四年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)重點(diǎn),雞兔同籠問(wèn)題講解及習(xí)題

同學(xué)們，在我們四年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)的學(xué)習(xí)中，會(huì)遇到一些非常經(jīng)典的數(shù)學(xué)問(wèn)題，它們不僅能鍛煉我們的思維能力，還能讓我們體會(huì)到數(shù)學(xué)在解決實(shí)際問(wèn)題中的樂(lè)趣。今天，我們就來(lái)重點(diǎn)探討其中一個(gè)非常有名的問(wèn)題——“雞兔同籠”問(wèn)題。這個(gè)問(wèn)題看似簡(jiǎn)單，但里面藏著不少巧妙的思考方法，掌握了它，能讓我們的解題思路更加開(kāi)闊。一、什么是“雞兔同籠”問(wèn)題？“雞兔同籠”問(wèn)題最早出現(xiàn)在我國(guó)古代的數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》中，是一個(gè)非常經(jīng)典的數(shù)學(xué)模型。它的基本形式是：已知雞和兔的總頭數(shù)和總腳數(shù)，求雞和兔各有多少只。比如說(shuō)：一個(gè)籠子里關(guān)著若干只雞和兔，從上面數(shù)，有幾個(gè)頭；從下面數(shù)，有幾只腳。問(wèn)雞和兔各有多少只？這就是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的“雞兔同籠”問(wèn)題。我們要解決的，就是在知道頭數(shù)和腳數(shù)的情況下，分別算出雞和兔的數(shù)量。二、“雞兔同籠”問(wèn)題的核心解法——假設(shè)法解決“雞兔同籠”問(wèn)題，最常用也最直觀的方法就是“假設(shè)法”。假設(shè)法的思路就是，先假設(shè)籠子里全是雞或者全是兔，然后根據(jù)腳數(shù)的差異來(lái)推算出另一種動(dòng)物的數(shù)量。（一）假設(shè)全是雞步驟解析：1.假設(shè)：假設(shè)籠子里所有的動(dòng)物都是雞。2.計(jì)算總腳數(shù)：因?yàn)槊恐浑u有2只腳，所以總腳數(shù)就應(yīng)該是“頭的總個(gè)數(shù)×2”。我們把這個(gè)叫做“假設(shè)總腳數(shù)”。3.找腳數(shù)差：用題目中給出的“實(shí)際總腳數(shù)”減去我們剛才算出來(lái)的“假設(shè)總腳數(shù)”，得到一個(gè)“總腳數(shù)差”。為什么會(huì)有這個(gè)差呢？因?yàn)槲覀儼岩徊糠滞米赢?dāng)成雞來(lái)算了，每把一只兔子當(dāng)成雞，腳的數(shù)量就會(huì)少算。4.算單只腳數(shù)差：一只兔子有4只腳，一只雞有2只腳，所以一只兔子比一只雞多“4-2=2”只腳。這就是把一只兔子錯(cuò)當(dāng)成雞后，少算的腳數(shù)。5.求兔子數(shù)量：我們用“總腳數(shù)差”除以“單只兔子與雞的腳數(shù)差（2只）”，得到的結(jié)果就是兔子的數(shù)量。為什么呢？因?yàn)槊可偎?只腳，就說(shuō)明我們把一只兔子當(dāng)成了雞。6.求雞的數(shù)量：知道了兔子的數(shù)量，用“總頭數(shù)”減去“兔子的數(shù)量”，就得到了雞的數(shù)量。舉個(gè)例子：籠子里有雞和兔共8只，它們共有26只腳。雞和兔各有多少只？