2026年小升初數學思維訓練：第九章排列組合好題精練A組-夯基礎

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁好題精練A組——夯基礎1．現有0、1、2、3、4五張數字卡片。(1)可以組成多少個三位數？(2)可以組成多少個沒有重復數字的三位數？(3)可以組成多少個沒有重復數字的三位偶數？(4)可以組成多少個小于1000的自然數？2．從15名同學中選5人參加數學競賽，求分別滿足下列條件的選法各有多少種？(1)某兩人必須入選；(2)某兩人中至少有一人入選。3．七個同學照相，分別求出在下列條件下有多少種站法？(1)七個人排成一排；(2)七個人排成一排，某兩人必須有一人站在中間。4．從1到99的所有自然數中，不含數字2的自然數有多少個？5．用1、2、3、4可組成多少個沒有重復數字的三位數并且是雙數？6．在自然數0～9中任意選三個不同的數，使得它們的積是偶數，共有多少種不同選法？7．如下圖，從A到B，要求按照從左到右，從下到上，從左下向右上的走法，有多少種不同走法？8．1、2、3、4四個數字，從小到大排成一行，在這四個數中間，任意插入乘號（最少插一個乘號），可以得到多少個不同的乘積？9．面值為1元、2元、5元、10元幣各一張，從中任取其一或若干，共能湊出多少種不同面值？10．如圖所示，按照向右或向上的方向，沿著方格線從A到B，共有多少種不同走法？答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁《第九章排列組合好題精練A組——夯基礎》參考答案：1．(1)100(2)48(3)30(4)125【難度】0.27【知識點】排列組合【分析】（1）組成三位數時，百位不能為0，有4種選擇，十位、個位各有5種選擇，根據分步乘法計數原理，總數為4×5×5＝100。（2）組成沒有重復數字的三位數時，先從1－4中選1個排百位，再依次從剩余4個數字中選1個排十位、剩余3個數字中選1個排個位，總數為4×4×3＝48。（3）組成沒有重復數字的三位偶數，需按個位數字分類討論：個位為0時，百位從1－4中選1個、十位從剩余3個數字中選1個，數量為4×3×1＝12；個位為2或4時，個位有2種選擇，百位從剩余非0數字中選1個、十位從剩余3個數字中選1個，數量3×3×2＝18，再將兩類數量相加。（4）組成小于1000的自然數，包含一位數、兩位數和三位數：一位數有5個，兩位數為4×5＝20個，三位數按（1）的結論有100個，再根據分類加法計數原理求和。【詳解】（1）此問未限制數字不可重復，視為數字組合問題。百位：不能為0，可選1、2、3、4，共4種選擇。十位：可選0、1、2、3、4，共5種選擇。個位：可選0、1、2、3、4，共5種選擇。根據乘法原理：答：可以組成100個三位數。（2）此問限制數字不可重復。百位：不能為0，可選1、2、3、4，共4種選擇。十位：不能與百位重復，可選剩余4個數字，共4種選擇。個位：不能與百位、十位重復，可選剩余3個數字，共3種選擇。根據乘法原理：（個）答：可以組成48個沒有重復數字的三位數。（3）此問限制數字不可重復且為偶數，需根據個位數字分類討論。情況一：個位是0個位：1種選擇。百位：不能為0，可選1、2、3、4，共4種選擇。十位：不能與百位、個位重復，可選剩余3個數字，共3種選擇。數量：（個）情況二：個位是2或4個位：可選2、4，共2種選擇。百位：不能為0且不能與個位重復，可選剩余3個數字，共3種選擇。十位：不能與百位、個位重復（可以是0），可選剩余3個數字，共3種選擇。數量：（個）總計：（個）答：可以組成30個沒有重復數字的三位偶數。（4）此問未限制數字不可重復，包含一位數、兩位數和三位數。一位數：可選0、1、2、3、4，共5個。兩位數：十位：不能為0，可選1、2、3、4，共4種選擇。個位：可選0、1、2、3、4，共5種選擇。數量：（個）三位數：由第（1）題可知，共100個。總計：（個）答：可以組成125個小于1000的自然數。【點睛】這類數字排列問題，核心是用好乘法原理，同時注意首位不能為0、是否允許重復、偶數個位限制等這些關鍵條件，按要求分步確定每一位的選擇數，再相乘得到結果。2．(1)286種(2)1716種【難度】0.62【知識點】排列組合【分析】（1）既然某兩人必須入選，那么只需要從剩下的13名同學中再選出3人即可滿足條件。（2）要求某兩人中至少有一人入選，直接分類討論較為復雜，可以采用排除法（互補法）。即用從15人中任選5人的總選法，減去某兩人都不入選（即從剩下的13人中選5人）的選法，即可得到至少有一人入選的選法。【詳解】（1）某兩人必須入選：剩余可選人數：（人）還需選出人數：（人）選法數量為：（種）答：某兩人必須入選有286種選法。