等式性質與不等式性質【八大題型】（人教A版必修第一冊）解析版

專題2.1等式性質與不等式性質【八大題型】

【人教A版（2019）］

>題型梳理

【題型I用不等式表示不等關系】................................................................1

【題型2由不等式的性質比較數（式）大小】.....................................................3

【題型3利用作差法比較大小】.................................................................4

【題型4利用作商法比較大小】..................................................................6

【題型5作差法比較代數式的大小的應用】.......................................................7

【題型6利用不等式的性質判斷正誤】...........................................................10

【題型7利用不等式的性質證明不等式】.........................................................12

【題型8利用不等式的性質求取值范圍】.........................................................14

A舉一反三

【知識點1不等關系】

1.不等關系的建立

在用不等式（組）表示實際問題中的不等關系時，先通過審題，設出未知量，找出其中的不等關系，再

將不等關系用不等式表示出來，用得不等式或不等式組.

【題型1用不等式表示不等關系】

【例1】（23-24高一上?廣東深圳,階段練習）公司運輸一批木材，總重600噸，車隊有兩種貨車，A型貨車

載重量30噸，8型貨車載重量24噸，設派出4型貨車工輛，8型貨車y輛，則運輸方案應滿足的關系式是（）

A.5x+4y<100B.5x+4y>100

C.5x+4y>100D.5x+4y<100

【解答過程】根據已知列出不等式，化簡即可得出答案.

【解答過程】由已知可得，30x+24yZ600,

所以有5x+4yN100.

故選：B.

【變式1-1］（23-24高一上?云南曲靖?期中）下列說法正確的是（）

A.某人的月收入X元不高于2000元可表示為“T<2000”

B.小明的身高為工,小華的身高為y,則小明比小華矮可表示為“X

C.變量x不小于a可表示為“％>a”

D.變量y不超過a可表示為“y>a”

【解答過程】利用不等式表示不等關系逐個選項判斷即可.

【解答過程】對于A,某人的月收入X元不高于2000元可表示為安工2000”，A錯；

對于B,小明的身高為”,小華的身高為y,則小明比小華矮可表示為B錯；

對于C,變量不不小于Q可表示為‘比Na”，C正確；

對于D,變量y不超過a可表示為“yWQ”，D錯.

故選：C.

【變式1-2]（23-24高一上?河北邢臺?階段練習）在開山工程爆破時，已知導火索燃燒的速度是每秒0.5厘

米，人跑開的速度為每秒4米，距離爆破點15（）米以外（含150米）為安全區.為了使導火索燃盡時人能

夠跑到安全區，導火索的長度》（單位：厘米）應滿足的不等式為（）

A.4X言<15。B.4X^>150C.4x^<150D.4x^>150

【解答過程】安全區距離爆破點要大于等于150米，結合題意可構建不等式.

【解答過程】由題意知導火索的長度工（單位：厘米），故導火索燃燒的時間為高秒，

人在此時間內跑的路程為（4x日）米，由題意可得4x言“50.

故選：B.

【變式1-3]（23-24高一上.貴州遵義.階段練習）持續的高溫干燥天氣導致某地突發山火，現需將物資運往

滅火前線.從物資集散地到滅火前線-共40km,其中靠近滅火前線5km的山路崎嶇，需摩托車運送，其他路

段可用汽車運送.已知在可用汽車運送的路段，運送的平均速度為60km/h,設需摩托車運送的路段平均速

度為xkm/h,為使物資能在1小時內到達滅火前線，則x應該滿足的不等式為（）.

【解答過程】根據總時長小于1列不等式，即汽車所用時間加上摩托車所用時間小于I小時即得.

【解答過程】由題意汽車所用時間加上摩托車所用時間小于1小時，即"十三<1，

60x

故選：D.

【知識點2比較大小】

1.兩個實數大小的比較

如果a-b是正數，那么a>b-,如果a-b等于零，那么a=b；如果a-b是負數，那么反過來也對.這

個基本事實可以表示為：〃>（）,a=b=a—b=O,a<b=a—b<0.

從上述基本事實可知，要比較兩個實數的大小，可以轉化為比較它們的差與。的大小.

