2027金版教程一輪復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)版第11章第6節(jié)　二項(xiàng)分布、超幾何分布、正態(tài)分布

第十一章計(jì)數(shù)原理、概率、隨機(jī)變量及其分布第六節(jié)二項(xiàng)分布、超幾何分布、正態(tài)分布課標(biāo)解讀考向預(yù)測(cè)1.理解伯努利試驗(yàn)，掌握二項(xiàng)分布及其數(shù)字特征，并能解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題．2.了解超幾何分布及其均值，并能解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題．3.通過(guò)誤差模型，了解服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量，通過(guò)具體實(shí)例，借助頻率分布直方圖的幾何直觀，了解正態(tài)分布的特征．4.了解正態(tài)分布的均值、方差及其含義.預(yù)計(jì)2027年高考可能將二項(xiàng)分布或超幾何分布與數(shù)字特征綜合起來(lái)呈現(xiàn)，也可能將正態(tài)分布與成對(duì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析綜合起來(lái)呈現(xiàn).必備知識(shí)強(qiáng)基礎(chǔ)考點(diǎn)探究提素養(yǎng)課時(shí)作業(yè)目錄必備知識(shí)強(qiáng)基礎(chǔ)1．伯努利試驗(yàn)與二項(xiàng)分布(1)伯努利試驗(yàn)____________________的試驗(yàn)叫做伯努利試驗(yàn)；將一個(gè)伯努利試驗(yàn)獨(dú)立地重復(fù)進(jìn)行n次所組成的隨機(jī)試驗(yàn)稱(chēng)為_(kāi)______________．(2)二項(xiàng)分布一般地，在n重伯努利試驗(yàn)中，設(shè)每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為p(0＜p＜1)，用X表示事件A發(fā)生的次數(shù)，則X的分布列為P(X＝k)＝____________，k＝0，1，2，…，n.只包含兩個(gè)可能結(jié)果n重伯努利試驗(yàn)如果隨機(jī)變量X的分布列具有上式的形式，則稱(chēng)隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，記作______________．(3)二項(xiàng)分布的均值、方差若X～B(n，p)，則E(X)＝____，D(X)＝____________．npX～B(n，p)np(1－p)正態(tài)密度曲線上方x＝μx＝μ1μ較小較大X～N(μ，σ2)μσ21．二項(xiàng)分布當(dāng)n＝1時(shí)就是兩點(diǎn)分布．2．“二項(xiàng)分布”與“超幾何分布”的區(qū)別：有放回抽取問(wèn)題對(duì)應(yīng)二項(xiàng)分布，不放回抽取問(wèn)題對(duì)應(yīng)超幾何分布，當(dāng)總體容量很大時(shí)，超幾何分布可近似為二項(xiàng)分布來(lái)處理．3．當(dāng)X～B(n，p)時(shí)，P(X＝k)的最大值：若(n＋1)p是正整數(shù)，則k＝(n＋1)p或k＝(n＋1)p－1時(shí)，P(X＝k)取得最大值；若(n＋1)p不是正整數(shù)，則k＝[(n＋1)p][不大于(n＋1)p的最大整數(shù)]時(shí)，P(X＝k)取得最大值．4．若X～N(μ，σ2)，則P(X<a)＝1－P(X≥a)，P(X<μ－a)＝P(X>μ＋a)．√×題組一走出誤區(qū)——判一判(1)n重伯努利試驗(yàn)中各次試驗(yàn)的結(jié)果相互獨(dú)立．(

)(2)正態(tài)分布是對(duì)連續(xù)型隨機(jī)變量而言的．(

)(3)X表示n次重復(fù)拋擲1枚骰子出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)是3的倍數(shù)的次數(shù)，則X服從二項(xiàng)分布．(

)(4)從裝有3個(gè)紅球、3個(gè)白球的盒中有放回地任取一個(gè)球，連取3次，則取到紅球的個(gè)數(shù)X服從超幾何分布．(

)(5)正態(tài)分布中的參數(shù)μ和σ完全確定了正態(tài)分布密度函數(shù)，參數(shù)μ是正態(tài)分布的均值，σ是正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)差．(