*假設(shè)全是雞：*假設(shè)總腳數(shù)=8×2=16（只）*總腳數(shù)差=26-16=10（只）(實(shí)際腳數(shù)比假設(shè)腳數(shù)多，因?yàn)槲覀儼淹米赢?dāng)雞了)*單只腳數(shù)差=4-2=2（只）*兔子數(shù)量=總腳數(shù)差÷單只腳數(shù)差=10÷2=5（只）*雞的數(shù)量=總頭數(shù)-兔子數(shù)量=8-5=3（只）*驗(yàn)證：3只雞有3×2=6只腳，5只兔有5×4=20只腳，6+20=26只腳，與題目相符。（二）假設(shè)全是兔當(dāng)然，我們也可以假設(shè)籠子里全是兔子，用類似的方法來(lái)計(jì)算。步驟解析：1.假設(shè)：假設(shè)籠子里所有的動(dòng)物都是兔。2.計(jì)算總腳數(shù)：因?yàn)槊恐煌糜?只腳，所以總腳數(shù)就應(yīng)該是“頭的總個(gè)數(shù)×4”。這也是“假設(shè)總腳數(shù)”。3.找腳數(shù)差：用我們剛才算出來(lái)的“假設(shè)總腳數(shù)”減去題目中給出的“實(shí)際總腳數(shù)”，得到一個(gè)“總腳數(shù)差”。這次，這個(gè)差是因?yàn)槲覀儼岩徊糠蛛u當(dāng)成兔子來(lái)算了，每把一只雞當(dāng)成兔子，腳的數(shù)量就會(huì)多算。4.算單只腳數(shù)差：一只雞比一只兔子少“4-2=2”只腳。這就是把一只雞錯(cuò)當(dāng)成兔子后，多算的腳數(shù)。5.求雞的數(shù)量：我們用“總腳數(shù)差”除以“單只雞與兔子的腳數(shù)差（2只）”，得到的結(jié)果就是雞的數(shù)量。因?yàn)槊慷嗨?只腳，就說(shuō)明我們把一只雞當(dāng)成了兔子。6.求兔子數(shù)量：知道了雞的數(shù)量，用“總頭數(shù)”減去“雞的數(shù)量”，就得到了兔子的數(shù)量。還是剛才的例子：籠子里有雞和兔共8只，它們共有26只腳。雞和兔各有多少只？*假設(shè)全是兔：*假設(shè)總腳數(shù)=8×4=32（只）*總腳數(shù)差=32-26=6（只）(假設(shè)腳數(shù)比實(shí)際腳數(shù)多，因?yàn)槲覀儼央u當(dāng)兔子了)*單只腳數(shù)差=4-2=2（只）*雞的數(shù)量=總腳數(shù)差÷單只腳數(shù)差=6÷2=3（只）*兔子數(shù)量=總頭數(shù)-雞的數(shù)量=8-3=5（只）*驗(yàn)證：結(jié)果和剛才一樣，說(shuō)明我們算對(duì)了。小結(jié)一下假設(shè)法的關(guān)鍵步驟：1.設(shè)全是雞（或全是兔）：這是起點(diǎn)。2.算假設(shè)腳數(shù)：根據(jù)假設(shè)算出腳的總數(shù)。3.求總差：實(shí)際腳數(shù)與假設(shè)腳數(shù)的差。4.求單差：一只兔和一只雞腳數(shù)的差（永遠(yuǎn)是2）。5.算數(shù)量：總差÷單差=兔的數(shù)量（當(dāng)假設(shè)全是雞時(shí)）或雞的數(shù)量（當(dāng)假設(shè)全是兔時(shí)）。6.求另一種：總頭數(shù)減去已求出的數(shù)量。記住，假設(shè)全是雞，先求出來(lái)的是兔子的數(shù)量；假設(shè)全是兔，先求出來(lái)的是雞的數(shù)量。這個(gè)規(guī)律可以幫助我們快速檢驗(yàn)。三、例題精講例題1：一個(gè)飼養(yǎng)組一共養(yǎng)雞、兔若干只，共有頭10個(gè)，腳28只。飼養(yǎng)組養(yǎng)雞和兔各多少只？我們用假設(shè)法來(lái)解，就假設(shè)全是雞吧。1.假設(shè)全是雞，總腳數(shù)=10×2=20（只）2.總腳數(shù)差=28-20=8（只）(實(shí)際比假設(shè)多8只腳)3.