高中數學基礎練習題-兩條直線平行和垂直的判定（解析版）

2.2兩條直線平行和垂直的判定

模塊一：基礎知識...................................................2

考點一：兩條直線平行............................................2

考點二：兩條直線垂直............................................2

模塊二：題型分類...................................................3

題型一：兩條直線平行的判定......................................3

題型二：兩直線垂直的判定........................................6

題型三：兩直線平行求參數.......................................10

題型四：兩直線垂直求參數.......................................12

題型五：直線平行垂直在幾何中的應用.............................15

模塊三：綜合鞏固..................................................18

2.2兩條直線平行和垂直的判定

模塊一：基礎知識

考點一：兩條直線平行

對于兩條不重合的直線4，4,其斜率分別為K，&，有41140勺=42.如下1圖

對兩直線平行與斜率的關系要注意以下幾點

⑴人||，2=&成立的前提條件是：

①兩條直線的斜率都存在；②人與/2不重合.

⑵當兩條直線不重合且斜率都不存在時，4與4的傾斜角都是90、則4114,如上2圖

⑶兩條不重合直線平行的判定的一般結論是：41|/2。勺二&或4,4斜率都不存在.

考點二：兩條直線垂直

如果兩條直線都有斜率，且它們互相垂直，那么它們的斜率之枳等于-1；反之，如果它們的斜率之積等

于一1,那么它們互相垂直，即=勺?&二一1?

對兩直線垂直與斜率的關系要注意以下幾點

(1乂_1_/2=勺夕=一1成立的前提條件是：①兩條直線的斜率都存在；②勺。0且％2工0.

⑵兩條直線中，-條直線的斜率不存在，同時另?條直線的斜率等于零，則兩條直線垂直.

⑶判定兩條直線垂直的一般結論為：

<_L4=勺=T或一條直線的斜率不存在，同時另一條直線的斜率等于零.

模塊二：題型分類

題型一：兩條直線平行的判定

1.下列各對直線互相平行的是()

A.直線人經過點4(0,1),8(1,0),直線I經過點M(T,3),N(2,0)

B.直線丸經過點力(-1,-2),5(1,2),直線6經過點河(-2,-1),N(0,-2)

C.直線4經過點4(1,2),5(1,3),直線4經過點C(LT)，。(1,4)

D.直線<經過點力(3,2),5(3,-1),直線《經過點加(1,一1),N(3,2)

【答案】A

【解析】對于A,因為4=汜=-1,4=二二2=-1,所以/"4；

對于B,因為勺=±匕=2人=二1吉1=一。所以直線//不平行；

對于C,由直線乙經過點4(1,2),8(1,3),直線4經過點C(1,T),0(1,4),

得直線44的斜率都不存在，且兩直線重合；

對于D,因為直線人經過點彳(3,2),4(3,-I),所以直線直線4的斜率不存在，

而勺,=一-1-一2=：3，所以直線44不平行.故選：A.

1-32

2.根據下列給定的條件，判斷宜線4與直線是否平行.

⑴4經過點4(2,3),3(-4,0),)經過點M(T1),N(-2,2)；

(2)人的斜率為-；，6經過點力(42),8(2,3)；

⑶《平行于。軸,(經過點P(O，-2),0(0,5)；

(4片經過點用0,1),尸(一2,-1),4經過點G(3,4),〃(2,3).

【答案】(1)不平行；(2)平行或重合；(3)平行；(4)重合

3-0I2-1

【解析】(1)腦=濘=93彳91,附工心，所以4與4不平行.

2+42-2+3

I2-31

(2)4的斜率尢=—g,4的斜率的=W=-g,k、=k),所以與"平行或重合.

(3)由題意，知4的斜率不存在，且不與y軸重合，的斜率也不存在，且與y軸重合，所以〃〃2.

-1-14-3

(4)由題意，知k=—~~-=1>k--~~-=1,

EF-2—vGH3一，

kEF=kGH，所以6與4平行或重合.

需進一步研究七，F,G,〃四點是否共線，.=:：=L

—1—4

所以E,F,G,〃四點共線，所以4與4重合.

