全國研究生入學考試數學試題及答案

全國研究生入學考試數學試題及答案考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、單項選擇題：本大題共15小題，每小題2分，共30分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。請將所選項前的字母填在答題卡上。1.函數f(x)=arcsin(2x-1)的定義域是().A.[-1/2,1/2]B.[-1,1]C.[0,1]D.(-∞,-1/2]∪[1/2,+∞)2.極限lim(x→0)(e^x-cosx)/x^2=().A.1/2B.1C.2D.03.函數f(x)=x^3-3x+2在區間[0,3]上的最大值是().A.2B.3C.5D.64.若函數f(x)在點x0處可導，且f'(x0)=2，則lim(h→0)[f(x0+h)-f(x0-h)]/2h=().A.1B.2C.4D.不存在5.曲線y=ln(x^2+1)在點(1,ln2)處的切線斜率是().A.1B.2C.ln2D.2ln26.函數f(x)=x^3-3x^2+2在區間(1,2)內的駐點個數為().A.0B.1C.2D.無法確定7.廣義積分∫(1to+∞)(1/x^p)dx收斂的條件是().A.p>1B.p<1C.p=1D.對任意p值均收斂8.設函數f(x)在區間[a,b]上連續，則在(a,b)內至少存在一點ξ，使得().A.f(ξ)=0B.f'(ξ)=0C.f(b)-f(a)=f'(ξ)(b-a)D.f(ξ)=(f(b)+f(a))/29.設z=x^2+y^2，則dz|_(x=1,y=1,Δx=0.1,Δy=0.2)=().A.0.3B.0.4C.0.5D.0.610.設函數f(x)在點(x0,y0)處的偏導數?f/?x|x0,y0和?f/?y|x0,y0都存在，則下列說法正確的是().A.f(x,y)在點(x0,y0)處連續B.f(x,y)在點(x0,y0)處可微C.曲面z=f(x,y)在點(x0,y0,f(x0,y0))處存在切平面D.lim(x,y→x0,y0)[f(x,y)-f(x0,y0)]/sqrt((x-x0)^2+(y-y0)^2)=011.級數∑(n=1to∞)(-1)^(n+1)(1/n^2)的斂散性是().A.發散B.條件收斂C.絕對收斂D.無法判斷12.冪級數∑(n=0to∞)(x-2)^n/(2^n)的收斂半徑R是().A.1B.2C.4D.013.微分方程y''-4y'+4y=0的通解是().A.y=C1e^2x+C2xe^2xB.y=(C1+C2x)e^-2xC.y=C1e^2x+C2e^-2xD.y=C1e^-2x+C2e^2x14.設A是n階可逆矩陣，則下列說法錯誤的是().A.|A|≠0B.A的行向量組線性無關C.A的列向量組線性相關D.A的秩等于n15.設向量組α1,α2,α3線性無關，則下列向量組中線性無關的是().A.α1+α2,α2+α3,α3+α1B.α1-α2,α2-α3,α3-α1C.2α1,2α2,2α3D.α1+2α2,α2+2α3,α3+2α1二、填空題：本大題共15小題，每小題2分，共30分。請將答案填在答題卡上相應的位置。16.極限lim(x→0)(sin3x)/x=_______.17.曲線y=x^3-3x^2+2的拐點是_______.18.若f'(x)=3x^2+2x，則f(x)=_______(寫出任意一個原函數).19.設函數f(x)在區間[a,b]上連續，則在(a,b)內至少存在一點ξ，使得f(b)-f(a)=_______f'(ξ)(b-a).20.若函數z=f(x,y)在點(x0,y0)處可微，則z在該點處一定_______.21.級數∑(n=1to∞)(1/(n+1)!)的前n項部分和Sn=_______(用n表示).22.函數y=arctan(x^2)的二階導數y''=_______.23.若z=ln(x^2+y^2)，則?^2z/?x?y=_______.24.微分方程y'+y=0的通解是_______.25.設A=|12;34|，則|A|=_______.26.若向量α=(1,2,3)和β=(a,b,c)平行，則a,b,c滿足關系式_______.27.設A是3階矩陣，且|A|=2，則|3A|=_______.28.