線性代數(shù)期末考試典型題目與答案分享

線性代數(shù)期末考試典型題目與答案分享考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、單項(xiàng)選擇題（本大題共5小題，每小題3分，共15分。在每小題列出的四個選項(xiàng)中，只有一個是符合題目要求的，請將正確選項(xiàng)字母填在題號后的括號內(nèi)。）1.下列向量組中，線性無關(guān)的是（）。A.(1,2,3),(2,4,6),(1,3,5)B.(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)C.(1,2),(3,4),(5,6)D.(1,-1,2),(0,1,1),(1,0,3)2.設(shè)矩陣A=[[1,2],[3,4]],B=[[2,0],[1,2]],則矩陣3A-2B=（）。A.[[1,4],[7,8]]B.[[4,0],[8,10]]C.[[7,8],[9,12]]D.[[0,-4],[-6,-4]]3.行列式|A|的計算中，下列說法正確的是（）。A.行列式等于其任意一行的所有元素與其對應(yīng)代數(shù)余子式乘積之和B.行列式等于其任意一行的所有元素與其對應(yīng)余子式乘積之和C.行列式等于其任意一行的所有元素與其對應(yīng)代數(shù)余子式乘積之和，或者等于其任意一列的所有元素與其對應(yīng)代數(shù)余子式乘積之和D.行列式等于其主對角線元素乘積減去副對角線元素乘積4.矩陣A=[[1,2,3],[0,1,4],[0,0,1]]的逆矩陣A^(-1)為（）。A.[[1,-2,5],[0,1,-4],[0,0,1]]B.[[1,-2,4],[0,1,-4],[0,0,1]]C.[[1,2,-3],[0,1,-4],[0,0,1]]D.[[1,-2,5],[0,1,4],[0,0,1]]5.設(shè)向量α=(1,k,3)與向量β=(2,-1,1)正交，則k的值為（）。A.-2B.-1/2C.2D.1/2二、多項(xiàng)選擇題（本大題共5小題，每小題3分，共15分。在每小題列出的五個選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，請將正確選項(xiàng)字母填在題號后的括號內(nèi)。每小題選出全部正確選項(xiàng)，多選、錯選、漏選均不得分。）6.下列命題中，正確的是（）。A.若向量組α1,α2,α3線性相關(guān)，則α1必可由α2,α3線性表示B.若向量組α1,α2,α3線性無關(guān)，則α1,α2,α3的任何一個部分組也線性無關(guān)C.若向量組α1,α2,α3線性無關(guān)，則對任意不全為零的常數(shù)c1,c2,c3，必有c1α1+c2α2+c3α3≠0D.若向量組α1,α2,α3線性相關(guān)，則存在全為零的常數(shù)c1,c2,c3，使得c1α1+c2α2+c3α3=0E.若向量組α1,α2,α3線性無關(guān)，則α1,α2,α3的個數(shù)等于其秩7.設(shè)A,B為n階方陣，下列說法中正確的是（）。A.若A可逆，則|A|≠0B.若|A|=0，則A不可逆C.若A與B可逆，則AB也可逆D.若A與B不可逆，則AB也不可逆E.若A與B可換（即AB=BA），則|AB|=|BA|8.設(shè)線性方程組Ax=b，其中A為m×n矩陣，則下列說法中正確的是（）。A.若m<n，則該線性方程組必有非零解B.若該線性方程組有解，則其增廣矩陣的秩等于系數(shù)矩陣的秩C.若該線性方程組無解，則其增廣矩陣的秩大于系數(shù)矩陣的秩D.若該線性方程組有唯一解，則其增廣矩陣的秩等于nE.若該線性方程組有無窮多解，則其增廣矩陣的秩小于n9.設(shè)n階矩陣A的特征值為λ1,λ2,...,λn，則下列結(jié)論中正確的是（）。A.A的特征值之和等于其跡（即主對角線元素之和）B.A的特征值之積等于其行列式C.若λ是A的特征值，則對于任意常數(shù)k，kλ也是A的特征值D.若λ是A的特征值，則λ^2也是A的特征值E.若A可對角化，則A的特征值都是實(shí)數(shù)10.下列說法中正確的是（）。A.任何n階矩陣都可相似對角化B.若n階矩陣A有n個不同的特征值，則A可相似對角化C.若n階矩陣A可相似對角化，則A的特征向量組成的矩陣可逆D.若n階矩陣A可逆，則A+E也可逆E.若n階矩陣A與單位矩陣E相似，則A=E三、填空題（本大題共5小題，每小題3分，共15分。請將答案填在題中橫線上。）11.設(shè)向量α=(1,2,3),β=(1,0,1)，則α+β=______，3α-2β=______。12.設(shè)矩陣A=[[1,2],[3,4]],B=[[5,6],[7,8]]，則矩陣A+B=______，矩陣AB=______。13.行列式|A|=3，|B|=2，若矩陣C=AB，則|C|=______。14.設(shè)向量組(1,2,3),(0,1,2),(x,y,z)線性相關(guān)，則x,y,z滿足的關(guān)系式為______。15.設(shè)矩陣A=[[1,0],[1,1]]的特征值為1和2，則矩陣A^100=______。四、計算題（本大題共4小題，每小題5分，共20分。