浙江省慈溪市2024-2025學年高一年級下冊期末測試數學試題（含答案）

浙江省慈溪市2024-2025學年高一下學期期末測試數學試題

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分,在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合

題目要求的.

1.某方有大型超市20家、中型超市60家、小型超市120家.為掌握各類超市的營業情況，現用比例分配

的分層隨機抽樣方法抽取一個樣本容量為20的樣本，則抽取中型超市的數量為()

A.12B.6C.4D.2

2.已知4(一1,一1),B(%3),C(2,5)三點共線,則翼=()

A.1B.3C.-1D.-2

3.已知z-i=4里，則z的虛部為()

0—1

A.-1B.1C.-2D.2

4.已知直線Q,b與平面a,0,則能使a_L0的充分條件是()

A.a1a,b1p,a//bB.aca,be/?,alb

C.a//b,a1p,bc-aD.an/?=a,h±a,hc-p

5.柜子里有3雙不同的手套，現從中隨機地取出2只.若4表示事件“取出的手套是一只左手一只右手的，

但不是一雙手套“，8表示事件“取出的手套都是右手的”，C表示事件“取出的手套不成雙”，則()

A.P(C)=P(A)+尸(8)B.尸(4U8)=尸(4)+尸(8)C.P(4B)=PQ4)尸(8)

D.P(AUC)=+P(C)

6.已知否,若2是兩個垂直的單位向量.若M=擊—備,石=2藥+電，設向量工面勺夾角為。，則cosb=

()

底

?T

7.在cABC中，內角所對的邊分別為a,b,c,若B=5,c=2,且Q—1=V5COSC，貝=()

c、后一&

8.一人棱長為6的正方體紙盒內有一個正四面體，若正四面體可以在紙盒內任意轉動，則正四面體體積的

最大值為()

A.2后B.6顯C.875D.24百

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求,

全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.如圖，在圓錐P。中，48=4,。8=8。=2&，點￡為線段「￡上的動點，則()

第1頁

A.PO=y/3

B.圓錐P。的側面積為4或兀

C.直線P/與所成角為與

D.當E為線段P8中點時，直線CE與平面P4B所成角的正弦值最大

10.已知復數Zi*2均不為零，則()

22

A.zi+Z2=有+藥B.(zj-z2)=|z7-Z2I

C.五.安=五超D.(|1)=5

11.在△48C中，內角所對的邊分別為a,b,c,若B=120。瓦5在府上的投影向量為一,正，則

()

A.a=icB-tanA=

34

C.(麗+6玩)?前=0D.SM"二等c2

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.設力,8是一個隨機試驗中的兩個事件，記耳為事件8的對立事件，若PG4)=0.8,P(豆)=0.6,且人與8相互

獨立，則PG4+B)=.

13.如圖，小明為了測量河對岸的塔高48,選取了與塔底8在同一水平面內的兩個測量基點C與。.現測得

^ACB=30°,/-ADB=45°,/BDC=135°,CD=10或，則塔高48=.

14.如圖，在樓長均為4的正四棱錐V—A8C0中，^=1,若過點E且垂直于棱，。的平面分別交棱

1/&4區4。/。于點用6,”,/,則五邊形EFG”/的面積為

第2頁

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.2025年春節期間國產動漫電影《明WE之魔童鬧海》火爆全世界，引起人們對中國動漫產業的關注.為

解中國動漫市場受市場群體關注的年齡（單位：歲）占比情況，某電影院調查了某天觀看中國動漫系列電影

的觀眾年齡情況，并按年齡進行適當分組（每組為左閉右開的區間），得到頻率分布直方圖如圖所示（同一

組的數據用該區間的中點值代表）.

（1）求Q的值；

（2）求該樣本的平均數元和中位數y.

16.在△力8C中，內角所對的邊分別為

（1）若a=g,且△4BC的面積為3百，求b+c；

（2）若b=4,c=3,4BAC的平分線交BC于0,求4D的長.

