2027中考數學專項練習題庫：勾股定理145題

勾股定理145題（含解析）

選擇：

1．如圖，D為等腰Rt△ABC的斜邊AB的中點，E為BC邊上一點，連接ED并

延長交CA的延長線于點F，過D作DH⊥EF交AC于G，交BC的延長線于H，

則以下結論：①DE=DG；②BE=CG；③DF=DH；④BH=CF．其中正確的是（）

A．②③B．③④C．①④D．①②③④

2．等邊三角形的一邊長為6cm，則以這邊上高線為邊長的正方形的面積為

（）

A．36cm2B．27cm2C．18cm2D．12cm2

3．如圖所示，在邊長為2的正三角形ABC中，已知點P是三角形內任意一點，

則點P到三角形的三邊距離之和PD+PE+PF等于（）

A．B．C．D．無法確定

4．已知點A和點B（如圖），以點A和點B為其中兩個頂點作位置不同的等腰

直角三角形，一共可作出（）

A．2個B．4個C．6個D．8個

勾股定理145題（含解析）

5．小明將一張正方形包裝紙，剪成圖1所示形狀，用它包在一個棱長為10的

正方體的表面（不考慮接縫），如圖2所示．小明所用正方形包裝紙的邊長至少

為（）

A．40B．30+2C．20D．10+10

6．平面上有A、B兩點，在平面內找點C，使得△ABC為等腰直角三角形的點C

有（）

A．2個B．4個C．6個D．8個

7．以線段AB為一邊的等腰直角三角形有（）

A．1個B．2個C．4個D．6個

8．已知△ABC是腰長為1的等腰直角三角形，以Rt△ABC的斜邊AC為直角邊，

畫第二個等腰Rt△ACD，再以Rt△ACD的斜邊AD為直角邊，畫第三個等腰

Rt△ADE，…，依此類推，第n個等腰直角三角形的面積是（）

A．2n﹣2B．2n﹣1C．2nD．2n+1

9．下列命題中不正確的是（）

A．有兩個角相等的三角形是等腰三角形

B．等腰三角形一腰上的高與底邊的夾角等于頂角的一半

C．等腰三角形兩底角相等

D．有一個角的平分線平分對邊的三角形一定是等腰直角三角形

勾股定理145題（含解析）

10．如圖，以直角三角形三邊為邊長作正方形，其中兩個以直角邊為邊長的正

方形面積分別為225和400，則正方形A的面積是（）

A．175B．575C．625D．700

11．如圖是我國古代數學家趙爽的《勾股圓方圖》，它是由四個全等的直角三角

形與中間的小正方形拼成的一個大正方形、如果大正方形的面積13，小正方形

的面積是1，直角三角形的短直角邊為a，較長的直角邊為b，那么（a+b）2

的值為（）

A．169B．25C．19D．13

12．直角三角形有一條直角邊長為13，另外兩條邊長為連續自然數，則周長為

（）

A．182B．183C．184D．185

13．男孩戴維是城里的飛盤冠軍，戈里是城里最可惡的踩高蹺的人，兩人約定

一比高低．戴維直立肩高1m，他投飛盤很有力，但需在13m內才有威力；戈

里踩高蹺時鼻子離地13m，他的鼻子是他唯一的弱點．戴維需離戈里多遠時才

能擊中對方的鼻子而獲勝？（）

A．7mB．8mC．6mD．5m

14．如圖，在4×4方格中作以AB為一邊的Rt△ABC，要求點C也在格點上，

這樣的Rt△ABC能作出（）

勾股定理145題（含解析）

A．2個B．3個C．4個D．6個

15．如圖，直角三角形三邊上的半圓面積從小到大依次記為S1、S2、S3，則S1、

S2、S3之間的關系是（）

222

A．Sl+S2＞S3B．Sl+S2＜S3C．S1+S2=S3D．S1+S2=S3

16．直角三角形有一條直角邊的長是11，另外兩邊的長都是自然數，那么它的

周長是（）

A．132B．121

C．120D．以上答案都不對

17．已知△ABC中，AB=AC=10，BD是AC邊上的高線，DC=2，那么BD等

于（）

A．4B．6C．8D．

18．一個直角三角形有兩邊長分別是6和8，下列說法正確的是（）

A．第三邊長是10B．三角形的周長是24

C．三角形的面積是24D．第三邊是10或2

19．一架2.5米長的梯子斜靠在一豎直的墻上，這時梯子的頂端距墻腳2.4米．那

么梯足離墻腳的距離是（）米．

A．0.7B．0.9C．1.5D．2.4

20．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=2，則AB為（）

A．整數B．分數C．有理數D．以上都不對

21．在△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：3，則BC：AC：AB=（）

勾股定理145題（含解析）

A．1：2：3B．1：4：9C．1：：D．1：：2

22．已知∠AOB=90°，點P在∠AOB的平分線上，OP=6，則點P到OA，OB

的距離為（）

A．6，6B．3，3C．3，3D．3，3

23．已知直角三角形的斜邊為2，周長為．則其面積是（）

A．B．1C．D．2

24．設直角三角形的三邊長分別為a、b、c，若c﹣b=b﹣a＞0，則=（）

