2026年遼寧省北師大版高二數學選修第11章綜合測試卷

2026年遼寧省北師大版高二數學選修第11章綜合測試卷一、單項選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）1.在選修第11章《數列》中，已知數列{a_n}滿足a_1=1，a_n+1=2a_n+1，則該數列的前n項和S_n的表達式為（）A．n^2-1B．2^n-nC．n^2D．2^n-1解析：由遞推關系a_n+1=2a_n+1，可得a_n+1+1=2(a_n+1)，即{a_n+1}是首項為2、公比為2的等比數列，故a_n+1=2^n，進而a_n=2^n-1。前n項和S_n=1+2+4+…+2^n-1=2^n-1，選D。2.若數列{b_n}的前n項和T_n=3^n-1，則b_5的值為（）A．48B．96C．192D．384解析：由T_n=3^n-1，得b_1=T_1=2。當n≥2時，b_n=T_n-T_{n-1}=3^n-1-(3^{n-1}-1)=2×3^{n-1}，驗證n=1時成立，故b_5=2×3^4=162，選項均錯誤，需重新命題。3.已知等差數列{c_n}的公差d=2，若c_3+c_7=18，則該數列的通項公式a_n為（）A．2n-5B．2n+3C．n-2D．3n-8解析：由等差數列性質c_3+c_7=2c_5=18，得c_5=9，即a_1+4d=9，解得a_1=1，故a_n=1+2(n-1)=2n-1，選項均錯誤，需重新命題。4.在等比數列{d_n}中，若d_2d_8=64，則該數列的公比q的取值可能為（）A．2或-2B．4或-4C．±2D．±4解析：由d_2d_8=d_1q×d_1q^7=q^8=64，得q=±2，選C。5.若數列{e_n}的前n項和S_n=2n^2+3n，則e_4的值為（）A．25B．30C．35D．40解析：當n≥2時，e_n=S_n-S_{n-1}=(2n^2+3n)-(2(n-1)^2+3(n-1))=4n+1，驗證n=1時成立，故e_4=4×4+1=17，選項均錯誤，需重新命題。6.已知數列{f_n}滿足f_1=2，f_n+1=√(f_n+f_{n-1})，則該數列的極限可能為（）A．1B．2C．3D．4解析：設極限為L，則f_n→L，f_{n-1}→L，代入遞推式得L=√(L+L)，解得L=2，選B。7.在等差數列{g_n}中，若S_10=100，S_20=380，則該數列的公差d為（）A．3B．4C．5D．6解析：由S_10=5(a_1+a_{10})=100，S_20=10(a_1+a_{20})=380，得5(a_{10}-a_1)=280，即10d=56，d=5.6，選項均錯誤，需重新命題。8.若數列{h_n}的前n項和T_n=n(n+1)/2，則h_n的表達式為（）A．nB．n+1C．2nD．n^2解析：當n≥2時，h_n=T_n-T_{n-1}=(n(n+1)/2)-((n-1)n/2)=n，驗證n=1時成立，故h_n=n，選A。9.已知數列{p_n}滿足p_1=1，p_n+1=3p_n+2，則該數列的前n項和的表達式可能為（）A．3^n-nB．3^n+nC．3^n-2nD．3^n+2n解析：由遞推關系p_n+1+1=3(p_n+1)，得{p_n+1}是首項為2、公比為3的等比數列，故p_n+1=2×3^{n-1}，進而p_n=2×3^{n-1}-1。前n項和S_n=2(3^0+3+…+3^{n-1})-n=3^n-1-n，選項均錯誤，需重新命題。10.在等比數列{q_n}中，若q_3=8，q_5=32，則該數列的公比q可能為（）A．2或-2B．4或-4C．±2√2D．±4√2解析：由q_5=q_3q^2，得q^2=4，q=±2，選A。二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）1.若等差數列{r_n}的首項為5，公差為3，則該數列的前10項和S_{10}的值為________。解：S_{10}=10×5+(10×9/2)×3=380。2.已知數列{t_n}的前n項和T_n=2^n-1，則該數列的第5項t_5的值為________。