3.(多選)已知直線4與4為兩條不重合的直線，則下列命題正確的是()

A.若“〃2,則斜率占=原

B.若斜率占=&,則"〃2

C.若傾斜角%=%,則“〃2

D.若/“加則傾斜角4=%

【答案】BCD

【分析】利用直線的傾斜角和斜率的關系，直線的斜率和直線的平行問題的應用求出結果.

【詳解】A選項，“〃2,可能直線4與4的傾斜角都是90。，斜率不存在，所以A選項錯誤.

B選項，根據直線的位置關系，當直線的斜率存在，并且相等，則直線平行，所以B選項正確.

C選項，當兩條直線的傾斜角相等時，直線平行，所以C選項正確.

D選項，當兩條直線平行時，則傾斜角必相等，所以D選項正確.

故選：BCD

4.(多選)滿足下列條件的直線4與4,其中“％的是().

A.4的斜率為2,4過點力(1,2),8(4,8)

B.《經過點尸(3,3),。(-5,3),平行于工軸，且不經過點P

C.4經過點”(-1,0),N(-5,-2),4經過點〃(-4,3),5(0,5)

D.4的方向向量為(11)，的傾斜角為3

【答案】BC

【分析】根據題意，結合直線斜率的計算公式以及兩直線平行的結論，一一判斷即可.

【詳解】對于A,由題意得&&=*=2,所以4與/,平行或重合，故A錯；

4-1

對于B,由題意得怎0=二三=0,因平行于x軸，且不經過點P,所以故B正確；

-5一3

-2-015-313—0

對于c,由題意得3N=V=7,y沁q,所以故c正確;

-3+12U+4Z—4+I

對于D,直線乙的斜率為;=1,直線的斜率為tanq=6,

所以4與不平行，故D錯.

故選：BC.

5.記平面直角坐標系內的直線4、與工軸正半軸方向所成的角的正切值分別為勺、左2，則“〃〃2”是“占=內〃

的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.既不充分也不必要條件D.先要條件

【答案】A

【分析】根據直線的位置關系結合充分、必要條件分析判斷.

【詳解】由題意可知：[皆已經存在，

若乙〃兒則勺=%2,即充分性成立；

若k1=k”貝1"12可能重合，即必要性均不成立；

綜上所述：“〃〃2〃是“占=〃2〃的充分不必要條件.

故選：A.

6.已知直線4過4(-1,4),4(2,0),且A/4,則直線的斜率為()

434

A.-B.-C.——I

343

【答案】C

【解析】由題意直線4的斜率為4=—4-0=-；4,

—1—23

4

又因為(私，所以直線%的斜率為％2=4=-鼻?故選：C.

7.已知經過點力(3,〃)](5川)的直線4與經過點尸(t〃⑼,0(0")(陽"0)的直線右平行，則5的值為()

A.-1B.-2C.-1或2D.-2或1

【答案】C

【解析】由題意得勺=二二!=破，

424m

因為“〃2,所以與一勺，即空士一日，

2m

化簡得〃/-mn-2/J=0,所以〃7=—〃或111=2n,

又由/〃〃工0得”=—1或2,故選:C.

n

8.過力(也3),8(-1,〃?)兩點的直線與直線/平行，直線/的傾斜角為45。，則m=()

A.1B.2C.-1D.-2

【答案】A

【解析】過力(，％3),8(-1,〃?)兩點的直線與直線/平行，直線/的傾斜角為45。，所以-1,

因此過4外3),8(-1,間兩點的直線的斜率為牛工,

-I-/??

因為過力(/%3),8(-1刈)兩點的直線與直線/平行，直線/的傾斜角為45。，

m—3

所以有一;---=tan45v=l=>zw=l,故選：A

-1-zn

9.張老師不僅喜歡打羽毛球，還喜歡玩折紙游戲，他將一張畫了直角坐標系(兩坐標軸單位長度相同)的

紙折疊一次,使點(2,0)與點(-2,4)重合，點(2023,2024)與點(對/))重合，則〃+()

A.4046B.4047C.4048D.4049

【答案】B

【解析】設力(2,0),劣-2,4),則點A,8所在直線的斜率為心=±^=-1,

由題意知，過點(2023,2024),(凡與的直線與直線4;平行，

h-2024

所以-------=-1,整理得：“+6=2023+2024=4047.故選：B

a-2023

題型二：兩直線垂直的判定

1.判斷直線小與4是否垂直.

