2026年廣東省廣州市高考數(shù)學(xué)考前適應(yīng)性試卷（附答案解析）

2026年廣東省廣州市高考數(shù)學(xué)考前適應(yīng)性試卷

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要

求的。

1.(5分)已知集合U=E,A={x\y^=lg(x-2)},貝i」Cu/=()

A.(-8,2]B.(-g,2)C.(0,2]D.(-8,3]

2.(5分)若身數(shù)z滿足（z+Z）（1-2/）=5,則k尸（)

A.V2B.1C.2D.V5

3.(5分)記等差數(shù)列｛的｝的前n項(xiàng)和為若Sio=O,S6=2S3-12,則。1=()

A.6B.8C.10D.12

sin(a+B)ttana

4.(5分)已知一^一有=3，則；~-=(

stn(a-[5)tanp

11

'?3B-2C.2D.3

5.（5分）某批產(chǎn)品檢驗(yàn)后的評(píng)分，由統(tǒng)計(jì)結(jié)果制成如圖所示的頻率分布直方圖，下列說法中正確的是

（）（同一區(qū)間中的數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）

B.評(píng)分的眾數(shù)估值為70

C.評(píng)分的下四分位數(shù)估值為67.5

D.評(píng)分的平均數(shù)估值為76

6.（5分）某空間站由兒B,。三個(gè)艙構(gòu)成，某次實(shí)驗(yàn)需要5名宇航員同時(shí)在3個(gè)艙中開展，每個(gè)人只能

去1個(gè)艙，每個(gè)艙至少安排1名宇航員，其中宇航員甲只能去力艙，則不同的安排方法的種數(shù)為（）

A.35B.36C.42D.50

\lcg2x\,0<x<2

7.（5分）已知函數(shù)/（%）=7r、c，若存在實(shí)數(shù)XI，X2，X3，X4，滿足XIVx2VX3〈X4,

z2<x<10

第1頁（共18頁）

且/（XI）=f（X2）=f（X3）=/（X4），則一2----------的取值范圍是（)

Xl-X2

A.（0,12）B.（4,16）C.（9,21）D.（15,25）

8.（5分）已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，過拋物線產(chǎn)=2px（p>0）焦點(diǎn)的直線與該拋物線交于4B兩點(diǎn),若|力用

=12,若△048面積為小乃，貝ijp=（）

A.4B.3C.2V6D.3企

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共計(jì)18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。

（多選）9.（6分）下列命題正確的是（）

A.若樣本數(shù)據(jù)XI，X2，…，X6的方差為2,則數(shù)據(jù)2口-1,2口-1,…，2x6-1的方差為4

B.若P（力）=0,6,P（8|4）=0.5,P（B\A）=0.2,則P（B）=0.38

C.在一組樣本數(shù)據(jù)（xi，yi）t（X2?”），…，（x〃，丁〃），（〃22,XI，彳2，…，x”不全相等）的散點(diǎn)圖

中，若所有樣本點(diǎn)（即，N），（，=1,2,…，〃）都在直線y=—4x+l上，則這組樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)系

數(shù)為T

D.以模型^=比心去擬合一組數(shù)據(jù)時(shí)，為了求出經(jīng)驗(yàn)回歸方程，設(shè)z=/〃y,求得經(jīng)驗(yàn)回歸方程為z=4%+

0.3,則c,A的值分別是R3和4

（多選）10.（6分）已知函數(shù)/J）=Jsin（cox+（p）（J>0,3>0,0<（p<n）的圖象滿足以下特征：圖

象經(jīng)過點(diǎn)（0,V3）,并且在y軸右側(cè)的第一個(gè)零點(diǎn)為今第一個(gè)最低點(diǎn)為（瑞，-2）,則下列有關(guān)函數(shù)/

（x）及其性質(zhì)的描述正確的是（）

.27r

A.@二手

B.%=備為函數(shù)/?）圖象的一條對(duì)稱軸

C.將/（x）的圖象向右平移《個(gè)單位長(zhǎng)度后，將得到一個(gè)偶函數(shù)的圖象

lo

D.函數(shù)/（丫）的單調(diào)遞減區(qū)間為［得+當(dāng),MT+2聶］（「G7）

（多選）11.（6分）在邊長(zhǎng)為3的正方體力8CO-由BiCiOi中，動(dòng)點(diǎn)M在棱4）上，動(dòng)點(diǎn)N在棱CG上，

滿足以下對(duì)MN運(yùn)動(dòng)過程的描述，正確的是（）

A.存在"N,滿足

V6

B.存在MN,使MN與小坊所成角的余弦值為二

C.點(diǎn)C到平面MND\的距離為定值

第2頁（共18頁）

9

D.四面體的體積為定值Q

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.（5分）曲線歹=3*在點(diǎn)（（），I）處的切線方程是.

