導數壓軸大題：極值點偏移問題（原卷）

5.9導數壓軸大題：極值點偏移問題

模塊一：基礎知識...................................................2

考點一：極值點偏移的含義........................................2

考點二：極值點偏移加法型的一般題設形式..........................2

考點三：極值點偏移解決策略......................................3

題型四：極值點偏移加法型判定方法與證明..........................3

模塊二：題型分類...................................................4

題型一：極值點偏移加法型（xi+x2）..........................................................................................4

題型二：極值點偏移減法型（X1—X2）..........................................................................................6

題型三：極值點偏移乘積型（X1X2）.................................................................................................8

題型四：極值點偏移平方型（x,+x9.......................................................................................10

題型五：極值點偏移倒數和工+工與其他變形........................11

X1X2

模塊三：綜合鞏固..................................................12

5.9導數壓軸大題：極值點偏移問題

在導數這?模塊的學習中，極值點偏移問題是導數的應用中非常重要的?種問題，也是在壓軸題中容

易出現的一種題型。但是常常它的出現的特征非常明顯，其中涉及函數的雙零點，是一個多元數學問題，

不管待證的是兩個變量的不等式，還是導函數的值的不等式，解題的策略都是把雙變量的等式或不等式轉

化為一元變量問題求解，途徑都是構造一元函數.

極值點偏移問題人體可分為加法型、減法型、乘積型、平方和型及倒數和型5個類型，考查學生化歸

與轉化思想，邏輯思維能力、運算求解能力，

模塊一：基礎知識

考點一：極值點偏移的含義

一、極值點偏移的含義

我們知道，如果對于函數y=；(x)在定義域D內任何一個x都滿足f(x)=f(2a?x),則函數f(x)關于直線直線

x=a對稱：可以理解為函數f(x)在對稱軸兩側.函數值變化快慢相同.H若f(x)為單峰函數,則x=a必為f(x)

的極值點.如二次函數f(x)的頂點就是極值點x。,若f(x)=c的兩根的中點為手，則剛好有華二勺即極值點在

兩根的正中間，也就是極值點沒有偏移.如下1圖。

若相等變為不等，則為極值點偏移：若單峰函數f(x)的極值點為m,且函數f(x)滿足定義域內x=a左側的任

意自變量x都有f(x)>f(2a-x)或f(x)<f(2a-x),則函數f(x)極值點m左右側變化快慢不同.故單峰函數f(x)定義域內

任意不同的實數x1,X2滿f%)=f(X2),.則牛與極值點m必有確定的大小關系：

若a〈紅詈，稱為極值點左偏；若2美Z,則稱為極值點右偏.

就二匕如說：函數目僅)=￡的極值點>:。=1剛好在方程g(x)=c的兩根中點的左邊，我們稱之為極值點左偏.如1：2

圖

考點二：極值點偏移加法型的一般題設形式

1.若函數，（x）存在兩個零點七，當且王工占，求證：X+W>2%（與為函數/（X）的極值點）；

2.若函數/（X）中存在X1,工2且工產工2滿足/（工1）=/（工2），求證：X1+X2>2x0（%為函數/（X）的極

值點）；

3.若函數/'"）存在兩個零點X1,々且不工工2，令）=y2，求證：/"（XQ）〉。；

4.若函數/（X）中存在X1,當旦玉。工2滿足/（f）=/（工2），令/="j'求證：/'（%）>0.

考點三：極值點偏移解決策略

（I）證明X+/<2。（或石+馬>2a）：

①首先構造函數g（x）=/（x）-/（2a-x）,求導,確定函數y=/（x）和函數y=g（x）的單調性；

②確定兩個零點七，且/'（芮卜/小），由函數值g（*）與g（“）的大小關系，得

g（$）=/（3）-/（2。一$）=f（*2）-/（2[->）與零進行大小比較；

③再由函數y=/（x）在區間（。,內）上的單調性得到巧與2。一再的大小，從而證明相應問題；

（2）證明中2</（或中2>/）（王、4都為正數）：

（2\

①首先構造函數g（x）=/（x）-/—，求導，確定函數歹=/（》）和函數y=g（x）的單調性；

②確定兩個零點芭<"/，且/（占）=/（七），由函數值g?）與g（。）的大小關系，得

g（xj=/（xj-/（斗小2）-/圖與零進行大小比較；

③再由函數歹=/（》）在區間l&y）上的單調性得到乙與土的大小，從而證明相應問題；

X]

（3）應用對數平均不等式斥〈產一一<苦玉證明極值點偏移：

In$-Inx,2

①由題中等式中產生對數；

②將所得含對數的等式進行變形得到丁土『一：

③利用對數平均不等式來證明相應的問題.

