自動控制原理 習題參考答全套案 第1-6章

第1章習題參考答案

1.1什么是開環(huán)控制系統(tǒng)？具有什么特點？

答：開環(huán)控制系統(tǒng)是指輸入量直接傳輸?shù)娇刂破鳎⑼ㄟ^執(zhí)行機構(gòu)對被控對

象產(chǎn)生控制作用，輸出端與輸入端之間只有順向作用，不存在反饋回路，輸出量

對控制過程沒有影響的系統(tǒng)。

特點：優(yōu)點：結(jié)構(gòu)簡單、價格便宜；缺點：精度較低，抗干擾能力較差。

1.2什么是閉環(huán)控制系統(tǒng)？具有什么特點？

答：閉環(huán)控制系統(tǒng)是指輸出量通過檢測裝置反饋到輸入端，與輸入量比較后

的偏差信號作用到控制器，控制器的輸出驅(qū)使執(zhí)行機構(gòu)調(diào)節(jié)被控對象，從而使偏

差不斷減小的系統(tǒng)。其核心是反饋,通過檢測裝置將輸出量返回到系統(tǒng)的輸入端,

與輸入量作比較，產(chǎn)生的偏差對系統(tǒng)的控制過程產(chǎn)生影響，從而降低或消除偏差,

使得輸出量與期望值趨于一致

特點：優(yōu)點：控制精度高、抗干擾能力強；缺點：結(jié)構(gòu)復(fù)雜，價格較貴。

1.3列舉一個生活中的開環(huán)控制系統(tǒng)，并簡述其工作原理。

答：實例：普通電風扇；

工作原理：用戶通過旋鈕或按鈕設(shè)定風扇的檔位（如低速、中速、高速），

捽制電路根據(jù)檔位信號直接調(diào)節(jié)電機電壓，改變風扇轉(zhuǎn)速，風扇以固定轉(zhuǎn)速運行.

但系統(tǒng)不會檢測實際風速或環(huán)境溫度來調(diào)整轉(zhuǎn)速，若外界環(huán)境變化（如電壓波動

或風口被遮擋），風扇轉(zhuǎn)速可能偏離設(shè)定值，但系統(tǒng)無法自動修正。

1.4列舉一個生活中的閉環(huán)控制系統(tǒng)，并簡述其工作原理。

答：實例：空調(diào)溫度控制系統(tǒng)；

工作原理：用戶設(shè)定目標溫度后，溫度傳感器實時檢測室內(nèi)溫度并反饋給控

制器。控制器將檢測值與設(shè)定值比較，若存在偏差，則調(diào)節(jié)壓縮機或風機的運行

狀態(tài)（如加快制冷或停止運行），直到室內(nèi)溫度與設(shè)定值一致。

1.5簡述自動控制系統(tǒng)的基本性能要求。

答：自動控制系統(tǒng)的基本性能要求可概括為“穩(wěn)、快、準”：

穩(wěn)定性：首要條件，受到擾動作用或輸入量發(fā)生變化時，系統(tǒng)從偏離狀態(tài)恢

復(fù)到平衡狀態(tài)的能力。穩(wěn)定性是系統(tǒng)能夠正常工作的前提。

快速性：系統(tǒng)動態(tài)過程中輸出量調(diào)節(jié)的快慢程度，反映響應(yīng)速度。快速性是

對系統(tǒng)動態(tài)過程的定性分析，動態(tài)性能指標可以對動態(tài)過程的性能進行定量描述。

準確性：系統(tǒng)進入平衡狀態(tài)后，輸出量穩(wěn)態(tài)值與期望值之間的偏差，表明了

系統(tǒng)控制的準確程度，即控制精度。偏差值稱為穩(wěn)態(tài)誤差，定量表征系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)

性能指標。

1.6簡述自動控制系統(tǒng)的基本組成環(huán)節(jié)。

答：閉環(huán)控制系統(tǒng)的基本組成環(huán)節(jié)包括：

被控對象：要進行控制的設(shè)備或過程，所控制的某個物理量就是系統(tǒng)的被控

制量或輸出量；

檢測裝置：用來檢測輸出量的裝置，根據(jù)輸出量的類型選擇相應(yīng)的傳感器，

并且進行反饋到輸入端；

控制器：根據(jù)輸入量與檢測裝置反饋信號比較后的偏差，進行信號放大、校

正等運算的環(huán)節(jié)，其輸出通常稱為控制量；

執(zhí)行機構(gòu)：直接作用于被控對象上的元件。

1.7根據(jù)主要元件的輸入輸出特性，自動控制系統(tǒng)可以分為哪兩種類型？

答：線性系統(tǒng)：由線性元件組成，可用線性微分方程描述，滿足疊加性和齊

次性。若系統(tǒng)中各項系數(shù)為常數(shù)則稱為定常系統(tǒng)(也稱為時不變系統(tǒng))，若系數(shù)