向量組α1=(1,0,0),α2=(0,1,0),α3=(0,0,1)的秩是_______.29.設事件A和B互斥，且P(A)=0.3，P(B)=0.4，則P(A∪B)=_______.30.設隨機變量X服從參數為λ的泊松分布，且P(X=1)=P(X=2)，則λ=_______.三、解答題：本大題共10小題，共120分。請將解答寫在答題卡上指定的位置。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。31.(10分)計算定積分∫(0toπ/2)xsinxdx.32.(10分)設函數f(x)在區間[0,1]上連續，且滿足f(x)=x+∫(0tox)f(t)dt。求函數f(x).33.(10分)求函數z=x^2+y^2-xy的極值.34.(10分)計算二重積分∫∫(D)x^2ydA，其中D是由拋物線y=x^2和直線y=1所圍成的區域.35.(10分)將函數f(x)=x^2在區間[-π,π]上展開成以2π為周期的傅里葉級數.36.(12分)解線性微分方程y''-3y'+2y=x^2.37.(12分)設矩陣A=|123;014;001|，求矩陣A的逆矩陣A^(-1).38.(12分)已知向量組α1=(1,1,1),α2=(1,2,3),α3=(1,3,t)。(1)當t取何值時，向量組α1,α2,α3線性無關？(2)當t取何值時，向量組α1,α2,α3線性相關？并求出其一個線性關系式。39.(12分)在一批產品中，一級品率為90%，二級品率為7%，三級品率為3%?，F從中隨機抽取一件產品，如果是二級品，則不再抽取；如果是三級品，則再抽取一件。求第二次抽取到的是一級品的概率。40.(12分)設隨機變量X和Y的聯合概率密度函數為f(x,y)={c(x+y)0≤y≤x≤1;0otherwise}。(1)求常數c的值。(2)求隨機變量X的邊緣概率密度函數fX(x)。(3)求P(X+Y≤1).試卷答案一、單項選擇題：1.C2.C3.C4.B5.A6.B7.A8.C9.A10.B11.C12.B13.A14.C15.A二、填空題：16.317.(1,2)18.x^3+x^2+C19.120.連續21.1-1/n!+O(1/n!)22.2x/(1+x^4)23.2xy/(x^2+y^2)24.Ce^(-x)25.-226.b=2a,c=3a27.1828.329.0.730.1三、解答題：31.解：∫(0toπ/2)xsinxdx=-xcosx|_(0toπ/2)+∫(0toπ/2)cosxdx=-π/2*0+sinx|_(0toπ/2)=sinπ/2-sin0=1.32.解：f(x)=x+∫(0tox)f(t)dt=>f'(x)=1+f(x)=>f'(x)-f(x)=1.這是一個一階線性非齊次微分方程。齊次方程f'(x)-f(x)=0的通解為f_h(x)=Ce^x.非齊次方程的特解可設為f_p(x)=A.代入方程得A-A=1,無解。改設為f_p(x)=Ax。代入方程得A-Ax=1=>A(1-x)=1=>A=-1/x(x≠0).特解為f_p(x)=-x。通解為f(x)=f_h(x)+f_p(x)=Ce^x-x.由f(0)=0+∫(0to0)f(t)dt=0=>C*e^0-0=0=>C=0.所以f(x)=-x.33.解：求駐點：設F(x,y)=x^2+y^2-xy,則?F/?x=2x-y,?F/?y=2y-x.令?F/?x=0,?F/?y=0=>2x-y=0,2y-x=0=>x=0,y=0.駐點為(0,0).求二階導數：A=?^2F/?x^2=2,B=?^2F/?x?y=-1,C=?^2F/?y^2=2.判定：AC-B^2=2*2-(-1)^2=4-1=3>0.又因為A=2>0，所以駐點(0,0)是極小值點。極小值為f(0,0)=0^2+0^2-0*0=0.34.解：積分區域D由y=x^2和y=1圍成。在xOy平面上，D在y=x^2下方，y=1上方；x的范圍從-1到1。∫∫(D)x^2ydA=∫(-1to1)∫(x^2to1)x^2ydydx=∫(-1to1)x^2[(y^2/2)|_(x^2)^(1)]dx=∫(-1to1)x^2[(1/2)-(x^4/2)]dx=(1/2)∫(-1to1)x^2dx-(1/2)∫(-1to1)x^6dx=(1/2)[x^3/3|_(-1to1)]-(1/2)[x^7/7|_(-1to1)]=(1/2)[(1/3)-(-1/3)]-(1/2)[(1/7)-(-1/7)]=(1/2)*(2/3)-(1/2)*(2/7)=1/3-1/7=4/21.35.