（2）某兩人中至少有一人入選：方法一：總選法減去兩人都不入選的選法。從15人中選5人的總選法：（種）某兩人都不入選，即從剩下的13人中選5人：（種）至少有一人入選的選法：（種）答：某兩人中至少有一人入選有1716種選法。3．(1)5040種(2)1440種【難度】0.67【知識點】乘法原理、排列組合【分析】（1）7個人排成一排，相當于7個人全排列。（2）首先確定中間位置，某兩人中必有一人站在中間，有2種選擇；中間位置確定后，其余6個位置由剩下的6人進行全排列，最后將兩步的結果相乘。【詳解】（1）（種）答：七個人排成一排有5040種站法。（2）七個人排成一排，共有7個位置，中間位置為第4個位置。確定中間位置的人選，某兩人中必須有一人站在中間，有2種選法。第二步：剩余6人全排列。（種）答：七個人排成一排，某兩人必須有一人站在中間有1440種站法。4．80個【難度】0.65【知識點】乘法原理、排列組合【分析】將從1到99的自然數按照位數分為一位數和兩位數兩類。分別找出一位數和兩位數中不含數字2的數的個數，最后將兩類數的個數相加即可得到總數。【詳解】從1到99的所有自然數可分為兩大類，即一位數和兩位數。一位數中，不含數字2的有8個，它們是1、3、4、5、6、7、8、9；兩位數中，不含數字2的可以這樣考慮：十位上，不含2、0的有1、3、4、5、6、7、8、9這8種情況；個位上，不含2的有0、1、3、4、5、6、7、8、9這9種情況。要確定一個兩位數，可以先取十位數，再取個位數，應用乘法原理，這時共有：（個）根據加法原理，從1到99的所有自然數中，不含有數字2的自然數一共有：（個）答：不含有數字2的自然數有80個。5．12個【難度】0.65【知識點】數字中的組合問題【分析】由題意知，需要組成沒有重復數字的三位數并且是雙數，那就可以確定個位是2或4，然后列舉所有可能的組合，數出個數即可。【詳解】個位為2時，三位數有：132、312、142、412、342、432，6個數；個位為4時，三位數有：124、214、134、314、234、324，6個數；能組成沒有重復數字的三位數并且是雙數有：6＋6＝12（個）答：用1、2、3、4可組成12個沒有重復數字的三位數并且是雙數。6．110種【難度】0.65【知識點】排列組合【分析】根據奇偶數的運算性質，三個數的積是偶數，意味著這三個數中至少有一個是偶數；反之，如果三個數的積是奇數，則這三個數必須全部是奇數。直接計算積為偶數的情況較為復雜（包含1個偶數、2個偶數、3個偶數三種情況），因此采用“排除法”思考：用從10個數中任選3個數的總選法，減去三個數全是奇數的選法，就是為積是偶數的選法。計算選法數量時，需注意選取的三個數不分順序。【詳解】0～9共10個數，從10個數中任選3個不同的數，不考慮順序。＝（10×9×8）÷（3×2×1）＝720÷6＝120（種）0～9共有5個奇數，從5個奇數中任選3個不同的數，不考慮順序。＝（5×4×3）÷（3×2×1）＝60÷6＝10（種）積是偶數的選法：120－10＝110（種）答：共有110種不同選法。7．20種【難度】0.65【知識點】加法原理【分析】根據題意，“從左到右，從下到上，從左下向右上”的走法，表示不走回頭路，所以每個點只能從它的正下方、左下方、正左方這三個方向過來。每個點的走法數＝所有能“走到它”的點的數字之和。【詳解】根據分析，作圖如下，從A點到B點共有20種走法。8．個【難度】0.15【知識點】加法原理【分析】4個數字，總共3個間隔，那么可以選擇插入1個、2個、3個乘號，分類枚舉，求出每種情況下的乘積個數，相加得到總數。【詳解】（1）若插入一個乘號，4個數字之間有3個空當，選3個空當中的任一空當放乘號，所以有3種不同的插法，可以得到3個不同的乘積，枚舉如下：，，。（2）若插入兩個乘號，由于必有一個空當不放乘號，所以從3個空檔中選2個空當插入乘號有3種不同的插法，可以得到3個不同的乘積，枚舉如下：，，。（3）若插入三個乘號，則只有1個插法，可以得到l個不同的乘積，枚舉如下：。所以，根據加法原理共有種不同的乘積。答：可以得到7個不同的乘積。【點睛】每個空可以放入乘號可以可以不放乘號共有兩種選擇，除去一個也不放的情況，總共的方法數是23－1種。9．15種【難度】0.65【知識點】排列組合【分析】按取出人民幣的張數進行分類，分別列舉出每類中可能組合成的幣值，最后把所有幣值的種數相加即可。【詳解】取一張，共4種不同的幣值：1元、2元、5元、10元；取兩張，共6種不同的幣值：3元、6元、11元、7元、12元、15元；取三張，共4種不同的幣值：8元、17元、13元、16元；取四張，共1種幣值：18元。一共有：4＋6＋4＋1＝15（種）答：共可以組成15種不同的幣值。10．35種【難度】0.65【知識點】加法原理、排列組合【分析