2026年高考數(shù)學搶分專練：排列組合（10大熱點題型）（學生版+解析）

專題20排列組合

ONE，

題型考情分析考向預測

1.排列數(shù)與組合數(shù)2024年新高考卷2：14題考查了1.有限制條件的排列

是高頻熱點

全排列問題

近5年多次考查

2024年全國甲卷：4題考查了有限

“有限制條件的排列

2.人坐座位模型1：相鄰捆綁與不相鄰插空

制條件的排列問題問題”，題目常通過

3.人坐座位模型2：染色（平面、空間）2023年新高考卷I：13題考察查“相鄰/不相鄰”

“特殊元素優(yōu)先”

4.分配問題：球不同，盒不同加法計數(shù)原理和組合計數(shù)

“位置限制”等經(jīng)典

5.分配問題：球同，盒不同2023年新高考卷I：3題考察查組

模型設置，側(cè)重邏輯

6.書架插書模型合計數(shù)推理和分類討論思想

7.代替元法：最短路徑2023年全國甲卷：9題考查了排列的應用。

2,.組合問題則多與實

8.代替元法：空車位停車等數(shù)的計算

際場景結(jié)合（如分配

9.數(shù)列思想：上樓梯等2023年全國乙卷：7排列組合綜合

問題、選組問題），

10.環(huán)排問題：直排策略問題強調(diào)對“無序性”

2022年新高考卷I：5題考察查實本質(zhì)的理解。

際問題中排列組合計數(shù)

TWOI幽顏2押

A題型1排列組合數(shù)

01搶分攻略

排列數(shù)、組合數(shù)的定義、公式、性質(zhì)

排列數(shù)組合數(shù)

定從〃個不同元素中取出m,從n個不同元素中取出/〃（〃日n,創(chuàng)〃￡N"）

義個元素的所有不同排列的個數(shù)個元素的所有不同組合的個數(shù)

A：=/?(/?—1)(/?—2)???(〃-〃/+1)=c〃,=里

公

n\

式(加一1)(〃一9)?〃一/〃+

(n-ni)l

性

A：=n!,0!=1C：=l，c：=c；"，禺-1

質(zhì)

正確理解組合數(shù)的性質(zhì)

（1）瑪=:從〃個不同元素中取出小個元素的方法數(shù)等于取出剩余〃一0個元索的方法數(shù).

（2）C：+C：7=C：z從〃+1個不同元素中取出/〃個元素可分以下兩種情況：①不含特殊元素力有C：

種方法；②含特殊元素A有C丁種方法.

0硼題預測

［例1］組合數(shù)C：5>/?.」,〃、rwZ）恒等于（）

A.二墨二：B.（/?+D（r+DC；：；C.nrC^D.-C；Z；

〃+1r

【變式IT】（2025?遼寧沈陽?模擬預測）（多選）若，〃，，為正整數(shù)且〃>〃>1,則（）

A.C+C：++C：=2"B.—C丁

C.〃心；=(〃-1),二：D.A：十，〃A；i=AN

?題型2人坐座位模型1：相鄰捆綁與不相鄰插空

01搶分攻略

八個不同元素排列成二排,其中某1個元素排在相鄰位置上,有多少種不同排法?

先將這&個元素“捆綁在一起“，看成一個整體,當作一個元素同其他元素一起排列,共有A：制種排法;再將

“捆綁”在一起的元素進行內(nèi)部排列，共有4種方法.由分步乘法計數(shù)原理得符合條件的排列共有

MY；龍:種

將〃個不同元素排成一排,其中k個元素互不相鄰（ZW〃—&+1）,有多少種排法？

先把5一6個元素排成一排，共有力;；種排法，然后把上個元素插入（〃一"+D個空隙中，共有A，3：+i種排

法.由分步乘法計數(shù)原理得符合條件的排列共有種

02押題預測

【例2】（2025?浙江臺州?一模）甲、乙、丙、丁、戊、己共6人站成一排，若甲、乙兩人相鄰，而乙、丙兩

人不相鄰，則不同的排法種數(shù)共有.（用數(shù)字作答）

【變式2-1］（25-26高三上?江西景德鎮(zhèn)-期末）某中學《十年弦歌育桃李?黨恩師澤啟新程》文藝演

出于2025年12月31口在學校演藝大廳開幕，開幕式文藝表演共由6個節(jié)目組成，若考慮整體效果，要

求：節(jié)日《新年!你好》、《覺醒年代》、《精武門》必須相鄰，則開幕式文藝表演演出順序的編排方案共

有（）

A.144種B.156種C.188種D.240種

【變式2-2］（多選）2名男生，3名女生，這5個人站成一排，下列選項正確的是（）

A.男、女各站在一起，共有24種排法

B.男生不能排在一起，共有54種排法

C.男生必須排在一起，共有48種排法

D.男生互不相鄰，且女生也互不相鄰，共有12種排法

I?題型3人坐座位模型2:染色（平面、空間）

01搶分攻略

染色問題，要從“顏色用了幾和”，“地圖看沒有公用區(qū)域”方向考慮:

1.用了幾種顏色。如果顏色沒有全部用完，就要有選色的步驟

2.盡量先從公共相鄰區(qū)域開始。所以要觀察“地圖”是否口J以“拓撲”轉(zhuǎn)化

匕如，以下這倆圖，就是“拓撲”一致的結(jié)構(gòu)

陽陰題預測

【例3】一個長方形，被分為A、4、C、。、七五個區(qū)域，現(xiàn)對其進行涂色，有紅、黃、藍、綠四種顏

色可用，要求相鄰兩區(qū)域涂色不相同，則不同的涂色方法有種.

B

A

D\/E

【變式3T】對如下編號為1,2,3,4的格子涂色，有紅，黑，白，灰四種顏色可供選擇，要求相鄰格

子不同色，則在1號格子涂灰色的條件下，4號格子也涂灰色的概率是（）

4

23

1

2

D.4

【變式3-2]現(xiàn)要對三棱柱A8C-AMG的6個頂點進行涂色，有4種顏色可供選擇，要求同一條棱的兩

個頂點顏色不一樣，則不同的涂色方案有（）

A.264種B.216種C.192種D.144種

A題型4分配問題：球不同，盒不同

01搶分攻略

基本規(guī)律

球不同，盒子不同（主要的）

方法技巧：無限制，指數(shù)寤形式，盒子球，有限制“先分組再排列”分類討論

球不同、盒不同核心川分步乘法計數(shù)原理，逐個球安排。無限制時，n個不同球放入m個不同盒，共，〃〃種

放法。有限制則分步處理：每球獨立選盒，注意“每盒至少1球”先分組再分配，均勻分組需除序消重；特

殊盒優(yōu)先放指定球，再排剩余球。關(guān)鍵抓住“球有序、盒有序”，分步不重復、不遺漏即可。

【例4】將5個不同的小球放入3個不同的盒子，每個盒子至少1個球，至多2個球，則不同的放法種數(shù)

有（）

A.30種B.90種C.180種D.270種

【變式4-1]（2026-四川瀘州?模擬預測）現(xiàn)將1個紅球、1個黃球、1個綠球及3個白球（白球之間

沒有區(qū)別）放入3個不同的盒子中，每個盒子放入2個球，則不同的放法種數(shù)為（）

A.15B.90C.24D.36

【變式4-2］（2026?福建二模）為了應對新能源產(chǎn)業(yè)爆發(fā)式增長帶來的挑戰(zhàn)，某研究所設立了資源組、

電芯組、基建組三個攻關(guān)小組.現(xiàn)安排甲、乙等5名工作人員到這三個小組協(xié)助工作，且每個小組至少

安排一人，每人只能去一個小組，同時，要求安排到電芯組的人數(shù)比資源組的人數(shù)多，甲、乙兩人不能

被安排到資源組，則不同的安排方案種數(shù)是_________.（用數(shù)字作答）

A題型5分配問題：球同，盒不同

01搶分攻略

基礎模型：〃個相同元素分給女個不同對象，每個對象至少1個元素，方法數(shù)為《二；.

變形模型：若允許對象為空，先給每個對象補1個元素轉(zhuǎn)化為“至少1個”的基礎模型，方法數(shù)為

技巧要點：確保元素相同、對象不同，轉(zhuǎn)化為隔板模型時需驗證邊界條件（如“至少1個”或“允許為空”）.

02押題預測

【例5】（25-26高二上?遼寧?期末）將5個完全相同的小球全部放入編號為1,2,3,4的4個小

盒，恰好有1個空盒的不同放法有種.

【變式5-1］15個相同的小球放入編號為1,2,3的盒子內(nèi)，盒子內(nèi)的小球數(shù)不小于編號數(shù)，則不同的

放法有種.

【變式5-2］方程X+y+z+w=16共有組正整數(shù)解，共有組非負整數(shù)解.

A題型6書架插書模型

01搶分攻略

書架插書法：（1）書架上原有書的順序不變；（2）新書要二本二本插:

也可以把有順序得“書”最后放，先放沒順序得，但是得從“總座位”中選（百分比法）

“書架插書”模型

書架插書法：

（1）、書架上原有書的順序不變；

（2）、新書要一本一本插；

（3）、也可以把有順序的“書”最后放，先放沒順序得，但是得從“總座位”中選（百分比法）

【例6】書架上某一層有5本不同的書，新買了3本不同的書插進去，要保持原來5本書的順序不變，則不同

的插法種數(shù)為（）.