)√√√題組二回歸教材——練一練(1)(人教B選擇性必修第二冊(cè)4.2.4練習(xí)AT4改編)設(shè)50個(gè)產(chǎn)品中有10個(gè)次品，任取產(chǎn)品20個(gè)，取到的次品可能有X個(gè)，則E(X)＝(

)A．4 B．3C．2 D．1(2)(人教B選擇性必修第二冊(cè)4.2.5練習(xí)BT2改編)隨機(jī)變量X～N(8，σ2)，若P(7≤X≤9)＝0.4，則P(X>9)＝(

)A．0.6 B．0.5C．0.4 D．0.3解析：∵隨機(jī)變量X～N(8，σ2)，P(7≤X≤9)＝0.4，∴P(X>8)＝0.5，P(8<X≤9)＝0.2，∴P(X>9)＝0.3.(4)(人教B選擇性必修第二冊(cè)4.2.3練習(xí)BT4改編)已知隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布B(12，0.25)，且E(aX－3)＝3，則D(aX－3)＝________．9考點(diǎn)探究提素養(yǎng)考點(diǎn)一二項(xiàng)分布及其應(yīng)用如圖，在一條無(wú)限長(zhǎng)的軌道上，一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在隨機(jī)外力的作用下，從位置0出發(fā)，每次等可能地向左或向右移動(dòng)一個(gè)單位，設(shè)移動(dòng)n次后質(zhì)點(diǎn)位于位置Xn.(1)求P(X6＝0)；(2)求E(Xn)；(3)指出質(zhì)點(diǎn)最有可能位于哪個(gè)位置，并說(shuō)明理由．考點(diǎn)二超幾何分布及其應(yīng)用在一種新能源產(chǎn)品的客戶調(diào)查活動(dòng)中發(fā)現(xiàn)，某小區(qū)10位客戶有4人是該產(chǎn)品的潛在用戶，小劉負(fù)責(zé)這10人的聯(lián)系工作，他先隨機(jī)選擇其中5人安排在上午聯(lián)系，剩余5人安排在下午聯(lián)系．(1)設(shè)上午聯(lián)系的這5人中有Y個(gè)潛在用戶，求Y的分布列與期望；(2)小劉逐一依次聯(lián)系，直至確定所有潛在用戶為止，求小劉6次內(nèi)即可確定所有潛在用戶的概率．1．隨機(jī)變量是否服從超幾何分布的判斷若隨機(jī)變量X服從超幾何分布，則滿足如下條件：(1)該試驗(yàn)是不放回地抽取n次；(2)隨機(jī)變量X表示抽取到的次品件數(shù)(或類(lèi)似事件)，反之亦然．2．求超幾何分布的分布列的步驟步驟一驗(yàn)證隨機(jī)變量服從超幾何分布，并確定參數(shù)N，M，n的值步驟二根據(jù)超幾何分布的概率計(jì)算公式計(jì)算出隨機(jī)變量取每一個(gè)值時(shí)的概率步驟三列出分布列(2)(2026·陜西西安模擬)某工廠生產(chǎn)的燈泡使用壽命X～N(20，σ2)(單位：千小時(shí))，且P(X>23)＝0.1，則P(17<X<20)＝________．解析：因?yàn)閄～N(20，σ2)，且P(X>23)＝0.1，故P(X<17)＝0.1，所以P(17<X<20)＝0.5－0.1＝0.4.0.4利用正態(tài)曲線的對(duì)稱(chēng)性研究相關(guān)概率問(wèn)題，涉及的知識(shí)主要是正態(tài)曲線關(guān)于直線x＝μ對(duì)稱(chēng)，及曲線與x軸之間的面積為1.注意活用下面兩個(gè)結(jié)論：(1)P(X＜a)＝1－P(X≥a)；(2)P(X＜μ－a)＝P(X>μ＋a)．3.每袋食鹽的標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量為500克，現(xiàn)采用自動(dòng)流水線包裝食鹽，抽取一袋食鹽檢測(cè)，它的實(shí)際質(zhì)量與標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量存在一定的誤差，誤差值為實(shí)際質(zhì)量減去標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量．隨機(jī)抽取100袋食鹽，檢測(cè)發(fā)現(xiàn)誤差X(單位：克)近似服從正態(tài)分布N(0，σ2)，P(X≥2)＝0.02，則X介于－2～2的食鹽袋數(shù)大約為(