13.（5分）若2=（入，4）,1=（3,5）,且會(huì)與力的夾角為銳角，則入的取值范圍是

14.（5分）已知點(diǎn)尸、。分別是橢圓=+七=1和圓G-2）2+產(chǎn)=1上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)力（2,1）,

則|以|+|尸。|的最大值為.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

15.（13分）如圖，P為半圓38為直徑）上一動(dòng)點(diǎn)，OA1OB,OA=OB=2,記/歷1P=8.

（1）當(dāng)9=15"時(shí)，求OP的長(zhǎng)：

（2）當(dāng)面積最大時(shí)，求0.

16.（15分）如圖（1）,梯形力88中，AB//CD,過力、8分別作月EJLCQ,BFLCD,垂足分別為E,F.AB

=AE=2,CD=5,已知。E=l,將梯形48co沿力E、8/同側(cè)折起，得空間幾何體-8CR如圖

（I）若AFLBD,證明：OE_L平面/出M；

LV5

（II）^DE//CF,8=瓜線段上存在一點(diǎn)P,滿足“與平面XCD所成角的正弦值為京，求

4U

XP的長(zhǎng).

17.（15分）設(shè)｛m｝是等差數(shù)列，｛九｝是等比數(shù)列，公比大于0.已知m=bi=3,1=〃3,63=4〃2+3.

（I）求｛如｝和｛瓦｝的通項(xiàng)公式;

fl/n為奇數(shù),

（II）設(shè)數(shù)列心｝滿足小=日幾為璃數(shù).求a\c\+a2C2+,,,+a2nC2n(〃EN*).

第3頁（共18頁）

18.（17分）已知函數(shù)/'（x）=ax-lux-2.

（1）當(dāng)時(shí)，討論/（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；

（2）當(dāng)。=1時(shí)，證明：f（x）在區(qū)間（3,4）內(nèi)存在唯一的零點(diǎn)；

（3）若對(duì)于任意的尤（1,+8）,都有（x-1）,求整數(shù)4的最大值.

19.（17分）雙曲線E：盤一餐=1（Q>0,匕>0）的一個(gè)頂點(diǎn)在直線/：y=x+\±,且其離心率為遙.

（1）求雙曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程：

（2）若一條直線與雙曲線恰有一個(gè)公共點(diǎn)，且該直線與雙曲線的漸近線不平行，則定義該直線為雙曲

線的切線，定義該公共點(diǎn)為切線的切點(diǎn).已知點(diǎn)7在直線/上，且過點(diǎn)廠恰好可作雙曲線E的兩條切線,

設(shè)這兩條切線的切點(diǎn)分別為P和M.

（/）設(shè)點(diǎn)7的橫坐標(biāo)為，，求，的取值范圍；

（//）設(shè)直線7P和直線TW分別與直線x=?1交于點(diǎn)0和點(diǎn)M證明：直線PN和直線的交點(diǎn)在

定直線上.

（附：雙曲線/一記=1以點(diǎn)（〃?，〃）為切點(diǎn)的切線方程為荔工一記y=1）

第4頁（共18頁）

2026年廣東省廣州市高考數(shù)學(xué)考前適應(yīng)性試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要

求的。

1.(5分)已知集合U=R,A={x^=lg(x-2)},則Cu4=()

A.(-8,2]B.(…，2)C.(0,2]D.(-8,3]

【解答】解：集合U=H,A={x\y=lg(A--2)}={x|x>2},

則Cu』=(-8,2].

故選：A.

2.(5分)若復(fù)數(shù)z滿足(z+力(1-2/)=5,則團(tuán)=()

A.V2B.1C.2D.V5

【解答】解：由題意，z=i=.-i=1+2i-i=1+i,

所以|z|=V1+1=V2.

故選：A.

3.（5分）記等差數(shù)列｛〃〃｝的前〃項(xiàng)和為S〃，若Sio=O,56=253-12,則m)

A.6B.8C.10D.12

【解答】解：等差數(shù)列{如}的前〃項(xiàng)和為S”Sio=(),S6=2S3-12,

.110QI=0

,).6x5,.3x2〃、

(r6。]H—2~d=2(3Q1H—2-d)—12

4

解得ai=6,</=—’.

