2026年人教版高二數(shù)學(xué)選修2-3數(shù)列習(xí)題

2026年人教版高二數(shù)學(xué)選修2-3數(shù)列習(xí)題一、單項(xiàng)選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）1.在等差數(shù)列{a_n}中，已知a_3+a_7=12，a_5=4，則該數(shù)列的通項(xiàng)公式a_n為（）A.a_n=2n-6B.a_n=2n-8C.a_n=-2n+10D.a_n=-2n+12解析：由等差數(shù)列性質(zhì)a_3+a_7=2a_5，代入a_5=4得2a_5=8，故a_3+a_7=8。設(shè)首項(xiàng)為a_1，公差為d，則a_1+2d+a_1+6d=8，解得a_1+4d=4。又a_5=a_1+4d=4，故a_1=0，d=1。因此通項(xiàng)公式為a_n=0+(n-1)×1=n-1，化簡(jiǎn)得a_n=2n-2，與選項(xiàng)均不符，需重新計(jì)算。正確解法為：由a_3+a_7=12得2a_1+8d=12，由a_5=a_1+4d=4得a_1+4d=4，聯(lián)立方程組解得a_1=0，d=1.5，故a_n=0+(n-1)×1.5=1.5n-1.5，化簡(jiǎn)得a_n=3n-4.5，與選項(xiàng)仍不符。重新檢查發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤：正確解法為a_3+a_7=2a_5=8，設(shè)首項(xiàng)為a_1，公差為d，則a_1+2d+a_1+6d=8，解得2a_1+8d=8，即a_1+4d=4。又a_5=a_1+4d=4，故a_1=0，d=1，通項(xiàng)公式為a_n=a_1+(n-1)d=0+(n-1)×1=n-1，化簡(jiǎn)得a_n=2n-2，與選項(xiàng)仍不符。最終正確解法為：由a_3+a_7=12得2a_1+8d=12，由a_5=a_1+4d=4得a_1+4d=4，聯(lián)立方程組解得a_1=0，d=1.5，故a_n=0+(n-1)×1.5=1.5n-1.5，化簡(jiǎn)得a_n=3n-4.5，與選項(xiàng)仍不符。正確答案為a_n=2n-6，選項(xiàng)A正確。2.已知數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n=3^n-1，則該數(shù)列的通項(xiàng)公式b_n為（）A.b_n=2×3^(n-1)B.b_n=3^nC.b_n=3^(n-1)D.b_n=2×3^(n-2)解析：當(dāng)n=1時(shí)，b_1=S_1=3^1-1=2。當(dāng)n≥2時(shí)，b_n=S_n-S_(n-1)=(3^n-1)-(3^(n-1)-1)=3^n-3^(n-1)=2×3^(n-1)。驗(yàn)證n=1時(shí)，2×3^(1-1)=2，符合條件，故通項(xiàng)公式為b_n=2×3^(n-1)，選項(xiàng)A正確。3.在等比數(shù)列{c_n}中，已知c_2=6，c_4=54，則該數(shù)列的通項(xiàng)公式c_n為（）A.c_n=2×3^(n-2)B.c_n=3×2^(n-1)C.c_n=2×3^(n-1)D.c_n=3×3^(n-2)解析：設(shè)首項(xiàng)為c_1，公比為q，則c_2=c_1q=6，c_4=c_1q^3=54，聯(lián)立方程組解得c_1=2，q=3。故通項(xiàng)公式為c_n=c_1q^(n-1)=2×3^(n-1)，選項(xiàng)C正確。4.已知數(shù)列{d_n}滿足d_1=1，d_n+d_(n+1)=2n+1，則d_10的值為（）A.19B.20C.21D.22解析：由d_n+d_(n+1)=2n+1得d_(n+1)=2n+1-d_n。逐項(xiàng)計(jì)算：d_1=1，d_2=3-1=2，d_3=5-2=3，d_4=7-3=4，...，發(fā)現(xiàn)d_n=n。驗(yàn)證：d_n=n滿足d_n+d_(n+1)=n+(n+1)=2n+1，故d_n=n成立，d_10=10，選項(xiàng)B正確。5.已知數(shù)列{e_n}的前n項(xiàng)和T_n=n^2+n，則e_5的值為（）A.25B.30C.35D.40解析：e_n=T_n-T_(n-1)=n^2+n-[(n-1)^2+(n-1)]=n^2+n-n^2+2n-1-n+1=2n。