)A．4 B．48C．50 D．96解析：因?yàn)閄～N(0，σ2)，且P(X≥2)＝0.02，則P(0<x<2)＝0.48，P(－2<X<2)＝0.96，則X介于－2～2的食鹽袋數(shù)大約為100×0.96＝96.考向2正態(tài)分布的實(shí)際應(yīng)用(2026·河北邯鄲模擬)某工廠引進(jìn)新的生產(chǎn)設(shè)備M，為對(duì)其進(jìn)行評(píng)估，從設(shè)備M生產(chǎn)零件的流水線上隨機(jī)抽取100件零件作為樣本，測(cè)量其直徑后，整理得到下表：經(jīng)計(jì)算，樣本的平均值μ＝65，標(biāo)準(zhǔn)差σ＝2.2，以頻率值作為概率的估計(jì)值．(1)為評(píng)判設(shè)備M生產(chǎn)零件的性能，從該設(shè)備加工的零件中任意抽取一件，記其直徑為X，并根據(jù)以下不等式進(jìn)行評(píng)判(P表示相應(yīng)事件的概率)：直徑/mm5859616263646566676869707173合計(jì)件數(shù)11356193318442121100①P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≥0.6827；②P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≥0.9545；③P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≥0.9973.評(píng)判規(guī)則為：若同時(shí)滿足上述三個(gè)不等式，則設(shè)備等級(jí)為甲；僅滿足其中兩個(gè)，則等級(jí)為乙；若僅滿足其中一個(gè)，則等級(jí)為丙；若全部不滿足，則等級(jí)為丁，試判斷設(shè)備M的性能等級(jí)；(2)將直徑小于μ－2σ或大于μ＋2σ的零件認(rèn)為是次品．從樣本中隨意抽取2件零件，再?gòu)脑O(shè)備M的生產(chǎn)流水線上隨意抽取2件零件，計(jì)算其中次品總數(shù)Y的數(shù)學(xué)期望E(Y)．直徑/mm5859616263646566676869707173合計(jì)件數(shù)11356193318442121100正態(tài)分布出現(xiàn)在解答題中，通常與二項(xiàng)分布、超幾何分布相結(jié)合．解決正態(tài)分布問(wèn)題有三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：(1)對(duì)稱(chēng)軸為直線x＝μ；(2)標(biāo)準(zhǔn)差σ；(3)分布區(qū)間．利用對(duì)稱(chēng)性可求指定范圍內(nèi)的概率值，由μ，σ和分布區(qū)間的特征進(jìn)行轉(zhuǎn)化，使分布區(qū)間轉(zhuǎn)化為3σ特殊區(qū)間，從而求出所求概率．5.某省舉辦了一次高三年級(jí)化學(xué)模擬考試，共100000名學(xué)生參考．根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，該省本次模擬考試成績(jī)X(滿分100分)近似服從正態(tài)分布N(μ，σ2)．(1)已知本次模擬考試的平均成績(jī)?yōu)?5分，87分以上共有2275人．學(xué)生A的成績(jī)?yōu)?6分，試估計(jì)學(xué)生A的大致名次；(2)在該省本次模擬考試的參考學(xué)生中隨機(jī)抽取40人，記Y表示在本次考試中化學(xué)成績(jī)?cè)赱μ－3σ，μ＋3σ]之外的人數(shù)，求P(Y≥1)及Y的數(shù)學(xué)期望．參考數(shù)據(jù)：0.997340≈0.8975.參考公式：若X～N(μ，σ2)，則P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973.(2)在本次考試中，抽取1名化學(xué)成績(jī)?cè)赱μ－3σ，μ＋3σ]之內(nèi)的概率為0.9973，∴抽取1名化學(xué)成績(jī)?cè)赱μ－3σ，μ＋3σ]之外的概率為0.0027，∴隨機(jī)變量Y～B(40，0.0027)，∴P(Y≥1)＝1－P(Y＝0)≈1－0.997340≈0.1025，Y的數(shù)學(xué)期望為E(Y)＝np≈40×0.0027＝0.108.課時(shí)作業(yè)基礎(chǔ)題(占比60%)中檔題(占比30%)拔高題(占比10%)題號(hào)12345678910難度★★★★★★★★★★★考點(diǎn)二項(xiàng)分布的概率正態(tài)曲線的應(yīng)用正態(tài)分布的概率超幾何分布的均值超幾何分布的概率、均值正態(tài)分布的實(shí)際應(yīng)用正態(tài)分布的概率；二項(xiàng)分布的概率二項(xiàng)分布的概率二項(xiàng)分布的概率、均值、方差正態(tài)分布的概率題號(hào)11121314151617181920難度★★★★★★★★★★★★★★★★★★★考點(diǎn)超幾何分布的概率、均值二項(xiàng)分布的均值正態(tài)分布的實(shí)際應(yīng)用；二項(xiàng)分布的方差超幾何分布的概率、均值超幾何分布的分布列、均值二項(xiàng)分布的均值；正態(tài)分布的實(shí)際應(yīng)用二項(xiàng)分布的概率、均值超幾何分布的概率、均值正態(tài)分布的實(shí)際應(yīng)用二項(xiàng)分布的分布列、均值、概率的最值解析：正態(tài)密度曲線是一條關(guān)于直線x＝μ對(duì)稱(chēng)，在x＝μ處取得最大值的連續(xù)“鐘形”曲線．σ越大，曲線的最高點(diǎn)越低且彎曲較平緩；σ越小，曲線的最高點(diǎn)越高且彎曲較陡峭．由題圖易知μ1<μ2，σ1<σ2.故選A.3．若隨機(jī)變量X～N(10，22)，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是(

