2026高中數學10大導數：專題38 由函數零點或方程根的個數求參數范圍問題學生版

專題38由函數零點或方程根的個數求參數范圍問題

【例題選講】

2

[例1]已知函數f(x)＝x2＋－alnx(a∈R)．

x

(1)若f(x)在x＝2處取得極值，求曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線方程；

(2)當a>0時，若f(x)有唯一的零點x0，求[x0]．

注：[x]表示不超過x的最大整數，如[0.6]＝0，[2.1]＝2，[－1.5]＝－2．

(參考數據：ln2＝0.693，ln3＝1.099，ln5＝1.609，ln7＝1.946)

1

[例2]已知函數f(x)＝xex－a(x＋1)2．

2

(1)若a＝e，求函數f(x)的極值；

(2)若函數f(x)有兩個零點，求實數a的取值范圍．

[例3]已知函數f(x)＝ex－2x－1．

(1)求曲線y＝f(x)在(0，f(0))處的切線方程；

(2)設g(x)＝af(x)＋(1－a)ex，若g(x)有兩個零點，求實數a的取值范圍．

[例4]已知函數f(x)＝lnx－ax2＋x，a∈R．

(1)當a＝0時，求曲線y＝f(x)在點(e，f(e))處的切線方程；

(2)討論f(x)的單調性；

(3)若f(x)有兩個零點，求a的取值范圍．

[例5](2017·全國Ⅰ)已知函數f(x)＝ae2x＋(a－2)·ex－x．

(1)討論f(x)的單調性；

(2)若f(x)有兩個零點，求a的取值范圍．

[例6]已知a∈R，函數f(x)＝ex－ax(e＝2.71828…是自然對數的底數)．

(1)若函數f(x)在區間(－e，－1)上是減函數，求實數a的取值范圍；

1

0，

(2)若函數F(x)＝f(x)－(ex－2ax＋2lnx＋a)在區間2內無零點，求實數a的最大值．

【對點訓練】

1．(2018·全國Ⅱ)已知函數f(x)＝ex－ax2．

(1)若a＝1，證明：當x≥0時，f(x)≥1；

(2)若f(x)在(0，＋∞)只有一個零點，求a．

2．設函數f(x)＝lnx＋x.

a1

(1)令F(x)＝f(x)＋－x(0<x≤3)，若F(x)的圖象上任意一點P(x0，y0)處切線的斜率k≤恒成

x2

立，求實數a的取值范圍；

(2)若方程2mf(x)＝x2有唯一實數解，求正數m的值．

3．函數f(x)＝ax＋xlnx在x＝1處取得極值．

(1)求f(x)的單調區間；

(2)若y＝f(x)－m－1在定義域內有兩個不同的零點，求實數m的取值范圍．

4．設函數f(x)＝－x2＋ax＋lnx(a∈R)．

(1)當a＝－1時，求函數f(x)的單調區間；

1

，3

(2)設函數f(x)在3上有兩個零點，求實數a的取值范圍．

5．已知函數f(x)＝(x－2)ex＋a(x－1)2．

(1)討論f(x)的單調性；

(2)若f(x)有兩個零點，求a的取值范圍．

6．已知函數f(x)＝(x－1)ex＋ax2，a∈R．

(1)討論函數f(x)的單調區間；

(2)若f(x)有兩個零點，求a的取值范圍．

7．已知函數f(x)＝(2－a)x－2(1＋lnx)＋a．

(1)當a＝1時，求f(x)的單調區間．

1

0，

(2)若函數f(x)在區間2上無零點，求a的最小值．

lnxa

8．已知函數F(x)＝－．

x－1x＋1

(1)設函數h(x)＝(x－1)F(x)，當a＝2時，證明：當x>1時，h(x)>0；

(2)若F(x)有兩個不同的零點，求a的取值范圍．

9．已知函數f(x)＝xex－a(lnx＋x)，a∈R．

(1)當a＝e時，求f(x)的單調區間；

(2)若f(x)有兩個零點，求實數a的取值范圍．

ex

10．已知函數f(x)＝