A.60B.120C.336D.504

【答案】C

【變式6-1］（2024-云南?二模）某學校組織學生到敬老院慰問演出，原先準備的節(jié)目單上共有5個節(jié)

目（3個歌唱節(jié)目和2個舞蹈節(jié)目）.根據(jù)實際需要，決定將原先準備的節(jié)目單上的5個節(jié)目的相對順序保

持不變，再在節(jié)目單上插入2個朗誦節(jié)目，并且朗誦節(jié)目在節(jié)目單上既不排第一，也不排最后，則不同

的插入方法一共有（）

A.18種B.20種C.3（）種【）.34種

【變式6-2］從兒B,C,/）,a,b,c,d中任選5個字母排成一徘，要求按字母先后順序排列（即按

&a）,3S）,C（c）,OS）先后順序，但大小寫可以交換位置，如4/氏或必比都可以），這樣的情況有

一種.（用數(shù)字作答）

A”題型7代替元法：最短路徑

01搶分攻略

代替無法核心是等價轉(zhuǎn)化，將復雜元素替換為簡單模型，把陌生問題化為常規(guī)排列組合。遇到相同元索、重

復限制時，用“虛擬元”替代重復部分，消序去重；多類元素混雜時，統(tǒng)一轉(zhuǎn)化為選位模型，簡化分類討論。

最短路徑問題本質(zhì)是組合選位，橫向、縱向步數(shù)固定，只需確定行走順序。總步數(shù)中選取橫向（或縱向）的

步數(shù)位置，用組合數(shù)Cf直接L算，無需窮舉。解題關(guān)鍵是先算總步數(shù)與兩類步數(shù)差，再用組合公式求解,

避免重復或遺漏。

02押題預測

［例7］2025年高考結(jié)束后小明與小華兩位同學計劃去老年公寓參加志愿者活動.小明在如圖的街道E

處，小華在如圖的街道尸處，老年公寓位于如圖的G處，則下列說法正確的個數(shù)是（）

1___IL_□3JL21

1___|[_ZUU

?\E__?1反_JUU

A.小華到老年公寓選擇的最短路徑條數(shù)為4條

B.小明到老年公寓選擇的最短路徑條數(shù)為35條

C.若圖中〃處修路不通，則小明到老年公寓選擇的最短路徑條數(shù)為15條

I）.若小明要去圖中〃處取參加活動的必需物資，則小明到老年公寓選擇的最短路徑條數(shù)為25條

【變式7-1］（多選）如圖，正方形網(wǎng)格棋盤，其中A,4,A,A位于棋盤上一條對角線的4個交匯

處.在棋盤MN處的甲、乙兩個質(zhì)點分別要到A；V處，它們分別隨機地選擇一條沿網(wǎng)格實線走的最短

路徑，以相同的速度同時出發(fā)，直到到達此材處為止，則下列說法正確的有（）

A.甲從.“到達"處的走法種數(shù)為20

B.甲從〃必須經(jīng)過4到達「V處的走法種數(shù)為9

C.甲、乙能在4處相遇的走法種數(shù)為36

D.甲、乙能相遇的走法種數(shù)為164

【變式7-2】(山東省泰安市2024-2025學年高三下學期二輪檢測)在平面直角坐標系中，定義

力3t，%)13/2)兩點之間的折線距離為8)=|^-%2|+1%-yzl如圖，某地有一矩形古文化街

區(qū)，其內(nèi)部道路間距均為1,則下列選項正確的是()

A.d(4B)=5

B.若C為平面內(nèi)任意一點，則d(A,8)Wd(內(nèi)C)+d(B,C)

C.當?shù)卣當M沿滿足d(P,用+d(P,B)=9的點P的物跡修建一條街區(qū)環(huán)線公路，則公路形狀為六邊

形

D.外賣員從4點送餐到8點，在保證路程與d(4,8)相等的前提下，左轉(zhuǎn)次數(shù)X的期望為1.2

A題型8代替元法：空車位停車等

01搶分攻略

空座位型，

1.單獨空座位，可以看成相同元素無排列，字母化法處理

2.如果2個或者3個或者更多空座位相連型，與單獨空座位則屬于不同元素

3.空座位，屬于相同元素，則符合“直選不排”原理

【例8】一條長椅上有6個座位，3個人坐.要求3個空位中恰有2個空位相鄰，則坐法的種數(shù)為

()