)A．P(X≥10)＝0.5 B．P(X≤8)＋P(X<12)＝1C．P(8≤X≤12)＝2P(8≤X≤10) D．D(2X＋1)＝8解析：根據(jù)隨機(jī)變量X～N(10，22)，可知正態(tài)密度曲線的對(duì)稱(chēng)軸為直線X＝10，X的方差為4，所以P(X≥10)＝0.5，故A正確；P(X≤8)＋P(X<12)＝P(X≥12)＋P(X<12)＝1，故B正確；P(8≤X≤12)＝2P(8≤X≤10)，故C正確；D(2X＋1)＝4D(X)＝16，故D錯(cuò)誤．故選D.6．某質(zhì)檢員從某生產(chǎn)線生產(chǎn)的零件中隨機(jī)抽取了一部分零件進(jìn)行質(zhì)量檢測(cè)，根據(jù)檢測(cè)結(jié)果發(fā)現(xiàn)這批零件的某一質(zhì)量指數(shù)X服從正態(tài)分布N(50，9)，且X落在[47，56]內(nèi)的零件個(gè)數(shù)為81860，則可估計(jì)所抽取的零件中質(zhì)量指數(shù)小于44的個(gè)數(shù)為(附：若隨機(jī)變量Z服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，則P(μ－σ≤Z≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ≤Z≤μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ≤Z≤μ＋3σ)≈0.9973)(

)A．2275 B．2375C．2415 D．455510．設(shè)隨機(jī)變量X～N(0，1)，f(x)＝P(X≤x)，其中x>0，則下列等式成立的是(

