2026年北師大版高中數學第6單元數列習題集

2026年北師大版高中數學第6單元數列習題集一、單項選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）1.在等差數列{a_n}中，已知a_1=3，a_5=9，則該數列的通項公式a_n等于（）A.6n-3B.2n+1C.3nD.4n-1解析：由等差數列通項公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_1=3，a_5=9可得9=3+4d，解得d=3/2，故a_n=3+(n-1)×3/2=3/2n+3/2。選項A正確。2.已知數列{b_n}的前n項和S_n=2^n-1，則b_4的值為（）A.8B.16C.32D.63解析：由數列前n項和與通項關系b_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），當n=1時b_1=S_1=1，當n≥2時b_n=2^n-1-(2^{n-1}-1)=2^n-2^n-1=2^n-1，故b_4=2^4-1=15。選項D正確。3.若數列{c_n}滿足c_1=1，c_{n+1}=2c_n+c_{n-1}（n≥2），則該數列的前6項和為（）A.36B.48C.64D.80解析：由遞推關系可知c_2=2c_1+c_0=3，c_3=2c_2+c_1=7，c_4=2c_3+c_2=17，c_5=2c_4+c_3=41，c_6=2c_5+c_4=99，前6項和為1+3+7+17+41+99=168。選項無正確答案，需修正題目。4.在等比數列{d_n}中，若d_2=6，d_4=54，則該數列的公比q等于（）A.3B.2C.-3D.-2解析：由等比數列通項公式d_n=d_1q^{n-1}，代入d_2=d_1q=6，d_4=d_1q^3=54，聯立可得q=3。選項A正確。5.已知數列{e_n}的前n項和T_n=n^2+n，則e_3的值為（）A.9B.12C.15D.18解析：由數列前n項和與通項關系e_n=T_n-T_{n-1}（n≥2），當n=1時e_1=T_1=2，當n≥2時e_n=n^2+n-(n-1)^2-(n-1)=2n，故e_3=2×3=6。選項無正確答案，需修正題目。6.若數列{f_n}滿足f_1=2，f_{n+1}=f_n+log_2(n+1)，則f_10的值等于（）A.20B.36C.56D.72解析：由遞推關系f_{n+1}=f_n+log_2(n+1)，累加可得f_n=2+∑_{k=1}^{n-1}log_2(k+1)=2+(n-1)×2=2n，故f_10=20。選項A正確。7.在等差數列{g_n}中，若a_3+a_7=18，則a_5+a_9的值等于（）A.20B.24C.28D.32解析：由等差數列性質a_3+a_7=2a_5，故a_5=9，同理a_5+a_9=2a_7=18+6=24。選項B正確。8.已知數列{h_n}的前n項和S_n=3^n-1，則數列{log_3(h_n)}的前5項和等于（）A.10B.12C.15D.17解析：由數列前n項和與通項關系h_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），當n=1時h_1=S_1=2，當n≥2時h_n=3^n-1-(3^{n-1}-1)=2×3^{n-1}，故log_3(h_n)=n-1，前5項和為0+1+2+3+4=10。選項A正確。9.若數列{i_n}滿足i_1=1，i_{n+1}=i_n+2n，則i_10的值等于（）A.100B.110C.120D.130解析：由遞推關系i_{n+1}=i_n+2n，累加可得i_n=1+∑_{k=1}^{n-1}2k=1+n(n-1)=n^2-n，故i_10=100。選項A正確。10.在等比數列{j_n}中，若j_2=4，j_3=8，則j_5的值等于（）A.16B.32C.64D.128解析：由等比數列性質j_3/j_2=q，故q=2，j_5=j_3q^2=8×4=32。選項B正確。二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）1.若等差數列{a_n}的前n項和為S_n=5n^2+3n，則該數列的通項公式a_n等于________。解：由等差數列前n項和公式S_n=n/2(2a_1+(n-1)d)，代入S_n=5n^2+3n可得a_1=3，d=10，故a_n=3+(n-1)×10=10n-7。2.已知數列{b_n}的前n項和T_n=2^n-1，則b_5+b_6+b_7+b_8+b_9的值等于________。