故選：A.

?分、)_已,知si就nCah+B=)3'?—tana=(

4.)

11

A.3B-2C.2D.3

■dr—.…,sinfa+B)smacosB-\-cosasinBtana+tanB_

【解答】解：由訴二訪=sinacos^-cosas^=tana-tan^=3可得：tana=2tan0,

?,tana

所以何=2.

故選：C.

5.（5分）某批產(chǎn)品檢驗(yàn)后的評(píng)分，由統(tǒng)計(jì)結(jié)果制成如圖所示的頻率分布直方圖，下列說法中正確的是

第5頁（共18頁）

（）（同一區(qū)間中的數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）

B.評(píng)分的眾數(shù)估值為70

C.評(píng)分的下四分位數(shù)估值為67.5

D.評(píng)分的平均數(shù)估值為76

【解答】解：由題意：10（2a+3a+4“+5a+6。）=1,

解得a=0.005,4錯(cuò)誤,

所以平均數(shù)為0.1X55+0.15X95+0.2X65+0.3X75+0.25X85=76.5,故。錯(cuò)誤；

眾數(shù)為四羅=75,故8錯(cuò)誤；

因?yàn)?.1+0.2=0.3,第25百分位數(shù)估計(jì)為60+10x*=67.5,故C正確.

故選：C.

6.（5分）某空間站由4,B,C三個(gè)艙構(gòu)成，某次實(shí)驗(yàn)需要5名宇航員同時(shí)在3個(gè)艙中開展，每個(gè)人只能

去1個(gè)艙，每個(gè)艙至少安排1名宇航員，其中宇航員甲只能去4艙，則不同的安排方法的種數(shù)為（）

A.35B.36C.42D.50

【解答】解：甲宇航員只能去小再安排剩下四人：

①四人分三組出心；②四人分兩組（纏+筆）及，

綜上；36114=50種.

故選：D.

\lcgx\?0VX<2

7.（5分）已知函數(shù)/'（X）=27T，若存在實(shí)數(shù)XI，X2，X3,X4，滿足XI〈X2VX3<X4,

sE（.x）,2<x<10

且/（XI）=/G-2）=f（A-3）=/?4），則（*―2>（孫2）的取值范圍是（）

X1-X2

A.（0,12）B.（4,16）C.（9,21）D.（15,25）

第6頁（共18頁）

【解答】解：函數(shù)的圖象如圖所示,

/（XI）=/（X2）?

-log2X|=log2X2>

Iog2￥1X2=0,

X\X2~1，

/（X3）=f（X4）?

X3+工4=12,2<X3<X4<10

（無3—2）（必—2）

—:----------=X3X4-2（X3+X4）+4=13X4-20,

XVX2

2Vx3V4,8<X4<1O

Q3—2）G4-2）的取值范圍是（0,12）.

xyx2

故選：A.

8.（5分）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過拋物線J，2=2〃X（〃>0）焦點(diǎn)的直線與該拋物線交于4B兩點(diǎn),若|力用

=12,若△048面積為4碗，則〃=（）

A.4B.3C.2V6D.3企

【解答】解：拋物線f=2px的焦點(diǎn)，0）,設(shè)直線13：x=ty+§,點(diǎn)力（xi，yi）,8（X2，/），

X—ty+—

2

2,消去工得f-2p/y-p2=0,則yi+y2=2pf,yxy2=-p?

{y2=2px

\AB\=\AF\+\BF\=x\+x2J<-p=t（yi+"）+2p=2p（P+l）=12,即p（P+1）=6,

2

M-yz\=V（yi+72）-4yiy2=J4P2￡2+4p2=2PmTT，

SA0AB=1l^^llyi-yzl=1p2Vt2+1=4-/6,則p2〃2+1=8幾,因此“3=64，

所以〃=4.

第7頁（共18頁）

r

7?