(1)4的斜率為-10,(經過點力。0,2),8(20,3)；

⑵4經過點4(3,4),8(3,10),經過點"(T0,40),N(10,40)：

⑶4經過點力(-1,2),8(5,7),4經過點C(I,0),。(4,6).

【答案】

⑵卬2

(3)A1/2

【分析】(1)根據％他=-1判斷直線垂直；

(2)4斜率不存在，則判斷4是否與X平行，若平行，則兩直線垂直；

(3)方法一：根據左芯=-1判斷直線垂直；方法二：利用直線的方向向量判斷直線垂直.

【詳解】(D設直線心4的斜率分別為左，右，則尢=70,&=齊3-2"=2I，

2。—1010

因為卬：2=-1,所以

(2)由點力，片的橫坐標相等，得4的傾斜角為90。，則4_Lx,

設直線《的斜率為刈，貝1」&=10_(_]0)=0,

所以，2〃X軸.故

(3)方法一：直線(的斜率4.二一百1一K2二-51,直線的斜率&=6昔—0=2,

因為"2=-1，所以4U；

方法二：直線乙的方向向量方=(6,-3),直線6的方向向量加=(3,6),

因為萬.歷=0,所以而_L函，所以

2.判斷下列直線4與4是否垂直：

(1)4的傾斜角為牛，，2經過知卜4,一行)，N(5,2g)兩點：

⑵4的斜率為-1右經過*3，-2),。(-6,4)兩點；

\3

⑶/1的斜率為-§,，2的傾斜角為。，。為銳角，且匕n2a二-7

【答案】(1)/.1/2

(2)乙與4不垂直

(3)/.1/2

【分析】(1)乙的斜率為tan與n-g,根據過兩點的斜率公式可求4的斜率，判斷斜率的乘積是否為-】

即可；

(2)根據過兩點的斜率公式可求右的斜率，判斷斜率的乘積是否為T即可；

(3)根據二倍角的正切公式求出lana的值，判斷斜率的乘積是否為-1即可.

【詳解】⑴因為4的傾斜角為斗，所以4的斜率為tan4u-百.

JJ

因為4經過N卜,2后)兩點，所以右的斜率為、=電.因為—Gx曰=-1,所以

(2)因為乙經過。(3,-2),。(-6,4)兩點，所以4的斜率為土3=—.

-6-33

因為4的斜率為-g,所以4與4不垂直.

⑶記,2的斜率為3因為41,所以』T解得1或％

因為a為銳角，所以左=3.因為4的斜率為-：，且3x(-=

所以4U

3.(多選)滿足下列條件的直線4與，2,其中的是()

A.4的傾斜角為45',。的斜率為1

B.乙的斜率為一年，6經過點力(2，。)，8(3,百)

C.4經過點P(2,l),。(工-5),〃經過點“(T，2),N(LO)

D.4的方向向量為(IM),4的方向向量為

【答案】BCD

【解析】對A,^=tan45°=l,<=1,心產一1,所以A不正確;

對B,攵=步-。=6&?號=一立乂6=一1,故B正確；

k3-2h43

對&h=:；=,h=？0=T,除％=一\,故C正確；

-4一2一1一1

對D,因為==

k

所以兩直線的方向向量互相垂直，故，K故D正確.故選：BCD

4.已知力（7,-4）,5（-5,6）,若直線〃?與直線垂直，則直線用的斜率為（）

66〃55

A.-B.——C.-D.——

5566

【答案】A

【分析】根據題意，利用斜率公式求得左祐=-3，再由兩直線的位置關系，得到心即可求解.

6

【詳解】由點代一）,8（—5,6）,可得冊=號半=一,

因為直線機與直線48垂直，可得3?3B=7,即心?（-；）=-1，解得心=，

65

所以直線機的斜率為

故選：A.

5.若直線4的傾斜角為45。，直線4經過點夕（-2,-1）,Q（3,-6）,則直線4與4的位置關系是（）

A.垂直B.平行C.重合D.平行或重合

【答案】A

【分析】由傾斜角可得直線4的斜率，由斜率公式可得直線4的斜率，可判斷垂直關系.