題型四：極值點偏移加法型判定方法與證明

對于可導函數y=/（x）,在區間5力）上只有一個極大（小）值點與，方程/（x）=0的解分別為X，9,

且QV玉<X2<6，

（I）若/（X]）</（2x0-x2）,則/；七V（>）X。'即函數V=f（x）在區間（王,工2）上極（小）大值點工0右

（左）偏；

（2）若/（2X0-X2）,則"＞（＜）.%，即函數y=f（x）在區間（玉,工2）上極（小）大值點玉）右

（左）偏.

證明：（1）因為對于可導函數y=j\x）,在區間伍力）上只有一個極大（小）值點/，則函數/（X）的單

調遞增（減）區間為（4,%）,單調遞減（增）區間為（％,6），由于4cxi＜/＜人，有玉＜演），且2%-馬＜/，

又/。1）＜/（2玉）一工2），故X＜（＞）2/-工2，所以"；"＜（＞）工0,即函數極（小）大值點玉）右（左）

偏；

左慢右快（極值點右偏=〃?＞土也）

22

模塊二：題型分類

題型一：極值點偏移加法型（x±±X21

1.已知函數/。）=1./一2。4+81nx.

6

（1）若函數/"）在定義域內單調遞增，求實數。的取值范鬧;

（2）若函數/（外存在兩個極值點.看，求證：X,+X2＞4.

2.已知。為常數，函數/（x）=e--

（1）討論函數/（x）的單調性：

（2）若函數/'（X）有兩個不同的零點%,電（玉＜天）?

（i）求實數4的取值范圍；

（ii）證明:X]+、＞2.

3.己知函數/（x）=f（lnx-1a）,0為實數.

2

（1）當。=§時，求函數在4=1處的切線方程；

（2）求函數/"）的單調區間：

⑶若函數/（X）在X=e處取得極值，/'（X）是函數/（X）的導函數,且/'（為）=/（々），石。2,證明:

2<X1+x2<e.

4.已知函數/(x)=(x-l)ev+a(x3+1)(。€R).

(1)討論函數/(x)的單調性：

(2)當函數/(x)僅有兩個零點看,々時?

(i)求實數〃的取值范圍；

(ii)求證：X]+z<0.

題型二：極值點偏移減法型區工-xzl

1.已知函數/(x)=lnx-or

(1)討論/(x)的單調性：

(2)若為，*2，(再<七)是/(x)的兩個零點.證明:

2

(I)X]+X)>一;

-a

2x/\-ea

-x.>----------.

2.1(x)=In(e、*"+1j——+—+/>々兩個零點工1(X<*2)?

(1)4=00寸，求Z)的范圍；

(2)8=-1且〃<:時，求證：x2-xi<2\/5-4a.

3.已知函數/（X）二F一2工一（〃+1）,g（A-）=x2+（6/-l）x-（67+2）（其中g2.71828是自然對數的底數）

⑴試討論函數/（X）的零點個數；

⑵當時，設函數=-g（x）的兩個極值點為覆、/且$</，求證：eX2-ex,<4/+2.

4.已知函數/(x)=^--a(x-l)+(4?-l)lnx,a>2.

(1)求函數/(x)的單調區間：

(2)若/(〃?)=/⑴且加工1,證明:Vxe(l,m),(a-l)lnx>A-l；

2

x

(3)記方程、?—4x+3Inx=—4的三個實根為為，々，3?若$</</，證明：x3-x2<2^.

題型三：極值點偏移乘積型(X￡2)

1.已知函數/。)=30--(2。+].+21nxswR).

⑴若/J)有唯一極值，求。的取值范圍；

(2)當a?0時,若/'區)=/"2)，qf,求證：x)x2<4.