17.某商店舉行促銷抽獎活動，在一個不透明袋子中放有6個大小質地完全相同的球，其中m（me

{2,3,4,5}）個為紅球，其余均為白球，現從中不放回地依次隨機摸出2個球，若取到的兩個球同色，則稱為

中獎，可以領取一張優惠券；若取到的兩個球不同色，則稱為不中獎.一次抽獎結束后，取出的球放回袋子

中，供下一位顧客抽獎（每位顧客只有一次抽獎機會）.

（1）若m=2,求一次抽獎中獎的概率；

（2）若要求一次抽獎中獎的概率最小.

（i）求m；

（ii）求兩位顧客抽獎至少有一位顧客中獎的概率.

18.（用半好話不給分）己知平行六面體力BCD-4B〔CiDi所有棱長均為2,“148=N&40=Z.BAD=

第3頁

(1)求證：平面&ACC1_L平面4BCD；

(2)設平面80cl與平jfiUiBiQDi交于直線心求證：直線〃/平面&BD；

(3)求二面角0—85—G的平面角的正弦值.

4

19.如圖，在△A8C4,/.ABC=90°,AB=2@,BC=2,AM=XAB(0<x<1)，AN=y4C(0<y<

1),設CM與BN交于點P,且？？=2兩.

(1)求2孫-3y的值;

(2)定義平面非零向量之間的一種運算“十"：五十行=第?(其中。是兩非零向量弓和前勺夾角).

(i)若M為48的中點，求而?玩的值：

(ii)若而十阮=卓，求x+y的值.

/1

第4頁

答案解析部分

1.【答案】B

【解析】【解答】解：由題意得：抽取中型超市的數量為加然訪x20=6.

ZU十OU十1/U

故答案為：B.

【分析】根據給定條件，先計算出總體中各類超市的總數，再確定中型超市數量占總體的比例，最后用樣本

容量乘以該比例，得到抽取中型超幣的數量.

2.【答案】A

【解析】【解答】解：由題意得：而=（x+l,4）,尼=（3,6）,且詬〃前，貝Ij6（x+l）=3x4,

解得：x=1.

故答案為：A.

【分析】若三點共線，則由這三點構成的兩個向量共線。先求出向量荏和元的坐標，再利用向量共線的坐

標表示（若方=（與,%）,3=（%2，丫2），則五II石等價于不力一冷為=0）來求解X的值.

3.【答案】D

【解析】【解答】解：因為z—i=4g,所以z=i+畀=i+巖？=i+3+；”3=2i.

3—1J—1（3—iU

所以虛部為2.

故答案為：D.

【分析】先根據等式求出復數z,進而確定復數的虛部.

4.【答案】C

【解析】【解答】解：A、由Q_La,Q〃b,得b_L。，而則（〃/?,A錯誤；

B、a//p,a,b分別是平面a,/?內互相垂直的異面直線，滿足Qaa,bcp,a1b,B錯誤；

C、由a〃b,al/?,得bl6，又bua,則al/y,C正確；

D、由an6=a,b_La,buB，得二面角a-Q-0的平面角可以是銳角、直角，也可以是鈍角，D錯誤.

故答案為：C

【分析】本題考查面面垂直的充分條件判定，需依據線面垂直性質、面面垂直判定定理，結合充分條件定義

（若條件P成立能推出結論Q成立，則P是Q的充分條件），對每個選項逐一分析：分析各選項中直線與

平面的位置關系，判斷能否推出a_L。.

5.【答案】B

【解析】【解答】解：記三雙不同的手套為：白I,白2；紅1,紅2；黑I,黑2,（1為左，2為右）

從中隨機取出2只共有：白1白2,白1紅1,白1紅2,白1黑1,白1黑2,白2紅1,

白2紅2,白2黑1,白2黑2,紅1紅2,紅1黑1,紅I黑2,紅2黑1,紅2黑2,黑1黑2,共1S種，情

況,

第5頁

事件A包含：白1紅2,白1黑2,白2紅1,白2黑1,紅1黑2,紅2黑I,6個基本事件,

事件。包含：白2紅2,白2黑2,紅2黑2,3個基本事件，

事件C包含：白I紅1,白1紅2,白1黑1,白1黑2,白2紅1,白2紅2,白2黑1,

白2黑2,紅1黑1,紅1黑2,紅2黑1,紅2黑2,12個基本事件，

6231124

P17

-91V41---

15555

3

A-

、5

B、事件4B互斥,則PG4uB)=P(m+P(B)，B正確;

C、P(4B)WP(4)P(B),C錯誤；

D、AQC,PG4UC)=PG4)+P(C),D錯誤.