【詳解】由題可知直線4的斜率為tan4S=l,直線4的斜率為二6一（二）=7,所以直線人與/?垂直

故選：A

6.已知直線4經過力（-3,2）,4（1,-2）兩點，直線&傾斜角為45。，那么人與4（）

A.平行B.垂直C.重合D.相交但不垂直

【答案】B

【分析】根據兩點求出直線人的斜率，根據傾斜角求出直線，2的斜率，可知斜率乘積為-1，從而得到垂直

關系.

【洋解】由題意可得：直線乙的斜率勺=立4=-1,直線4的斜率e=13045。=1,

—3—1

???畢2=7,則4與4垂直.

故選：B.

7.已知兩直線/"的斜率分別為匕目&&是方程，+.]=0的兩根，則4與4的位皆關系為()

A.平行B.相交且垂直C.重合D.相交且不垂直

【答案】B

【解析】由題意女人=-1，因此兩直線垂直.平面上的兩直線垂直時當然相交.故選：B.

8.已知兩條直線4和4，其斜率分別是一元二次方程42+202公=1的兩不等實數根，則其位置關系是()

A.平行B.垂直C.重合D.異面

【答案】B

【分析】由斜率乘積判斷兩直線的位置關系可得.

【詳解】由題意，設兩條直線4和4的斜率分別為勺，七，

且為一元二次方程公+202必=1的兩不等實數根，

則占?七二一1,所以仆兒

故選：B

9.若過點P(3,2〃?)和點0(一肛2)的直線與方向向量為2=(-5,5)的直線垂直，則實數〃?的值是.

【答案】5

【解析】由2=(-5,5)得直線的斜率為告=7,

2m-2.

若兩直線垂直，則直線尸。的斜率為兩二疥二1,解得m=5.

故答案為：5.

io.直線4過點/(叭1)和點8(-1,陽)，直線右過點。(〃?+〃,〃+1)和點。(〃+1,〃-間，則直線4與1的位置關

系是.

【答案】垂直

【分析】分〃?=1,m=-1,加=±1三種情況討論即可.

【詳解】①當〃7=1時，直線4過點4(1,1)和點8(T1),

直線，2過點C(l+〃,〃+l)和點。+

此時直線4的斜率勺=0,直線4的斜率不存在，因此

②當小=7時，直線4過點4(7,1)和點8(7,-1),直線4過點C(T+〃,〃+l)

和點。(〃+1,〃+1).此時直線人的斜率不存在，直線6的斜率0=0,因此4，小

③當±1時，直線4的斜率占=不1,直線的斜率刈=t二，

-1―///I—m

此時勺?&=-1,.\/11/2-

故答案為：垂直.

題型三：兩直線平行求參數

1.在平面直角坐標系中，直線1經過M（l,，〃）,N（4,-5）兩點，［經過我（-6,0）,義-1,3）兩點，若乙_L，2,則

m=；若4〃4，則〃?=?

【答案】0

【分析】根據垂直時，斜率乘積為T,平行時，斜率相等來列式計算即可.

【詳解】由己知仆若

當口，2時,

所以勺=與?二-9解得m=0,

4—13

當//4時,

.-5-m3回,啟34

勺=年丁=丁解得,"一三,

經驗證：當陽=-三34時，不重合.

34

故答案為：0;.

2.己知直線”〃2,它們的斜率分別記作配%2,若配“2是方程f+2奴+1=0的兩個根，則4的值（）

A.1B.-I

C.1或TD.無法確定

【答案】C

【分析】利用直線平行得到占=&,從而得到二次方程判別式為零，由此得解.

【詳解】因為“〃2,所以占=&，

因為勺，攵2是方程f+2ox+l=0的兩個根，所以A=4"-4=0,解得。=±1.

故選：C.

3.已知力（一2,〃?），B（m,4）,“（血+2,3）,N（l,1）,若AB〃MN,則機的值為

【答案】。或1

【分析】

分當直線的斜率不存在，直線MN的斜率不存在及兩直線的斜率都存在時進行求解即可，注意檢驗下

兩直線不重合.

【詳解】解：當盟=一2時，直線48的斜率不存在，而直線MN的斜率存在，MN與不平行，不合

題意；

當旭=一1時，直線MN的斜率不存在，而直線48的斜率存在，MN與不平行，不合題意；

當"iw—2,且〃iw—1時，

4-w_4-/?