單只腳數(shù)差=4-2=2（只）4.兔子數(shù)量=8÷2=4（只）5.雞的數(shù)量=10-4=6（只）答：飼養(yǎng)組養(yǎng)雞6只，養(yǎng)兔4只。同學(xué)們可以自己用“假設(shè)全是兔”的方法再算一遍，看看結(jié)果是不是一樣。例題2：動(dòng)物園里有一群鴕鳥(niǎo)和長(zhǎng)頸鹿，它們共有眼睛30只，腳44只。問(wèn)鴕鳥(niǎo)和長(zhǎng)頸鹿各有多少只？思考：這道題和雞兔同籠很像，只是把雞換成了鴕鳥(niǎo)，兔換成了長(zhǎng)頸鹿。鴕鳥(niǎo)有2只腳，長(zhǎng)頸鹿有4只腳。這里給的是“眼睛30只”，我們知道每只動(dòng)物都有2只眼睛，所以總頭數(shù)就是30÷2=15（個(gè)）。這下就和我們熟悉的雞兔同籠問(wèn)題完全一樣了！解：總頭數(shù)（鴕鳥(niǎo)和長(zhǎng)頸鹿的總只數(shù)）=30÷2=15（只）假設(shè)全是鴕鳥(niǎo)（鴕鳥(niǎo)有2只腳，相當(dāng)于“雞”）：1.假設(shè)總腳數(shù)=15×2=30（只）2.總腳數(shù)差=44-30=14（只）3.單只腳數(shù)差=4-2=2（只）(長(zhǎng)頸鹿比鴕鳥(niǎo)多的腳數(shù))4.長(zhǎng)頸鹿數(shù)量=14÷2=7（只）5.鴕鳥(niǎo)數(shù)量=15-7=8（只）答：鴕鳥(niǎo)有8只，長(zhǎng)頸鹿有7只。這道題告訴我們，雞兔同籠問(wèn)題不僅僅是雞和兔，只要是兩種東西，知道它們的總數(shù)量，以及它們某種特征（比如腳的數(shù)量）的總和，并且這兩種東西的單個(gè)特征數(shù)量不同，都可以用類似的方法來(lái)解決。四、鞏固練習(xí)題好了，我們學(xué)了方法，也看了例題，現(xiàn)在該自己動(dòng)手練一練了。請(qǐng)同學(xué)們認(rèn)真完成下面的練習(xí)題，相信你們一定能行！練習(xí)題1：雞兔同籠，共有頭12個(gè)，腳34只，雞和兔各有多少只？練習(xí)題2：小明用10元錢買了面值5角和2角的郵票共23張，問(wèn)兩種郵票各買了多少?gòu)垼浚ㄌ崾荆?角和2角，總錢數(shù)10元=100角，這也是一種“雞兔同籠”哦！把5角郵票當(dāng)成“兔”，2角郵票當(dāng)成“雞”）練習(xí)題3：停車場(chǎng)上停了汽車和摩托車一共10輛，一共有輪子28個(gè)。求汽車和摩托車各有多少輛？（提示：通常汽車有4個(gè)輪子，摩托車有2個(gè)輪子）練習(xí)題4：學(xué)校舉行數(shù)學(xué)競(jìng)賽，共20道題。做對(duì)一題得5分，做錯(cuò)一題倒扣1分（不做按做錯(cuò)算）。小明得了76分，他做對(duì)了幾道題？（提示：這道題稍微復(fù)雜一點(diǎn)，做對(duì)和做錯(cuò)的得分不同。可以假設(shè)小明全做對(duì)了，看看能得多少分，再和實(shí)際得分比較，思考分?jǐn)?shù)差是怎么產(chǎn)生的。）五、總結(jié)“雞兔同籠”問(wèn)題是我們小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的一個(gè)重要知識(shí)點(diǎn)，它主要考察我們運(yùn)用假設(shè)法解決實(shí)際問(wèn)題的能力。通過(guò)今天的學(xué)習(xí)，我們知道了解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵在于：1.理解題意，找出總量（總頭數(shù)、總腳數(shù)等）。2.運(yùn)用“假設(shè)法”，假設(shè)全部是其中一種物品。