隨時間變化則稱為時變系統(tǒng)。

非線性系統(tǒng)：包含非線性環(huán)節(jié)，需用非線性微分方程描述。即微分方程式的

系數(shù)與輸入變量有關(guān)。典型的非線性環(huán)節(jié)有繼電器特性環(huán)節(jié)、飽和特性環(huán)節(jié)和不

靈敏區(qū)環(huán)節(jié)等

1.8從不同的角度出發(fā)，自動控制系統(tǒng)可以分為不同的類型，按照給定量的

特征，可以分為恒值系統(tǒng)、隨動系統(tǒng)，請分別解釋恒值系統(tǒng)和隨動系統(tǒng)的概念。

答：恒值系統(tǒng)：給定量為常值，要求被控量也為常值的系統(tǒng)。

隨動系統(tǒng)：輸入量是隨時間不斷變化的，要求被控量以盡可能小的誤差跟隨

輸入量的變化。

1.9經(jīng)典控制理論適用于分析哪種類型的自動控制系統(tǒng)？

答：經(jīng)典控制理論適用于分析單輸入單輸出(SISO)的線性定常系統(tǒng)，以

傳遞函數(shù)為基礎(chǔ)，主要采用時域分析法、根軌跡法和頻域分析法。

1.10自動控制系統(tǒng)的分析方法包括哪些?

答：經(jīng)典控制理論中的分析方法包括：時域分析方法、根軌跡分析方法、率

特性分析方法。

第2章習題參考答案

2.1什么是系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型？在自動控制系統(tǒng)中常見的數(shù)學(xué)模型形式有哪

些？

答：系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型：是描述控制系統(tǒng)輸入、輸出及內(nèi)部物理量之間關(guān)系的

數(shù)學(xué)表達式。

常見的數(shù)學(xué)模型形式有：微分方程、傳遞函數(shù)、動態(tài)結(jié)構(gòu)圖、信號流圖等。

2.2什么是傳遞函數(shù)？定義傳遞函數(shù)的前提條件是什么？傳遞函數(shù)有哪些

特點？

答：傳遞函數(shù)：線性定常系統(tǒng)的傳遞函數(shù)是在初始條件為零的情況下，系統(tǒng)

輸出量的拉普拉斯變換與輸入量的拉普拉斯變換之比。

定義傳遞函數(shù)的前提條件：零初始條件。

傳i弟函數(shù)的特點：

當輸入輸出的位置確定后，傳遞函數(shù)表達式唯一，與輸入輸出信號的形式無

關(guān)，只與系統(tǒng)的固有結(jié)構(gòu)和參數(shù)有關(guān)。

2.3列寫出3種傳遞函數(shù)常用的表達形式。并說明什么是系統(tǒng)的階數(shù)、零點、

極點和放大系數(shù)。

答：傳遞函數(shù)三種常用的表達形式：

r(5)bs,n+bs,>>1+bs+bM(s)

G(s)=----=--o-------i——：--------m-x----m-=------,n>m

R(s)+qs"”+-+4Ts+qD(s)

G(s)=—Z2)...(s—zQ=KR'G-Zj)

%(s-Pi)(S—P,)???($-P〃)'113。一〃,)

口口(阜+1)

傳遞函數(shù)分母多項式的最高階次n定義為系統(tǒng)的階數(shù)，句為系統(tǒng)的零點，p,

為系統(tǒng)的極點。K稱為放大系數(shù)，七稱為根軌跡放大系數(shù)。

2.4什么是系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)？什么是系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)？當給定量

和擾動量同時作用于系統(tǒng)時，如何計算系統(tǒng)的輸出量？

答：開環(huán)傳遞函數(shù)定義為主反饋信號8(s)與誤差信號夙s)之比：

票=6($)”⑸

E(s)

閉環(huán)傳遞函數(shù)定義為輸出信號y(s)與輸入信號R(s)之比：

丫⑸G(s)

R(s)1+G(s)H(s)

當給定量和擾動量同時作用于系統(tǒng)時，通過疊加原理計算系統(tǒng)的輸出量。

2.5寫出圖2-36所示RLC電路的微分方程，其中，/為輸入變量，%為輸

出變量。

圖2-36題2.5圖

解：設(shè)流過L的電流為i,流經(jīng)R的電流為/；,流經(jīng)C的電流為"，則:

"J"/"與。)

i】R=

“〃")+乙7=%(/)

at

整理得：LC色坐+白色9+〃“”)=%”)

drRdt

2.6寫出圖2?37所示電路的微分方程，并確定系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。其中，叫為