A．2B．3C．4D．5

25．如圖Rt△ABC中，AB=BC=4，D為BC的中點，在AC邊上存在一點E，

連接ED，EB，則△BDE周長的最小值為（）

A．2B．2C．2+2D．2+2

26．如圖是某幾何體的三視圖及相關數據，則判斷正確的是（）

A．a＞cB．b＞cC．4a2+b2=c2D．a2+b2=c2

27．如圖，一圓錐的底面半徑為2，母線PB的長為6，D為PB的中點．一只

螞蟻從點A出發，沿著圓錐的側面爬行到點D，則螞蟻爬行的最短路程為（）

勾股定理145題（含解析）

A．B．2C．3D．3

28．如圖，長方體的長為15，寬為10，高為20，點B離點C的距離為5，一

只螞蟻如果要沿著長方體的表面從點A爬到點B，需要爬行的最短距離是（）

A．5B．25C．10+5D．35

29．如圖，一只螞蟻從長寬都是3，高是8的長方體紙箱的A點沿紙箱爬到B

點，那么它所行的最短路線的長是（）

A．（3+8）cmB．10cmC．14cmD．無法確定

30．如圖，是一塊長、寬、高分別是4cm，2cm和1cm的長方體木塊、一只

螞蟻要從長方體木塊的一個頂點A處，沿著長方體的表面到長方體上和A相對

的頂點B處吃食物，那么它需要爬行的最短路徑的長是（）

A．5cmB．5.4cmC．6.1cmD．7cm

勾股定理145題（含解析）

31．如圖，邊長為1的立方體中，一只螞蟻從A頂點出發沿著立方體的外表面

爬到B頂點的最短路程是（）

A．3B．C．D．1

32．如圖是一塊長，寬，高分別是6cm，4cm和3cm的長方體木塊一只螞蟻

要從長方體木塊的一個頂點A處，沿著長方體的表面到長方體上和A相對的頂

點B處吃食物，那么它需要爬行的最短路徑的長是（）

A．（3+2）cmB．cmC．cmD．cm

33．如圖，點A的正方體左側面的中心，點B是正方體的一個頂點，正方體的

棱長為2，一螞蟻從點A沿其表面爬到點B的最短路程是（）

A．3B．C．D．4

34．如圖所示：有一個長、寬都是2米，高為3米的長方體紙盒，一只小螞蟻

從A點爬到B點，那么這只螞蟻爬行的最短路徑為（）

A．3米B．4米C．5米D．6米

勾股定理145題（含解析）

35．如圖，一圓柱體的底面圓周長為24cm，高AB為4cm，BC是直徑，一只

螞蟻從點A出發，沿著圓柱的表面爬行到點C的最短路程是（）

A．4B．4C．D．π+

36．如圖，是一個棱長為2的正方體，一只蜘蛛在頂點A處，一只小昆蟲在頂

點B處，則蜘蛛接近小昆蟲時所爬行的最短路線的長是（）

A．6B．2+C．D．

37．如圖，在棱長為20cm的正方體盒子上有一只螞蟻欲從A點出發向B爬去

吃食，則螞蟻所走最短路程是（）

A．40cmB．20cmC．20cmD．20cm

38．正方體盒子的棱長為2，BC的中點為M，一只螞蟻從A點爬行到M點的

最短距離為（）

A．B．C．5D．2+

39．有一長、寬、高分別是5cm，4cm，3cm的長方體木塊，一只螞蟻要從長

方體的一個頂點A處沿長方體的表面爬到長方體上和A相對的頂點B處，則需

要爬行的最短路徑長為（）

勾股定理145題（含解析）

A．5cmB．cmC．4cmD．3cm

40．如圖所示，是一個圓柱體，ABCD是它的一個橫截面，AB=，BC=3，一

只螞蟻，要從A點爬行到C點，那么，最近的路程長為（）

A．7B．C．D．5

41．如圖，邊長為2的正方體中，一只螞蟻從正方體下方一邊AB的中點P出

發，沿著正方體的外表面爬到其一頂點C′處的最短路徑是（）

A．B．C．D．

42．如圖是一個長4m，寬3m，高2m的有蓋倉庫，在其內壁的A處（長的四

等分）有一只壁虎，B處（寬的三等分）有一只蚊子，則壁虎爬到蚊子處最短距

離為（）m．

A．4.8B．C．5D．

43．在下列條件中：①∠A+∠B=∠C，②∠A：∠B：∠C=1：2：3，③∠A=90°

﹣∠B，④∠A=∠B=∠C中，能確定△ABC是直角三角形的條件有（）

A．1個B．2個C．3個D．4個

勾股定理145題（含解析）

44．一個三角形如果有兩邊的垂直平分線的交點在第三邊上，那么這個三角形

是（）

A．等腰三角形B．等邊三角形

C．直角三角形D．等腰直角三角形

45．已知二條線段的長分別為cm，cm，那么能與它們組成直角三角形的

第三條線段的長是（）

A．1cmB．cmC．5cmD．1cm與cm

46．在三邊分別為下列長度的三角形中，哪些不是直角三角形（）

A．5，13，12B．2，3，C．4，7，5D．1，，

47．在下列以線段a、b、c的長為邊，能構成直角三角形的是（）

A．a=3，b=4，c=6B．a=5，b=6，c=7

C．a=6，b=8，c=9D．a=7，b=24，c=25

48．以下列各組線段作為三角形的三邊，其中能夠組成直角三角形的是（）

A．6，7，8B．5，6，7C．4，5，6D．5，12，13

49．三角形的三邊長分別為a2+b2、2ab、a2﹣b2（a、b都是正整數），則這個

三角形是（）