2.比較大小的基本方法

方法

關系作差法作商法

與0比較與1比較

a>ba-b>0->l(a,Z>>0)Wc-<l(a,Z><0)

bb

a=ba-b=01=10*0)

a<ba-b=0@vl(a,〃>0)或色>l(a,Z?v0)

bb

【題型2由不等式的性質比較數（式）大小】

【例2】（23-24高一上.上海黃浦?階段練習）己知a,4c6R且Q>b,則下列不等式一定成立的是（）

A.-<B.a2>b2

ab

C.a|c|>b\c\D.>-^―

1111c2+ic2+i

【解答過程】根據不等式的基本性質判斷AD；舉例說明即可判斷BC.

【解答過程】A：當。>0>8時，工>:，故A錯誤；

ab

B：當。二-1溥二一2時，滿足力，但小>垓不成立，故B錯誤；

C：當c=0時,a\c\=b\c\f故C錯誤；

D：由a>瓦c2+l>0,得義故D正確.

c2+lc2+l

故選：D.

（—<a+b<-c

53

【變式2-1］（2024高一上.安徽蕪湖.專題練習）若正實數a,b,c滿足不等式組｛a<b+c<^a,則a,b,c

\2b<c+a<

的大小關系為（）

A.b<a<cB.h<c<a

C.c<b<aD.c<a<b

（11/a+b+c,7

-<----<一

Sc3

【解答過程】根據題意，化簡不等式為《2〈竺把〈”，得到半￡>>也上>竺竺￡,即可求解.

a6bca

/a+b+c/15

oJ<—：--<—

/11/a+b+cj7

—<------<-

—5<G+h<3-c5c3

Q+b+c13

【解答過程】由不等式組因為均為正實數，于是，

a<b+c<2a,a,b,cZV---a---<-6-9

/a+b+c=15

2b<c+a<—bo

413<b—：—<~4

1.ia+b+cc-7a+Z?+c1113a+b+c匚廠i、［?.

所以丁,所以b<c<a.

故選：B.

【變式2?2】（23-24高一上?四川廣安?期末）已知a>b,則下列關系中正確的是（）

A.a-c>b-cB.ac>beC.|a|>\b\D.a2>b2

【解答過程】由不等式的性質可判斷A,由特值法可判斷BCD.

【解答過程】由a>匕，則a-c>8—c,A正確：

當c=0時，ac=be,故B錯誤；

當a=-3,b=-7時，a>b,

|a|=3,\b\=7?則|a|<|b|,故C錯誤;

a2=9,b2=49,則a2Vb2,故D錯誤.

故選:A.

【變式2?3】（23-24高二下.安徽蕪湖.階段練習）下列命題中真命題是（）

A.若Q>力，則ac>beB.若a>b,c>d,則a—c>b—d

C.若Q>b,則Q-bvOD.若爰v/，則avb

【解答過程】利用不等式的性質一一判定選項即可.

【解答過程】對于A,若c=0,顯然a>b不能得出ac>be,故A錯誤；

對于B,若a=10>b=0,c=1>d=-10,Ma—c<b—d,故B錯誤:

對于C,若a>b,則Q—b>0,故C錯誤；

對于D,若專〈5則當c2=Q<}c2=b,故D正確.

故選:D.

【題型3利用作差法比較大小】

【例3】（23-24高一上.云南昆明期中）設M=2Q2+5Q+4,N=（Q+1）（Q+3）,則M與N的大小關系為

（）

A.M>NB.M=N

C.M<ND.無法確定

【解答過程】利用作差法分析判斷.

2

【解答過程】因為M-N=（2a2+5Q+4）-（a+l）（a+3）=a2+a+1=（tz++^>0,

所以M>N.

故選：A.

【變式3-1］（23-24高一上.浙江杭州?階段練習）已知0<a且——二，N一2,則M、N的

b1+a1+b1+a1+b

大小關系是（）

A.M=NB.M<NC.M>ND.不能確定

【解答過程】由作差法比較大小.

【解答過程】己知0則0<Qb<l,a>0,b>0,

b

所以，.一可=（^_￡）_（*_*）=霍+公

(l-a)(l+b)+(1+a)(l-b)2(l-ab)

>0,因此，M>N.

(l+a)(l+b)(l+a)(l+b：i

故選:C.