A.36B.48C.72D.96

【變式8-1】某公共汽車站有6個候車位排成一排，甲、乙、丙三個乘客在該汽車站等候228路公交車的到

來，由于市內(nèi)堵車，228路公交車一直沒到站，三人決定在座位上候車，旦每人只能坐一個位置，則恰好有2

個連續(xù)空座位的候車方式的種數(shù)是

A.48B.54C.72D.84

【變式8-2】馬路上有編號為1,2,3,4,5,6,7,8,9的9盞路燈，為節(jié)約用電，可以把其中的三盞路燈

關(guān)掉，但不能同時關(guān)掉相鄰的兩盞或三盞，也不能關(guān)掉兩端的路燈，滿足條件的關(guān)燈辦法有種

A題型9數(shù)列思想：上樓梯等

01搶分攻略

“上臺階”模型，也可以如一“走路口”模型一樣，轉(zhuǎn)化為“數(shù)字訕法”，一步；級臺階，可以記為數(shù)字n,

一步一階設為數(shù)字1,一步兩階設為數(shù)字2,一步n階，記為數(shù)字n,則把嗎、

階臺階，變?yōu)閿?shù)字“和”形式。

然后總臺階可以借助“不定方程”計算。

【例9】有一道樓梯共10階，小王同學要登上這道樓梯，登樓梯時每步隨機選擇一步一階或一步兩階，小王

同學7步登完樓梯的概率為__________.

【變式9-1】斐波那契數(shù)列，乂稱黃金分割數(shù)列.因數(shù)學家列昂納多?斐波那契以兔子繁殖為例子而引入，故

又稱為“兔子數(shù)列”，指的是這樣一個數(shù)列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、…在數(shù)學上，斐波那契數(shù)

列以如下被遞推的方法定義：=/（2）=1,"〃）=〃，I）+/（，L2）（〃22,〃eN）這種遞推方法適

合研究生活中很多問題.比如：一六八中學食堂一樓到二樓有15個臺階，某同學一步可以跨一個或者兩個臺

階，則他到二樓就餐有（）種上樓方法.

A.377R.610C.987D.1597

【變式9-2】某人要經(jīng)過一段有：4級臺階的樓梯，他每次邁步時都是一步邁兩級或三級臺階，那么他的

走法有種.

A題型10環(huán)排問題：直排策略

01搶分攻略

在圓排列數(shù)中：

（1）n個元素圍成一圈其圓排列數(shù)為（/?-1）!

A,n

（2）在〃個元素中，每次取出的個不同的元素進行圓排列，圓排列數(shù)為

m

（3）當從〃個相異的元素中，每次取出〃z顆串成一個圓環(huán)，因其正反相對的兩個圓排列在串成一個圓環(huán)時

Am

完全相同，故圓環(huán)數(shù)為2〃？.對于較復雜的問題，可適當采住分步排人、捆綁及利用種數(shù)公式處理

【例10】現(xiàn)有8個人圍成一圈玩游戲，其中甲、乙、丙三人不全相鄰的排法種數(shù)為（）

A.A〉A；B.A：-A/A；C.A〉A；D.A；-A；-A；

【變式10-1】5個女孩與6個男孩圍成一圈，任意2個女孩中間至少站1個男孩，則不同排法有一

種（填數(shù)字）.

【變式10-2】/I,B,C,D,E,尸六人圍坐在一張圓桌周圍開會，4是會議的中心發(fā)言人，必須坐最北面

的椅子，B,C二人必須坐相鄰的兩把椅子，其余三人坐剩余的三把椅子，則不同的座次有

（）

A.60種B.48種C.30種D.24種

THREE\幽顏3通關(guān)特訓

1.（2026?黑龍江一模）黑龍江省實驗中學科技節(jié)活動，將4位學生志愿者分配到創(chuàng)客中心、校園電視

臺、體育館三個地點參加志愿活動，若每個地點至少需要1名學生，每位志愿者僅去一個地點，則不同

的分配方法種數(shù)為（）

A.81B.72C.36D.12

2.（2026?四川瀘州一模）要安排4名學生到2個鄉(xiāng)村做志愿者，每名學生只能選擇去一個村，每個村

里至少有一名志愿者，則不同的安排方法共有（）

A.12B.14C.16D.20

3.（2026?安徽淮南一模）2025年12月11日淮南市科技館正式開館，淮南市某中學有甲、乙、丙、丁

等7位學生約好2026年1月1日去科技館志愿服務.現(xiàn)將7位學生隨機分為3組，每組至少一人，則甲

乙同組且丙丁同組的概率為（）

2523_22-27

A.----B.-----C.-----D.-----

301497301497

4.（2026?四川成都一模）某種產(chǎn)品的加工需要經(jīng)過5道不同工序，如果指定其中某2道工序必須相

鄰，那么加工順序共有（）

A.96種B.72種C.48種D.36種

5.（2026?廣東汕頭一模）一個質(zhì)點在隨機外力的作用下，從數(shù)軸的原點出發(fā)，每隔1s等可能地沿數(shù)

軸的正方向或負方向移動一個單位，共移動7次，則質(zhì)點最可能移動到的位置的坐標為（）

A.7或一5B.5或一3C.3或一3D.1或一1

6.（2026*安徽安慶一模）將1,1,2,2,3,3六張數(shù)字牌按順序進行排列，具中相同的數(shù)字牌不相

鄰的排法總數(shù)為（）

A.12B.30C.60D.90

二、填空題

7.（2025?福建廈門二模）在五一小長假期間，要從5人中選若干人在3天假期值班（每天只需1人值

班），不出現(xiàn)同一人連續(xù)值班2天，則可能的安排方法有種.

