高考數學一輪復習 課時規范練70　正態分布（基礎版）

課時規范練70正態分布(分值:77分)(單選題每小題5分,多選題每小題6分,填空題每小題5分)基礎鞏固練1.(2025·江西九師聯盟模擬)已知某地3月~5月份的日平均氣溫X(單位:℃)服從正態分布N(15,σ2),若P(X≤14)=0.3,則P(14<X<16)=()A.0.2 B.0.4 C.0.6 D.0.72.(2025·河北邯鄲模擬)已知隨機變量ξ服從正態分布N(4,σ2),若P(2<ξ<6)=3p,P(ξ≤6)=4p,則p=()A.0.4 B.0.3 C.0.2 D.0.13.(2021·新高考Ⅱ,6)某物理量的測量結果服從正態分布N(10,σ2),下列結論中不正確的是()A.σ越小,該物理量在一次測量中在(9.9,10.1)的概率越大B.該物理量在一次測量中大于10的概率為0.5C.該物理量在一次測量中小于9.99與大于10.01的概率相等D.該物理量在一次測量中落在(9.9,10.2)與落在(10,10.3)的概率相等4.已知隨機變量X,Y滿足X~N(μ,σ2),Y~N(μ-2,σ2),若P(X≤1)=P(X≥5),P(0≤Y≤2)=0.6,則P(X≥4)=()A.0.15 B.0.2 C.0.25 D.0.35.假設某廠有一條包裝食鹽的生產線,正常情況下食鹽質量服從正態分布N(500,σ2)(單位:g),某天生產線上的質檢員隨機抽取了一包食鹽,稱得其質量小于488g,則判斷生產線出現了異常,要求停產檢修.由此可以得到σ的最大值為()A.2 B.4 C.6 D.86.(多選題)(2025·海南中學模擬)某工廠為了提升產量,研究引進了新技術,現抽取一條生產線作為樣本,在使用新技術后,每天的產量為450,樣本方差為4,已知沒有使用新技術前,該生產線每天的產量為440,樣本方差為9,若未使用新技術的日產量X與使用新技術后的日產量Y都服從正態分布,則()A.X~N(440,92) B.Y~N(450,22)C.P(X≤450)>P(Y≤450) D.P(Y≥430)<P(Y≤460)7.隨機變量X的概率分布密度函數f(x)=1σ2πe-(x-1)22σ2(x∈R),其圖象如圖所示8.已知某種袋裝食品每袋質量X~N(500,16),則隨機抽取10000袋這種食品,袋裝質量在區間(492,504]的約袋(質量單位:g).(附:X~N(μ,σ2),則P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.6827,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973)

9.已知隨機變量X~N(4,42).若P(X<3)=0.3,則P(3<X<5)=,若Y=2X+1,則Y的方差為.

綜合提升練10.某地開展法制宣傳教育活動.為了解宣傳效果,特進行問卷調查,并對每份問卷進行評分,發現最終成績差異較大.比較差異較大數據的離散程度時,常使用離散系數,其計算公式為:離散系數=標準差均值.已知2000份問卷的評分近似服從正態分布,且平均分為64,離散系數為0.25,則所有問卷評分的第84百分位數約為()附:若隨機變量Z服從正態分布N(μ,σ2),則P(|Z-μ|<σ)≈0.68A.80 B.76 C.68 D.6411.(多選題)在生物制藥行業,藥品的有效成分含量(單位:毫克/毫升)直接關系到藥品的療效.經過對生產的藥品進行檢測分析,某款藥品的有效成分含量ξ服從正態分布N(120,σ2),已知P(ξ≥132)=0.1.為了控制藥品質量,從一批生產的藥品中隨機抽取3盒,記有效成分含量在區間(108,132)的藥品盒數為X,則下列說法中正確的是()A.P(108<ξ<132)=0.8 B.E(2X+1)=5.8C.D(3X)=0.48 D.P(X≥1)=0.00812.某次數學練習中,學生成績X服從正態分布N(115,σ2),若P(105≤X≤125)=12,則從參加這次考試的學生中任意選取3名學生,至少有2名學生的成績高于125分的概率是.

13.(15分)一條生產電阻的生產線,生產正常時,生產的電阻阻值X(單位:Ω)服從正態分布N(1000,52).(1)生產正常時,從這條生產線生產的電阻中抽取2只,求這兩只電阻的阻值在區間(995,1000]和(1005,1010]內各一只的概率;(精確到0.001)(2)根據統計學的知識,從服從正態分布N(μ,σ2)的總體中抽取容量為n的樣本,則這個樣本的平均數服從正態分布N(μ,σ2n).某時刻,質檢員從生產線上抽取5只電阻,測得阻值分別為1000,1007,1012,1013,1013(單位:Ω).你認為這時生產線生產正常嗎?(參考數據:若X~N(μ,σ2),則P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.6827,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973)