輸入變量，〃。為輸出變量。

圖2-37題2.6圖

解：設(shè)流過打的電流為匕，流經(jīng)C的電流為流經(jīng)&的電流為i,則:

h+i2=i

謁"ER力

iR2=Uo

i國+%=%

整理得微分方程為：C^+(―+—)uo=—Ui+C

dt&R2°Rjdt

飛&CS+&

傳遞函數(shù)為:

ui(s)%R2CS+R]+R2

2.7求圖2-38所示機械運動系統(tǒng)的傳遞函數(shù)泮、醇

X1(s)F(5)

L

i

l

-&▼W⑺

L

I

K1x2(r)

—

圖2-38題2.7圖

解：(1)求三92

X1(s)

由力學(xué)定律，有.:

用西⑺?9⑺]

f(t)=凡+5[』(/)—&(，)]

dt

(2-1)

/⑺=與誓^+飛⑴

在零初始條件下，對方程組(2-1)進行拉普拉斯變換，得：

>(5)=8司X1(5)-X?6)]+KJX(s)-X2U)J

[F(s)=B2sX2(t)+K2X2(s)

消去中間變量F(s),得：

X?(s)_B]S+K]

X1(s)-(4+.)$+.+&

(2)求當應(yīng)：

F(s)

同理可以列出方程組，如式(2-1)所示。消去中間變量X2(s),整理得:

Xs)_(+)$+―+&

尸(s)(B.s+K.)(B2S+K2)

2.8試化簡圖2-39所示結(jié)構(gòu)圖，并求出相應(yīng)的傳遞函數(shù)―。

R(s)

圖2-39題2.8E

解：對其進行等效變換，如下圖所示，從而得到傳遞函數(shù):

y⑸二卬陷

而J-1一“附十叱明“1"2

?

?

2.9試化簡圖2-40所示結(jié)構(gòu)圖，并求出相應(yīng)的傳遞函數(shù)出。

R⑶

叱-電―H---1

-----H卜_串TM

L?弘一—^)―H%——

圖2-40題2.9圖

解：對其進行等效變換,如下圖所示，從而得到傳遞困數(shù)：

y(s)jw明+也?叫

R(s)-1+［嗎+叱］”

(―?叫-?0~~H嗎1——1

7嗎—>0-H%——

O

—?叱一?w--------

?—1匕一〃-］、，_____1y/

R(s)「__________弋1^

1-叱<H<―,

1—?1%—?IVZHi-------

O

—>叫一?嗎卜一呦J弘I〃卜一

(X)--------------------------------卅%罟

叱憶I“1

―?VK―?

O

|—?叫一?嗎一II-|嗎—H<—

Ms),

此—1T此I~

―?w2―?

O

我⑸陷一+wj匕叫丫⑸

-1+嗎〃+叱〃"

圖2-41題2.10圖

解：設(shè)G1前為E,G2前為X,根據(jù)結(jié)構(gòu)圖寫出線性代數(shù)方程組:

E=R-HlH2Y

X=GiE-H2Y

K=XG2

消除中間變量E,X得傳遞函數(shù)為：

丫⑸二____________a⑸—⑸___________

而-1+G(s)G(s)H|(s)H?(s)+G2(s)〃2(s)

2.11已知系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖2-42所示，求傳遞函數(shù)等及件。

R(s)RG)

圖2-42題2.11圖

解：由系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖列出傳遞函數(shù)方程

E(5)G,(5)G2(5)+[E(5)-E(S)G(S)G2(S)]G(S)G,(S)—EG)=Y(s)(2-2)

E(s)=R(s)-Y(s)(2-3)

將(2-3)代入(2-2)得：

Y(s)[G,(5)G2(5)-1][1-G3(5)G4(S)]

-

^)G,(S)G2(S)+G3(S)G4(S)-Gt(S)G2(S)G3(S)G4(S)

由(2-3)得：Y(s)=R(s)-E(s)

(2-4)

將(2-4)代入(2-2)可得：

E(s)=_____________________J_____________________

^)■G,(5)G2(5)+G3(5)G4(5)-G,(5)G2(5)G3(5)G4(5)

2.12系統(tǒng)的信號流如圖2-43所示，求傳遞函數(shù)曾。

R(s)

圖2-43題2.12圖

解：圖中有3個閉合回路：L—G此,L2=-G3H2,4=-G4H3；沒有互

不接觸的回路，所以有

△=1-(￡,+￡2+￡3)=14-62/7,+65/72+64/73

從輸入節(jié)點R到Y(jié),有2條前向通道，前向通道傳遞函數(shù)[=@6263065,

鳥二GQ5G(,，由于《與所有閉環(huán)回路接觸，所以4=1,6與%不接觸，所以

A2=1+G3H2

代入梅遜公式得傳遞函數(shù)為：

丫⑶______G|G2G3G4Gs+GQ&Q+G、H?)________

~R(y)~\+G2H]+G3H2+G4H.+G6H}H2H.+G2H}G4H.