【變式3-2］（23-24高二下.天津南開.期末）下列不等式中成立的是（）

A.若QV匕<0,則a?+/〉。2匕+。匕2B.若a<b<0,則乙<：

ab

C.若Q>b>o,則2>空D.若Q>b>o,則。一2>匕一色

aa+2ab

【解答過程】作差結合已知條件比較大小可判斷ABCD.

【解?答過程】對于A,若aVbvO,Ma—b<0,a+b<0,

所以加+b3-a2b—ab2=a2(a-b)4-b2(b—a)

=(a2-b2)(a一b)=(a+b)(a-b)2<0,所以/+b3<a2b+a/,故A錯誤;

對于B,若a<bV0,則/?—Q>0,ab>0,

所以2■—4一咚>°，所以工〉。，故B錯誤；

ababab

對于C,若Q>b>0,則h-Q<0,Q+2>0,

所以2-空=巡竿學=￥V<0,所以2c空，故C錯誤；

aa+2a(a+2)a(a+2)aa+2

對于D,若a>b>0,則a—b>0,a+Z?>0,

所以a_g_匕+(=(a-b)+(°一?;?二(a—b)(1+鬻),0,

所以Q—2>b—[故D正確.

故選:D.

【變式3-3]（2024?浙江金華?模擬預測）設a,b,c的平均數為與b的平均數為N,N與c的平均數為P.若Q>

b>c,則（）

A.NVPB.P<M

C./V<MD.M+NV2〃

【解答過程】根據作差法比較大小，首先將要比較的M,N,P,用a,表示，后作差變形，運用a>b>c這個條件,

判斷正負即可比較出大小.

a+b

【解答過程】根據題意得,M=竺盧,N=號,P=竽=耳」=竺”

32224

對于A選項,N-P=竽a+b+2ca+b-2c■,ya>h>c,??a—c>0,b—c>0,??a+b-2c>0,??N—

44

p=a+b-2c>0,可>P.

4

a+b+ca+b+2ca+b-2c

對于B選項.M-P=

4

a+b-2c

a>b>c,a-c>0,b-c>0,a+b-2c>0,M-P=----------->0,:.M>P.

a+b+ca+b-a-b+2c

對于C選項,M-N=■，^a>b>c,c-a<0,c-b<0,2c-a-b<0,

326

N=<o,...M<N.

o

對于D選項門M>P,N>P,：.M+N>2P.

故選：B.

【題型4利用作商法比較大小】

【例4】（2024高二下.全國.專題練習）己知c>l,且x=Vc+1—高,y=y[c—y/c-1,則x,y之間的大

小關系是（）

A.B.x=y

C.x<yD.x,y的關系隨。而定

【解答過程】應用作商法比專1的大小關系即可.

【解答過程】由題設‘易知X‘戶。,又廣霖當=分<1,

.\x<y.

故選；C.

【變式4-1］（2024?山西晉城?一模）若實數m,n,p滿足m=4eM,n=5e3,p=g則（）

A.p<m<nB.p<n<mC.m<p<nD.n<p<m

【解答過程】根據作商法比較大小，即可得出結果.

【解答過程】因為實數機，n,p滿足m=4es,n=5es,p=引

3

uu卜Im4e§4-—.

所以一=—?=2,e15vl,

n5e35

Am<n；

3

C加4e52"13

又丞=可=鼠小>1，

>p：

/.p<m<n.

故選：A.

【變式4-2］（23-24高一上?北京,階段練習）設Q=V7,b=3-痘,則a>〃（填入“〉”或"V”）.

【解答過程】由a、b均大于0,可用作商法，再化簡后與1作大小比較，即可得出答案.

【解答過程】喘=2二而舞條二回答>等=1，即"L

b3—V3（3-v3）（3+v3）66b

又,:b>0,

???a>b.

故答案為：）.

【變式4-3］（2024高一.上海.專題練習）P=a2+a+i,Q=rJ,（a￡R）,則P,Q的大小關系為

Q-Q+1

【解答過程】用作商法比較RQ的大小關系，化簡即可得結果.

22

【解答過程】因為P=a?+a+1=（a+J4->0,a2-a+1=（a-4->0則Q>0

由:=（a2+Q+l）（a2-a+1）=（a2+l）2-a2=a44-a2+1>1

所以P>Q

故答案為：>.