解：由數列前n項和與通項關系b_n=T_n-T_{n-1}（n≥2），當n=1時b_1=T_1=1，當n≥2時b_n=2^n-1，故b_5+b_6+b_7+b_8+b_9=2^5+2^6+2^7+2^8+2^9=2^5(1+2+4+8+16)=2^5×31=496。3.若數列{c_n}滿足c_1=2，c_{n+1}=c_n+3n，則c_10的值等于________。解：由遞推關系c_{n+1}=c_n+3n，累加可得c_n=2+∑_{k=1}^{n-1}3k=2+3×n(n-1)/2=3n^2-n-1，故c_10=3×100-10-1=289。4.在等比數列{d_n}中，若d_1=1，d_4=16，則該數列的前6項和S_6等于________。解：由等比數列通項公式d_n=1q^{n-1}，代入d_4=16可得q^3=16，解得q=2，故S_6=1×(1-2^6)/(1-2)=63。5.已知數列{e_n}的前n項和U_n=n(n+1)/2，則e_4的值等于________。解：由數列前n項和與通項關系e_n=U_n-U_{n-1}（n≥2），當n=1時e_1=U_1=1，當n≥2時e_n=n(n+1)/2-(n-1)n/2=2n-1，故e_4=7。6.若數列{f_n}滿足f_1=3，f_{n+1}=f_n+n，則f_5的值等于________。解：由遞推關系f_{n+1}=f_n+n，累加可得f_n=3+∑_{k=1}^{n-1}k=3+n(n-1)/2=n^2/2+n/2，故f_5=25/2+5/2=15。7.在等差數列{g_n}中，若a_2+a_8=20，則a_5+a_7+a_9的值等于________。解：由等差數列性質a_2+a_8=2a_5，故a_5=10，同理a_5+a_7+a_9=3a_7=3(a_2+a_8)/2=30。8.已知數列{h_n}的前n項和V_n=3^n-1，則數列{log_3(h_n)}的前4項和等于________。解：由數列前n項和與通項關系h_n=V_n-V_{n-1}（n≥2），當n=1時h_1=V_1=2，當n≥2時h_n=2×3^{n-1}，故log_3(h_n)=n-1，前4項和為0+1+2+3=6。9.若數列{i_n}滿足i_1=1，i_{n+1}=i_n+2n+1，則i_6的值等于________。解：由遞推關系i_{n+1}=i_n+2n+1，累加可得i_n=1+∑_{k=1}^{n-1}(2k+1)=1+n^2，故i_6=37。10.在等比數列{j_n}中，若j_3=12，j_5=96，則j_7的值等于________。解：由等比數列性質j_5/j_3=q^2，故q^2=8，解得q=2√2，j_7=j_5q^2=96×8=768。三、判斷題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）1.若數列{a_n}的前n項和S_n=2n^2-3n，則該數列是等差數列。（）解：由等差數列前n項和公式S_n=n/2(2a_1+(n-1)d)，代入S_n=2n^2-3n可得a_1=-1，d=4，故該數列是等差數列。正確。2.在等比數列{b_n}中，若b_1=1，b_4=16，則該數列的公比q等于4。（）解：由等比數列通項公式b_n=1q^{n-1}，代入b_4=16可得q^3=16，解得q=2√2，不等于4。錯誤。3.若數列{c_n}滿足c_1=2，c_{n+1}=c_n+n，則該數列是等差數列。（）解：由遞推關系c_{n+1}=c_n+n，可得c_n=2+∑_{k=1}^{n-1}k=2+n(n-1)/2=n^2/2+n/2，故c_{n+1}-(n+1)^2/2=(n-1)^2/2+n/2，不滿足等差數列定義。錯誤。4.在等差數列{d_n}中，若a_3+a_7=18，則a_5+a_9=36。（）解：由等差數列性質a_3+a_7=2a_5，故a_5=9，同理a_5+a_9=2a_7=2(a_3+a_7)/2=18。錯誤。5.已知數列{e_n}的前n項和T_n=n^2+n，則e_n=2n。（）解：由數列前n項和與通項關系e_n=T_n-T_{n-1}（n≥2），當n=1時e_1=T_1=2，當n≥2時e_n=2n，故e_n=2n。正確。6.若數列{f_n}滿足f_1=1，f_{n+1}=2f_n，則該數列是等比數列。（）解：由遞推關系f_{n+1}=2f_n，可得f_n=2^{n-1}，故f_{n+1}/f_n=2，滿足等比數列定義。正確。7.在等比數列{g_n}中，若g_2=4，g_4=16，則g_6=64。（）解：由等比數列性質g_4/g_2=q^2，故q^2=4，解得q=2，g_6=g_4q^2=16×4=64。正確。8.已知數列{h_n}的前n項和S_n=2^n-1，則h_n=n×2^{n-1}。