2.13系統(tǒng)的信號流圖如圖2-44所示，求輸出y（s）的表達式。

圖2-44題2.13圖

解:解:令&G)=0時圖中有6個閉合回路：4=62%,4=G也，

L『G&L$=G3G4H3Hu4=GG"也；有互不接觸的回路，與酒，4與人,

所以有

A=G.H,-G.H.-G.G.H.H,-G.G,H,H,+G.GH,+G,HG.H.

IJX*rJ1*r1DTD-/yJzXy1

從輸入節(jié)點R到Y(jié),有2條前向通道，前向通道傳遞函數(shù)片=G,￡=G3G4”,，

由于《、鳥與所有閉環(huán)回路接觸，所以劣=1,A2=l-G2//4,代入梅遜公式和

傳遞函數(shù)可得：

y⑸=_______________________[Gd-GzHJ+GgH/NG）

1

1-G%-。2”4-G3HLG、H「G3G4H3H4-Gfi.H.H.+Gfi2H3H4+G3Hq乩

同理可得:

&(1-G陽1+G2H2@]4(5)

XG)=

"G1H3-G2H4-G3H「GRi-G3G4H3H4-G1G2H握2+G[G2H3H4+G3H2G4Hl

y=_________[G,(l-G2//4)4-G3G4/74]/?lCy)-[G4(l-G3/72)4-G2H2Gl]/?2(y)

S

~\-G}H3-G2H4-G3/72-G4H,-Gfi.H.H,-G,G2/7,/72+G,G2H3/744-G3/72G4H,

第3章習題參考答案

3.1二階欠阻尼控制系統(tǒng)的動態(tài)性能指標主要包括哪些？

解動態(tài)性能指標主要包括：上升時間、峰值時間、最大超調(diào)量及調(diào)節(jié)時間。

3.2典型二階系統(tǒng)兩個特征參數(shù)是什么？對系統(tǒng)性能有何影響？

解典型二階系統(tǒng)兩個特征參數(shù)是阻尼比及無阻尼自然振蕩角頻率。提高阻

尼比可以減小最大超調(diào)量，改善系統(tǒng)響應(yīng)的平穩(wěn)性；增大阻尼比或無阻尼自振蕩

角頻率都可以減小調(diào)節(jié)時間。

3.3線性定常系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是什么？穩(wěn)定性和哪些因素有關(guān)？

解線性定常系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：閉環(huán)特征方程所有特征根(即閉環(huán)傳

遞函數(shù)的極點)均位于復(fù)平面的左半平面。

線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性和系統(tǒng)本身結(jié)構(gòu)、參數(shù)有關(guān)。

3.4穩(wěn)態(tài)誤差和哪些因素有關(guān)？

解系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差和系統(tǒng)本身結(jié)構(gòu)、參數(shù)及輸入信號有關(guān)。

3.S什么是主導(dǎo)極點？主導(dǎo)極點在系統(tǒng)分析中有何作用？

解主導(dǎo)極點指的是在高階系統(tǒng)所有的閉環(huán)極點中，距離虛軸最近的極點，

其實部小于其他極點的實部的1/5,并且附近不存在零點，可以認為系統(tǒng)的動態(tài)

響應(yīng)主要由主導(dǎo)極點決定。

3.6考慮圖3-41所示的系統(tǒng)，在單位階躍函數(shù)作用下，試求

(1)若K=0.1,求調(diào)節(jié)時間4(A=5%)；

(2)若要求調(diào)節(jié)時間f,=O.ls(A=5%),求反饋系數(shù)K。

KG

圖3-41題3.6圖

解由結(jié)構(gòu)圖寫出閉環(huán)傳遞函數(shù)

Y(s)1007

^(5)~54-100~

3?1

100K

這是一階系統(tǒng)，時間常數(shù)7=」-

100K

(1)當K=().l,調(diào)節(jié)時間4=37=0.3S(A=5%)

(2)若要求調(diào)節(jié)時間(=().□(△=5%),即＜=3T=().ls(A=5%),則

令丁=—!—」，得K=0.3

100K30

3.7某系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為G(s)=---,其中參數(shù)T及a均大于零。

Ts+a+\

該系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)值是多少？動態(tài)過程的調(diào)節(jié)時間久八=5%)是多少？