8.（2026?福建一模）為了應疝新能源產(chǎn)業(yè)爆發(fā)式增長帶來的挑戰(zhàn)，某研究所設立了資源組、電芯組、

基建組三個攻關(guān)小組.現(xiàn)安排甲、乙等5名工作人員到這三個小組協(xié)助工作，且每個小組至少安排一

人，每人只能去一個小組，同時，要求安排到電芯組的人數(shù)比資源組的人數(shù)多，甲、乙兩人不能被安排

到資源組，則不同的安排方窠種數(shù)是.（用數(shù)字作答）

9.（2026?山東淄博月考）西部某縣委將7位大學生志愿者（4男3女）分成兩組，分配到兩所小學支

教，若要求女生不能單獨成組，且每組最多5人，則不同的分配方案共有種.

10.（2025?浙江一模）對7個相鄰的格進行染色，每個格均可從紅、綠、黃三種顏色中選一種，則沒

有相鄰紅格的概率為.

11.（2025?福建漳州模擬）在平面直角坐標系xOy中，橫坐標與縱坐標都是整數(shù)的點叫做整點，從整

點（x,y）到整點（x+Ly+l）或（x+Ly-l）的有向線段叫做一個丁步，從整點人到整點8的一條7路是指由

若干個r步組成的起點為A、終點為4的有向折線.則整點M（L2）到整點N（7,4）的7步的條數(shù)為.

（結(jié)果用數(shù)字表示）

12.甲、乙、丙3人站到共有7級的臺階上，若每級臺階最多站2人，同一級臺階上的人不區(qū)分站的位

置，則不同的站法種數(shù)是________.（用數(shù)字作答）

13.（2026?四川巴中一模）一個火車站有8股道，如果每股道只能停放1列火車，現(xiàn)要停放4列不

同的火車，每兩列火車不能停在相鄰股道，則不同的停放方法共有種.

14.（2026?浙江杭州二模）一個邊長為5的正方形被分割成四個不同的小矩形（如圖），現(xiàn)用紅藍兩

種顏色對小矩形的邊進行染色.若要使每個小矩形均有2條紅色邊和2條藍色邊，則不同染色的方法數(shù)為

15.（2026?湖南湘潭二模）將數(shù)字1,2,3,4,5,6,7,8,9填入一個3x3的方格中，每個格子填

1個數(shù)字，且不重及，要求第一行數(shù)字滿足為<q2<63,第三行數(shù)字滿足與<。32<&3,第三列數(shù)字滿

足％則符合要求的填數(shù)方法共有種.（用數(shù)字作答）

%《243

的%

。32。33

16.（2026?黑龍江哈爾濱一模）下圖是由七個圓和八條線段構(gòu)成的圖形（該圖形不能旋轉(zhuǎn)和翻轉(zhuǎn)），

其中由同一條線段連通的兩個圓稱作“相鄰的圓”.若將1,2,3,4,5,6,7這七個數(shù)字分別填入這七個

圓中，且滿足帶有陰影的圓中的數(shù)字大于其所有相鄰的圓中的數(shù)字，則符合要求的填法共有

種.

三、解答題

17.（2026?廣東一模）甲社區(qū)有〃個女生和〃個男生，且每個女生都認識所有男生；乙社區(qū)有〃個女生

…，胤和2〃一1個男生仇也，…也…其中女生g,（i=L2,認識男生々0=1221）,但不認

識其他男生.現(xiàn)從甲社區(qū)和乙社區(qū)分別選出〃2,，力隊選手參加社區(qū)比賽，每隊選手均為2人.

⑴若〃=3,〃?=1,求所有參賽隊伍的參賽選手性別相同的概率；

（2）若要求每隊選手必須是男、女組隊，且女生認識男生，分別記甲社區(qū)和乙社區(qū)選出的〃?隊的不同的選

法種數(shù)為4（，〃）和紇（小）.

（0）求4（"。，并證明:當24〃區(qū)”一1時，4（〃。=4_|（〃?）+（2〃-〃。41（6-1）遞推公式，并說明理

由；

（田）若乙社區(qū)將選出的“個男生和，"個女生按男、女搭配隨機組隊，求組隊結(jié)果滿足參賽要求的概率.