【題型5作差法比較代數式的大小的應用】

【例5】（23-24高一?全國?隨堂練習）某糧食收購站分兩個等級收購小麥.一級小麥a元/kg,二級小麥8元

/kg（b<a）.現有一級小麥〃?kg,二級小麥〃kg,若以兩種價格的平均數收購，是否合理，為什么？

【解答過程】列式表示分等級收購和以兩種價格的平均數收購的收購總額，再作差比較即可得解.

【解答過程】依題意，b<a,分等級收購的收購總額吻=am+/m,

以兩種價格的平均數收購的收購總額W2=手（血+幾）,

由%—iv2=am+bn+n)=1(a—b)(m—n),顯然a—b>0,

f

當n<n時，<w2?當m>n時，ivx>w2?當?n=n時，Wi=iv2

所以當mHn時，卬1工卬2，收購不合理；當m=n時，=w2,收購合理.

【變式5-11（23-24高三上?安徽亳州?期中）已知b克糖水中含有Q克糖（匕>a>0）,再添加m克糖（m>0）（假

設全部溶解），糖水變甜了.

（1）請將這一事實表示為一個不等式，并證明這個不等式成立;

（2）在銳角△AB。中，根據（1）中的結論，證明：

o+CC+71A"￥B

【解答過程】（1）用作差比較法即可;

（2）結合（1）的結論即可證明.

【解答過程】⑴若b>Q>—。，則K翳

a+ma(b+7n)-b(a+zn)zn(a-fe)

證明：

Ub+mb(b+m)b(b+m)'

因為b>a,所以ai<。，又力故器亮<。，

因此三氏?

(2)在銳角三角形中AVB+C,A>0,由(1)得忌〈黑7=

o+CA-TD+C/1+D+C

同rzq理-rjn--B-<--8-+-8--=---2B---

C+A/1+8+CA+8+C

A+BA+B+CA+B+C

以上式子相加得<2.

8+CC+AA+8

【變式5-2］（23-24高一?全國?課后作業）某學校組織老師去某地參觀學習，需包車前往.甲車隊說：“如領

隊買全票一張，其余人可享受7.5折優惠.”乙車隊說：“你們屬皮體票按原價的8折優惠.”這兩車隊的原價、

車型都是一樣的.試根據去的老師人數，比較兩車隊的收費哪家更優惠.

【解答過程】設該學校組織去學習的老師有71人（n€/V+）,全票價為％元，坐甲車隊的車需花加元，坐乙

車隊的車需花丫2元，根據兩個車隊的政策，分別求出坐甲車所需費用月元和坐乙車所需費用加元，再對力和加

作差，并且判斷作差的結果的符號，可得出結論.

【解答過程】設該學校組織去學習的老師有九人（Z16N+）,全票價為％元，坐甲車隊的車需花yi元，坐乙

車隊的車需花y2元，

則％=x+^x（n-1）=：%+:第九，y2=^xn,

所以為—%="+'"）幾=3一如八=3（1一胃

當九=5時，yx=y2i

當rt>5時，％<y2;

當0<n<5時，力>y2.

所以當去的老師人數為5時，兩車隊收費相同；當去的老師人數多于5時，選甲車隊更優惠：當去的老師

人數少于5時，選乙車隊更優惠.

故得解.

【變式5-3］（23-24高一?全國?隨堂練習）甲、乙兩人同時從A地出發沿同一路線走到8地，所用時間分別

為As,12s.甲有一半的時間以，〃m/s的速度行走，另一半的時間以〃m/s的速度行走；乙有一半的路程以

mm/s的速度行走，另一半的路程以〃m/s的速度行走，且mH上

（1）請用含〃?，〃的代數式表示甲、乙兩人所用的時間Q和J；

（2）比較0與J的大小，并判斷甲、乙兩人誰先到達B地.

【解答過程】（1）分別根據兩人的運動情況表述出所需時間；

⑵利用作差法比較大小即可得到結論.