解此系統(tǒng)在單位階躍輸入下的輸出為

a

Y(s)=G(s)R(s)=

7X+。+1

利用拉普拉斯變換的終值定理，得階躍輸入下的穩(wěn)態(tài)輸出為

y(oo)=limy(t)=lims?Y(s)=lim5-----------------=-------

s-＞。ioYs+a+isa+\

調(diào)節(jié)時間為

3T

”3T=3X(A=5%)

4+1~a+\

3.8設(shè)單位負反饋咨制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

1

G（s）=s—I

求系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的峰值時間、最為贏量和調(diào)節(jié)時間

解依題，系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為

①⑸=黑）、+15+1

與標準二階系統(tǒng)傳遞函數(shù)比較可得：

co=\radIsi=—

,2

故峰值時間〃為

tn=-------------x3.63s

調(diào)節(jié)時間（為

/t?—=6v（按5%誤差帶）或4"/一=8$（按2%誤差帶）

M血

最大超調(diào)量。%為

b%=eGx100%=16.3%

3.9典型二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線如圖3-42所示，試求其傳遞函數(shù)。

圖3-42題3.9單位階躍響應(yīng)曲線

解依題意，系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)形式為

①(s)=

1+2^^戶+@；

由階躍響應(yīng)曲線有:

2

不/、2xl.7175.9

①

(s)=---------------------------------------=---2-------------------

?+2x0.404x1.717s+1.71725+1305+2.95

3.10單位負反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為G(s)=試求

5(5+2)(5+3)

(1)閉環(huán)穩(wěn)定時參數(shù)。的取值范圍。

(2)閉環(huán)系統(tǒng)持續(xù)振蕩時。值及振蕩角頻率。

(3)閉環(huán)系統(tǒng)特征根均位于垂線s=-l以左時參數(shù)。取值范圍。

解(1)依題意，系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為S3+5S2+16S+10〃=0

列出勞斯表：

-116

*510。

?80—10a八

s------------0

5

5°10。

當々＞0且80-10。＞0時閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，即0＜"8。

(2)當閉環(huán)系統(tǒng)持續(xù)振蕩，意味著系統(tǒng)存在共聊純虛根，閉環(huán)系統(tǒng)處于臨

界穩(wěn)定狀態(tài)。令8()-1()〃=(),求得〃=8閉環(huán)系統(tǒng)臨界穩(wěn)定。再由一行的元素構(gòu)

成輔助方程5—+10。=0,得$].2=±，4,則振蕩頻率為①“=4o

(3)令$=2-1,代入系統(tǒng)特征方程，得:

Z3+2Z2+9Z+106/-12=0

根據(jù)勞斯穩(wěn)定判據(jù)得參數(shù)。取值范圍為：1.2<〃<3。

3.11閉環(huán)系統(tǒng)特征方程如下，試用勞斯穩(wěn)定判據(jù)判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性，并說

明特征根在復(fù)平面上的分布。

(1)?+20?+4v+50=0

(2)3/+10/+5/+s+2=0

(3)?+2s4+253+452+1k+10=0

(4)55+2/-5-2=0S3

解(1)列出勞斯表J

,80-50_3

表中第1列元素符號都為正；由勞斯穩(wěn)定割據(jù)%系統(tǒng)穩(wěn)定，所有極點均位于

中知52

左半s平面。

T1()1()

(2)列勞斯表

，c八

5'—4720

1()

勞斯表第1列元素符號改變兩可吆睡斯穩(wěn)定判據(jù)可知該系統(tǒng)不穩(wěn)定，有兩

個特征根位于史平面的右半平面64.7

(3)列勞斯表

1211

542410

0(e)60

4^-12八1八

S2-----<0100

￡

1—5e"+12^—36八

S------------>0A0

2c-6

s()10

勞斯表第1列元素符號改變兩次，由勞斯穩(wěn)定判據(jù)可知該系統(tǒng)不穩(wěn)定，有兩

個特征根位于復(fù)平面的右半平面。

(4)

方法一：列出勞斯表

10-1

5420-2―輔助多項式p(s)=2§4—2

/0(8)00―dp/ds=8s，

s20(e)-2

勞斯表第1列元素符號改變一次，系統(tǒng)有1個正根；由輔助方程2--2=0可

解出系統(tǒng)關(guān)于坐標原點對稱的根。

2sJ2=2(s+l)("lXs+/)(1)

D(s)=s、+2s4-s-2=(s+2)(5+])(s-l)(s+j)(5-j)

故該系統(tǒng)不穩(wěn)定，有1個根位于復(fù)平面的右半平面，2個根位于復(fù)平面的左

半平面，2個根位于虛軸上。

方法二：使系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件為特征方程各項系數(shù)均不為零，且具有相同

