的并集，記作AU

即AUB={R|xeA,垢￡8}.

（3）補集：對于一個集合A,由全集U中不屬于集合A的所有元素組成的集合稱為集合A相對于全集U

的補集，簡稱為集合A的補集，記作CuA,即=且x任A}.

4、集合的運算性質

（1）AC\A=A,AA0=0>AC\B=BC\A.

（2）ALM=A,A\j0=AtAUB=8UA.

（3）An（QA）=0,AU（QA）=U,CU（CUA）=A.

5、高頻考點結論

（1）若有限集A中有〃個元素，則A的子集有2"個，真子集有2〃-1個，非空子集有2"-1個，非空真子

集有2"-2個.

（2）空集是任何集合A的子集，是任何非空集合8的真子集.

（3）4。0Ap|8=AOAUBUBOCUBUQ/.

（4）&（4（18）=（。"）11（。，3）,q（AU8）=（QA）n（G，B）.

第二部分：高考真題回顧

1.(2024?北京?高考真題)已知集合M={x|-3<xvl},N={x\-\<x<4}t貝)M=N=()

A.{x|-l<x<l|B.{x|x>-3}

C.{x|-3<x<4}D.{x|xv4}

【答案】C

【知識點】并集的概念及運算

【分析】直接根據并集含義即可得到答案.

【詳解】由題意得MDN={X[-3<XV4}.

故選：C.

2.(2024?全國甲卷?高考真題)若集合A={L2,3,4,5,9},3=則人口8=()

A.{1,2,3}B.{3,4,9}C.{1,2,3,4}D.{2,3,4,5}

【答案】C

【知識點】交集的概念及運算

【分析】根據集合A的定義先算出具體含有的元素，然后根據交集的定義計算.

【詳解】依題意得，對于集合8中的元素以滿足x+l=L2,3,4,5,9,

則[可能的取值為。12,3,4,8,即3={0,1,2,3,4,8},

于是AcB={l,2,3,4}.

故選：C

3.(2024?全國甲卷?高考真題)已知集合4={123,4,5,9},8=卜|。￡4卜則^(4小為=()

A.{1,4.9}B.{3,4,9}C.{1,2,3}D.{2,3,5}

【答案】D

【知識點】補集的概念及運算、交集的概念及運算

【分析】由集合8的定義求出3,結合交集與補集運算即可求解.

【詳解】因為A={l,2,3,4,5,9},B=k|4eA},所以B={1,4,9,16,25,81},

則4口8={1,4,9},。（4口8）={23,5}

故選：D

第三部分：高頻考點一遍過

高頻考點一：集合的基本概念

典型例題

例題1.（2024?西藏拉薩,一模）集合卜￡用兇<3}中的元素個數為（）

A.2B.3C.5D.7

【答案】B

【知識點】列舉法求集合中元素的個數、常用數集或數集關系應用

【分析】列舉法表示集合，可得解.

【詳解】{xeN||A-|<3}={0,k2},該集合中的元素有3個，

故選：B.

友情提醒：集合是用描述法來表示集合，解題時注意一般元素代表

KN,養成細心的解題習慣。

C=\x\x=4n+2,neZ\9D={x|x=4/+3,/€Z）,若awB,bwC,則下列說法正確的是（）

A.a+beAB.a+beBC.a+beCD.a+beD

【答案】D

【知識點】判斷元素與集合的關系、描述法表示集合、常用數集或數集關系應用

【分析】根據對描述法表示的集合的理解，設出。，〃的表示形式，得到判斷其與集合的關系即可.

【詳解】因為bsC,

則由題意可設a=4/〃+l,。=4〃+2,其中〃?eZ,〃eZ,

則a+力=4（〃?+〃）+3,且〃?+〃eZ,

故。，

故選：D.

精練高頻考點

1.（2025?黑龍江?模擬預測）下列關系正確的是（）

A.。史NB.V3eQ

C.ZGQD.{1,2}C{A|X2-3X+2=0}

【答案】D

【知識點】判斷元素與集合的關系、判斷兩個集合的包含關系、常用數集或數集關系應用

【分析】根據元素與集合的關系以及集合與集合的關系對選項逐一判斷即可.