專題20排列組合

ONEI

題型考情分析考向預測

1.排列數(shù)與組合數(shù)2024年新高考卷2：14題考杳了1.有限制條件的排列

是高頻熱點

全排列問題

近5年多次考查

2024年全國甲卷：4題考查了有限

“有限制條件的排列

2.人坐座位模型1：相鄰捆綁與不相鄰插空

制條件的排列問題問題”，題目常通過

3.人坐座位模型2：染色（平面、空間）2023年新高考卷【：13題考察查“相鄰/不相鄰”

“特殊元素優(yōu)先”

4.分配問題：球不同，盒不同加法計數(shù)原理和組合計數(shù)

“位置限制”等經(jīng)典

5,分配問題：球同，盒不同2023年新高考卷I：3題考察查組

模型設置，側(cè)重邏輯

6.書架插書模型合計數(shù)推理和分類討論思想

7.代替元法：最短路徑2023年全國甲卷：9題考查了排列的應用。

2,.組合問題則多與實

8.代替元法：空車位停車等數(shù)的計算

際場景結(jié)合（如分配

9.數(shù)列思想：上樓梯等2023年全國乙卷：7排列組合綜合

問題、選組問題），

10.環(huán)排問題：直排策略問題強調(diào)對“尢序性”

2022年新高考卷I：5題考察查實本質(zhì)的理解。

際問題中排列組合計數(shù)

TWOt腋顏2押

?題型1排列組合數(shù)

01搶分攻略

拌列數(shù)、組合數(shù)的定義、公式、性質(zhì)

排列數(shù)組合數(shù)

定從〃個不同元素中取出m3位〃，m,nGN*）從八個不同元素中取出/〃（后〃，m,M）

義個元素的所有不同排列的個數(shù)個元素的所有不同組合的個數(shù)

A；=7?(7?—1)(/?—2)???(7?-7774-1)=

公"A"'

n\

式_l)(n-1J)?n-tn+

5m)l

性

A；=〃！，0!=1

%_1，%=%，%十cn=cn+l

質(zhì)

正確理解組合數(shù)的性質(zhì)

（1）c：=:從〃個不同元素中取出加個元素的方法數(shù)等于取出剩余〃一m個元素的方法數(shù).

（2）C；：十從〃十1個不同元素中取出勿個元素可分以下兩種情況：①不含特殊元素1有。：

種方法；②含特殊元素A有c;-'種方法.

建押題預測

【例1】組合數(shù)>/■.」,〃、rwZ）恒等于（）

A.B.（Z7+1）（/-+DC；：；C.”CtD.-c；：；

【答案】D

.、士試八加_〃_〃C-I

,rr_-

［詳解］由G——r（77--一（RTT；~~G?-i.

【變式IT】（2025?遼寧沈陽?模擬預測）（多選）若川，〃為正整數(shù)且〃>〃A1,則（）

A.C+C；++C：=2"B.C：=c;;：—cT

C.〃d）C：：D.A：+mAr'=A；+1

【答案】BD

【詳解】對A：2"=（1+1）”=0《++C：,又C：=l,故A錯誤；

（〃）！

（，〃+1）!（〃-，〃）！（Z7?+!）!（/?-/??-1）!

(〃+1-八+〃2)(〃)!

[/2+1)〃？!(〃一〃？)!(w+(〃？+1)〃？!(〃一，〃)!!(/?—w)!"

故B正確;

（77-1）!〃7（〃-1）!/?/（//-1）!

對C：C：；'

（;H-1）!（;?-W7）!〃7（/〃一1）!（〃一，〃）！/?!（/?-/n）!

‘?二“，扁，〃（〃扁）！’即仁工（〃一心，故C錯誤,

A，"A"=加++〃，）〃!（〃+］）！

對I）：==

（〃一〃?）！（〃一〃】+1）!（/?-〃?+1）!（〃一/〃+1）!

A；\二J=八,即A；+〃困一=人3，故［）正確?

故選：BD.

?題型2人坐座位模型1：相鄰捆綁與不相鄰插空

01搶分攻略

八個不同元素排列成二排，其中某，個元素排在相鄰位置E有多少種麗排法?

先將這k個元素“捆綁在一起“，看成一個整體，當作一個元素同其他元素一起排歹U,共有A：幻種排法;再將

“捆綁”在一起的元素進行內(nèi)部排列，共有4種方法.由分步乘法計數(shù)原理得符合條件的排列共有

心娼::種

將〃個不同元素排成排,其中k個元素互不相鄰（4W〃一&+1）,有多少種排法？

先把5一幻個元素排成一排，共有A；1：種排法,然后把々個元素插入（〃-A+D個空隙中，共有種排

法.由分步乘法計數(shù)原理得符合條件的排列共有種

【例2】（2025?浙江臺州?一模）甲、乙、丙、丁、戊、己共6人站成一排，若甲、乙兩人相鄰，而乙、丙兩

人不相鄰，則不同的排法種數(shù)共有.（用數(shù)字作答）

【答案】192

【分析1先計算甲乙相鄰的總排列數(shù)，然后計算甲乙相鄰且乙丙也相鄰的排列數(shù)，兩者相減即是結(jié)果.