A．直角三角形B．鈍角三角形C．銳角三角形D．不能確定

50．如果△ABC的三邊分別為m2﹣1，2m，m2+1（m＞1）那么（）

A．△ABC是直角三角形，且斜邊長為m2+1

B．△ABC是直角三角形，且斜邊長為2m

C．△ABC是直角三角形，但斜邊長需由m的大小確定

D．△ABC不是直角三角形

51．下列各組數中不能作為直角三角形的三邊長的是（）

A．1.5，2，3B．7，24，25C．6，8，10D．9，12，15

勾股定理145題（含解析）

52．△ABC中∠A、∠B、∠C的對邊分別是a、b、c，下列命題中的假命題是

（）

A．如果∠C﹣∠B=∠A，則△ABC是直角三角形

B．如果c2=b2﹣a2，則△ABC是直角三角形，且∠C=90°

C．如果（c+a）（c﹣a）=b2，則△ABC是直角三角形

D．如果∠A：∠B：∠C=5：2：3，則△ABC是直角三角形

53．判斷下列幾組數據中，可以作為直角三角形的三條邊的是（）

A．6，15，17B．7，12，15C．13，15，20D．7，24，25

54．在△ABC中，AB=12cm，BC=16cm，AC=20cm，則△ABC的面積是（）

A．96cm2B．120cm2C．160cm2D．200cm2

55．以下列各組數據為邊長作三角形，其中能組成直角三角形的是（）

A．3，5，3B．4，6，8C．7，24，25D．6，12，13

56．下列各組數中，可以構成直角三角形的三邊長的是（）

A．3，4，5B．4，5，6C．5，6，7D．6，7，8

57．下列各組中不能作為直角三角形的三邊長的是（）

A．6，8，10B．7，24，25C．9，12，15D．15，20，30

58．若線段a，b，c能構成直角三角形，則它們的比為（）

A．2：3：4B．3：4：6C．5：12：13D．4：6：7

59．下列由線段a、b、c組成的三角形，不是直角三角形的是（）

A．a=3，b=4，c=5B．a=1，b=，c=

C．a=9，b=12，c=15D．a=，b=2，c=

60．下列各組數中能夠作為直角三角形的三邊長的是（）

A．2，3，4B．12，22，32C．4，5，9D．，2，

61．下列各組數分別為一個三角形三邊的長，其中能構成直角三角形的一組是

（）

勾股定理145題（含解析）

A．1，2，3B．2，3，4C．3，4，5D．4，5，6

62．已知三角形的三邊長之比為1：1：，則此三角形一定是（）

A．銳角三角形B．鈍角三角形

C．等邊三角形D．等腰直角三角形

63．適合下列條件的△ABC中，直角三角形的個數為（）

①a=，b=，c=②a=6，∠A=45°；③∠A=32°，∠B=58°；④a=7，b=24，

c=25⑤a=2，b=2，c=4

A．2個B．3個C．4個D．5個

64．在下列以線段a，b，c的長為三邊的三角形中，不能構成直角三角形的是

（）

A．a=9，b=41，c=40B．a=b=5，c=5

C．a：b：c=3：4：5D．a=11，b=12，c=15

65．如圖所示，在Rt△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC，交AC于點D，且

AB=4，BD=5，則點D到BC的距離是（）

A．3B．4C．5D．6

66．如圖所示：數軸上點A所表示的數為a，則a的值是（）

A．+1B．﹣+1C．﹣1D．

67．下面四組數中是勾股數的有（）

（1）1.5，2.5，2；（2），，2；（3）12，16，20；（4）0.5，1.2，1.3．

A．1組B．2組C．3組D．4組

勾股定理145題（含解析）

68．如圖，正方形ABCD的邊長為3，E在BC上，且BE=2，P在BD上，則

PE+PC的最小值為（）

A．B．C．D．

填空：

1．正方形的面積為18cm2，則正方形對角線長為cm．

2．求圖中直角三角形中未知的長度：b=，c=．

3．Rt△ABC，∠C=90°，a=8，b=15，則c=．

4．若直角三角形兩直角邊之比為3：4，斜邊長為20，則它的面積

為．

5．已知，如圖所示，Rt△ABC的周長為4+2，斜邊AB的長為2，則Rt△ABC

的面積為．

6．直角三角形的兩條邊長分別為3、4，則它的另一邊長為．

7．已知：如圖，以Rt△ABC的三邊為斜邊分別向外作等腰直角三角形．若斜邊

AB=6，則圖中陰影部分的面積為．

勾股定理145題（含解析）

8．在直角三角形中，斜邊與較小直角邊的和，差分別為8，2，則較長直角邊長

為．

9．△ABC中，∠C=90°，若a：b=3：4，c=10，則a=，

b=．

10．如圖，三個正方形中的兩個的面積S1=25，S2=144，則另一個的面積S3

為．

11．若三角形三邊之比為3：4：5，周長為24，則三角形面積為．

12．如圖，AD是△ABC的中線，∠ADC=45°，把△ADC沿AD對折，點C落在

C′處，則BC′與BC之間的數量關系是BC′=BC．

13．如圖，在高2米，坡角為30°的樓梯表面鋪地毯，地毯的長至少需