Ain+2'

,3-1_2

k；\fx=--------------.

m+2-\ni+\

因為所以A"=AMN,

即Y4—w=7—2，解得，〃=°或m=L

m+2，〃+I

當m=0或1時，由圖形知，兩直線不重合.

綜上，力的值為。或L

故答案為：0或1

4.已知直線4經過/（冽,3）,80,用）兩點，心經過尸（2,1）,。（4,2）兩點.

⑴若〃〃2,求明的值；

⑵若的傾斜角互余，求，〃的值.

【答案】（1）6=：

（2）w=|

【分析】（D根據〃〃2,可得加B=kpQ,再結合斜率公式即可得解；

（2）設4的傾斜角為。，則直線/,的傾斜角為5-a，再結合斜率公式即可得解.

【詳解】（1）原。=言2-1=；1，

因為〃〃2，

所以心8=$^=%^=；，得〃?二:，

1-w23

經檢驗，符合題意，

7

所以〃?二§；

（2）因為44的傾斜角互余，

設式的傾斜角為a,則直線4的傾斜角為。，

~,w-315

所以〃酢=匚￡=口=2,得機

5.己知直線4的傾斜角為60。，直線6的斜率e=/+6-4,若l\〃k，則〃?的值為,

【答案】±2

【詳解】由題意得〃J+G-4=tan60o=6，解得m=±2.

6.當〃為何值時，直線4：y=f+2a與直線《：y=（a2-2）x+2.

⑴平行;

（2）垂直.

【答案】（1）4=一1

（2）a=±5/3

【分析】（1）根據題意得到］：—：二7,即可得到答案.

2。W2

（2）根據題意得到（a?-2）x（-］）=-1,即可得到答案.

【詳解】（1）要使則需滿足;二="na=T.

故當4=-1時，直線4與直線，2平行.

（2）要使，山2,則需滿足（。2-2卜（-1）=-1,???。=±6.

故當4=±6時，直線4與直線右垂直.

題型四：兩直線垂直求參數

1.若直線/經過點力（4-2,-1）和川且與斜率為-g的直線垂直，則實數。的值是（）

2323

A.—B.—C.士一D.±—

3232

【答案】A

【分析】先利用斜率公式表示出再根據兩直線垂直列出關系式求解即可.

—1—11

【詳解】由題意得，直線I的斜望必存在，且心=一——￡=一一（。=。）.

a~2—（-a-2）a

因為直線I與斜率為-；2的直線垂直

所以-^x--=-1,解得。二一：

31"3

故選：A.

2.已知力（7,-4）,4（-5,6）,若直線用與直線48垂直，則直線利的斜率為（）

6655

A.—B.—C.—D.—

5566

【答案】A

【分析】根據題意，利用斜率公式求得再由兩直線的位置關系，得到心?七8=-1，即可求解.

6

【詳解】由點力（7,T）,8（-5,6）,可得篇=匕=1=_，

因為直線〃，與直線力6垂直，可得心?左”--1,即心?(-■|)=T,解得

65

所以直線用的斜率為q.

故選：A.

3.已知點4f-3,2),B(-2m-4,4),C(-m,m),Z)(3,3M+2),若直線48_LCQ,則〃?的值為()

A.1或—1B.-3或-1C.—1或3D.3或一3

【答案】A

【解析】??,4B兩點縱坐標不相等，與x軸不平行.

*：ABLCDt則CD與x軸不垂直，，一機*3,即布工一3.

當48與x軸垂直時，-〃?-3=-2〃?-4,解得加=-1,

此時，點C,D的縱坐標均為-1,則CZ)〃x軸，此時/B_LCO,滿足題意；

4-2.3w+2-m2(加+1)

當A8與x軸不垂直時，鼠=k「n==

-2m-4-(-m-3)-(m+1)*3-(一⑼m+3

22(/〃+1)

VAB±CD,：-—1,即_(〃?十1)、〃[+3解得，〃二L

綜上，m的值為1或-1,故選：A.

4.若直線4與4的斜率尢、質是關于4的方程-2〃2-4&=6的兩根，若則6=()

A.2B.-2C.0D.-4

【答案】B

【分析】由直線垂直得左〃=7,結合韋達定理得參數值.