【詳解】對于A,0是自然數，OEN,故A錯誤；

對于B,G不是有理數，6任Q,故B錯誤；

對于C,Z是整數集，Q是有理數集，Z是Q的子集，故C錯誤；

對于D,L2是方程f—3x+2=0的解集，{1,2}=次|/一31+2=0},故D正確.

故選：D.

2.（2024?遼寧沈陽?模擬預測）下列四個命題正確的個數是（）

①{0}是空集；②若awN,貝＞"N；③集合{xeR|/-2x+l=0}有兩個元素；④集合卜

是有限集

A.1B.2C.3D.0

【答案】D

【知識點】判斷元素與集合的關系、描述法表示集合、空集的概念以及判斷、集合的分類

【分析】對①，根據空集的定義可判斷；對②，根據元素與集合的關系判斷；對③，求出方程的根可判

斷；對④，根據集合的表示，無限集合定義可判斷.

【詳解】對于①，{0}不是空集，空集中無任何元素，故①錯；

對于②，若OWN,當。=（）時，-awN,故②錯；

對于③，集合{X￡R，-2X+1=O}={1},只有一個元素，故③錯；

對于④，集合{XGQI'N}是無限集，故④錯；

X

綜上，正確的命題有。個.

故選：D.

高頻考點二：元素與集合的關系

典型例題

例題1.（2025?陜西漢中?二模）三知集合A={2〃z+G〃|meZ,〃eN）,則（）

A.G史AB.一2+5出任AC.4eAD.一l+26e4

【答案】C

【知識點】判斷元素與集合的關系

【分析】根據有理數和無理數的概念以及無理數數的拆分，對各個選項判斷即可.

【詳解】因為A={2〃?+x/5〃|〃?eZ,/?€N},

設、萬=2m+>/3n，則：有理數部分：0=2m=/〃=0,無理數部分:6=#=〃=],

〃Z=OGZ,〃=leN,符合條件，所以VJwA,故A錯誤；

設-2+575=2m+6n，則有理數部分：-2=2m=>〃?=一1,無理數部分:5G=6〃=>〃=5,

〃?=TwZ,〃=5wN,符合條件，故-2+5x/J”,故B錯誤；

設4=2加+6〃，則：有理數部分:4=2/〃=,〃=2,無理數部分：O=G〃=>〃=OeN,故4w4,故C正確;

設-1+2w=2〃?+百〃，則有理數部分：-1=2"7=>/〃=-0.5（非整數，矛盾），故-I+2G史A,故D錯誤.

故選：C.

例題2.（2025?甘肅慶陽?二模）三知集合A={l,|a-l|,a+2},且2e4,則實數”的值為.

【答案】3

【知識點】根據元素與集合的關系求參數、利用集合元素的互異性求參數、集合元素互異性的應用

【分析】因為2eA,則|。-1|=2或々+2=2,由此可解出“，再代入集合A驗證，需要滿足集合的互異性,

由此可得答案.

【詳解】因為2eA,所以分為以下兩種情況：

①,一1|=2=。=3或-1,當〃=3時，集合A={1,2,5}滿足題意；

當〃=—1時，集合A={1,21},違反了集合的互異性，故舍去；

②〃+2=2n〃=0,此時集合A={11,2},違反了集合的互異性，故舍去；

綜上所述，a=3.

故答案為：3.

精練高頻考點

1.（2025?重慶?二模）已知全集〃={123,4,5},集合M滿足Q,M={1,2,5},則（）

A.3更MB.2GMC.5eMD.4iM

【答案】D

【知識點】判斷元素與集合的關系、補集的概念及運算

【分析】根據補集可得知={3,4},根據元素與集合之間的關系逐項分析判斷.

【詳解】因為全集。={1,2,3,4,5},^Af={1,2,5},可得"={3,4},

所以3wM,2史M,5gM,41M.

故選：D.

2.（2025?遼寧?二模）設集合A={X|2X_1>W},若我八，則'"的取值范圍是（）

A.m<3B.in>3C.m<3D.〃？>3

【答案】C

【知識點】根據元素與集合的關系求參數

【分析】根據元素與集合的關系，求〃?的取值范圍.