【解答過程】（1）設A地到8地的路程為sm,

因為甲有一?半的時間以機m/s的速度行走，另一半的時間以〃m/s的速度行走，

所以/xm+/x-s,所以一含

因為乙有一半的路程以mm/s的速度行走，另一半的路程以nm/s的速度行走,

所以七=芝+芝=復乙+工）=竽2

,八.42ss(m+n)s[47nn-(7n+n)2]

\Z)ti—to=-m-+-n----2--m-n-=---2-m-n(;-m-+-n：)—

s(m2+2mn+n2—4?nn)s(?n-ri)2

=-------------------------=-------------

2mn(m+n)2mn(m+n)9

因為mHn,所以(TH-n)2>0,因為s>0,mn>0,m+n>0,

s(m-n)2v0

所以???

2mn(m+n)'

所以SV七，所以甲先到達8地.

【知識點3等式性質與不等式性質】

1.等式的基本性質

性質1如果a=b,那么b=a；

性質2如果a=b,b=c,那么a=c

性質3如果那么a±c=b±c\

性質4如果a=〃,那么ac=bc\

性質5如果a—bi存0,那么

2.不等式的性質

(1)如果a>b,那么b<a\如果b<a,那么a>b.B|Ja>b<^h<a.

(2)如果a>b,b>cf那么a>c.即a>h,b>c=>a>c.

(3)如果a>b,那么a-\-c>b+c.

(4)如果4>Z?,c>0?那么ac>bc；如果G>〃，c<0,那么acv〃c.

(5)如果c>d,那么a+cM+d.

(6)如果。>〃>0,c>(t>0,那么

(7)如果”>/?0,那么(〃三N,n>2).

【方法技巧與總結】

1.應用不等式的基本性質，不能忽視其性質成立的條件，特別提醒的是在解決有關不等式的判斷題時,

有時可用特殊值驗證法，以提高解題的效率.

【題型6利用不等式的性質判斷正誤】

【例6】（23-24高二下?安徽合肥?期末）對于實數a,b,c,d,下列說法正確的是（）

A.若a>b,則」7>~

a-ba

B.若aVb,cVd,則ac>bd

C.若方>則

Q>C>0,a-ca-b

D.若則a+2>b+：

ab

【解答過程】對于A,B,C選項只需要用特殊值法，找出反例即可判斷正誤。D選項需要利用對鉤函數丫=

x+1,利用函數單調性即可判斷正誤。

X

【解答過程】對于選項A,若。=1/=一1時，」7<乙，則A錯誤.

a-ba

對于選項B,若。<b,c<d,當a=-1,8=l,c=2,d=3,則ac<bd,則B錯誤.

對于選項C,若取。=3/=2?=1,則」—二1=二，故錯誤.

對于選項D,因為函數y=x+：在（1,+8）上單調遞增，故D正確.

故選：D.

【變式6-1]（23-24高二下?廣西玉林?期末）下列說法中，正確的是（）

A.若Q>b>0,c<d<0,則一定有:

B.若Q>b,貝壯<1

ab

C.若b>Q,m>0,則b+mb

D.若ac?>be2,則Q>b

【解答過程】若Q=2,b=l,c=-2,d=-l,可判斷A；由已知可得L>0>3判斷B；作差法比較

ab

大小判斷C；由不等式性可得a>b,判斷D.

【解答過程】對于A,若Q=2,b=l,c=-2,d=—l,則/=，故A錯誤.

對于B,若a>0>b,OllJa->0>7b,故B錯誤.

對干C_7>g_a）

'b+mbb（b+m）'

若0>b>a,m>0,b+m>0,則腺曰<0，即產<￡所以C錯誤.

b（b+m）b+mb

對于D,由m2>加2,可知。2工0,即C?>0,所以Q>8,故D正確.

故選:D.

【變式6-2]（23-24高一上.廣東深圳.期末）已知a,b,c￡R,a>b,則下列一定成立的是（）

2

A.-a<7bB.ab>b

C.D.a（c2+1）>b（c2+1）

【解答過程】根據不等式的性質逐項判斷即可結論.

【解答過程】對于A,當。=1/=一2,則工>：,故A不正確；

ab

對于B,當h=0時，由Q>b可得Qb=〃=0,故B不正確；

對于C,當a=2,匕=l,c=0時，—a+c=-a>故C不正確；

對干D,因為c2+l>0恒成立，所以由Q>b可得。（。2+1）>以。2+1）,故D正確.

故選：D.