故答案為：B

【分析】先通過列舉法確定所有基本事件，再分別找出事件A、B、C包含的基本事件數，計算對應概率，

最后根據事件關系(互斥、獨立、包含)判斷選項.

6.【答案】D

【解析】【解答】解：因為可，石是兩個垂直的單位向量，所以百?夙=0.

因為五二可一通范=2萬+否，

所以十方=(可一初?(2可+夙)=2-可?可一1=1.

而|a|=，⑻-五)2=+1-2可?石=V2?|^|=J(2區+方)2=J4+1+4可.與=V5.

所以‘3。=麗=聲后=而.

故答案為：D.

【分析】先計算小行(向量數量積)，再分別計算同、歷|(向量模長)，最后代入夾角余弦公式cos。=

麗.

7.【答案】D

【解析】【解答】解：在4中，由Q-1=y/3cosC,得a=1+VJcosC,而B=^,c=2,

由正弦定理=TTTr*得sinC(l+75cosC)=2sinA=2sin(C4-5)=sinC+VJcosC,

siii/isinuj

整理得sinCcosC=cosC,因此cosC=0或sin。=1,解得C=5,>4=5,

zo

所以sin4=

故答案為：D.

【分析】首先由己知條件Q-l=6cosC得到a關于cosC的表達式，再結合正弦定理將邊轉化為角的正弦形

式，然后利用三角形內角和4=TT—B—C,將5訪力轉化為5訪(。+8)(B已知),展開后化簡等式，求解角

第6頁

C,進而求出sin4

8.【答案】C

【解析】【解答】解：由正四面體玩具可以在棱長為6的正方體內任意轉動，得該正四面體的凌長最大時，其

外接球為正方體的內切球，

如圖，設四面體81一4。小的邊長為Q,其外接正方體為4則正方體棱長為挈Q

乙

正方體/1BC。一公a6。1與正四面體B1-4CD1有同一個外接球，

設正方體的外接球的半徑為R,則2R=V5X§Q，即R=Q，

4第*1'

而棱長為6的正方體的內切球的半徑為3,即乎Q=3,解得Q=2后，

取4c中點。，連接則。i0_LA&8i01AC,又5。nB］。=0,。］。,/。u平面當。。1，

于是AC_L平面為0。1，而DiO=8iO=Qsin60°=3四,等腰△當也底面當小上的高h=/=2后

所以正四面體體積的最大值為卜=0D-/IC=IxIx2V6x2>/3x2V6=8百.

故答案為：C.

【分析】首先確定正四面體棱長最大時，其外接球與正方體內切球的關系，然后結合外接球半徑與正四面體

棱長、正方體內切球半徑與正方體棱長的關系，求出正四面體棱長，最后利用正四面體體積公式（以某一面

為底，對應高為棱）計算體積.

9.【答案】B,C,D

【解析】【解答】解：A、AB=4是底面直徑，故4。=8。=2（半徑），PB=272是母線，在Rt△P0B

中，由勾股定理：

P0=y/PD?-BO7=J（297-22=\/8^4=2'A錯誤；

圓錐側面積公式：S=nrl（r是底面半徑，1是母線長）

已知r=2,/=PB=2&，代入得：S=兀x2x2企=4或兀，B正確；

C、連接C。并延長，交底面圓于點凡連接4F,PF,則4/=8。=2魚，

因為0B=0C=2,0B2+0C2=BC2,所以。B10C,

故4OBCAOAF均為等腰直角三角形，則乙凡48=乙CBA=45°,故A尸〃8C,

所以"4F或其補角即為直線PA與BC所成角，

第7頁

又AP=PF=2丘,故A/lPr為等邊三角形，故，C正確;