米．

14．如圖，從電線桿離地面6m處向地面拉一條長10m的固定纜繩，這條纜繩

在地面的固定點距離電線桿底部有m．

勾股定理145題（含解析）

15．如圖，一根樹在離地面9米處斷裂，樹的頂部落在離底部12米處．樹折斷

之前有米．

16．小明要把一根長為70cm的長的木棒放到一個長、寬、高分別為50cm，

40cm，30cm的木箱中，他能放進去嗎？（填“能”或“不能”）．

17．小明想知道學校旗桿有多高，他發現旗桿上的繩子垂到地面還余1m，當他

把繩子下端拉開5m后，發現下端剛好接觸地面，則旗桿高度為米．

18．如圖，在校園內有兩棵樹，相距12m，一棵樹高13m，另一棵樹高8m，

一只小鳥從一棵樹的頂端飛到另一棵樹的頂端，小鳥至少要飛m．

19．你聽說過亡羊補牢的故事嗎如圖，為了防止羊的再次丟次，小明爸爸要在

高0.9m，寬1.2m的柵欄門的相對角頂點間加一個加固木板，這條木板需

m長．

20．如圖，將一根長24cm的筷子，底面直徑為5cm，高為12cm的圓柱形水

杯中，設筷子露在杯子外面的長度為hcm，則h的最小值是cm．

勾股定理145題（含解析）

21．如圖，一架10米長的梯子斜靠在墻上，剛好梯頂抵達8米高的路燈．當電

工師傅沿梯上去修路燈時，梯子下滑到了B′處，下滑后，兩次梯腳間的距離為2

米，則梯頂離路燈米．

22．如圖所示的圓柱體中底面圓的半徑是，高為2，若一只小蟲從A點出發

沿著圓柱體的側面爬行到C點，則小蟲爬行的最短路程是．（結果

保留根號）

23．如圖，有一圓錐形糧堆，其正視圖是邊長為6m的正三角形ABC，糧堆母

線AC的中點P處有一老鼠正在偷吃糧食，此時，小貓正在B處，它要沿圓錐側

面到達P處捕捉老鼠，則小貓所經過的最短路程是m．（結果不取

近似值）

勾股定理145題（含解析）

24．如圖，這是一個供滑板愛好者使用的U型池，該U型池可以看作是一個長

方體去掉一個“半圓柱”而成，中間可供滑行部分的截面是半徑為4m的半圓，

其邊緣AB=CD=20m，點E在CD上，CE=2m，一滑板愛好者從A點滑到E

點，則他滑行的最短距離約為m．（邊緣部分的厚度忽略不計，結

果保留整數）

25．如圖是一個三級臺階，它的每一級長、寬、高分別是2米、0.3米、0.2米，

A，B是這個臺階上兩個相對的端點，A點有一只螞蟻，想到B點去吃可口的食

物，則螞蟻沿臺階面爬行到B點最短路程是米．

26．一只螞蟻從長、寬都是3，高是8的長方體紙箱的A點沿紙箱爬到B點，

那么它所行的最短路線的長是．

27．如圖，有一圓柱，其高為12cm，底面半徑為3cm，在圓柱下底面A點處

有一只螞蟻，它想得到上底面B處的食物，則螞蟻經過的最短距離為

cm．（π取3）

勾股定理145題（含解析）

28．如圖是一個三級臺階，它的每一級的長、寬、高分別為7寸、5寸和3寸，

A和B是這個臺階的兩個相對端點，A點上有一只螞蟻想到B點去吃可口的食

物，則它所走的最短路線長度是寸．

29．在一個長為2米，寬為1米的矩形草地上，如圖堆放著一根長方體的木塊，

它的棱長和場地寬AD平行且大于AD，木塊的正視圖是邊長為0.2米的正方形，

一只螞蟻從點A處，到達C處需要走的最短路程是米．（精確到

0.01米）

30．如圖是一種“羊頭”形圖案，其做法是：從正方形①開始，以它的一邊為

斜邊，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角邊為邊，分別向外作正方形②和

②′，…，然后依此類推，若正方形①的邊長為64cm，則第④個正方形的邊長為

cm．

31．如圖，在把易拉罐中水倒入一個圓水杯的過程中，若水杯中的水在點P與

易拉罐剛好接觸，則此時水杯中的水深為cm．

勾股定理145題（含解析）

32．底角等于頂角一半的等腰三角形是三角形；如果一個等腰三

角形的一個頂角為80°，那么它的一個底角為°．

33．如圖，以等腰直角三角形ABC的斜邊AB為邊向內作等邊△ABD，連接DC，

以DC為邊作等邊△DCE．B、E在C、D的同側，若AB=，則BE=．

34．已知：如圖，以Rt△ABC的三邊為斜邊分別向外作等腰直角三角形．若斜

邊AB=3，則圖中陰影部分的面積為．

35．如圖所示，在△ABC中，∠C=2∠B，點D是BC上一點，AD=5，且AD⊥AB，

點E是BD的中點，AC=6.5，則AB的長度為．

36．如圖，一束光線從y軸上點A（0，1）發出，經過x軸上點C反射后，經

過點B（6，2），則光線從A點到B點經過的路線的長度為．（精

確到0.01）

勾股定理145題（含解析）

37．把兩塊含有30°的相同的直角三角尺按如圖所示擺放，使點C、B、E在同

一直線上，連接CD，若AC=6cm，則△BCD的面積是cm2．

38．如圖，以直角△ABC的三邊向外作正方形，其面積分別為S1，S2，S3且S1=4，

S2=8，則S3=．

39．已知，如圖，O是△ABC的∠ABC、∠ACB的角平分線的交點，OD∥AB交