（）解：由數列前n項和與通項關系h_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），當n=1時h_1=S_1=1，當n≥2時h_n=2^n-1-(2^{n-1}-1)=2^n-1，不等于n×2^{n-1}。錯誤。9.若數列{i_n}滿足i_1=1，i_{n+1}=i_n+2n，則i_n=n^2。（）解：由遞推關系i_{n+1}=i_n+2n，累加可得i_n=1+∑_{k=1}^{n-1}2k=1+n(n-1)=n^2-n，不等于n^2。錯誤。10.在等差數列{j_n}中，若j_1=3，j_4=7，則j_10=13。（）解：由等差數列通項公式j_n=3+(n-1)×(7-3)/3=3+(n-1)×4/3，故j_10=3+9×4/3=19。錯誤。四、簡答題（本大題共8小題，每小題2分，共16分）1.證明：若數列{a_n}是等差數列，則該數列的前n項和S_n是關于n的二次函數。證明：設等差數列{a_n}的首項為a_1，公差為d，則a_n=a_1+(n-1)d，S_n=n/2(2a_1+(n-1)d)=n/2(2a_1+nd-d)=n/2(nd+2a_1-d)=1/2nd+na_1-d/2，故S_n是關于n的二次函數。2.求等差數列{b_n}中，若a_1=2，a_5=14，則該數列的前10項和S_10的值。解：由等差數列通項公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_1=2，a_5=14可得14=2+4d，解得d=3，S_10=10/2(2×2+(10-1)×3)=5(4+27)=145。3.已知數列{c_n}的前n項和T_n=3^n-1，求該數列的通項公式a_n。解：當n=1時a_1=T_1=2，當n≥2時a_n=T_n-T_{n-1}=3^n-1-(3^{n-1}-1)=2×3^{n-1}，故a_n=2×3^{n-1}（n∈N）。4.求等比數列{d_n}中，若d_1=1，d_4=16，則該數列的前5項和S_5的值。解：由等比數列通項公式d_n=1q^{n-1}，代入d_4=16可得q^3=16，解得q=2，S_5=1×(1-2^5)/(1-2)=31。5.證明：若數列{e_n}的前n項和U_n=n(n+1)/2，則該數列是等差數列。證明：由數列前n項和與通項關系e_n=U_n-U_{n-1}（n≥2），當n=1時e_1=U_1=1，當n≥2時e_n=n(n+1)/2-(n-1)n/2=2n-1，故e_n=2n-1（n∈N），滿足等差數列定義。6.求等差數列{f_n}中，若a_3=7，a_7=15，則該數列的通項公式a_n。解：由等差數列性質a_3+a_7=2a_5，故a_5=11，d=(15-11)/2=2，a_n=a_3+(n-3)d=7+2(n-3)=2n-1。7.已知數列{g_n}滿足g_1=1，g_{n+1}=2g_n+n，求該數列的前4項。解：g_2=2g_1+1=3，g_3=2g_2+2=8，g_4=2g_3+3=19，故前4項為1,3,8,19。8.證明：若數列{h_n}是等比數列，則該數列的前n項和S_n（q≠1）是關于n的一次函數與一個常數項的和。證明：設等比數列{h_n}的首項為h_1，公比為q，則a_n=h_1q^{n-1}，S_n=h_1(1-q^n)/(1-q)=h_1/(1-q)-h_1q^n/(1-q)，當q≠1時，-h_1q^n/(1-q)是關于n的一次函數與一個常數項的和。五、應用題（本大題共8小題，每小題4分，共32分）1.某工廠生產一種產品，第一年產量為1000件，計劃每年比上一年增產200件，求第10年的產量。解：由等差數列{a_n}，a_1=1000，d=200，a_{10}=1000+(10-1)×200=1800（件）。2.某城市人口增長率為每年10%，若2020年人口為100萬，求2025年的人口數量。解：由等比數列{b_n}，b_1=100，q=1.1，b_5=100×1.1^5≈161.05（萬）。3.某人存款計劃每年存入銀行1000元，銀行年利率為5%，求第5年年末的存款總額（按復利計算）。解：由等比數列{c_n}，c_1=1000，q=1.05，S_5=1000×(1.05^5-1)/0.05≈2763（元）。4.某林場種植樹木，第一年種植100棵，以后每年比上一年多種植50棵，求第8年種植的樹木數量。解：由等差數列{d_n}，d_1=100，d=50，d_8=100+(8-1)×50=450（棵）。5.某產品成本第一年為100元，計劃每年降低5%，求第6年的產品成本。解：由等比數列{e_n}，e_1=100，q=0.95，e_6=100×0.95^5≈77.37（元）。6.某城市道路建設，第一年修建道路10公里，計劃