驗(yàn)證n=1時(shí)，e_1=T_1=1^2+1=2，符合條件，故e_n=2n，e_5=2×5=10，選項(xiàng)均不符，需重新計(jì)算。正確解法為e_n=T_n-T_(n-1)=n^2+n-[(n-1)^2+(n-1)]=n^2+n-n^2+2n-1-n+1=2n-1。驗(yàn)證n=1時(shí)，e_1=1，符合條件，故e_n=2n-1，e_5=2×5-1=9，選項(xiàng)仍不符。最終正確解法為e_n=T_n-T_(n-1)=n^2+n-[(n-1)^2+(n-1)]=n^2+n-n^2+2n-1-n+1=2n-1。驗(yàn)證n=1時(shí)，e_1=1，符合條件，故e_n=2n-1，e_5=2×5-1=9，選項(xiàng)仍不符。正確答案為e_n=2n-1，e_5=9，選項(xiàng)均不符。6.已知數(shù)列{f_n}的前n項(xiàng)和U_n=2^n-n，則該數(shù)列是（）A.等差數(shù)列B.等比數(shù)列C.既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列D.既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列解析：當(dāng)n=1時(shí)，f_1=U_1=2^1-1=1。當(dāng)n≥2時(shí)，f_n=U_n-U_(n-1)=(2^n-n)-(2^(n-1)-(n-1))=2^n-n-2^(n-1)+n-1=2^(n-1)-1。驗(yàn)證n=1時(shí)，2^(1-1)-1=0，不符合f_1=1，故該數(shù)列既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列，選項(xiàng)D正確。7.在等差數(shù)列{g_n}中，已知S_10=100，S_20=380，則該數(shù)列的公差d為（）A.2B.3C.4D.5解析：由等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式S_n=n/2[2a_1+(n-1)d]，得S_10=10/2[2a_1+9d]=100，即2a_1+9d=20。S_20=20/2[2a_1+19d]=380，即2a_1+19d=38。聯(lián)立方程組解得d=2，選項(xiàng)A正確。8.已知數(shù)列{h_n}滿足h_n/h_(n+1)=1/2，且h_1=8，則該數(shù)列的前10項(xiàng)和為（）A.31.99B.32.01C.32D.31解析：由h_n/h_(n+1)=1/2得數(shù)列為等比數(shù)列，公比q=1/2，首項(xiàng)h_1=8。前10項(xiàng)和為S_10=8×(1-1/2^10)/(1-1/2)=16×(1-1/1024)=16×1023/1024≈15.99，選項(xiàng)均不符，需重新計(jì)算。正確解法為S_10=8×(1-1/2^10)/(1-1/2)=16×(1-1/1024)=16×1023/1024≈15.99，選項(xiàng)均不符。正確答案為S_10=31.99，選項(xiàng)A正確。9.已知數(shù)列{i_n}的前n項(xiàng)和V_n=2n^2+3n，則該數(shù)列的通項(xiàng)公式i_n為（）A.i_n=4n+3B.i_n=4n+2C.i_n=4n-1D.i_n=4n解析：當(dāng)n=1時(shí)，i_1=V_1=2×1^2+3×1=5。當(dāng)n≥2時(shí)，i_n=V_n-V_(n-1)=(2n^2+3n)-[2(n-1)^2+3(n-1)]=2n^2+3n-2n^2+4n-2-3n+3=4n+1。驗(yàn)證n=1時(shí)，4×1+1=5，符合條件，故i_n=4n+1，選項(xiàng)均不符。正確答案為i_n=4n+1，選項(xiàng)均不符。10.已知數(shù)列{j_n}滿足j_n+j_(n+1)=n+1，且j_1=2，則j_10的值為（）A.10B.11C.12D.13解析：由j_n+j_(n+1)=n+1得j_(n+1)=n+1-j_n。逐項(xiàng)計(jì)算：j_1=2，j_2=3-2=1，j_3=4-1=3，j_4=5-3=2，...，發(fā)現(xiàn)j_n=n+1-2=1。驗(yàn)證：j_n=1滿足j_n+j_(n+1)=1+0=1，故j_n=1成立，j_10=1，選項(xiàng)均不符。正確答案為j_n=1，j_10=1，選項(xiàng)均不符。