【詳解】因為2wA,所以2x2-l>"],所以/〃<3.

故選：C

高頻考點三：集合中元素的特性

典型例題

2

例題1.(2025?全國?模擬預測)已知集合4={"},B={-\,a}t若則實數”的取值集合為

()

A.{0}B.{-1,0}C.{0,1}D.{-1,0,1}

【答案】A

【知識點】利用集合元素的互異性求參數、根據交集結果求集合或參數

【分析】根據集合中元素的特性及交集運算求解即可.

【詳解】由Ac8={a},得"一】或〃=心

解得〃=一1,4=()或。=1.

當〃=-1時，A=B,不符合題意；

當4=1時，八=⑴，這與集合A中有兩元素相矛盾，不符合題意；

經檢驗符合題意.

故選：A.

友情提醒；集合元素的互異性是考察重點，求解時注意回代檢驗是否符合集合的

互異性。

例題2.(24-25高三上?河北邢臺,階段練習)已知集合4={?/一2〃/},8={2々+41,3},若4=3,則

()

A.-2B.2C.-6D.6

【答案】A

【知識點】根據兩個集合相等求參數、集合元素互異性的應用

【分析】由已知結合集合相等的條件及集合元素的互異性即可求解.

【詳解】因為集合八={4/-2?1}1={%+41,3),

a=2a+b＞。=3

若A=8,貝!1?

a2-2a=3[a2-2a=2a+b

解得=1或。=3,6=-3,

當”=3,)=-3時，A=(3,3,1),與集合元素的互異性矛盾，舍去,

故〃=-1,力=1,A={-h3,l},B={-1,1,3）,符合題意，此時〃一力=一2.

故選：A.

精練高頻考點

1.（24-25高三下?廣東清遠?開學考試）集合A={0,2,f+i},B={0,x+3},若Ad"'則尸（）

A.-1B.0C.2D.—1或2

【答案】C

【知識點】利用集合元素的互異性求參數、根據集合的包含關系求參數、根據交集結果求集合或參數

【分析】根據題設有討論x+3=2、X+3=X2+\,結合集合中元素的性質求參數值.

【詳解】由題設若工+3=2,則x=-l,此時d+i=2,集合A不滿足元素的互異性，排除；

若工+3=d+1=%2-4-2=0,可得x=2或x=T（舍），

當“2時，A={0,2,5},B={0,5},滿足題設，

所以x=2.

故選：C

2.（24-25高三上?上海?階段練習）設aeR,若集合S={-1”“+2}中的最大元素為3,貝心=.

【答案】1

【知識點】判斷元素與集合的關系、利用集合元素的互異性求參數

【分析】先根據元素在集合S內，再分，=3,。=-1,〃=1分別檢驗是否符合題意.

【詳解】因為集合$={-1,?/+2}中的最大元素為3,

所以3u{—1,?/+2},所以々=3或1=1.

當a=3時，/+2=11>3不合題意舍；

當。=-1時，不符合集合的互異性舍；

當〃=1時，集合5=卜1,“/+2}中的最大元素為3；

所以。=1.

故答案為：1.

高頻考點四：集合的表示方法

典型例題

3

例題1.（24-25高三上?江西?階段練習）已知集合人=xeZ「eZ1，則用列舉法表示A二（）

x-\

A.{-2,0,1,2,4}B.{-2,0,2,4}C.{0,2,4}D.{2,4}

【答案】B

【知識點】列舉法表示集合

【分析】由題意可得X-1可為±1、±3,計算即可得.

【詳解】由題意可得X-1可為±1、±3,

即；可為0,2,—2,4,即4={-2,0,2,4}.

故選：B.

例題2.（2。25.甘肅張掖.模擬預測）方程組二13的解集是（）

A.{(x,j)|x=-l,或>=2}B.{(1，-2)}

x=Ix-2y=-5

C.<(工,)升D.((.%>)卜

)'=一2x+y=1

【答案】D

【知識點】描述法表示集合、列舉法表示集合

【分析】解方程組，用集合表示即可判斷.

【詳解】由方程組=解得），=2，所以該方程組的解集為{（T，2）},

而g）卜{（-1,2）}.

、）I'"

故