D、由C知，OB10C,

又OPJ_平面ABC,OCu平面48C,所以OP_LOC,

因為。BnOP=。，08,0Pu平面4P8,所以OC_L平面4P8,

連接。E,則乙。EC即為直線CE與平面P4B所成角，

其中CE=y/CO2+OE2=J4+OE2,

.,c_OC_2

貝ijsinz_°EC-CE-I

，4+。片

當E為線段P8中點時，因為。P=O8=2,所以0E_LP8,

2

此時。E取得最小值，故sin乙。EC=?2取得最大值，

14+。片

直線CE與平面P4B所成角的正弦值最大，D正確.

故答案為：BCD.

【分析】A：利用“圓錐高、母線、底面半徑的直角三角形關系”(勾股定理)計算PO.

B：直接套用“圓錐側面積公式”(兀〃)計算.

C：通過“圓的對稱性構造平行線”，將線線角轉化為三角形內角，結合“等邊三角形性質”求角度.

D：依據“線面角定義”，分析OE的最小值(中點時垂直),推導正弦值最大值.

10.【答案】A,C,D

【解析】【解答】解：A、C、D、設zi=Q+bi*?=c+di(Q,b,c,dWR),

則可=a-bi,z^=c—di,即可+z^=a+c-(b+cT)i,

而Zi+z2=Q+c+(b+d)i,即zi+Z2=a+c—(b+d)i,A正確，

而五?Z2=(a-bi)(c—di)=ac—bd—{ad4-bc)i,

Z\Z2=(a+bi)(c+di)=ac-bd+(ad+bc)i,則藥?藥=Z\Z^C正確，

而幺_a+bi_(a+bi)(c-di)_ac+bd-(ad—bc)i

22

而司-c+di~(c+di)(c-di)~c+d'

互_a-bi_(Q_：i)(c+di)_ac+1d+(ad-bc)i

石-c-di-(c-di)(c+dC)-8彳*

則伊)=￡D正確;

第8頁

22

B、當Zi=2i,Z2=i時，(zj-z2)=f=-1?

而同-可2_|_2i-(-Op-|-ip-1,B錯誤.

故答案為：ACD.

【分析】A、驗證共枕復數的和與和的共輒是否相等;

B、通過舉例計算(ZI-2)2與J7-五|2,判斷是否相等;

C、臉證共貌復數的積與積的共枕是否相等;

D、驗證商的共輒與共軌的商是否相等.

11.【答案】A.B

【解析】【解答】解：A、因為戴在正上的投影向量為gm。。.邛=瓢=一河，

所以?^~=梯，故。=金，A正確；

2G43

B、因為慌了=點不且Q=^G所以3，=。，故sinC=9sin4

2

sin/1sinC3sin^sinC

又C=60°-4所以sin(60。-A)=.sinA,即第cosA—gsin4=\sin4.

所以學cosA=2sin4,故tanA==亭B正確;

C、由題意得,

__22

(BA+6BC)-AC=(BA+65C)-(BC-=BA-BC-'BA+6BC一朝.BA

——SBA,BC—BA2+68c2=-5x(-；ac)-+6a2=xxc—4-6xc)—-=0'C錯誤:

D、SAABC=/acsinB=4??c?亨=w^^c2，D中音誤.

故答案為：AB.

【分析】A、根據投影向量的定義可判斷A；

B、利用正弦定理及兩角差的正弦公式求似,4可判斷B：

C、根據冠=尻-瓦?，結合向量數量積的運算律可判斷C；

D、利用三角形面積公式計算可判斷D.

12.【答案】0.88

【解析】【解答】解：由題意知P(8)=0.4,P{AB)=P(4)P(8)=0.32,

所以P(A+B)=P(4)+P(B)-P(AB)=0.8+0.4-0.32=0.88.

故答案為:0.88

【分析】由對立事件概率和為1求出P(B),再根據兩相互獨立事件的概率公式求出PQ1B),即可代入并事件

的概率公式進行求解.