BC于D，OE∥AC交BC于E，若BC=10cm，則△ODE的周長cm．

40．如圖，圖1供你參考，四邊形BDEF是長方形，AD=5，BF=7，EF=4，CF=10，

圖2是以三角形a的三邊為邊長向外作正方形，正方形的面積表示在圖中，則

三角形a的面積是．

41．如圖，已知△ADC中，∠ADC=90°，AD=DC，三角形的頂點在相互平行的

三條直線l1，l2，l3上，且l1，l2之間的距離為2，l2，l3之間的距離為3，則AC

的長是．

勾股定理145題（含解析）

42．如圖，△ABC中，∠C=90°，∠1=∠B，CD=5，BD=13，則AC=．

43．如圖，分別以直角三角形三邊向外作三個半圓，若S1=30，S2=40，則

S3=．

44．P在∠MON的角平分線上，PA⊥OM于A，PB⊥ON于B，若OA=6cm，

OP=10cm，那么則PB=cm．

45．若等腰三角形ABC的周長為16cm，底邊BC上高線AD長為4cm，則三

角形ABC的面積是cm2．

46．如圖，△ABD和△ACE都是等腰直角三角形，∠BAD和∠CAE是直角，若

AB=6，BC=5，AC=4，則DE的長為．

47．如圖，所有的四邊形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，其中最大

的正方形的邊長是a，則圖中四個小正方形A、B、C、D的面積之和

是．

勾股定理145題（含解析）

48．如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=4，分別以AC、BC為直徑作

半圓，則圖中陰影部分的面積為．

49．在直線l上依次擺放著七個正方形（如圖所示）．已知斜放置的三個正方形

的面積分別是1，2，3，正放置的四個正方形的面積依次是S1，S2，S3，S4，則

S1+S2+S3+S4=．

解答：

1．如圖1所示為一上面無蓋的正方體紙盒，現將其剪開展成平面圖，如圖2所

示．已知展開圖中每個正方形的邊長為1．

（1）求在該展開圖中可畫出最長線段的長度這樣的線段可畫幾條？

（2）試比較立體圖中∠BAC與平面展開圖中∠B′A′C′的大小關系？

2．如圖，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°，D為AB

邊上一點，求證：

（1）△ACE≌△BCD；

（2）AD2+DB2=DE2．

勾股定理145題（含解析）

3．如圖，把矩形紙片ABCD沿EF折疊，使點B落在邊AD上的點B′處，點A

落在點A′處；

（1）求證：B′E=BF；

（2）設AE=a，AB=b，BF=c，試猜想a，b，c之間的一種關系，并給予證明．

4．△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c．若∠C=90°，如圖1，根據勾股定理，則

a2+b2=c2．若△ABC不是直角三角形，如圖2和圖3，請你類比勾股定理，試猜

想a2+b2與c2的關系，并證明你的結論．

5．（1）四年一度的國際數學家大會于2002年8月20日在北京召開，大會會

標如圖（1）．它是由四個相同的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個大正方

形．若大正方形的面積為13，每個直角三角形兩直角邊的和是5，求中間小正

方形的面積．

（2）現有一張長為6.5cm，寬為2cm的紙片，如圖（2），請你將它分割成6

塊，再拼合成一個正方形．

（要求：先在圖（2）中畫出分割線，再畫出拼成的正方形并標明相應數據）

勾股定理145題（含解析）

6．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的對邊長分別為a、b、c，設△ABC

的面積為S，周長為l．

（1）填表：

三邊a、b、ca+b﹣c

3、4、52

5、12、134

8、15、176

（2）如果a+b﹣c=m，觀察上表猜想：=，（用含有m的代數

式表示）；

（3）說出（2）中結論成立的理由．

7．如圖所示，折疊長方形的一邊AD，使點D落在邊BC的點F處，已知AB=8cm，

BC=10cm，則EC的長為cm．

8．如圖，將矩形ABCD沿直線AE折疊，頂點D恰好落在BC邊上F點處，已

知CE=3cm，AB=8cm，求圖中陰影部分的面積．

9．在學習勾股定理時，我們學會運用圖（I）驗證它的正確性；圖中大正方形的

面積可表示為：

（a+b）2，也可表示為：c2+4?（ab），

即（a+b）2=c2+4?（ab）由此推出勾股定理a2+b2=c2，這種根據圖形可以極

簡單地直觀推論或驗證數學規律和公式的方法，簡稱“無字證明”．

勾股定理145題（含解析）

（1）請你用圖（II）（2002年國際數字家大會會標）的面積表達式驗證勾股定

理（其中四個直角三角形全等）；

（2）請你用（III）提供的圖形進行組合，用組合圖形的面積表達式驗證（x+y）