故選：A.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共計(jì)18分,在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。

（多選）9.（6分）下列命題正確的是（）

A.若樣本數(shù)據(jù)XI，X2，的方差為2,則數(shù)據(jù)2xi7,2x2-1，…，2%?1的方差為4

B.若尸（/）=0.6,P（B\A）=0.5,P（B\A）=0.2,則尸（B）=0.38

C.在一組樣本數(shù)據(jù)（xi，y\（X2?/），…，（X”,則），—,xi，X2，'■,?X"不全相等）的散點(diǎn)圖

中，若所有樣本點(diǎn)（即，〃），（i=l，2,…，，7）都在直線>=-劣%+1上，則這組樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)系

數(shù)為T

D.以模型y=c/去擬合一組數(shù)據(jù)時(shí)，為了求出經(jīng)驗(yàn)回歸方程，設(shè)2=/〃y,求得經(jīng)驗(yàn)回歸方程為z=4%+

0.3,則c,〃的值分別是M和4

【解答】解：原數(shù)據(jù)的方差為。G）=2,設(shè)〃=2劉?1,則。（y）=22D（x）=22X2=8,選項(xiàng)力錯(cuò)

誤；

PQB）=P（J）P（皿）+P（A）P（師=0.6X0.5+0.4X0.2=0.38,選項(xiàng)8正確；

所有樣本點(diǎn)都在直線y=—%.+l上，說明完全線性相關(guān)，相關(guān)系數(shù)絕對(duì)值為1,

直線斜率為負(fù)，故相關(guān)系數(shù)為?1，選項(xiàng)。錯(cuò)誤；

模型y=c?取對(duì)數(shù)得lny=lnc+kx,

令z=biy,則回歸方程為z=/c:+lnc,

Q3

己知z=4x+0.3,所以2=4,lnc=03r即2=4,c=e,選項(xiàng)。正確.

故選：BD.

（多選）10.（6分）已知函數(shù)/lx）=4sin（3x+（p）（J>0?a?>0,0<（p<ir）的圖象滿足以下特征：圖

象經(jīng)過點(diǎn)（0,V3）,并且在y軸右側(cè)的第一個(gè)零點(diǎn)為會(huì)第一個(gè)最低點(diǎn)為（瑞，-2）,則下列有關(guān)函數(shù)/

（x）及其性質(zhì)的描述正確的是（）

第8頁（共18頁）

2n

A.0r

B.%=備為函數(shù)/?）圖象的一條對(duì)稱軸

C.將/（X）的圖象向右平移《個(gè)單位長(zhǎng)度后，將得到?個(gè)偶函數(shù)的圖象

1O

函數(shù)（）的單調(diào)遞減區(qū)間為［招+緣，考+等］（）

D./xAwz

AOOJL。O

【解答】解：由/（X）=Jsin（3X+<P）的第一個(gè)最低點(diǎn)為（濟(jì)一2）,可知力=2；

因?yàn)楹瘮?shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)（0，V3）,則/X0）=2sin（p=V3,即sins=鎮(zhèn),

且OV（pVn,則3二冬;

又/（x）=2sin（（DA-+（p）在y軸右側(cè)的第一個(gè)零點(diǎn)為今

?T57rnn?2n

則7=五一3=Z'即ri"于

且3>0,則2了IT=2石7T，解得3=3,所以/'(%)=2s出(3%+竽),

對(duì)于4：0=學(xué)，故力正確;

對(duì)于從因?yàn)?'（看）=2si榨=1,不為最值,

所以％=備不為函數(shù)/（X）圖象的一條對(duì)稱軸，故8錯(cuò)誤；

對(duì)于C：將/（x）的圖象向右平移右個(gè)單位長(zhǎng)度，

18

得y=2si〃［3（x—備）+等］=2s/（3%+5）=2cos3無，為偶函數(shù)，故C正確：

._.n27137r

對(duì)于D：令54-2kn<3x+—<—+2k7t（kGZ）,

解得一nJ~~3-4%工詬+q-（kWZ）,

所以函數(shù)/（T）的單調(diào)遞減區(qū)間為［一備+竽.瑞+竽］（kG7）,故Q錯(cuò)誤.

故選:AC.