的符號。若不滿足上述條件，可以直接判定系統(tǒng)不穩(wěn)定。

3.12已知單位負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

(1)G(s)=---------------

(0.卜力力(0.55+1)

(2)G(s)=-----------

(3)G⑸—慚"

(4)明二駕如產(chǎn)s+2)

r(0.15+1),

試分別求出當輸入4)=1()/,產(chǎn)時，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。

解(1)根據(jù)開環(huán)傳遞函數(shù)可知，該系統(tǒng)為0型系統(tǒng)，開環(huán)增益為10o

當中)=1⑺時，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差4(8)='；

當/時，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差4(8)=8;

當廣⑺=產(chǎn)時，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差6(8)=CO。

(2)根據(jù)開環(huán)傳遞函數(shù)可知，該系統(tǒng)為I型系統(tǒng)，開環(huán)增益為2.5。

當r(/)=1(/)時，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差ess(co)=0；

當=f時，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差%3)=04；

當時，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差繪＜00)=8。

(3)根據(jù)開環(huán)傳遞函數(shù)可知，該系統(tǒng)為I型系統(tǒng)，開環(huán)增益為7/8。

當7?⑺=1⑺時，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差％(8)=0；

當O=/時，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差ess(oo)=y；

當/?)=/時，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差％(8)=00。

（4）根據(jù)開環(huán)傳遞函數(shù)可知，該系統(tǒng)為II型系統(tǒng)，開環(huán)增益為8。.

當《）=1⑺時，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為%（8）=0;

當小）=/時，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為%（8）=0；

71

當廠⑺=產(chǎn)時，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為e$s（8）=—=—。

3.13單位負反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

G種品身

（1）求系統(tǒng)的靜態(tài)位置誤差系數(shù)K〃,速度篌差系數(shù)&及加速度誤差系數(shù)

（2）當輸入r（f）=2+4f+5”時,求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。

解（1）根據(jù)開環(huán)傳遞函數(shù)可知，該系統(tǒng)為I型系統(tǒng)，開環(huán)增益為1（）。

靜態(tài)位置誤差系數(shù)3=8,速度誤差系數(shù)K=1（）及加速度誤差系數(shù)Ka=0

（2）當輸入%）=2+書+5『時，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為

紇,3）=2x0+4x—+10x00=00

3.14考慮圖3-43所示的控制系統(tǒng)，已由?⑺=d（/）=l⑺，求系統(tǒng)總的穩(wěn)態(tài)

誤差。

圖3-43題3.14圖

解系統(tǒng)的開環(huán)傳電函數(shù)為

K4

G(s)=

s(7X+l)

故該系統(tǒng)為I型系統(tǒng)，開環(huán)增益為

在單位階躍給定輸入下，給定穩(wěn)態(tài)誤差為6,（8）=0。

在單位階躍擾動輸入下，擾動穩(wěn)態(tài)誤差為

\.too)=limsE(s)=lims------幺----11

澳I。.I)S(7X+1)+&K?

則系統(tǒng)總的穩(wěn)態(tài)誤差為：e（8）=exxr（co）+esxa（8）=」

3.15控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖3-44所示，要求保證系統(tǒng)最大超調(diào)量

=0.2,試確定系統(tǒng)參數(shù)K,人

<7%=16.3%及單位斜坡輸入下的穩(wěn)態(tài)誤差SS

圖3-44題3.15圖

解由結(jié)構(gòu)圖可知，該系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

G(s)=

s(s+l+KT)

閉環(huán)傳遞函數(shù)為

y（s）二G（S）

R(s)1+G(s)s2+(1+Kr)s+K

根據(jù)開環(huán)傳遞函數(shù)形式，這是I型系統(tǒng)，開環(huán)增益為工

\+KT

單位斜坡輸入下的穩(wěn)態(tài)誤差為0.2,即滿足

^^=0.2

%3)=

K

系統(tǒng)最大超調(diào)量。%=16.3%,即要求阻尼比4=0.5。同時有,

①：=K,2g=1+Kr

4

聯(lián)立求解得：K=25,T=一

25

3.16系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖3-45所示，試求

（1）為保證系統(tǒng)穩(wěn)定，確定參數(shù)K的取值范圍。

（2）為使系統(tǒng)特征根全部位于復(fù)平面垂線$二1的左側(cè)，確定K的取值范圍。

的取值

K

14=0

5(0.15+1)(0.25+1)