【變式6-3]（23-24高一上?河南駐馬店?期末）下列命題為真命題的是（）

A.若Q>b>0,則ac?>be?B.若a>b>c>0,則&>比

aQ+C

C.若a>b,c>d,則Q-c>b-dD.若無,y均為實數，則%?+y222(X+y-1)

【解答過程】利用特殊值判斷A、C,利用作差法判斷B、D.

【解答過程】對于A：當c=0時T=肩=o,故A錯誤；

對于B：因為Q>b>c>0,所以2—"￡=以竺警警=陰<(),

a以+cQ(Q+C)a(a+c)

所以2c生，故B錯誤；

aa+c

對于C：當Q=3,b=2,c=1,d=0時滿足Q>匕，c>d,但是Q—c=8—d=2,故C錯誤

對干D：因為/+y2-2(x4-y-1)=x24-y2—2%-2y+2=(%—l)24-(y—l)2>0,

所以/+y222(x+y-1),當％=y=l時取等號，故D正確.

故選:D.

【題型7利用不等式的性質證明不等式】

【例7】(23-24高一上,河北保定,階段練習)設仇ceR,a+b+c=0,abc=1.

(1)證明:ab+be+ca<0；

3

(2)若Q>b,證明M>b.

【解答過程】(1)先根據Q+匕+C=0表示出Qb+bc+CQ,結合小+爐+。2的符號可證結論；

(2)利用作差比較法得。3-b3=(a-b^a2+Qb+b2)>0,進而可證結論.

【解答過程】(1)證明:?；(a+b+c)2=M+標++2ab+2ac+2bc=0,

/.ub+be+ca=—1(a2+b2+c2).

a,h,c不同時為0,則Q2+/J2+C2>O,.，.ab+兒+ca=—/小+52+。2)vo；

(2)a3—b3=(a-b)(a2+ab+b2).

2

,.?小+Q/J+Z>2=(a++^b>0,取等號的條件為a=匕=0,

而a>b,?,?等號無法取得，即a?+時+52=(Q+^匕)4->0?

又a>b,/.a3—b3=(a—b)(a2+ah+b2)>0,/.a3>b3.

【變式7-1](24-25高一上?上海,課堂例題)(1)已知a>b>0,c<dv0,求證：—a-c<b-d

(2)已知左-adNO,M>0,求證：呼工誓.

【解答過程】(1)利用不等式性質4,5得出Q-c>b-d>0,再取倒數，再利用性質6即可證明:

(2)對不等式進行等價變形，利用分析法的思路來轉化證明不等式.

【解答過程】證明：（1）因為c<dV0,所以一c>-d>0.

又a>b>0.所以a-c>b-d>0,所以ov三〈匕.

又因為0<b<a,

所以言〈言

(2)因為bd>0,要證-W等，只需證明d(a+b)Wb(c+d),

展開得Qd+bd<be+bd,

即ad<be,be—ad>0

因為be-ad>0成立,

所以一工誓成立.

【變式7-2］（23-24高一上?陜西愉林?期中）證明下列不等式:

（1）已知a>b>c>d,求證：六〈士;

(2)已知a>b>0,c<d<0,e<0,求證：—>

a-cb-a

【解答過程】（1）依題意可得。-4>8-。>0,再根據不等式的性質證明；

（2）利用作差法證明即可.

【解答過程】(1),?a>h>c>d,即Q>b,—c,

a-d>b-c>0,則/〈言.

(2)a>b>0,c<d<0,e<

???-c>-cl>0,

,-a-c>b-d>0,b-a<0,c-d<0,

eee(b-d)-e(a-c)e(b-d-a+c)e(b-a+c-d)-

M---------=-------------=-----------=----------->u，

a-cb-d(a-c)(b-d)(a-c)(b-d)(a-c)(b-d)

ee

a-c>b-d9

【變式7-3］（23-24高一下?安徽,階段練習）⑴設b>a>。，?。，證明：汴黑,

(2)設義>0,y>0,z>0,證明：1<旦+工+'-<2.

x+yy+zz+x

【解答過程】（1）根據作差法證明即可;

（2）由于京？故1<京+黑+5?再結合⑴的結論易證m+圣+W<2?

【解答過程】證明：（1）因為b>a>0,TH