2=x2+2xy+y2；

（3）請你自己設計圖形的組合，用其面積表達式驗證：（x+p）（x+q）

=x2+px+qx+pq=x2+（p+q）x+pq．

10．據我國古代《周髀算經》記載，公元前1120年商高對周公說，將一根直尺

折成一個直角，兩端連接得一個直角三角形，如果勾是三、股是四，那么弦就等

于五．后人概括為“勾三，股四，弦五”．

（1）觀察：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，發現這些勾股數的勾都是

奇數，且從3起就沒有間斷過．計算（9﹣1）、（9+1）與（25﹣1）、（25+1），

并根據你發現的規律，分別寫出能表示7，24，25的股和弦的算式；

（2）根據（1）的規律，用n（n為奇數且n≥3）的代數式來表示所有這些勾股

數的勾、股、弦，合情猜想他們之間二種相等關系并對其中一種猜想加以證明；

（3）繼續觀察4，3，5；6，8，10；8，15，17；…，可以發現各組的第一個

數都是偶數，且從4起也沒有間斷過．運用類似上述探索的方法，直接用m（m

為偶數且m＞4）的代數式來表示他們的股和弦．

11．大家在學完勾股定理的證明后發現運用“同一圖形的面積不同表示方式相

同”可以證明一類含有線段的等式，這種解決問題的方法我們稱之為面積法．學

有所用：在等腰三角形ABC中，AB=AC，其一腰上的高為h，M是底邊BC上

的任意一點，M到腰AB、AC的距離分別為h1、h2．

（1）請你結合圖形來證明：h1+h2=h；

勾股定理145題（含解析）

（2）當點M在BC延長線上時，h1、h2、h之間又有什么樣的結論．請你畫出

圖形，并直接寫出結論不必證明；

（3）利用以上結論解答，如圖在平面直角坐標系中有兩條直線l1：y=x+3，l2：

y=﹣3x+3，若l2上的一點M到l1的距離是．求點M的坐標．

12．如圖，正方形MNPQ網格中，每個小方格的邊長都相等，正方形ABCD

的頂點在正方形MNPQ的4條邊的小方格頂點上．

（1）設正方形MNPQ網格內的每個小方格的邊長為1，求：

①△ABQ，△BCM，△CDN，△ADP的面積；②正方形ABCD的面積；

（2）設MB=a，BQ=b，利用這個圖形中的直角三角形和正方形的面積關系，

你能驗證已學過的哪一個數學公式或定理嗎？相信你能給出簡明的推理過程．

13．如圖（1）所示，一個梯子AB長2.5米，頂端A靠在墻AC上，這時梯子

下端B與墻角C距離為1.5米，梯子滑動后停在DE位置上，如圖（2）所示，

測得BD=0.5米，求梯子頂端A下落了多少米？

14．如圖，A城氣象臺測得臺風中心在A城正西方向320km的B處，以每小

時40km的速度向北偏東60°的BF方向移動，距離臺風中心200km的范圍內

是受臺風影響的區域．

勾股定理145題（含解析）

（1）A城是否受到這次臺風的影響？為什么？

（2）若A城受到這次臺風影響，那么A城遭受這次臺風影響有多長時間？

15．已知某開發區有一塊四邊形的空地ABCD，如圖所示，現計劃在空地上種

植草皮，經測量∠A=90°，AB=3m，BC=12m，CD=13m，DA=4m，若每平

方米草皮需要200元，問要多少投入？

16．為了豐富少年兒童的業余生活，某社區要在如圖所示AB所在的直線建一圖

書室，本社區有兩所學校所在的位置在點C和點D處，CA⊥AB于A，DB⊥AB

于B，已知AB=25km，CA=15km，DB=10km，試問：圖書室E應該建在距

點A多少km處，才能使它到兩所學校的距離相等？

17．如圖所示的一塊地，AD=12m，CD=9m，∠ADC=90°，AB=39m，BC=36m，

求這塊地的面積．

18．如圖，公路AB和公路CD在點P處交會，且∠APC=45°，點Q處有一所

小學，PQ=，假設拖拉機行駛時，周圍130m以內會受到噪聲的影響，

勾股定理145題（含解析）

那么拖拉機在公路AB上沿PA方向行駛時，學校是否會受到噪聲影響？請說明

理由；若受影響，已知拖拉機的速度為36km/h，那么學校受影響的時間為多少

秒？

19．甲、乙兩位探險者到沙漠進行探險，沒有了水，需要尋找水源．為了不致

于走散，他們用兩部對話機聯系，已知對話機的有效距離為15千米．早晨8：

00甲先出發，他以6千米/時的速度向東行走，1小時后乙出發，他以5千米/

時的速度向北行進，上午10：00，甲、乙二人相距多遠？還能保持聯系嗎？

20．如圖，∠AOB=90°，OA=45cm，OB=15cm，一機器人在點B處看見一個

小球從點A出發沿著AO方向勻速滾向點O，機器人立即從點B出發，沿直線

勻速前進攔截小球，恰好在點C處截住了小球．如果小球滾動的速度與機器人

行走的速度相等，那么機器人行走的路程BC是多少？

21．印度數學家什迦邏（1141年﹣1225年）曾提出過“荷花問題”：

“平平湖水清可鑒，面上半尺生紅蓮；

出泥不染亭亭立，忽被強風吹一邊，

漁人觀看忙向前，花離原位二尺遠；

能算諸君請解題，湖水如何知深淺”