（多選）11.（6分）在邊長(zhǎng)為3的正方體44CQ-/1山中，動(dòng)點(diǎn)M在棱力。上，動(dòng)點(diǎn)N在棱上,

滿足MN_L4D|.以下對(duì)MN運(yùn)動(dòng)過程的描述，正確的是（）

A.存在MM滿足MMLOMi

V6

B.存在"V,使MN與小田所成角的余弦值為丁

第9頁（共18頁）

C.點(diǎn)C到平面MNQi的距離為定值

9

D.四面體MNQMi的體積為定值5

【解答】解：以力為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則4(0,0,0),B(3,0,0),C(3,3,0),D(0,3,0),小(0,0,3),B\(3,0,3),Ci(3,

3,3),D\(0,3,3),

設(shè)A/(O,i,0),N(3,3,s),其中0W/W3,0W.sW3,

選項(xiàng)4BDX=(-3,3,3),MN=(3,3-t,s),

因?yàn)镸N人BDi，

所以M)V=-9+9—3t+3s=0,即s=z,

所以點(diǎn)N坐標(biāo)為(3,3,/),其中0W/W3,

要使朋N_LQMi,由MMLAQi可知，M/V_L平面小8。1，

由三垂線定理知，DC]rA\B,D”BDi，

又AiBCBDi=B,A\B.3Q1U平面。由5,

所以。C1_L平面力由。

而動(dòng)點(diǎn)M在棱力。上，動(dòng)點(diǎn)N在棱上，

所以MV就是QCi，此時(shí)/=3,故選項(xiàng)力正確；

選項(xiàng)從由選項(xiàng)力知，MN=(3,3-/),

—>

而&B1=(3,0,0)>

..V6

若MN與A\B\所成角的余弦值為二，

所以|cosV41％i，MN>\=—?9鳴,解得1=行故選項(xiàng)8正確：

3x,9+(3T)2+M，右

選項(xiàng)C,設(shè)點(diǎn)C到平面的距離為乩

當(dāng)MY為4C或。1。時(shí)，d=0；

當(dāng)M,N分別為棱力。與棱C。中點(diǎn)時(shí)，J>0,

所以d不為定值，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；

選項(xiàng)。，因?yàn)镃C1〃平面小。iM,且動(dòng)點(diǎn)N在棱CCi上，

所以點(diǎn)N到平面A\D\M的距離就是點(diǎn)C到平面小DM的距離，為3=3,

第10頁(共18頁)

119

而=2AI。*AA\=2，3?3=2，

1iqq

所以四面體MND\A］的體積為「S△人必M，CQ=W3=2，故選項(xiàng)D正確.

12.（5分）曲線j，=3》在點(diǎn)（0,1）處的切線方程是i，=（03）x+1.

【解答】解：因?yàn)閥=/（x）=3',所以/（X）=37?3,

所以/（0）=/〃3,

所以曲線y=3'在點(diǎn)（0,I）處的切線方程是），=（M3）A+1.

故答案為：y=（。?3）x+1.

13.（5分）若展=（入，4）,b=（3,5）,且展與6的夾角為銳角，則入的取值范圍

是_（一當(dāng)，的U彥,+oo）_.

【解答】解：設(shè)向量之與了的夾角為仇oe（0,g）,則cos0=fi；>>O,

2\a\-\b\

所以a?b=3入+2（）>0,解得2>-*.

檢驗(yàn)：當(dāng)；與b共線同向時(shí)，cos6=1>0不符合題意，

由。=（入，4）,b=（3,5）,可知此時(shí)b=^a,結(jié)合:入=3,解得入=g

443

所以當(dāng)4>一學(xué)月.人工學(xué)時(shí)，）與3的夾角為銳角.

綜上所述，實(shí)數(shù)人的取值范圍是（一學(xué)，￥）U（9，+8）.

第11頁（共18頁）

故答案為：（一與，禁）U（半，+CO）.

/y2

14.（5分）已知點(diǎn)尸、。分別是橢圓w+1和圓（X-2）2+/二|上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)力（2,1）,

7KJ

則|以|+|尸0|的最大值為_7+仃7_.

【解答】解：橢圓G+W=1,可得右焦點(diǎn)尸（2,0）,設(shè)其左焦點(diǎn)為尸，則尸（-2,0）,

圓（x-2）2+/=1的圓心C（2,0）,半徑/=1,如圖，

由橢圓的定義得|陽=6?『可|,

貝力產(chǎn)。|+|以|=|叩+1+|以|=6?|P尸|+1+|以|=7+|以|?|P尸

而IP川一儼門4|4門=4^釘=，17,當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)p在宜線4尸上時(shí)取等號(hào)，

所以當(dāng)尸是線段//延長(zhǎng)線與橢圓的交點(diǎn)、。是線段尸尸延長(zhǎng)線與圓的交點(diǎn)時(shí)，|以|+『。|取得最大值7+

V17.