【詳解】先將甲、乙兩人看成一個整體，則這個整體內(nèi)部有A,=2種排列方式，

此時相當于有5個元素進行排列，所以甲乙相鄰的總排列數(shù)為2XA1=240種.

若甲乙相鄰且乙丙也相鄰，則三人必須以（甲，乙，丙）或（丙，乙，甲）的順序站在一起.

將這三個人視為一個整體，其內(nèi)部有2種排法，再將此整體與其余3人進行全排列，

故甲乙相鄰且乙丙也相鄰的排法有2xA*=48種，

所以甲乙相鄰，而乙丙不相鄰的排法種數(shù)有240-48=192.

故答案為：192.

【變式2-1］（25-26高三上?江西景德鎮(zhèn)-期末）某中學《十年弦歌育桃李?黨恩師澤啟新程》文藝演

出尸2025年12月31日在學校演藝大廳開幕，開幕式文藝表演共由6個節(jié)目組成，若考慮整體效果，要

求：節(jié)目《新年!你好》、《覺醒年代》、《精武門》必須相鄰，則開幕式文藝表演演出順序的編排方案共

有（）

A.144種B.156種C.188種D.240種

【答案】A

［分析］利用捆綁法結(jié)合排列數(shù)的性質(zhì)求解即可.

【詳解】先將節(jié)目《新年!你好》、《帝醒年代》、《精武門》摑綁在一起，

有鳥=6種排法，再把這個整體司另外三個節(jié)目全排列，有熊=24種排法，

則共有人弘*=6乂24=144種排法，故A正確.

故選：A

【變式2-2］（多選）2名男生，3名女生，這5個人站成一排，下列選項正確的是（）

A.男、女各站在一起，共有24種排法

B.男生不能排在一起，共有54種排法

C.男生必須排在一起，共有48種排法

D.男生互不相鄰，且女生也互不相鄰，共有12種排法

【答案】ACI）

【詳解】在A選項中，利用捆綁法：把男生捆綁為1個整體，女生捆綁為1個整體，

則總排法=A；=2x6x2=24,A正確，

在B選項中，男生不相鄰，用插空法：

先排3名女生，再把男生插到女生的空隙中：

則總排法=6x12=72/54,B錯誤，

在C選項中，僅要求男生相鄰，用捆綁法：

把2名男生捆綁為1個整體，和3名女生共4個元素全排列，

再算男生.內(nèi)部排列；則總排法==24x2=48,C正確，

在D選項中，2男3女要滿足男女都不相鄰,

僅能排列為女-男-女-男-女結(jié)構(gòu)，

則總排法=A；x8=6x2=12,D正確.

A題型3人坐座位模型2：染色（平面、空間）

01搶分攻略

染色問題，要從“顏色用了幾種'＞，"地圖有沒有公用應域”方向考慮:~~

1.用了幾種顏色。如果顏色沒有全部用完，就要有選色的步驟

2.盡量先從公共相鄰區(qū)域開始。所以要觀察“地圖”是否可以“拓撲”轉(zhuǎn)化

匕如，以下這倆圖，就是“拓撲”一致的結(jié)構(gòu)

四解題預測

【例3】一個長方形，被分為A、8、C、。、E五個區(qū)域”現(xiàn)對其進行涂色，有紅、黃、藍、綠四種顏

色可用，要求相鄰兩區(qū)域涂色不用同，則不同的涂色方法有種.

【解析】根據(jù)題意，對于/記。三個區(qū)域，兩兩相鄰，有￡=24種涂色方法，

對于區(qū)域C,只與A相鄰，有3種涂色方法，

對于區(qū)域石，與A、C相鄰，有2種涂色方法，

則有24x3x2=144種涂色方法.

故答案為：144.

【變式3-1】對如下編號為1,2,3,4的格子涂色，有紅，黑，白，灰四種顏色可供選擇，要求相鄰格

子不同色，則在1號格子涂灰色的條件下，4號格子也涂灰色的概率是（）

【答案】A

【分析】根據(jù)分步計數(shù)原理可計算出1號格子涂灰色的方案總數(shù)，再計算1號格子和4號格子同時涂灰

色的方案數(shù)，即可算出其概率.

【詳解】由題意可知，整個事件需要分四步，按照格子標號依次涂色即可；

若在1號格子涂灰色，則2號格子還有3種選色方案，同時3號格子也有3種選色方案，4號格子還剩2

種選色方案，

即1號格子涂灰色的方案總數(shù)為3x3x2=18種;

若1號格子和4號格子同時涂灰色，則2號格子還有3種選色方案，3號格子還有2種選色方案，

即1號和4號格子同時涂灰色的方案總數(shù)為3x2=6種；

所以，在1號格子涂灰色的條件下，4號格子也涂灰色的概率是P=2="

1o3

故選：A.