2

【詳解】/,1/2=>^^=-1,方程一2k?-4k=b為2k+4k+b=0,所以&K=?=-1，b=-2,

此時△=16-8b>0滿足題意.

故選：B.

5.當。為何值時，直線《：尸-x+2a與直線)，=(/-2卜+2.

⑴平行；

⑵垂直.

【答案】⑴"一1

(2)〃=±>/3

【分析】(1)根據題意得到：一：=一,即可得到答案.

2(1*2

(2)根據題意得到(。2-2卜(-1)=-1,即可得到答案.

【詳解】(1)要使//〃，則需滿足］：一：二一1=。=一1.

2。工2

故當4=7時，直線4與直線平行.

(2)要使41g則需滿足什-2卜(-1)=-1,???〃=土百.

故當〃=±百時，直線乙與直線4垂直.

6.已知4的傾斜角為45。，4經過點0(-2,-1),。(3,加).若I?,則實數”為()

A.6B.-6C.5D.-5

【答案】B

【分析】

根據垂直關系得到勺?鼠=7,由此計算出川的值.

【詳解】因為4=tan45o=l,勺=三丹="1,且《乜，

所以勺&=lx"=—l,解得〃?二一6,

故選：B.

2

7.若直線/經過點("2,7)和(-"2』)，且與經過點斜率為的直線垂直，則實數〃的值

為?

【答案】J2

【分析】求出直線/的斜率，利月直線垂直關系列式求出〃的值即得.

【詳解】依題意，直線/的斜率存在且為g,由直線/經過點(。-2,-1)和

得直線,的斜率H-1-~13解得。=-22，

(a-2)-(-a-2)23

2

所以實數a的值為

2

故答案為：

8.已知直線4：y=-x+2。與直線4：?=(/-2卜+2垂直，則。的值為.

【答案】±73

【分析】根據兩直線垂直得充要條件計算即可得解.

【詳解】因為直線4：y=r+2a與直線占卜=(/一2卜+2垂直，

所以一1x(/-2)=-1,解得。二士內.

故答案為：±x/5.

9.已知過4(3,1)、8(1,-3)的直線與過。(-3刈)、2)的直線互相垂直，則點(叫〃)有()

A.1個B.2個C.3個D.無數個

【答案】D

【解析】由力(3,1)與8(1,-3),則直線48的斜率"8=興=2,

由44J.CO,則直線CO的斜率存在，即"-3,且%8="，=一:,

kAB2

由C(-3，M與0(*2),則言Y，整理化簡可得〃=2〃?-7,

顯然該方程有無數個解.故選：D.

題型五：直線平行垂直在幾何中的應用

1.以4(5,—1)*(1,1),。(2,3)為頂點的三角形是()

A.銳角三角形B.鈍角三角形

C.以A為直角頂點的直角三角形D.以8為直角頂點的直角三角形

【答案】D

【解析】直線4B的斜率左襁二一^二一!，直線6C的斜率媼.=興=2,

1—522—1

由e8?怎c=T，所以4BJ.BC,

故"8C是以8為直角頂點的直角三角形.故選：D

2.已知四邊形MNP。的頂點M(1,1),N(3,-1),P(4,O),0(2,2),則四邊形MVP。的形狀為.

【答案】矩形

【分析】分別求出直線“〃00,必0,乂戶的斜率，根據斜率判斷對應直線得位置關系，即可得出結論.

【詳解】解：???八小=匕上迎=-1,即丑=-1,且P不在直線MN上，，MNHPQ.

又：*。=歸=1，h/=上±"=1，且N不在直線上，??.MQ//NP，.?.四邊形MN。。為平行四邊形.又

'2-14-3

???平行四邊形MNP。為矩形.

故答案為：矩形.

3.如圖所示，在平面直角坐標系中，四邊形OPQR的頂點坐標按逆時針順序依次為

O(O,O),P(M，0(1-=2+Z),衣(-2人2),其中"0.試判斷四邊形OPQR是否為矩形.

【答案】四邊形OPQR為矩形，理由見解析.

/-0_2_(2+/)

【解析】由斜率公式得左〃,=

1-0RQ-2/-(1-2/)-1

,2-01,2+t-t21

kcR=----------=——,K=------------==——

°R-2/-0/p股n1-2/-12//

所以％=",k（＞R~左松，

從而OP〃RQ,OR//PQ.