)A．f(－x)＝1－f(x) B．f(2x)＝2f(x)C．f(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù) D．P(|X|≤x)＝2f(x)－1解析：因?yàn)殡S機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(0，1)，所以正態(tài)曲線關(guān)于直線x＝0對(duì)稱(chēng)．對(duì)于A，因?yàn)閒(x)＝P(X≤x)，所以f(－x)＝P(X≤－x)＝P(X≥x)＝1－f(x)，故A正確；對(duì)于B，當(dāng)x＝1時(shí)，f(1)＝P(X≤1)>0.5，2f(1)>1，而f(2)<1，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，結(jié)合正態(tài)曲線，易得f(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)，故C正確；對(duì)于D，P(|X|≤x)＝P(－x≤X≤x)＝1－2[1－f(x)]＝2f(x)－1，故D正確．故選ACD.三、填空題12．(2025·天津卷，13)小桐操場(chǎng)跑圈，一周2次，一次5圈或6圈．第一次跑5圈或6圈的概率均為0.5，若第一次跑5圈，則第二次跑5圈的概率為0.4，跑6圈的概率為0.6；若第一次跑6圈，則第二次跑5圈的概率為0.6，跑6圈的概率為0.4.小桐一周跑11圈的概率為_(kāi)_______；若一周至少跑11圈為運(yùn)動(dòng)量達(dá)標(biāo)，連續(xù)跑4周，記達(dá)標(biāo)周數(shù)為X，則期望E(X)＝________．0.63.213．某流水線上生產(chǎn)的一批零件，其規(guī)格指標(biāo)X可以看作一個(gè)隨機(jī)變量，且X～N(98，σ2)，X≥100的零件不合格，不合格零件出現(xiàn)的概率為0.05，現(xiàn)從這批零件中隨機(jī)抽取400個(gè)，用Y表示400個(gè)零件中其規(guī)格指標(biāo)X位于區(qū)間(96，100)的個(gè)數(shù)，則隨機(jī)變量Y的方差是________．36解析：由正態(tài)分布的性質(zhì)，得質(zhì)量指標(biāo)在區(qū)間(96，100)的概率為1－2×0.05＝0.9，即1件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)位于區(qū)間(96，100)的概率為0.9，所以Y～B(400，0.9)，故D(Y)＝400×0.9×0.1＝36.14．(2026·河北石家莊模擬)為迎接中秋佳節(jié)，某公司開(kāi)展抽獎(jiǎng)活動(dòng)，規(guī)則如下：在不透明的容器中有除顏色外完全相同的2個(gè)紅球和3個(gè)白球，每位員工從中摸出2個(gè)小球．若摸到一紅球一白球，可獲得價(jià)值a百元代金券；摸到兩白球，可獲得價(jià)值b百元代金券；摸到兩紅球，可獲得價(jià)值ab百元代金券(a，b均為非負(fù)整數(shù))．已知每位員工平均可得5.4百元代金券，則運(yùn)氣最好者獲得至多________百元代金券．18四、解答題15．某公司采購(gòu)部需要采購(gòu)一箱電子元件，供貨商對(duì)該電子元件整箱出售，每箱10個(gè)．在采購(gòu)時(shí)，隨機(jī)選擇一箱并從中隨機(jī)抽取3個(gè)逐個(gè)進(jìn)行檢驗(yàn)．若其中沒(méi)有次品，則直接購(gòu)買(mǎi)該箱電子元件；否則，不購(gòu)買(mǎi)該箱電子元件．(1)若某箱電子元件中恰有1個(gè)次品，求該箱電子元件能被直接購(gòu)買(mǎi)的概率；(2)若某箱電子元件中恰有2個(gè)次品，記對(duì)隨機(jī)抽取的3個(gè)電子元件進(jìn)行檢驗(yàn)時(shí)次品的個(gè)數(shù)為X，求X的分布列及期望．16．某保險(xiǎn)公司有一款保險(xiǎn)產(chǎn)品，該產(chǎn)品今年的保費(fèi)為200元/人，賠付金額為5萬(wàn)元/人．假設(shè)該保險(xiǎn)產(chǎn)品的客戶為10000名，每人被賠付的概率均為0.25%，記10000名客戶中獲得賠償?shù)娜藬?shù)為X.(1)求E(X)，并計(jì)算該公司今年這一款保險(xiǎn)產(chǎn)品利潤(rùn)的期望；(2)二項(xiàng)分布是離散型的，而正態(tài)分布是連續(xù)型的，它們是不同的概率分布，但是隨著二項(xiàng)分布的試驗(yàn)次數(shù)的增加，二項(xiàng)分布折線圖與正態(tài)分布曲線幾乎一致，所以當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)較大時(shí)，可以利用正態(tài)分布處理二項(xiàng)分布的相關(guān)概率計(jì)算問(wèn)題，我們知道若X～B(n，p)，則D(X)＝np(1－p)，當(dāng)n較大且p較小時(shí)，我們?yōu)榱撕?jiǎn)化計(jì)算，常用E(X