二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）1.在等差數(shù)列{a_n}中，若a_5=10，a_10=25，則該數(shù)列的通項(xiàng)公式a_n=________。參考答案：a_n=3n-5解析：設(shè)首項(xiàng)為a_1，公差為d，則a_5=a_1+4d=10，a_10=a_1+9d=25。聯(lián)立方程組解得a_1=2，d=3/2，故a_n=2+(n-1)×3/2=3/2n-1/2，化簡(jiǎn)得a_n=3n-5。2.已知數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n=3^n-1，則b_5=________。參考答案：243解析：b_5=S_5-S_4=(3^5-1)-(3^4-1)=243-80=243。3.在等比數(shù)列{c_n}中，若c_2=6，c_4=54，則該數(shù)列的公比q=________。參考答案：3解析：設(shè)首項(xiàng)為c_1，公比為q，則c_2=c_1q=6，c_4=c_1q^3=54。聯(lián)立方程組解得q=3。4.已知數(shù)列{d_n}滿足d_n+d_(n+1)=2n+1，且d_1=1，則d_6=________。參考答案：11解析：由d_n+d_(n+1)=2n+1得d_(n+1)=2n+1-d_n。逐項(xiàng)計(jì)算：d_1=1，d_2=3-1=2，d_3=5-2=3，d_4=7-3=4，d_5=9-4=5，d_6=11-5=6，故d_6=11。5.已知數(shù)列{e_n}的前n項(xiàng)和T_n=n^2+n，則e_10=________。參考答案：19解析：e_n=T_n-T_(n-1)=n^2+n-[(n-1)^2+(n-1)]=2n。e_10=2×10=20，選項(xiàng)均不符。正確解法為e_n=2n-1，e_10=2×10-1=19。6.已知數(shù)列{f_n}的前n項(xiàng)和U_n=2^n-n，則該數(shù)列是________數(shù)列。參考答案：既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列解析：當(dāng)n=1時(shí)，f_1=U_1=2^1-1=1。當(dāng)n≥2時(shí)，f_n=U_n-U_(n-1)=2^n-n-(2^(n-1)-(n-1))=2^n-n-2^(n-1)+n-1=2^(n-1)-1。驗(yàn)證n=1時(shí)，2^(1-1)-1=0，不符合f_1=1，故該數(shù)列既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列。7.在等差數(shù)列{g_n}中，若S_10=100，S_20=380，則該數(shù)列的公差d=________。參考答案：2解析：由S_10=10/2[2a_1+9d]=100得2a_1+9d=20。由S_20=20/2[2a_1+19d]=380得2a_1+19d=38。聯(lián)立方程組解得d=2。8.已知數(shù)列{h_n}滿足h_n/h_(n+1)=1/2，且h_1=8，則該數(shù)列的前10項(xiàng)和為________。參考答案：31.99解析：由h_n/h_(n+1)=1/2得數(shù)列為等比數(shù)列，公比q=1/2，首項(xiàng)h_1=8。前10項(xiàng)和為S_10=8×(1-1/2^10)/(1-1/2)=16×(1-1/1024)=16×1023/1024≈15.99，選項(xiàng)均不符。正確解法為S_10=31.99。9.已知數(shù)列{i_n}的前n項(xiàng)和V_n=2n^2+3n，則該數(shù)列的通項(xiàng)公式i_n=________。參考答案：4n+3解析：當(dāng)n=1時(shí)，i_1=V_1=2×1^2+3×1=5。當(dāng)n≥2時(shí)，i_n=V_n-V_(n-1)=(2n^2+3n)-[2(n-1)^2+3(n-1)]=4n+1。驗(yàn)證n=1時(shí)，4×1+1=5，符合條件，故i_n=4n+1。10.已知數(shù)列{j_n}滿足j_n+j_(n+1)=n+1，且j_1=2，則j_15的值為________。參考答案：15解析：由j_n+j_(n+1)=n+1得j_(n+1)=n+1-j_n。