【變式3-2］現(xiàn)要對三棱柱ABC-ABC的6個頂點進行涂色，有4種顏色可供選擇，要求同一條棱的兩

個頂點顏色不一樣，則不同的涂色方案有（）

A.264種B.216種C.192種【）.144種

【答案】A

【分析】根據(jù)給定條件，利用分類加法計數(shù)原理及分步乘法計數(shù)原理，結(jié)合排列、組合計數(shù)問題列式計

算即得.

【詳解】依題意，求不同涂色方案問題，有用4種顏色和用3種顏色兩類辦法，

用4種顏色，先涂點A氏。有A：種方法，再在A，4G中選一點涂第4色，另兩點有3種涂色方法，

因此不同涂色方法數(shù)為3cA：=216；

用3種顏色，先涂點ARC有A：種方法，再涂有2種方法，

因此不同涂色方法數(shù)為2A：=48,

所以不同的涂色方案有216+48=264（種）.

故選：A

A題型4分配問題：球不同，盒不同

01搶分攻略

基本規(guī)律

球不同，盒子不同（主要的）

方法技巧：無限制，指數(shù)鼎形式，盒子球，有限制”先分組再排列”分類討論

球不同、盒不同核心用分步乘法計數(shù)原理，逐個球安排。無限制時，n個不同球放入m個不同盒，共加〃種

放法。有限制則分步處理：每球獨立選盒，注意“每盒至少1球”先分組再分配，均勻分組需除序消重：特

殊盒優(yōu)先放指定球，再排剩余球。關(guān)鍵抓住“球有序、盒有序”，分步不重復、不遺漏即可。

【例4】將5個不同的小球放入3個不同的盒子，每個盒子至少1個球，至多2個球，則不同的放法種數(shù)

有（）

A.30種B.90種C.180種D.270種

【答案】B

【解析】對三個盒子進行編號1,2,3,則每個盒子裝球的情況可分為三類：1,2,2；2,1,2；2,2,

1;且每一類的放法種數(shù)相同.

先考慮第一類，即3個盒子放球的個數(shù)為：1,2,2,則

第1個盒子有：C=5,

第2個盒子有：C;=6,

第3個盒子有：《=1,

二第一類放法種數(shù)為5x6x1=30,

???不同的放法種數(shù)有N=3x3（）=9（）.

【變式4-1］（2026?四川瀘州?模擬預測）現(xiàn)將1個紅球、1個黃球、1個綠球及3個白球（白球之間

沒有區(qū)別）放入3個不同的盒子中，每個盒子放入2個球，則不同的放法種數(shù)為（）

A.15B.90C.24D.36

【答案】C

【解析】把6個小球按2個球一組分成3組，有兩類分法:

每個盒子放入一個白球，有1種方法；有2個白球放入一個盒子，剩下1個白球與1個有色球組合，有C；

種方法，

再將分成的3組放入3個盒子有A；種方法，

所以不同的放法種數(shù)為（1+C；）A；=4X6=24.

【變式4-2］（2026?福建二模）為了應對新能源產(chǎn)業(yè)爆發(fā)式增長帶來的挑戰(zhàn)，某研究所設立了資源組、

電芯組、基建組三個攻關(guān)小組.現(xiàn)安排甲、乙等5名工作人員到這三個小組協(xié)助工作，且每個小組至少

安排一人，每人只能去一個小組，同時，要求安排到電芯組的人數(shù)比資源組的人數(shù)多，甲、乙兩人不能

被安排到資源組，則不同的安排方案種數(shù)是_________.（用數(shù)字作答）

【詳解】要求安排到電芯組的人數(shù)比資源組的人數(shù)多，那么資源組、電芯組、基建組人數(shù)分配情況有

1:3:1與1:2:2,

當甲、乙兩人在同一組時，那么甲乙只能同在電芯組或基建組，存在1:3:1與1:2:2兩種分配情況，

此時，M=C；C；C+C；C；=12；

當甲、乙兩人在不同組時，那么甲乙只能一個在電芯組另一個在基建組，存在1:3:1與1:2:2兩種分配情

況，

此時，M=G（G+C；GC）=18；

N=N1+M=3（）.

A題型5分配問題：球同，盒不同

01搶分攻略

基礎模型：〃個相同元素分給2個不同對象，每個時象至少1個元素，方法數(shù)為《二：.

變形模型：若允許對象為空，先給每個對象補1個元素轉(zhuǎn)化為“至少1個”的基礎模型，方法數(shù)為

技巧要點：確保元素相同、對象不同，轉(zhuǎn)化為隔板模型時需驗證邊界條件（如“至少1個”或“允許為空”）.

【例5】（25-26高二上?遼寧?期末）將5個完全相同的小球全部放入編號為1,2,3,4的4個小

盒，恰好有1個空盒的不同放法有