請用學過的數學知識回答這個問題．

22．如圖，兩個小滑塊A、B由一根連桿連接，A、B分別可以在互相垂直的兩

個滑道上滑動．開始時滑塊A距O點16cm，滑塊B距O點12cm．那么滑塊

勾股定理145題（含解析）

A向下滑動6cm時，求滑塊B向外滑動了多少cm？（結果精確到0.1cm，其

中，）

23．請閱讀下列材料：

問題：如圖（1），一圓柱的底面半徑、高均為5cm，BC是底面直徑，求一只螞

蟻從A點出發沿圓柱表面爬行到點C的最短路線．小明設計了兩條路線：

路線1：側面展開圖中的線段AC．如下圖（2）所示：

2222222

設路線1的長度為l1，則l1=AC=AB+=5+（5π）=25+25π

路線2：高線AB+底面直徑BC．如上圖（1）所示：

222

設路線2的長度為l2，則l2=（AB+BC）=（5+10）=225

22222

l1﹣l2=25+25π﹣225=25π﹣200=25（π﹣8）＞0

22

∴l1＞l2，∴l1＞l2

所以要選擇路線2較短．

（1）小明對上述結論有些疑惑，于是他把條件改成：“圓柱的底面半徑為1cm，

高AB為5cm”繼續按前面的路線進行計算．請你幫小明完成下面的計算：

22

路線1：l1=AC=；

22

路線2：l2=（AB+BC）=

22

∵l1l2，

∴l1l2（填＞或＜）

∴選擇路線（填1或2）較短．

勾股定理145題（含解析）

（2）請你幫小明繼續研究：在一般情況下，當圓柱的底面半徑為r，高為h時，

應如何選擇上面的兩條路線才能使螞蟻從點A出發沿圓柱表面爬行到C點的路

線最短．

24．從下面兩個題目中任選一題作答：

（A題）折竹抵地

今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．問折者高幾何（如圖）

友情提醒：請寫出解答這首詩的方法和步驟．

（B題）海島算經

三國魏人劉徽，自撰《海島算經》，專論測高望遠．其中有一題，是數學史上有

名的測量問題．今譯如下：如圖，要測量海島上一座山峰A的高度AH，立兩根

高三丈的標桿BC和DE，兩竿相距BD=1000步，D、B、H成一線，從BC退

行123步到F，人目著地觀察A，A、C、F三點共線；從DE退行127步到G，

從G看A，A、E、G三點也共線．試算出山峰的高度AH及HB的距離．（古制

1步=6尺，1里=180丈=1800尺=300步．結果用里和步來表示）

友情提醒：請寫出必要的算法和過程．

25．梅華中學九年級數學課外學習小組某下午實踐活動課時，測量朝西教學樓

前的旗桿AB的高度．如圖，當陽光從正西方向照射過來時，旗桿AB的頂端A

的影子落在教學樓前的坪地C處，測得影長CE=2m，DE=4m，BD=20m，DE

與地面的夾角α=30度．在同一時刻，測得一根長為1m的直立竹竿的影長恰為

4m．根據這些數據求旗桿AB的高度．（可能用到的數據：≈1.414，≈1.732，

結果保留兩個有效數字）

勾股定理145題（含解析）

26．參照如圖，寫出勾股定理的邏輯證明．

27．利用下面的圖形分別給出勾股定理的兩種證明．

28．如圖，在平面內，把矩形ABCD繞點B按順時針方向旋轉90°得到矩形

A′BC′D′．設AB=a，BC=b，BD=c．請利用該圖驗證勾股定理．

勾股定理145題（含解析）---解析

解析：

選擇：

1．解：根據已知條件，

∵△ABC是等腰直角三角形，CD是中線．∴BD=DC，∠B=∠DCA=45°．

又∵∠BDC=∠EDH=90°，即∠BDE+∠EDC=∠EDC+∠CDH

∴∠BDE=∠CDH∴△DBE≌△DCG（ASA）∴DE=DG；BE=CG．

同理可證：△DCH≌△DAF，可得：DF=DH；AF=CH．

∵BC=AC，CH=AF，∴BH=CF．故選D．

2．解：根據勾股定理，這邊上高線==3，則以這邊上高線為邊長的

正方形的面積為27cm2．故選B．

3．解：連接AP、BP、CP，設等邊三角形的高為h

∵正三角形ABC邊長為2∴h=

∵S△BPC=

S△APC=，S△APB=

∴S△ABC=

∵AB=BC=AC

∴S△ABC==

∴PD+PF+PE=h=故選A．

勾股定理145題（含解析）---解析

4．解：此題應分三種情況：

①以AB為腰，點A為直角頂點；

可作△ABC1、△ABC2，兩個等腰直角三角形；

②以AB為腰，點B為直角頂點；

可作△BAC3、△BAC4，兩個等腰直角三角形；

③以AB為底，點C為直角頂點；

可作△ABC5、△ABC6，兩個等腰直角三角形；

綜上可知，可作6個等腰直角三角形，故選C．

5．解：如圖；連接AB，則AB必過C、D；

Rt△ACF中，AC=AF，CF=10；則AC=AF=5；

同理可得BD=5；

Rt△CDE中，DE=CE=10，則CD=10；

所以AB=AC+CD+BD=20；故選C．

6．解：AB兩點可連成一條線段，

當AB為左側直角邊時，其左側，右側各存在一點C可滿足條件，

同理，AB為右側直角邊時，也有兩點

當為斜邊時，上下兩側也有兩點成立．

所以共有6個點故選C．

勾股定理145題（含解析）---解析