故答案為：7+V17.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

15.（13分）如圖，P為半圓（力B為直徑）上一動(dòng)點(diǎn)，OALOB,OA=OB=2,記

（1）當(dāng)8=15°時(shí)，求OP的長(zhǎng)；

（2）當(dāng)△以。面積最大時(shí)，求0.

【解答】解：（1）由題意在△力04中，NAOB=90°,OA1OB,OA=（）B=2,

???△494是等腰直角三角形，ZBAO=45Q,

???0在以48為直徑的圓上，

取48的中點(diǎn)C,連接CO,

第12頁（共18頁）

p

：.ZAPO=45°,ZACO=90C,

在△力尸。中，/口0=60°,OA=2,

npnA

由正弦定理得一7^=——=2V2,

sm60°stn45°

解得OP=V6.

(2)由題意及(1)知NA4P=6,NB4O=45°,

在△力尸。中，4Po=45°,04=2,

由余弦定理OA2=PA2+PO2-”A?P(AcosN4PO,

：.PA2+PO2-2PA-PO-\[2PA,P0=(2-V2)PA^PO,

???力?尸OW4+2或,當(dāng)且僅當(dāng)已1=尸。時(shí)，等號(hào)成立，

VS^PA0=^xPAxPOxs譏45°,

1an。一4t°

，當(dāng)且僅當(dāng)為=尸。時(shí)，△刃O的面積最大，此時(shí)/以0=%#-=67.5°,

：,Q=ZPAO-ZBAO=67.5a-450=22.5°.

16.(15分)如圖(1),梯形48CD中，AB//CD,過48分別作4E_LCZ),BFLCD,垂足分別為E,F.AB

=AE=2,CD=5,己知。K=l,將梯形沿力E、8尸同側(cè)折起，得空間幾何體力。￡-8C凡如圖

(2).

（I）若4FLBD,證明：OE_L平面力8/話;

V5

(II)若DE"CF,CD=6,線段44上存在一點(diǎn)2滿足CP與平面力。所成角的正弦值為行，求

乙U

力夕的長(zhǎng).

【解答】證明：（I）由已知得四邊形力用石是正方形，且邊長(zhǎng)為2,在圖2中，AFA.BE,

由已知得力/JLB。，BEDBD=B,BDE（2分）

第13頁（共18頁）

又DEu平面BDE,/.AFIDE,

y.AEA.DE,AEC\AF=A,：,DEL^ABFE.............................（5，＞）

解：（H）在圖2中，AE工DE,AE上EF,DECEF=E,即』E_L面。EbC,

在梯形。E~C中，過點(diǎn)D作DM〃E尸交CF于點(diǎn)M,連接C'E,

由題意得。M=2,CA/=1,則。C_LCF,則“。M=5,CE=2,

過后作EGJ_小交。。于點(diǎn)G,可知GE,EA,￡尸兩兩垂直，

以上為坐標(biāo)原點(diǎn)，以易，還,啟分別為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，............

（7分）

則4（2,0,0）,8（2,2,0）,C（0,1,V3）,。（0,孚），

前=（-2,1,V5）,石=（-2,亨）.

設(shè)平面4CQ的一個(gè)法向量為￡=（%,y,z）,

「Ar-n（-2x+y+近z=0

由？"=0制]Q取x=l得n=（l,-1,K）...........（9分）

tn-AD=0｛~2x~2y+~z=0

設(shè)力尸=〃?，則。（2,m,0）,（0W〃zW2）,得4=（2,m-1,-V3）

設(shè)CP與平面ACD所成的角為仇

問而2

sinO=\cos<CP,n>|==W=

國7+(m-l)220^3-

所以AP=*...............................（12分）

17.（15分）設(shè)｛〃〃｝是等差數(shù)列，｛6“｝是等比數(shù)列，公比大于0.已知ai=6i=3,歷=43，83=442+3.

（I）求付〃｝和｛m｝的通項(xiàng)公式;

1,n為奇數(shù),*

（0）設(shè)數(shù)列｛Cn｝滿足Cn=bnC為偶數(shù)求491+42c2+…+門2〃。2〃(〃€N").

T'

第14頁（共18頁）

【解答】解：（I）｛?｝是等差數(shù)列，仍〃｝是等比數(shù)列，公比大于0.

設(shè)等差數(shù)列｛斯｝的公差為d，等比數(shù)列｛/）〃｝的公比為q,q>0.