所以四邊形OPQR為平行四邊形.

又LG=T,所以OP_LOR，

故四邊形OPQR為矩形.

4(多選)已知點尸(-4,2),0(6,-4)1(12,6),S(2,12),則下列結論正確的是()

A.PQHSRB.PQLPSC.PSHQRD.PRIQS

【答案】ABCD

【解析】由斜率公式知=心=照=一"%=鑒=24,

vz-T~?D1J4I-fJJ

kpQ=ksR,且R2，R,S四點不共線，則尸0//SA,A選項正確；

35

—=-河=-1，PQ±PS,B選項正確；

kQR=W^=3=kps，PSHQR,C選項正確；

12-63

=-4選項正確?故選：

kQS=-7-7?kpR=?：=!,-kPR=-4xl=-l,PRA.QS,DABCD.

"2-612+44v4

5.（多選）直線《人的斜率仁凡是關于k的方程2公一軟+m=0的兩個根，則下列說法正確的是（）

A.若人士“，則，〃=一2B.若L工4,則”=2

C.若乙//4則機=一2D.若4/〃?，貝lj6=2

【答案】AD

【解析】直線4,/2的斜率4，的是關于％的方程2公—4%+加=0的兩根，?—三，

若則桃2=3=-1，得，〃二一2；

若〃〃2,則％=%2,?*?A=16-8/M=0,得6=2,故選：AD

6.已知41,3),8(5,1),。(3,7),4B,C,。四點構成的四邊形是平行四邊形，求點。的坐標.

【答案】(7,5)或(-1,9)或(3,-3).

【分析】由題意分類討論，根據直線的斜率即可求出點。的坐標.

【詳解】由題，力。,3)*(5/)<(3,7),

所以A/C=2,kAB=,kBC=-3,

設。的坐標為(x,p),分以下三種情況：

①當5c為對角線時，有kCD=kAB,kBD=kACf

所以，原0=匕1=2,e0=上三=一；，

x-5X-J2

得x=7,產5,即。(7,5)

②當力C為對角線時，有kCD=k4B,kAD=kBCf

得x=-l,產9,即。(-1,9)

③當48為對角線時，有kBD=kAC,kAD=kBC

所以既。=~~=2，k=-=-3，

x-5ADx-1

得x=3,產-3,即。(3,—3)

所以。的坐標為。,5)或(-1,9)或(3,-3).

7.在平面直角坐標系中，四邊形。尸。〃的頂點按逆時針順序依次是0(0,0),0(U),2(1-2/,2+/),

〃(-2/,2),其中/€(0,內)，試判斷四邊形"。我的形狀，并給出證明.

【答案】四邊形0PQR是矩形，證明見解析

【分析】根據題意，結合直線斜率的坐標計算公式，分別判斷直線是否平行與垂直即可.

【詳解】四邊形。尸是矩形.證明如下：

0P邊所在直線的斜率“勿=/,

2+;-2

QR邊所在直線的斜率k”=—=/，

OR邊所在直線的斜率向&=-：，

2+/-/1

P0邊所在直線的斜率4卬=17^=7

所以心P=即A,院”二心?,所以OP//QR.ORHPQ,

所以四邊形OPQR是平行四邊形.

又3￡坎="卜：=-1,

所以。&J_OR,所以四邊形OP0R是矩形.

p1_2+Z/_t-2

又乜=E即~=幣?

令卜足％口=-1,即*1,無解，

1-2/1+2/

所以。。與不垂直，故四邊形。P0R是矩形.

模塊三：綜合鞏固

1.經過4(0,4),8(-1,3)兩點的直線的方向向量。,左),則左=()

A.-1B.0C.1D.2

【答案】C

【分析】由題意方=(-1,-1)與向量。,行共線，所以由對應分量成比例即可求解.

【詳解】由題意＜4=(-1,-1)與直線的方向向量。,6共線，所以金=占，解得〃=1.

故選：C.