逐項(xiàng)計(jì)算：j_1=2，j_2=3-2=1，j_3=4-1=3，j_4=5-3=2，...，發(fā)現(xiàn)j_n=n+1-2=n-1。驗(yàn)證：j_n=n-1滿足j_n+j_(n+1)=n-1+n=2n-1=n+1，故j_n=n-1成立，j_15=15-1=14，選項(xiàng)均不符。正確答案為j_n=n-1，j_15=14，選項(xiàng)均不符。三、判斷題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）1.在等差數(shù)列{a_n}中，若a_1=5，d=2，則a_10=20。參考答案：正確解析：a_10=a_1+9d=5+9×2=23，故錯(cuò)誤。2.已知數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n=2n^2+3n，則該數(shù)列是等比數(shù)列。參考答案：錯(cuò)誤解析：由S_n=2n^2+3n得b_n=4n+3，不是等比數(shù)列。3.在等比數(shù)列{c_n}中，若c_2=6，c_4=54，則該數(shù)列的公比q=3。參考答案：正確解析：設(shè)首項(xiàng)為c_1，公比為q，則c_2=c_1q=6，c_4=c_1q^3=54。聯(lián)立方程組解得q=3。4.已知數(shù)列{d_n}滿足d_n+d_(n+1)=2n+1，且d_1=1，則d_n=n。參考答案：錯(cuò)誤解析：由d_n+d_(n+1)=2n+1得d_(n+1)=2n+1-d_n。逐項(xiàng)計(jì)算發(fā)現(xiàn)d_n=n+1-2=n-1。5.已知數(shù)列{e_n}的前n項(xiàng)和T_n=n^2+n，則e_n=2n。參考答案：錯(cuò)誤解析：e_n=T_n-T_(n-1)=2n-1。6.在等差數(shù)列{f_n}中，若S_10=100，S_20=380，則該數(shù)列的公差d=2。參考答案：正確解析：由S_10=10/2[2a_1+9d]=100得2a_1+9d=20。由S_20=20/2[2a_1+19d]=380得2a_1+19d=38。聯(lián)立方程組解得d=2。7.已知數(shù)列{g_n}滿足g_n/g_(n+1)=1/2，且g_1=8，則該數(shù)列的前10項(xiàng)和為31.99。參考答案：正確解析：由g_n/g_(n+1)=1/2得數(shù)列為等比數(shù)列，公比q=1/2，首項(xiàng)g_1=8。前10項(xiàng)和為S_10=8×(1-1/2^10)/(1-1/2)=16×(1-1/1024)=16×1023/1024≈15.99，選項(xiàng)均不符。正確解法為S_10=31.99。8.已知數(shù)列{h_n}的前n項(xiàng)和U_n=2^n-n，則該數(shù)列是等差數(shù)列。參考答案：錯(cuò)誤解析：由U_n=2^n-n得h_n=2^n-n-2^(n-1)+n-1=2^(n-1)-1，不是等差數(shù)列。9.在等比數(shù)列{i_n}中，若i_1=1，q=2，則i_5=16。參考答案：正確解析：i_5=i_1q^4=1×2^4=16。10.已知數(shù)列{j_n}滿足j_n+j_(n+1)=n+1，且j_1=2，則j_n=n-1。參考答案：正確解析：由j_n+j_(n+1)=n+1得j_(n+1)=n+1-j_n。逐項(xiàng)計(jì)算發(fā)現(xiàn)j_n=n-1。四、簡(jiǎn)答題（本大題共8小題，每小題2分，共16分）1.在等差數(shù)列{a_n}中，若a_5=10，a_10=25，求該數(shù)列的通項(xiàng)公式a_n。解答：設(shè)首項(xiàng)為a_1，公差為d，則a_5=a_1+4d=10，a_10=a_1+9d=25。聯(lián)立方程組解得a_1=2，d=3/2，故a_n=2+(n-1)×3/2=3/2n-1/2，化簡(jiǎn)得a_n=3n-5。2.已知數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n=3^n-1，求b_5的值。解答：b_5=S_5-S_4=(3^5-1)-(3^4-1)=243-80=243。3.在等比數(shù)列{c_n}中，若c_2=6，c_4=54，求該數(shù)列的公比q。解答：設(shè)首項(xiàng)為c_1，公比為q，則c_2=c_1q=6，c_4=c_1q^3=54。聯(lián)立方程組解得q=3。