參考答案課時規范練70正態分布1.B解析由題意知,μ=15.由P(X≤14)=0.3,則P(14<X<15)=P(X<15)-P(X≤14)=0.5-0.3=0.2,所以P(14<X<16)=2P(14<X<15)=2×0.2=0.4.故選B.2.C解析由已知得正態曲線關于直線x=4對稱,∴P(ξ≥6)=P(ξ≤2)=4p-3p=p,∴p+3p+p=1,解得p=0.2.故選C.3.D解析對于A,σ越小,代表正態曲線越陡,故A正確;對于B,測量結果服從正態分布N(10,σ2),則正態曲線的對稱軸為直線x=10,故B正確;對于C,結合正態曲線可知x=10.01與x=9.99關于對稱軸(直線x=10)對稱,故C正確;對于D,結合正態曲線可知,區間(9.9,10.2)與(10,10.3)不關于對稱軸(直線x=10)對稱,故D錯誤.故選D.4.B解析由P(X≤1)=P(X≥5),得μ=1+52=3,則μ-2=3-2=1,故Y~N(1,σ2).由P(0≤Y≤2)=0.6,得P(Y≥2)=1-0.62=0.2.因為X~N(3,σ2),Y~N(1,σ2),所以隨機變量X,Y對應的正態密度曲線的形狀相同,其對稱軸分別為直線x=3,x=1,從而P(X≥4)=P(Y≥2)=05.B解析由題可知,488≤500-3σ,解得σ≤4,故σ的最大值為4.故選B.6.BC解析對于選項A,未使用新技術時,日產量X的均值為440,方差為9,得X~N(440,32),故A錯誤;對于選項B,使用新技術時,日產量Y的均值為450,方差為4,Y~N(450,22),故B正確;對于選項C,P(X≤450)>0.5,P(Y≤450)=0.5,所以P(X≤450)>P(Y≤450),故C正確;對于選項D,因為Y服從正態分布,其圖象關于直線x=450對稱,所以P(Y≥430)=P(Y≤470),所以P(Y≥430)>P(Y≤460),故D錯誤.故選BC.7.0.35解析由題意可知X~N(1,σ2),則P(X≤0)=P(X≥2)=0.15,故圖中陰影部分的面積為1-0.15×228.8186解析由題意得P(500-4≤X≤500+4)≈0.6827,P(500-8≤X≤500+8)≈0.9545,則P(492<X≤496)≈0.9545-0.68272=0.1359,故P(492<X≤504)≈0.1359+0.6827=0.8186,則袋裝質量在區間(492,504]的約有109.0.464解析由題意可知,μ=4,σ=4,即D(X)=16,所以D(Y)=4D(X)=64.因為3+5=2μ,且P(X<3)=0.3,所以P(3<X<5)=1-2P(X<3)=0.4.10.A解析根據題意知,標準差為64×0.25=16,所以評分近似服從正態分布N(64,162).又84%=0.5+0.682,且P(|Z-μ|<σ)≈0.68,故所有問卷評分的第84百分位數約為μ+σ=64+16=80.11.AB解析已知ξ服從正態分布N(120,σ2),則正態曲線的對稱軸為直線μ=120.因為132-120=120-108=12,所以P(ξ≤108)=P(ξ≥132)=0.1,那么P(108<ξ<132)=1-P(ξ≤108)-P(ξ≥132)=1-0.1-0.1=0.8,故A正確;從一批藥品中隨機抽取3盒,每盒藥品有效成分含量在區間(108,132)的概率為0.8,且各盒之間相互獨立,所以X~B(3,0.8),所以E(X)=3×0.8=2.4,所以E(2X+1)=2E(X)+1=2×2.4+1=5.8,故B正確;D(X)=3×0.8×(1-0.8)=3×0.8×0.2=0.48,則D(3X)=32×D(X)=9×0.48=4.32,故C錯誤;P(X≥1)=1-P(X=0)=1-0.23=0.992,故D錯誤.故選AB.12.532解析由題意,學生成績X服從正態分布N(115,σ2),若P(105≤X≤125)=12,則P(115≤X≤125)=12×P(105≤X≤125)=12×12=14,所以P(X>125)=12-P(115≤X≤125)=12-14=14.從參加這次考試的學生中任意選取3名學生,設選中的學生的成績高于125分的人數為Y,可得變量Y~B(3,14),所以至少有2名學生的成績高于125分的概率為C13.解(1)電阻阻值X服從正態分布N(1000,52),所以μ=1000,σ=5.所以生產正常時,從這條生產線生產的電阻中抽取1只,則這只電阻阻值在(995,1000]和在(1005,1010]的概率分別為P1=P(995<X≤1000)=P(μ-σ≤X≤μ)=12P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.341P2=P(1005<X≤1010)=P(μ+σ≤X≤μ+2σ)=12[P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)-P(μ-σ≤X≤μ+σ)]≈0.1359故這兩只電阻的阻