展開得：0.02/+0.3/+s+K=0

s'0.021

列勞斯表/03K

.0.3—0.02K八

S',\J

由勞斯穩(wěn)定判據(jù)可知，為保證系統(tǒng)穩(wěn)腐，確定參數(shù)K的取值范圍為：

s°0<^<15

（2）令5=2-1,代入系統(tǒng)特征方程，得：

（）.（）2z3+0.24z2+0.46z+AT-0.72=0

根據(jù)勞斯穩(wěn)定刊據(jù)得參數(shù)K取值范圍為；0.72<K<4.8。

（3）由開環(huán)芍遞函數(shù)可知，該系統(tǒng)為I型系統(tǒng)，開環(huán)增益為K。當輸

入/⑺=2+21時，系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差（二六0.25,則有：K>S

而為保證閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，參數(shù)K的取值范圍為：0<K<15。綜上可得參數(shù)

K的取值范圍是：

8<AT<15

3.17復(fù)合控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖3-46所示，圖中叫了2,7；,（均為大于零的常

數(shù)。試求：

（1）閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定時，參數(shù)%,應(yīng)滿足的條件。

（2）當輸入為階躍函數(shù)4/）=41（/）時，選擇校正裝置G,（s）,使得系統(tǒng)不

存在穩(wěn)態(tài)誤差。

圖3-46題3.17圖

解（1）由結(jié)構(gòu)圖可得，系統(tǒng)誤差傳遞函數(shù)為

1――^—G（s）

①⑺二七⑶二（4+1）二（率+1）（口+1）-&6。）（辜+1）

,5―標_山空2一（串+1）（4+1）+空2

（陰+1）55+1）

閉環(huán)特征方程為

D（s）=Ks?+（7]+4）s+1+K、K?

因參數(shù)KrK2.T2均大于零，已可滿足穩(wěn)定條件。

z\AvA(章+l)(0s+1)-K,G(s)(7；s+1)

(29)令e,c=hms①,,(s)?R(s)=hms----!------=------------!----

…A…0.s(章+1)(7>+1)+&勺

=lim-----Ur-K，G(?=0

2C

ST。K】KJ」

可得G（M=i/K2

3.18如圖3-47所示的閉環(huán)控制系統(tǒng)，求當給定輸入及擾動信號均為單位斜

坡函數(shù)時，系統(tǒng)的給定穩(wěn)態(tài)誤差及擾動穩(wěn)態(tài)誤差。

圖3-47題3.18圖

解（1）在參考輸入H⑸單獨作用下，系統(tǒng)的誤差傳遞函數(shù)為

E（S）_5（仆+1）（5+舄&）

R（s）s(Ts+1)(5^-K^+K.KK

則給定穩(wěn)態(tài)誤差為2A

[.~S(7\+1)(S+K,K3)

hmsE(s)=hm5-----------------------------r=——

2。i。s(Ts+[)(s+K.K.)+K.K,K.s2K.K,

(2)在擾動輸入D(s)單獨作用下，系統(tǒng)誤噪傳揚函數(shù)為

E(s)s(A+l)(s+K2K3)

則擾動穩(wěn)態(tài)誤差為。⑶皿

—s(7X+l)(s+K2K3)1K、

limsE(s)=\ims-

5-?0.V—>0S(小+而+K?KJ+KRKQK]Kq

第4章習題參考答案

4.1什么是根軌跡？繪制根軌跡的依據(jù)是什么？

解根軌跡指的是當開環(huán)傳遞函數(shù)中某一參數(shù)從零變化到無窮大時，閉環(huán)特

征根（即閉環(huán)極點）在復(fù)平面上移動的軌跡。

繪制根軌跡的依據(jù)是幅值條件和相角條件。

4.2什么是幅值條件？什么是相角條件？這兩個條件在繪制根軌跡中各起

什么作用？

解幅值條件：

Kn\s-zi\

|G(s)"(s)|=Ts------=1

fl\s-Pj\

J=I

相角條件:

NG(s)/7(s)=ZN(s—Zj)—ZN(s—〃p=±(2Z+l)〃(A=0,1,2,…)

I=Ij=\

相角條件是確定s平面上一點是否在根軌跡上的充分必要條件；幅值條件可

以用于確定根軌跡上某點所對應(yīng)的根軌跡增益值。

4.3附加開環(huán)零點和開環(huán)極點對系統(tǒng)根軌跡各有什么影響？

解附加開環(huán)零點，可以使系統(tǒng)的根軌跡向左彎曲，從而提高了系統(tǒng)的穩(wěn)定

度，有利于改善系統(tǒng)的動態(tài)性能；而且，所增加的開環(huán)零點越靠近虛軸，其影響

就越大。

附加開環(huán)極點，使得系統(tǒng)根軌跡向右偏移，降低了系統(tǒng)的穩(wěn)定度，不利于改

善系統(tǒng)的動態(tài)性能；而且，所增加的極點越靠近虛軸，這種作用就越顯著。

4.4已知系統(tǒng)的開輛零、極點分布如圖4-23所示：次概略繪制相應(yīng)的根軌聞＞

(d)(e)⑴

圖4-23題4.4圖

解根軌跡草圖如下。

(a)(b)(c)