7．解：以線段AB為斜邊的等腰直角三角形有2個，分別位于線段AB的兩側；

以AB為直角邊的等腰直角三角形，以A為直角頂點的有2個，分別位于AB的

兩側，同理以B為直角頂點的有2個．

則以線段AB為一邊的等腰直角三角形有6個．故選D．

8．解：∵△ABC是邊長為1的等腰直角三角形，

1﹣2

∴S△ABC=×1×1==2；

AC==，AD==2…，

2﹣2

∴S△ACD=××=1=2；

3﹣2

S△ADE=×2×2=1=2…

∴第n個等腰直角三角形的面積是2n﹣2．故選A．

9．解：由等腰三角形的判定知：A、C正確；

B、設等腰三角形的底角為x，則等腰三角形一腰上的高與底邊的夾角為：90°

﹣x，

頂角為：180°﹣2x=2（90°﹣x），故B正確；

D、有一個角的平分線平分對邊的三角形不一定是等腰直角三角形，故D錯誤．

故選D．

10．解：根據勾股定理，

正方形A的面積是225+400=625；故選C．

11．解：∵大正方形的面積13，小正方形的面積是1，

∴四個直角三角形的面積和是13﹣1=12，即4×ab=12，

即2ab=12，a2+b2=13，∴（a+b）2=13+12=25．故選B．

12．解：設另一直角邊長為x，斜邊為y，根據勾股定理可得

x2+132=y2，即（y+x）（y﹣x）=169×1

因為x、y都是連續自然數，

可得，∴周長為13+84+85=182；

故選A．

13．解：則可作圖如下：

勾股定理145題（含解析）---解析

由于此三角形為直角三角形，可以很直觀的看到x2=132﹣122．所以x=5．

故選D．

14．解：當AB是斜邊時，則第三個頂點所在的位置有：C、D，E，H四個；

當AB是直角邊，A是直角頂點時，第三個頂點是F點；

當AB是直角邊，B是直角頂點時，第三個頂點是G．

因而共有6個滿足條件的頂點．

故選D．

15．解：設直角三角形三邊分別為a，b，c，則三個半圓的半徑分別為，，

由勾股定理得a2+b2=c2，即（）2+（）2=（）2

兩邊同時乘以π得π（）2+π（）2=π（）2

即S1、S2、S3之間的關系是S1+S2=S3

故選C．

16．解：設另外兩邊是a、b（a＞b）

則根據勾股定理，得：a2﹣b2=121

∵另外兩邊的長都是自然數

∴（a+b）（a﹣b）=121=121×1

即另外兩邊的和是121，

故三角形的周長是132．

故選A．

17．解：如圖；

勾股定理145題（含解析）---解析

△ABC中，AB=AC=10，DC=2；

∴AD=AC﹣DC=8；

Rt△ABD中，AB=10，AD=8；

由勾股定理，得：BD==6；

故選B．

18．解：①當8是斜邊時，根據勾股定理得第三邊是==；

②當8是直角邊時，第三邊是=10；故選D．

19．解：如圖所示，AB為梯子的長，AC為梯子的頂端距墻腳的距離，BC為梯

足離墻腳的距離．

在Rt△ACB中，AB=2.5米，AC=2.4米，由勾股定理得，

BC====0.7米．

所以梯足離墻腳的距離為：0.7米，

故選：A．

20．解：∵△ABC是直角三角形，

∴AB=

而2是開方開不盡的數，故是無理數．

所以以上答案都不正確．選D．

21．解：∵∠A：∠B：∠C=1：2：3，

勾股定理145題（含解析）---解析

∴∠A=30°，∠B=60°，∠C=90°．

設BC=x，則AB=2x，

根據勾股定理，得AC=x，

∴BC：AC：AB=1：：2．

故選D．

22．解：作PC⊥OA于C，由題意可得

△OPC是等腰直角三角形，

因為OP=6，

根據勾股定理可得PC=3，

根據角平分線的性質，

點P到OB的距離為3．

故選D．

23．解：設兩直角邊分別為：a，b，斜邊為c，

∵直角三角形的斜邊為2，周長為，

∴a+b=，

∵（a+b）2=a2+b2+2ab=c2+2ab=4+2ab=6，

∴ab=1，

∵三角形有面積=ab=，

故選A．

24．解：∵c﹣b=b﹣a＞0

∴c＞b＞a，c+a=2b

根據勾股定理得，c2﹣a2=b2，（c+a）（c﹣a）=b2，

∴c﹣a=b

∴=4故選C．

勾股定理145題（含解析）---解析

25．解：過點B作BO⊥AC于O，延長BO到B′，使OB′=OB，連接DB′，交

AC于E，

此時DB′=DE+EB′=DE+BE的值最小．

連接CB′，易證CB′⊥BC，

根據勾股定理可得DB′==2，

則△BDE周長的最小值為2+2．

故選C．

26．解：根據勾股定理，a2+b2=c2．

故選：D．

27．解：由題意知，底面圓的直徑AB=4，

故底面周長等于4π．

設圓錐的側面展開后的扇形圓心角為n°，

根據底面周長等于展開后扇形的弧長得4π=，

解得n=120°，

所以展開圖中∠APD=120°÷2=60°，

因為半徑PA=PB，∠APB=60°，

故三角形PAB為等邊三角形，

又∵D為PB的中點，

所以AD⊥PB，在直角三角形PAD中，PA=6，PD=3，

根據勾股定理求得AD=3，

所以螞蟻爬行的最短距離為3．

故選C．

勾股定理145題（含解析）---解析