13.【答案】5+5V5

第9頁

【解析】【解答】解：設塔高48=h,由乙4cB=30°,LADB=45°,

則8"而言而=8儲BD=AB=h,

在△BCD中，由余弦定理得cos/需蘆=一冬

ACU-DDZ

222

則（1哂+八-3/2=0,解得九二5+5遙或h=5-575（舍去）.

2xl0、32

故答案為：5+5V5.

【分析】設塔高力8=九，利用直角三角形的邊角關系（正切函數）可設8C=百h，BD=h,再在△BCD中

應用余弦定理建立關于h的方程，求解得出塔高.

14.【答案】5夜

【解析】【解答】解：連接F/,BD,AC,設80CMC=0,連接P0,

依題意，VCL^EFGHl,因為E/u平面EFGH/,

所以VC_L￡7,因為VE=1,Z-EVI=60°,BD=4五,

在直角中，，/=叫〃=2,故I為VD的中點，同理，F是VB的中點，

COSZEK/

所以口=鼻。=2VL

下面證明：G,H分別在的中點上，

當G,H也是中點時，GH//BD,GH=^BD,有GH〃F1,GH=Fl=2&,

四邊形/FGH是平行四邊形，

又VG4=l/C=4,AC=4或，^AVA2--VVC2=AC2,故VA1VC,

又HlI/VA,則PCJLH/,

乂AC1BO,VO1BD,ACDVO=O,AC,VOc^VAC,

所以8D_L平面VAC,乂UCu平面VAC,故BD1則GH1PC,

因為/H,GH均在平面/FGH內，且相交，所以W7_L平面/FGH,

故此時平面/FG”和平面E/F即同一平面，滿足題意，則G,H分別在48,4。的中點上.

又80,平面VAC,又IMu平面IMC,所以則GH1H/,

則四邊形/FGH是矩形，

依題意，GH=Fl=2?IH=FG=2,El=EF=5

△E臼中產邊上的高為h=J（V3）2-（V2）2=1，

貝USA"/=1X2V2X1=V2>

四邊形/FGH的面積是2魚x2=46，

故五邊形EFGH/的面積是5企.

故答案為：5式.

第10頁

【分析】首先連接輔助線(F/、BD、AC.VO),根據線面垂直(，。，平面￡7P"/)推出相關線段垂直關

系，然后利用直角三角形邊角關系確定中點位置(/、F為VD、中點),再證明G、H為AB、4。中點，最

后分別計算△EF/和矩形/FGH的面積，求和得到五邊形面積.

15.【答案】(1)解：由題意知：10x0.01+10a+10x0.0354-10x0.02+10x0.004+10x0.001=

1,即a=0.030.

(2)解：由題意知：x=(10x0.01+20x0.03+30x0.035+40x0.02+50x0.0044-60x0.001)x

10=28.1,

前兩個矩形面積之和為10x(0.01+0.03)=0.4,

前三個矩形面積之和為0.4+10x0.035=0.75,所以yE(25,35),

由中位數的定義可得0.4+(y-25)x0.035=0.5,解得y=苧，

即平均數元=28.1,中位數y為苧.

【解析】【分析】(1)：利用“頻率分布直方圖面積和為1”(頻率和為1),列方程求解Q.

(2)：平均數：“區間中點值x對應頻率(頻率/組距x組距)之和”計算；

中位數：通過“累計頻率找到中位數所在區間”，再列方程(累計頻率=0.5)求解.

(1)由題意知：10x0.01+10a+10x0.035+10x0.024-10x0.004+10x0.001=1,所以a=0.030.

(2)由題意知：x=(10x0.01+20x0.03+30x0.035+40x0.02+50x0.004+60x0.001)x10=

28.1,

前兩個矩形面積之和為10x(0.01+0.03)=0.4,

前三個矩形面積之和為0.4+10X0.035=0.75,所以y6(25,35),

由中位數的定義可得0.4+(y-25)x0.035-0.5,解得y=苧，即中位數為苧.

16.【答案】(1)解：由題意知：S&ABC=^bcsinA=-^-bc=3x^3?所以be=12?