題解圖4.4

4.5已知單位負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)，試概略繪出相應(yīng)的系統(tǒng)根軟跡。

/1\K(s+1)

(1)G(s)=-----——

s

(2)G(s)=—―-----

s(s-+4s+8)

K(s+5)

(3)G(s)=

s(s+2)(s+3)

解(1)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為G(S)=4^

1)起點：兩個開環(huán)極點：巧=0,〃2=0;終點：一個開環(huán)零點4=-1,

個無限零點。

2)實軸上的根軌跡區(qū)間：(-oo,7]

3)分離點計算。

O(s)N'(s)-O'(s)N(s)=()

整理得S2+2S=0

解得5j=0,52=-2o

根軌跡如題解圖4.5(1)所示。

RootLocus

-3.5?0.50.5

RootLocus

10

題解圖4.5(1)題解圖4.5(2)

⑵系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為G⑸而

1)起點：三個開環(huán)極點：P1=0,P2.3=-2±j2；終點：三個無限零點＜：

2)實軸上的根軌跡:(-8,()]

3)漸近線：

0+(-2+j2)+(-2-j2)_4

=

"=-3"3

(2Z+1)),7t

仁=-3—=±彳/

4)分離點計算。

O(s)N'(s)—O'(s)N(s)=0

整理得3s2+8s+g=O

解方程可知實軸上不存在分離點。

5)根軌跡與虛軸交點。系統(tǒng)特征方程為

。(5)=1+4/+85+長=0

把S=J0代入特征方程，整理并令其實、虛部分別為零得:

Re(D(j7y))=/C-4ry2=0

1=()砒困嫄=8◎-療=0

1,'[K=0]K=32

6)出射角計算由相角條件相

，%=45。

根軌跡如題解圖4.5(2)所示。

K(s+5)

(3)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為G(s)=

s(s+2)(54-3)

1)起點：三個開環(huán)極點：Pl=o,p2=-2,py=-3；終點：一個開環(huán)零點Z)=-5,

兩個無限零點。

2)實軸上的根軌跡：[-2,0],[-5,-3]

3)漸近線傾角及漸近線與實軸的交點。

0+(-2)+(-3)-(-5)?

4=-------------------=0

(2k+l)/r

4)分離點計算。

O(s)N'G)-D<s)NG)=0

解方程可知分離點為：5=-0.886o系統(tǒng)根軌跡如題解圖4.5(3)所示。

RootLocus

20

sr

p105

ou

eo

)s0

-S

VX

左

-5。

ue

era5

-u

■20

RealAxis(seconds,1?

題解圖4.5(3)

4.6設(shè)單位負反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

______K

G(s)=

5(0.25+1)(0.55+1)

(1)繪出系統(tǒng)的艱軌跡圖。

(2)確定使系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定時的根軌跡增益和開環(huán)放大系數(shù)。

(3)確定使系統(tǒng)處于臨界阻尼狀態(tài)時的根軌跡增益和開環(huán)放大系數(shù)。

解(1)將系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)整理為

10K

G(s)=

s(s+5)(s+2)

I)起點：三個開環(huán)極點：Pi=。，〃2=-5,〃3=-2；終點：三個無限零點。

2)實軸上的根軌跡區(qū)間：[-2,0],(ro,-5]

3)漸近線計算。由公式計算獲得漸近線傾角及漸近線與實軸交點為：

0-2-57

--------=---

33

(2k+1)4,71

-----------=±-.71

33

4)分離點計算。

O(s)N'(s)—/y(s)Ms)=0

整理得3s?+14s+10=()

解得5.=-0.88,$2=-3.7863(舍去)。

5)與虛軸的交點。系統(tǒng)特征方程為

D(s)=s(s+5)(s+2)+10K=0

令s=代入系統(tǒng)特征方程，得

D(jco)=jco(jco+5)(j(D+T)+\0K=0

令

Re[。(加)]二()

<Im[D(?]=0

求解得s=K=Io根軌跡與虛軸的交點(o,±Vioj)o根軌跡

如題解圖4.6所示。

RodLocus

(

S

P

U

O

V

&

X的

4

c

一

-10

-15

-20-15-10-50510

RealAxis(seconds1)

題解圖4.6

(2)系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定時的開環(huán)放大系數(shù)為：K=7,根軌跡增益為：

跖=10K=70

O

(3)己求得根軌跡分離點為*=-0.88,根據(jù)幅值條件可以求出該分離點對

K

應(yīng)的根軌跡增益為：4.061；而開環(huán)放大系數(shù)K=1=0.4061。

*10