解：當n≥2時，t_n=T_n-T_{n-1}=2^n-1-(2^{n-1}-1)=2^n-2^{n-1}=2^{n-1}，故t_5=2^4=16。3.若等比數列{u_n}的公比為q，首項為a_1，則該數列的前n項和S_n的表達式為________（q≠1）。解：S_n=a_1(1-q^n)/(1-q)。4.在等差數列{v_n}中，若a_4+a_7=20，則a_1+a_{10}的值為________。解：由等差數列性質a_4+a_7=2a_5.5=20，得a_5.5=10，故a_1+a_{10}=2a_5.5=20。5.若數列{w_n}滿足w_1=1，w_n+1=2w_n+1，則該數列的通項公式a_n為________。解：由遞推關系w_n+1+1=2(w_n+1)，得{w_n+1}是首項為2、公比為2的等比數列，故w_n+1=2×2^{n-1}=2^n，進而w_n=2^n-1，故a_n=2^n-1。6.已知數列{z_n}的前n項和S_n=n^2+n，則該數列的第3項z_3的值為________。解：當n≥2時，z_n=S_n-S_{n-1}=n^2+n-(n-1)^2-(n-1)=2n，驗證n=1時成立，故z_3=2×3=6。7.在等比數列{y_n}中，若y_2y_8=64，則該數列的公比q的取值可能為________。解：由y_2y_8=y_1q×y_1q^7=q^8=64，得q=±2。8.若數列{a_n}的前n項和T_n=3^n-1，則該數列的第4項a_4的值為________。解：當n≥2時，a_n=T_n-T_{n-1}=3^n-1-(3^{n-1}-1)=2×3^{n-1}，驗證n=1時成立，故a_4=2×3^3=54。9.已知數列{b_n}滿足b_1=2，b_n+1=√(b_n+b_{n-1})，則該數列的極限可能為________。解：設極限為L，則b_n→L，b_{n-1}→L，代入遞推式得L=√(L+L)，解得L=2。10.在等差數列{c_n}中，若S_5=25，S_10=70，則該數列的公差d為________。解：由S_5=5(a_1+a_5)=25，S_10=10(a_1+a_{10})=70，得5(a_5-a_1)=45，即10d=45，d=4.5，需重新命題。三、判斷題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）1.若數列{a_n}的前n項和S_n=2n^2+3n，則該數列是等差數列。（×）解析：當n≥2時，a_n=S_n-S_{n-1}=4n+1，驗證n=1時a_1=S_1=5，故a_n=4n+1，是等差數列。2.在等比數列{b_n}中，若b_3=8，b_5=32，則該數列的公比q=2。（√）解析：由b_5=b_3q^2，得q^2=4，q=±2。3.若數列{c_n}滿足c_n+1=c_n+1，則該數列是常數列。（√）解析：由遞推關系c_n+1=c_n+1，得c_n+1=c_{n-1}+1，故c_n=c_{n-2}，依次類推，所有項相等，是常數列。4.在等差數列{d_n}中，若S_10=100，則a_5=10。（×）解析：由S_10=5(a_1+a_{10})=100，得a_1+a_{10}=20，但無法確定a_5的值。5.若數列{e_n}的前n項和T_n=n(n+1)/2，則該數列是等差數列。（√）解析：當n≥2時，e_n=T_n-T_{n-1}=n，驗證n=1時e_1=T_1=1，故e_n=n，是等差數列。6.在等比數列{f_n}中，若f_2f_8=64，則該數列的公比q=±4。（×）解析：由f_2f_8=f_1q×f_1q^7=q^8=64，得q=±2。7.若數列{g_n}滿足g_n+1=g_n+1，則該數列是等比數列。（×）解析：由遞推關系g_n+1=g_n+1，得g_n=g_{n-1}，所有項相等，是常數列，不是等比數列。8.在等差數列{h_n}中，若a_1=3，d=2，則S_{10}=210。（√）解析：S_{10}=10×3+(10×9/2)×2=210。9.若數列{i_n}的前n項和U_n=2^n-1，則該數列是等比數列。（√）解析：當n≥2時，i_n=U_n-U_{n-1}=2^n-1-(2^{n-1}-1)=2^n-2^{n-1}=2^{n-1}，驗證n=1時i_1=U_1=1，故i_n=2^{n-1}，是等比數列。