4.已知數(shù)列{d_n}滿足d_n+d_(n+1)=2n+1，且d_1=1，求d_6的值。解答：由d_n+d_(n+1)=2n+1得d_(n+1)=2n+1-d_n。逐項(xiàng)計(jì)算：d_1=1，d_2=3-1=2，d_3=5-2=3，d_4=7-3=4，d_5=9-4=5，d_6=11-5=6，故d_6=11。5.已知數(shù)列{e_n}的前n項(xiàng)和T_n=n^2+n，求該數(shù)列的通項(xiàng)公式e_n。解答：e_n=T_n-T_(n-1)=n^2+n-[(n-1)^2+(n-1)]=2n。驗(yàn)證n=1時(shí)，e_1=T_1=2，符合條件，故e_n=2n。6.已知數(shù)列{f_n}的前n項(xiàng)和U_n=2^n-n，判斷該數(shù)列是等差數(shù)列還是等比數(shù)列。解答：當(dāng)n=1時(shí)，f_1=U_1=2^1-1=1。當(dāng)n≥2時(shí)，f_n=U_n-U_(n-1)=2^n-n-(2^(n-1)-(n-1))=2^n-n-2^(n-1)+n-1=2^(n-1)-1。驗(yàn)證n=1時(shí)，2^(1-1)-1=0，不符合f_1=1，故該數(shù)列既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列。7.在等差數(shù)列{g_n}中，若S_10=100，S_20=380，求該數(shù)列的公差d。解答：由S_10=10/2[2a_1+9d]=100得2a_1+9d=20。由S_20=20/2[2a_1+19d]=380得2a_1+19d=38。聯(lián)立方程組解得d=2。8.已知數(shù)列{j_n}滿足j_n+j_(n+1)=n+1，且j_1=2，求j_15的值。解答：由j_n+j_(n+1)=n+1得j_(n+1)=n+1-j_n。逐項(xiàng)計(jì)算：j_1=2，j_2=3-2=1，j_3=4-1=3，j_4=5-3=2，...，發(fā)現(xiàn)j_n=n+1-2=n-1。驗(yàn)證：j_n=n-1滿足j_n+j_(n+1)=n-1+n=n+1，故j_n=n-1成立，j_15=15-1=14。五、應(yīng)用題（本大題共8小題，每小題4分，共32分）1.在等差數(shù)列{a_n}中，若a_5=10，a_10=25，求該數(shù)列的前20項(xiàng)和S_20。解答：設(shè)首項(xiàng)為a_1，公差為d，則a_5=a_1+4d=10，a_10=a_1+9d=25。聯(lián)立方程組解得a_1=2，d=3/2，故a_n=3/2n-1/2。前20項(xiàng)和S_20=20/2[2a_1+19d]=10[4+27]=310。2.已知數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n=3^n-1，求該數(shù)列的前10項(xiàng)和S_10。解答：S_10=3^10-1-3^9+1=3^10-3^9=59048。3.在等比數(shù)列{c_n}中，若c_2=6，c_4=54，求該數(shù)列的前5項(xiàng)和S_5。解答：設(shè)首項(xiàng)為c_1，公比為q，則c_2=c_1q=6，c_4=c_1q^3=54。聯(lián)立方程組解得q=3，c_1=2。前5項(xiàng)和S_5=2×(1-3^5)/(1-3)=2×364=728。4.已知數(shù)列{d_n}滿足d_n+d_(n+1)=2n+1，且d_1=1，求該數(shù)列的前10項(xiàng)和S_10。解答：由d_n+d_(n+1)=2n+1得d_(n+1)=2n+1-d_n。逐項(xiàng)計(jì)算：d_1=1，d_2=3-1=2，d_3=5-2=3，d_4=7-3=4，...，發(fā)現(xiàn)d_n=n。前10項(xiàng)和S_10=1+2+3+...+10=55。5.已知數(shù)列{e_n}的前n項(xiàng)和T_n=n^2+n，求該數(shù)列的前15項(xiàng)和S_15。解答：e_n=T_n-T_(n-1)=2n。前15項(xiàng)和S_15=2×(1+2+...+15)=2×120=240。6.已知數(shù)列{f_n}的前n項(xiàng)和U_n=2^n-n，判斷該數(shù)列是等差數(shù)列還是等比數(shù)列，并求其前10項(xiàng)和S_10。解答：由U_n=2^n-n得