又因為〃=匕2+/_2bccosA，所以13=b2+c2-be=(b+c)2—3bc,

所以(b+c)2=49，即b+c=7.

(2)解：已知AD是zBAC平分線，/-BAC=所以乙B/l。=/B4C=上

Jb

因為=SAABD+￡1ACD'

411

^ybesinZ.BAC=-ADsin^BAD+?ADsinZ.DACy

第11頁

所以443?孚=%?340々+去4皿4

所以=與1

【解析】【分析】(1)先通過面積公式結合已知角A求出be,再用余弦定理建立b+c與be的關系，進而求

出b+c.

(2)利用角平分線將三角形面積分割為兩部分，結合面積公式列方程求解AD.

(1)由題意知：SMBC=；bcsizL4=乎匕。=375，所以be=12,

又因為出=/+c?—2bccosA，所以13=ft2+c2-be=+c)2—3bc,

所以(b+c)2=49，即b+c=7；

(2)因為SMBC=SMBD+Su。。，

^ibesinZ.BAC=ic-ADsinz.BAD4-ib-ADsinz.DAC^

所以劣?4,3?卓=會3-40.鼻劣.4.力01

乙LL乙乙乙

所以〃〃=與1

17?【答案】(1)解：設A=”一次抽獎中獎”(1)記這2個紅球的編號為L2,4個白球的編號為3,4,5,6,

所以樣本空間。={(m,n)\m,nG{1,2,3,4,5,6},且mWn)?共有30個樣本點，

乂因為

A={(1,2),(2,1),(3,4),(4,3),(3,5),(5,3),(3,6),(6,3),(4,5),(5,4),(4,6),(6,4),(5,6),(6,5)},

所以以4)=14,

所以P(4)=虢=蕊=卷

(2)(i)解：當{2,3,4}時，尸⑷=嚶=皿時1)+跖對(5-叫=/一：+母所以狙=3時，

IvlJLIOV/X

2

PGO加n=5；

當m=5時，P(A)=^^=(>\

練.上所述，所以m=3時，一次抽獎中獎的概率最小.

(ii)解：記8=”兩位顧客抽獎至少有一位顧客中獎“，4="第i位顧客中獎”(i=1,2),

由題意知，P(4)=PGh)=1

J

所以P(B)=1一P㈤P㈤=1一(1一凱1一()=,.

【解析】【分析】(1)用古典概型，先確定總樣本點和中獎樣本點，再計算概率.

(2)(i)推導中獎概率關于m的表達式，結合二次函數性質及m取值范圍求最小概率時的m.

(ii)利用對立事件(“至少一位中獎”的對立是“兩位都不中獎”),結合獨立事件概率公式計算.

第12頁

(1)設A=”一次抽獎中獎”

(1)記這2個紅球的編號為1,2,4個白球的編號為3,4,5,6,

所以樣本空間。={(m,n)\m,nG{1,2,3,4,5,6},且m豐n),共有30個樣本點，

乂因為

A={(1,2),(2,1),(3,4),(4,3),(3,5),(5,3),(3,6),(6,3),(4,5),(5,4),(4,6),(6,4),(5,6),(6,5)},

所以幾(力)=14,

所以P⑷=黯=踩=看

(2)(i)當mW{2,3,4}時，PQ4)=嗨=砥皿-1)+煞加(5一血)=登二警t"，

ICtJZIOUXxj

所以m=3時,P(A)min=I；

當m=5時，P(4)=竽烏＞|

綜.上所述，所以m=3時，一次抽獎中獎的概率最小.

(ii)記R="兩位顧客抽獎至少有一位顧客中獎”，4="第i位顧客中獎”(i=1,2),

由題意知，P(4)=P(A2)=|，

所以P(B)=1一P(筋)P(砧=1一(1一I)(1一I)=祟

18.【答案】(1)證明：如圖，設8。與AC交于。點，連接4。，

在菱形A8CO中，BD1AC,O為BD中點，

易知w/kaAZ),所以4*=4"，

所以△&BD為等腰三角形，則4018D,

又因為47rA0=。,4Cu平面A/CG，4]Cu平面4遇或1,

所以BD1平面4遇51，

因為BDu平面力BCZ),所以平面AMCQ_L平面4BCD.