10.在等比數列{j_n}中，若j_3=8，j_5=32，則該數列的公比q=±2√2。（×）解析：由j_5=j_3q^2，得q^2=4，q=±2。四、簡答題（本大題共8小題，每小題2分，共16分）1.已知數列{a_n}滿足a_1=1，a_n+1=3a_n+2，求該數列的通項公式a_n。解：由遞推關系a_n+1+1=3(a_n+1)，得{a_n+1}是首項為4、公比為3的等比數列，故a_n+1=4×3^{n-1}，進而a_n=4×3^{n-1}-1。2.若等差數列{b_n}的前n項和S_n=5n^2+3n，求該數列的公差d。解：當n≥2時，b_n=S_n-S_{n-1}=10n+3，驗證n=1時b_1=S_1=8，故b_n=10n+3，是等差數列，公差d=10。3.在等比數列{c_n}中，若c_2=4，c_4=16，求該數列的公比q。解：由c_4=c_2q^2，得q^2=4，q=±2。4.若數列{d_n}的前n項和T_n=n^3，求該數列的第4項d_4。解：當n≥2時，d_n=T_n-T_{n-1}=3n^2，驗證n=1時d_1=T_1=1，故d_n=3n^2，d_4=3×4^2=48。5.已知數列{e_n}滿足e_1=2，e_n+1=2e_n+1，求該數列的前n項和S_n的表達式。解：由遞推關系e_n+1+1=2(e_n+1)，得{e_n+1}是首項為3、公比為2的等比數列，故e_n+1=3×2^{n-1}，進而e_n=3×2^{n-1}-1。前n項和S_n=3(2^n-1)-n=3×2^n-n-3。6.在等差數列{f_n}中，若a_1=5，S_10=100，求該數列的公差d。解：由S_10=10×5+(10×9/2)×d=100，得45d=50，d=10/9，需重新命題。7.若數列{g_n}的前n項和U_n=2n^2+3n，求該數列的通項公式a_n。解：當n≥2時，g_n=U_n-U_{n-1}=4n+2，驗證n=1時g_1=U_1=5，故g_n=4n+2，是等差數列。8.在等比數列{h_n}中，若h_3=8，h_5=32，求該數列的前6項和S_6。解：由h_5=h_3q^2，得q^2=4，q=±2。當q=2時，h_n=2^{n-1}，S_6=2^1+2^2+…+2^6=2^7-1=127。當q=-2時，h_n=(-2)^{n-1}，S_6=(-2)^1+(-2)^2+…+(-2)^6=63。五、應用題（本大題共8小題，每小題4分，共32分）1.某工廠計劃每年比上一年增加生產設備數量，已知第一年生產設備數量為10臺，以后每年比前一年多生產5臺，求第10年生產設備數量。解：由等差數列性質，公差d=5，首項a_1=10，第10年設備數量a_{10}=10+9×5=55臺。2.某城市人口增長率為每年10%，已知2020年人口為100萬，求2025年人口數量。解：由等比數列性質，公比q=1.1，首項a_1=100，2025年人口數量a_5=100×1.1^5≈161.05萬。3.某投資賬戶初始金額為10000元，每年復利利率為8%，求5年后的賬戶金額。解：由等比數列性質，公比q=1.08，首項a_1=10000，5年后賬戶金額a_5=10000×1.08^5≈14693.28元。4.某林場計劃每年比上一年多植樹1000棵，已知第一年植樹10000棵，求第8年植樹數量。解：由等差數列性質，公差d=1000，首項a_1=10000，第8年植樹數量a_8=10000+7×1000=17000棵。5.某產品成本每年下降5%，已知2020年成本為100元，求2024年成本。解：由等比數列性質，公比q=0.95，首項a_1=100，2024年成本a_4=100×0.95^4≈81.46元。6.某城市道路建設計劃每年比上一年多修10公里，已知第一年修路50公里，求第7年修路數量。解：由等差數列性質，公差d=10，首項a_1=50，第7年修路數量a_7=50+6×10=110公里。7.某公司員工工資每年上漲10%，已知2020年工資為5000元，求2026年工資。解：由等比數列性質，公比q=1.1，首項a_1=5000，2026年工資a_6