2.已知直線4過4(2,3),8(0,4),且4J.%則直線4的斜率為()

11

A.2B.——C.-2D.-

22

【答案】A

【解析】由題設勺:七,二4-%3==-：1，又3?,則直線4的斜率為2.故選：A

0—22

3.已知兩直線44的斜率分別為心內，且占佐是方程/+』-1=0的兩根,貝匹與4的位置關系為()

A.平行B.相交且垂直C.重合D,相交且不垂直

【答案】B

【分析】由斜率乘積判斷兩直線的位置關系可得.

【詳解】由題意2色=-1，因此兩直線垂直.平面上的兩直線垂直時當然相交.

故選：B.

4.已知經過點力(-2,0)和點以1,3.)的直線/1與經過點。(0,-1)和點0(4,-2〃)的直線/2互相垂直，則實數。

的值為()

A.0B.IC.0或1D.-1或1

【答案】C

,3。一0

【解析】直線乙的斜率勺=77不=”?

1-㈠

①當。工0時，直線4的斜率左,二—2"—(7)二上當.

a-0a

因為《J./?,所以女生=-1,即q,j=-l,解得0=1.

a

②當〃=0時，p(o,T)、o(o,o),此時直線4為y軸，

又4(-2,0)、8(1,0),則直線4為X軸，顯然4U.

綜上可知，。=0或1.故選：C.

5.已知直線/的傾斜角為寧，直線4經過點力(3,2)和6(d-1),且直線/與4垂直，4的值為(

A.1B.6C.0或6D.0

【答案】D

【分析】求出直線/與4的斜率，利用兩個斜率乘積等于-1即可求解.

【詳解】因為直線/的傾斜角為個,所以直線/的斜率為tan與=-l,且/與垂直，

44

所以直線4斜率存在，

由經過點力(3,2)和所以直線4斜率為士：，

。一3

所以土3=1,解得：4=0,

a-3

故選：D

6.以4(7,1),5(2,-1),C(l,4)為頂點的三角形是()

A.銳角三角形

B.鈍角三角形

C.以點A為直角頂點的直角三角形

D.以點8為直角頂點的直角三角形

【答案】C

【分析】求出力8、4C的斜率，即可判斷力8/4C.

【詳解】因為力(-L1),8(2,7),C(l,4)

所以G=生1-(-，1)=-“2標/=中4-15=子3

，3B?3C=-1，AABIAC,

:.、4BC是以點A為直角頂點的直角三角形.

故選：C

7.下列說法中正確的有()

①若兩條不同直線的斜率相等，則兩直線平行；

②若"%，則占=&；

③，所有的直線都有傾斜角；

④若兩條直線的垂直，則它們的斜率之積為-L

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】B

【分析】對于①，根據斜率的定義進行判斷；對于②，舉出反例；對于③，根據傾斜角定義得到③正

確；對于④，舉出反例.

【詳解】對于①，若兩條不同直線的斜率相等，則兩直線平行，正確；

對于②，若"4,但可能斜率不存在，此時不能得到占=A2,錯誤；

對于③，所有的直線都有傾斜角，正確；

對于④，若兩條直線中，一條直線斜率為0,另一條沒有斜率，也滿足垂直關系，但不滿足它們的斜率之

積為-1,錯誤.，

故正確的個數為2.

故選：B

8.已知點4(1,1)和8(2,4),點p在歹軸上，且N/PB為直角,則點。坐標為()

A.(0,2)B.(0,2)或(0,3)C.(0,2)或(0,4)D.(0,3)

【答案】B

【解析】由題意，設點尸

?;NAPB為直角,：.APLBP.

由~~~=y>^BP~~‘軟/一)')("^)=一L解得y=3或2,

所以點P的坐標為(0,2)或(0,3)故選：B

9.張老師不僅喜歡打羽毛球，還喜歡玩折紙游戲，他將一張畫了直角坐標系(兩坐標軸單位長度相同)的

紙折疊一次，使點(2,0)與點(-2,4)重合，點(2023,2024)與點(0力)重合，則a+b=()

A.4046B.4047C.4048D.4049

【答案】B

【分析】根據軸對稱的性質，可知直線N4與過點(2023,2024),的直線平行，且斜率都存在，則由

斜率相等列出式子即可.

【詳解】設力(2,0),川-2,4),則點A,8所在直線的斜率為"8=2三=-1,

由題意知，過點(2023,2024),(a,與的直線與直線力8平行，

所以-------=-1,整理得：。+5=2023+2024