2.已知函數/(x)=xlnx->0).

⑴若函數/(x)在定義域內為減函數，求實數a的取值范圍；

⑵若函數/(x)有兩個極值點七,毛(不＜毛)，證明：＞L

3.已知/'(x)=2x-sinx-八lnx.

⑴當。=1時，討論函數/(X)的極值點個數；

(2)若存在多，工2(0〈再。2)，使“石)=/(%2)，求證：不玉＜。.

4.己知函數/(x)="lnx,g(x)=be'(e為自然對數的底數)

⑴當a=e時，恰好存在一條過原點的直線與/(X),g(x)都相切，求b的值;

(2)若6=1,方程xg(x)-/(x)-av=0有兩個根與X,,(0<x,<X,),求證：為飛、「化?*’

題型四：極值點偏移平方型&彳士X曼

1.已知函數〃')=上叵，^>0.

ax

(1)若〃x)Wl,求。的取值范圍;

⑵證明：若存在怎，々，使得/(%)=/伍)，則x；+x；>2.

2.在平面直角坐標系X。，中，RSO/8的直角頂點A在x軸上，另一個頂點4在函數/(力=更圖象上

X

⑴當頂點4在X軸上方時，求以X軸為旋轉軸，邊43和邊08旋轉一周形成的面所圍成的幾何

體的體枳的最大值：

2?

(2)已知函數g(x)=e-5；〃廠-1,關于x的方程/(x)=g(x)有兩個不等實根可當(再<當).

(i)求實數〃的取值范圍；

(ii)證明：片+4>一.

3.已知函數/(x)=5'-ar

.V

⑴若/(x)W-l,求實數。的取值范圍；

12

2

(2)若/(x)有2個不同的零點和田(X)<x2),求證:2X1+3x；>—.

4.已知函數/。)=小二口，g(x)=或.

XX

(1)若對任意的叫〃e(0,+8)都有4Yg(〃)，求實數/的取值范圍;

(2)若再戶2w(°，+°°)且工產七,e"F=%,證明：x：+x；>2.

匹

題型五：極值點偏移倒數和?士(與其他變形

1.已知函數/(x)=(2c-x)lnx,其中e=2.71828…為自然對數的底數.

(1)討論函數/(x)的單調性;

(2)若為72e(O,l),且毛lnX1-占Inx2=2以內(111工［一In%),證明：2e<—+—<2e+1.

I+x

2.已知〃x)=；—吟g(x)=a(x+\).

\-x

(1)求N="x)的單調區間；

⑵當a>0時，若關于X的方程/*)+g(x)=。存在兩個正實數根X'M)，證明：4>&2且X用<再+聲.

3.已知〃(x)=lnx-a》

⑴若Mx)有兩個零點，求。的取值范圍；

⑵若方程a「e，=lnx+x有兩個實根為、巧，且聲>玉,證明：)<0.

4.已知函數/(M=aln,-x,g(x)="<zev.(c-2.71828…為自然對數的底數)

⑴當。=1時，求函數V=/(x)的極大值；

(2)已知*1，口€(。，+<50)，且滿足/(石)>8(*2)，求證：.V)+aex->2a.

模塊三：綜合鞏固

1.已知函數/(x)=1n|x-l|-@,aeR是常數.

X

⑴求曲線y=/(x)在點(2J(2))處的切線方程，并證明對任意“GR,切線經過定點;

(2)證明：”0時,設4、々是明X)的兩個零點，且,+々>2.

2.已知函數/(x)=二一21nx(awA且。工0).

a

(1)討論函數/(x)的單調性;

(2)若函數/")有兩個零點七、x2{x{<x2),且〃=/,證明：x}+x2>2e.

3.已知函數/(x)=c'0-ox2)(a>0)(e為自然對數的底數).

(1)求函數〃x)的單調區間:

(2)當a=l時，V=/(x)在點0,0)處的切線方程為y=g(x),設方程/(幻=山>0)有兩個實數根

再,七(內<》2)，求證：

(I)fM<g(x).

(ii)—X1<2-/(1H-----).

2e

4.已知函數/(力=(》-0-1)。'一3小+e2x

⑴求函數/(x)的單調區間與極值.