解：f(x)=x^2在[-π,π]上是偶函數，所以展開成余弦級數。a_0=(1/π)∫(-πtoπ)x^2dx=(2/π)∫(0toπ)x^2dx=(2/π)[x^3/3|_(0toπ)]=(2/π)(π^3/3)=2π^2/3.a_n=(1/π)∫(-πtoπ)x^2cos(nx)dx=(2/π)∫(0toπ)x^2cos(nx)dx.用分部積分兩次：令u=x^2,dv=cos(nx)dx=>du=2xdx,v=(1/n)sin(nx).∫x^2cos(nx)dx=(x^2/n)sin(nx)|_(0toπ)-∫(2x/n)sin(nx)dx=(π^2/n)sin(nπ)-0-(2/n)∫xsin(nx)dx=0-(2/n)[-(x/n)cos(nx)|_(0toπ)+∫(1/n)cos(nx)dx]=(2/n^2)[xcos(nx)|_(0toπ)-∫(1/n)cos(nx)dx]=(2/n^2)[πcos(nπ)-0-(1/n^2)sin(nx)|_(0toπ)]=(2/n^2)[πcos(nπ)-0]=(2π/n^2)cos(nπ)=(2π/n^2)(-1)^n.a_n=(2/π)*(2π/n^2)(-1)^n=(4/n^2)(-1)^n.b_n=0(因為f(x)是偶函數).所以f(x)=x^2=π^2/3+∑(n=1to∞)(4/n^2)(-1)^ncos(nx)(-π≤x≤π).收斂定理保證在x=±π處收斂于π^2/2.36.解：對應的齊次方程y''-3y'+2y=0的特征方程為r^2-3r+2=0=>(r-1)(r-2)=0=>r1=1,r2=2.齊次方程通解為y_h(x)=C1e^x+C2e^(2x).非齊次方程的特解，考慮自由項x^2是多項式。由于齊次方程的特征根1和2都不是0，特解可設為Ax^2+Bx+C。代入原方程：(2A)x+B+(Ax^2+Bx+C)-3(Ax^2+Bx+C)'+2(Ax^2+Bx+C)=x^2=>(2A)x+B+Ax^2+Bx+C-3(2Ax+B)+2(Ax^2+Bx+C)=x^2=>Ax^2+(2A+B-6A+2B)x+(B-3B+2C)=x^2=>Ax^2+(-4A+3B)x+(-2B+2C)=x^2比較系數：A=1-4A+3B=0=>-4+3B=0=>3B=4=>B=4/3-2B+2C=0=>-2(4/3)+2C=0=>-8/3+2C=0=>2C=8/3=>C=4/3特解為y_p(x)=x^2+(4/3)x+4/3.通解為y(x)=y_h(x)+y_p(x)=C1e^x+C2e^(2x)+x^2+(4/3)x+4/3.37.解：這是一個上三角矩陣。上三角矩陣的逆矩陣也是上三角矩陣，且主對角線元素為原矩陣對應元素的倒數，非主對角線上的元素可以通過矩陣運算求得。設A^(-1)=|abc;0de;00f|.AA^(-1)=|123;014;001||abc||0de||00f|=|a+2b+3cb+2cc+3d||0de||00f|=>a+2b+3c=1,b+2c=0,c+3d=0=>c=0,b=0,a=1.0=1,e=4=>e=4.0=1,f=1=>f=1.所以A^(-1)=|100;014;001|.38.解：構造矩陣A=|111;123;13t|.(1)向量組α1,α2,α3線性無關的充要條件是矩陣A的秩為3。對A進行行變換：R2=R2-R1=>|111;012;13t|R3=R3-R1=>|111;012;02t-1|R3=R3-2*R2=>|111;012;00t-5|當t≠5時，矩陣A的秩為3，向量組α1,α2,α3線性無關。當t=5時，矩陣A的秩為2，向量組α1,α2,α3線性相關。當t=5時，矩陣A變為|111;012;000|。令x3=k，x2=-2k，x1=-x2-x3=2k-k=k。得關系式：k*α1-2k*α2+k*α3=0，即α1-2α2+α3=0.39.解：設A=一級品，B=二級品，C=三級品。P(A)=0.9,P(B)=0.07,P(C)=0.03.P(第二次抽到一級品)=P(A)+P(B)P(A|B)+P(C)P(A|C)=0.9+0.07*0.9