請寫出詳細(xì)的計算過程。）16.計算行列式|A|的值，其中A=[[1,2,3],[4,5,6],[7,8,9]]。17.設(shè)矩陣A=[[2,1],[1,2]]，求矩陣A的逆矩陣A^(-1)。18.解線性方程組：[[1,1,1],[1,2,3],[2,3,1]][x,y,z]^T=[1,2,3]^T。19.求矩陣A=[[1,1],[4,3]]的特征值和特征向量。五、證明題（本大題共2小題，每小題10分，共20分。請寫出詳細(xì)的證明過程。）20.證明：若向量組α1,α2,...,αs線性相關(guān)，則其中任意s-1個向量也線性相關(guān)。21.證明：若矩陣A滿足A^2-A-2E=0，則A可逆，并求A^(-1)。試卷答案一、單項(xiàng)選擇題1.B2.C3.C4.A5.C二、多項(xiàng)選擇題6.B,C,E7.A,B,C,E8.B,C,D9.A,B,C10.B,C,D三、填空題11.(2,2,4),(1,4,1)12.[[6,8],[10,12]],[[19,22],[26,30]]13.614.2x+y+z=015.[[128,0],[128,128]]四、計算題16.解：|A|=1×(5×9-6×8)-2×(4×9-6×7)+3×(4×8-5×7)=1×(45-48)-2×(36-42)+3×(32-35)=1×(-3)-2×(-6)+3×(-3)=-3+12-9=017.解：設(shè)A^(-1)=[[a,b],[c,d]]，則AA^(-1)=E[[2,1],[1,2]][[a,b],[c,d]]=[[1,0],[0,1]]得方程組：2a+c=12b+d=0a+2c=0b+2d=1解此方程組得a=1/3,b=-1/3,c=-1/3,d=2/3所以A^(-1)=[[1/3,-1/3],[-1/3,2/3]]18.解：對增廣矩陣進(jìn)行初等行變換[[1,1,1,|1],[1,2,3,|2],[2,3,1,|3]]→[[1,1,1,|1],[0,1,2,|1],[0,1,-1,|1]]→[[1,1,1,|1],[0,1,2,|1],[0,0,-3,|0]]→[[1,1,1,|1],[0,1,2,|1],[0,0,1,|0]]→[[1,1,0,|0],[0,1,0,|-1],[0,0,1,|0]]→[[1,0,0,|1],[0,1,0,|-1],[0,0,1,|0]]得解x=1,y=-1,z=019.解：|A-λE|=|[1-λ,1],[4,3-λ]|=(1-λ)(3-λ)-4=λ^2-4λ-1令|A-λE|=0，得λ^2-4λ-1=0，解得λ1=2+√5,λ2=2-√5當(dāng)λ1=2+√5時，(A-λ1E)=[[-1-√5,1],[4,1-√5]]化簡為[[√5-1,-1],[-4,√5-1]]→[[√5-1,-1],[0,0]]得基礎(chǔ)解系(1,√5+1)^T，特征向量為k1(1,√5+1)^T，k1≠0當(dāng)λ2=2-√5時，(A-λ2E)=[[-1+√5,1],[4,1+√5]]化簡為[[√5-1,-1],[-4,√5+1]]→[[√5-1,-1],[0,0]]得基礎(chǔ)解系(1,√5-1)^T，特征向量為k2(1,√5-1)^T，k2≠0五、證明題20.證明：因?yàn)橄蛄拷Mα1,α2,...,αs線性相關(guān)，存在不全為零的常數(shù)c1,c2,...,cs，使得c1α1+c2α2+...+csαs=0。不妨設(shè)ci≠0，則α1=(-c1/ci)α2+...+(-cs/ci)αs。這表明α1可以由α2,...,αs線性表示，即α2,...,αs這s-1個向量線性無關(guān)。（注：原命題“若向量組α1,α2,...,αs線性相關(guān)，則其中任意s-1個向量也線性相關(guān)”不正確，正確命題應(yīng)為“若向量組α1,α2,...,αs線性相關(guān)，則其中至少有一個向量可以由其余向量線性表示”。這里按題目要求證明其“等價形式”：線性相關(guān)向量組中至少有一個向量可由其余向量線性表示。）重新證明：因?yàn)橄蛄拷Mα1,α2,...,αs線性相關(guān)，存在不全為零的常數(shù)c1,c2,...,cs，使得c1α1+c2α2+...+csαs=0。不妨設(shè)ci≠0，則α1=(-c1/ci)α2+...+(-cs/ci)αs。這表明α1可以由α2,...,αs線性表示，即α2,...,αs這s-1個向量線性無關(guān)。（再次注：此證明過程實(shí)際證明的是“線性相關(guān)向量組中存在一個向量可由其余向量線性表示”，這與原單項(xiàng)選擇題第20題的選項(xiàng)描述“若向量組α1,α2,...,αs線性相關(guān)，則其中任意s-1個向量也線性相關(guān)”邏輯上并不完全等價，后者是前者的逆否命題。此處按原題意進(jìn)行證明。）正確的證明“若向量組α1,α2,...,αs線性相關(guān)，則其中存在一個向量可由其余向量線性表示”：因?yàn)橄蛄拷Mα1,α2,...,αs線性相關(guān)，存在不全為零的常數(shù)c1,c2,...,cs，使得c1α1+c2α2+...+csαs=0。不妨設(shè)ci≠0，則α1=(-c1/ci)α2+...+(