由題意可得：3夕=3+2"①；3/=15+4"②

解得：d=3,q=3,

故如=3+3（/?-1）=3"，方=3X3〃i=3"

1,n為奇數(shù),

（II）數(shù)列｛*滿足3加門為偶數(shù)，

a\C\+。2c2"1----^Cl2nC2n（〃€N*）

=（。1+43+。5+…+42n-1）+（0261+4462+4663+…+。2〃6〃）

=[3〃+x6]+（6X3+12X32+18X33+-+6WX3"）

=3〃2+6（1X3+2X32+-+MX3,;）

令7“=（1X3+2X32+…+〃X3"）①，

則35=1X32+2X33+…+〃3"”②，

②?①得：2T，尸?3?32?3'…?3"+〃3〃+】

=?3x^^+〃3/i

1-3

（2n-l）3n+1+3

=2;

故。|。1+42c2+…+。2〃。2〃=3//+67；?=3〃2+3又2刀尸—D*+9（?GN*）

乙

18,（17分）已知函數(shù)/（X）=ax-Inx-2.

（1）當(dāng)aWO時(shí)，討論/（k）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；

（2）當(dāng)a=l時(shí)，證明：/Cv）在區(qū)間（3,4）內(nèi)存在唯一的零點(diǎn)；

（3）若對(duì)于任意的（1,+=°）,都有x/〃x+x>k（x-1）,求整數(shù)上的最大值.

【解答】解：（1）根據(jù)導(dǎo)函數(shù)/?。）=。—=生0（%>°），

人人

當(dāng)0=0時(shí)，根據(jù)/"（幻=。一工=二1<0,可得/（X）在（0.+8）單調(diào)遞減，

XX

解方程/（x）--Inx-2=0,得》=6一2,

因此當(dāng)。=0時(shí)，/（X）在（0,+8）只有一個(gè)零點(diǎn).

當(dāng)。<0時(shí)，，（x）<0,所以函數(shù)/（'）在（0,+8）單調(diào)遞減，

因?yàn)閍VO,/"ve°=l,所以/（一廠2）=a/-2?（〃?2）-2=aefi'2-a=aCea'2-1）>0,

又因?yàn)?（I）=a-2<0,

第15頁（共18頁）

所以函數(shù)/（X）在（才一2,1）有一個(gè)零點(diǎn).

又因?yàn)楹瘮?shù)/（X）在（0,+8）單調(diào)遞減，

所以當(dāng)4Vo時(shí)，函數(shù)/（x）在（0,+8）有一個(gè)零點(diǎn).

綜上，當(dāng)。<（）時(shí)，函數(shù)/（x）只有一個(gè)零點(diǎn).

（2）證明：當(dāng)。=1時(shí)/（x）=x-bix-2,所以n；O=l-L

X

當(dāng)花（3,4）時(shí)，導(dǎo)函數(shù)/（乃=1-9>0,

所以函數(shù)/（x）在（3,4）上單調(diào)遞增，

因?yàn)?（4）=4-M-2=2-/（3）=3-M3-2=1-//B<（）,

所以函數(shù)/（x）在區(qū)間（3,4）內(nèi)存在唯一的零點(diǎn).

（3）因?yàn)閤加（x-1）,且在（1,+8）,所以攻畢,

X—1

令函數(shù)00）-嚶F，那么導(dǎo)函數(shù)gG）=,x>i,

根據(jù)第二問知，函數(shù)/（x）=x-齷-2在（1,+8）上單調(diào)遞增，且在區(qū)間（3,4）內(nèi)存在唯一的零

點(diǎn)，

設(shè)該零點(diǎn)為xo￡（3,4）,那么/（刈）=xo-Inxo-2=0,

因此當(dāng)（xo，+8）時(shí)，f（x）>（）,即g'（x）>0,g（x）在（xo，+8）上單調(diào)遞增,

當(dāng)尤（1,A-o）時(shí)，/（X）<0.即g'（x）<0,g（X）在□,xo）上單調(diào)遞減,

xolnxo+xQ_無0(%0-2)+殉_Y

所以g(x)min=g(%0)=04),

XO-1-~-

所以AVg(X)min=X0E(3,4),

因此整數(shù)人的最大值為3.

19.（17分）雙曲線E：l（a>0,b>0）的一個(gè)頂點(diǎn)在直線/：y=x+\±,且其離心率為遙.

（1）求雙曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程：

<2）若一條直線與雙曲線恰有一個(gè)公共點(diǎn)，且該直線與雙山線的漸近線不