(2)證明：連接8山1，易知BD〃B[Di，

第13頁

因為8DU平面力u平面&B1C101，

所以3D〃平面力道1。。1，

因為平面BDGn平面ABCiDi=I,所以8。〃1,

因為[《平面A]BD,BDu平面4]8。，所以/〃平面人道。.

（3）解:由題意知，則8。=2,

設AQABWi=。1，連接。。「由⑴可知,BD_L平面力遇以1，所以BDJ.001，

因為0為〃。。1，所以80100],所以ADDIB為等腰直角三角形，且8。1=2衣，取8Q中點P,連接DP,則

DP1BOi

過P作PH1BDi交Bq于H,連接。H,

所以4DPH就是二面角0-BDi—G的平面角，

2

等腰△BCQ中，8cl=y/BC4-CCf-2BC-CCX-cosl20°=26，同理06=2痘,

所以CiD：+BD：=4+8=。。：，即。iQlBOi，

所以尸H=1,即H為BG的中點，

在△Bq。中，C0SZ.BHD4-cosz.C1HD=0,

anDH2IBH2RD2,DH2+C,H2-C,D2八DW2+3-4,D^/2+3-12八

即一2BITDH—+—2C^FDH-=。，28DH+2久DH=°,

解得。H=遙，

22

所以在ADPH中，cos乙DNH=（⑵+（店）=_烏所以立叱0。”=冬

2-72-122

二面角。-BO1-G的平面角的正弦值為冬

【解析】【分析】（1）：通過“菱形性質+等腰三角形性質''推導線線垂宜，再用“線面垂直T直面垂直”證明.

（2）：利用“線面平行判定與性質”，將空間線線平行轉化為線面平行.

（3）：構造二面角平面角，結合“解三角形（勾股定理、余弦定理）”計算角度正弦值.

（1）如圖，設B0與4c交于。點，連接4。，

在菱形A8CD中，BD1AC,O為BD中點,

第14頁

易知△AiAB三2kAi力。，所以4iB=4i。，

所以為等腰二角形，則401。。，

又因為47r40=0,ACu平面力遇CC1，41CU平面4]ACG，

所以BD_L平面4遇51，

因為BDu平面力BCD,所以平面力iHCCiJ■平面4BC0.

(2)連接8山1，易知BD〃B[Di，

因為仁平面AiBiCi。],u'F血4]8](71。1，

所以BD〃平面/liBigDi,

因為平面80clC平面力1B1C1D1=I,所以80〃人

因為，C平面4/D,BDu平面4B0,所以，〃平面&B。.

(3)由題意知,則3。=2,

設4的081。1=。1，連接。。1，由(1)可知，801平面4171CC1，所以8DJL001，

因為。％〃。。1，所以BOIO。1，所以△DD*為等腰直角三角形，且8。1=2或，取8劣中點P,連接DP,則

DP1B0]

過P作P"JLBD1交BCi于H,連接DH,

所以4DPH就是二面角。一BD]-G的平面角，

2

等腰△BCG中，BCi=y/BC+CCi-2BC-CCX-cosl20°=2遙，同理DC】=2百,

所以的0：+8。：=4+8=8M，即Dig1801，

所以PH=/z）iG=l,即"為8cl的中點，

乙

在aBG。中，cosZ-BHD+cos乙GHD=0,

州。"2+8//2-3。2加+6/一4/_加+3-4加+3-12_

—2BHDH—十2C/DH-U，2再DH2耳?DH一

解得。”=追，

所以在△/）「“中，cos乙DNH=（&）2+,一（相）2=_冬所以SE/DPH=零，

2-V2-122

第15頁

二面角Z）-BD1-G的平面角的正弦值為印.

19.【答案】（1）解：因為而=2而,AM=xA§tAN=yAC，

所以而=彳羽+而=麗+〈祝=麗+家3?一而?）

—寺4。4-AN+AB,

又B,P,N三點共線,

1?Y

所以不+丁=1,即2xy—3y=-1.

（）