中考數(shù)學一題多解：平面直角坐標系與圖形運動（原卷版）

第02講平面直角坐標系與圖形運動

在數(shù)學幾何學習中，平面直角坐標系是每年學考的必考內(nèi)容，也是我們幾何學習和復習的重

題型?：點的坐標題黑心坐標方法的簡單應用

題皇二:規(guī)律型：點的坐標題型六：兩點間距離公式

平面直角坐標系與圖形運動

題型。坐標確定位.置題型七：數(shù)形結(jié)介思想

題型四:坐標。圖形性質(zhì)題型八：利用數(shù)形結(jié)合思想分類討論

【必備知識】

一、平面直角坐標索的有關概念，直角坐標平面上的點與坐標之間的一一對應關系

1.在平面內(nèi)取一點O,過點O畫兩條互相垂直的數(shù)軸，且使它們以點O為公共原點.這樣，就在平面內(nèi)

建立了一個直角坐標系.通常，所畫的兩條數(shù)軸中，有一條是水平放置的，它的正方向向右，這條數(shù)軸叫

做橫軸（記作X軸）；另一條是鉛直放置的，它的正方向向上，這條數(shù)軸叫做縱軸（記作y軸）.如圖所

示，記作平面直角坐標系宜沙：點O叫做坐標原點（簡稱原點），x軸和歹軸統(tǒng)稱為坐標軸.

建立直角坐標系的平面叫做直角坐標平面（簡稱坐標平面）

y

3

2

第二象限第一象限

1

-3-2-1O23x

-1

第三象限第四象限

-2

-3

2.在平面直角坐標系X0F中，點尸所對應的有序?qū)崝?shù)對（4力）叫做點尸的坐標，記作尸（41），其中。叫做

橫坐標，6叫做縱坐標.

3.平面直角坐標系的兩條坐標軸把平面分成四個區(qū)域.這四個區(qū)域依次叫做第一象限、第二象限、第三象

限、第四象限.同時規(guī)定，x軸、y軸不屬于任何象限.

4.經(jīng)過點A(a,b)且垂直于x軸的直線可以表示為直線x=a,經(jīng)過點A(a,b)且垂直于y軸的直線可以表示

為直線y=

二、平面直角坐標平面上點的平移、對稱及簡單圖形的對稱問題

1.一般地，如果點沿著與x軸或y軸平行的方向平移個單位，那么

向右平移所對應的點的坐標為(x+"?,)，)；

向左平移所對應的點的坐標為(x-機,y)；

向上平移所對應的點的坐標為(x,y+m):

向下平移所對應的點的坐標為

2.一般地，在直角坐標平面內(nèi)，與點"(xj)關于x軸對稱的點的坐標為(羽-用：與點M(x,y)關于y軸

對稱的點的坐標為(-xj).

3.一般地，在直角坐標平面內(nèi)，與點用(xj)關于原點對稱的點的坐標為(-占-)，).

【思考】在平面直角坐標系中，點的平移和對稱在坐標的變化方面有何異同？

三、平面直角坐標平面上兩點間距離公式

1.在直角坐標平面內(nèi)，平行于k軸的直線上的兩點/(XQ)、8(//)的距禽"4=1須-.q[;平行于)，軸

的直線上的兩點。(X,必)、O(X,，2)的距離。。=|凹-歹2卜

2.兩點的距離公式：如果直角坐標平面內(nèi)有兩點力、B,它們的坐標分別為4凡,凹)、5(々,必)，那么

4B兩點的距離-％)2+(胃-肉.

【思考】兩點間距離公式是如何推導的？

【注意】在運用兩點間距離公式時注意坐標的符號.

【應對方法與策略】

1.對于直角坐標平面內(nèi)的任意一點P,過點尸作x軸的垂線，垂足為可得點M在x軸上所對應的實

數(shù)〃；再過點尸作y軸的垂線，垂足為N,可得點N在y軸上所對應的實數(shù)那么有序?qū)崝?shù)對（〃力）表

示點尸，這樣的有序?qū)崝?shù)對是唯一確定的.反過來，任意給定一對有序?qū)崝?shù)伍力），可在x軸上描出實數(shù)a

所對應的點在y軸上描出實數(shù)力所對應的點N；再過點M作x軸的垂線，過點N作y軸的垂線，那

么這兩條垂線的交點戶表示有序?qū)崝?shù)對他乃），這樣的點也是唯一確定的.于是，平面內(nèi)的每一點都有唯

,的有序?qū)崝?shù)對與它對應.

2.因為橫軸向右為正，所以點向右平移時橫坐標變大，向左平移時橫坐標變小，同理向上平移時縱坐標變

大，向下平移縱坐標變小；關于工軸對稱，兩對稱點在一條垂直x軸的直線上，所以橫坐標不變，縱坐標

互為相反數(shù)，同理關于y軸對稱時，縱坐標不變，橫坐標互為相反數(shù).

【記憶技巧】

點的平移右加左減，上加下減；

【多題一解】

題型一：點的坐標（共5小題）

1.（2022?衢州）在平面直角坐標系中，點力（-1,-2）落在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

2.（2022?六盤水）兩個小伙伴拿著如圖的密碼表玩聽聲音猜動物的游戲，若聽到“咚咚-咚咚，咚-

咚，咚咚咚-咚”表示的動物是“狗二則聽到“咚咚-咚，咚咚咚-咚咚，咚-咚咚咚”時，表示的

動物是（）

4QRSUVX

3TBEINP

2WDAHLMY

10CGFJKZ

1234567

A.狐貍B.貓C.蜜蜂D.牛

3.（2022?青海）如圖所示，A（2V2,0）,AB=3近,以點4為圓心，48長為半徑畫弧交上軸負半軸于

點。，則點C的坐標為（）

A.(3心0)B.(V2?0)C.<-V2?0)D.(-3vL0)

4.（2022?河池）如果點尸（〃?，1+2M在第三象限內(nèi)，那么機的取值范圍是（）

A.--</??<0B.m>--C.w<0D.m<--

222

5.（2022?揚州）在平面直角坐標系中，點P（-3,『+］）所在象限是（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

題型二：規(guī)律型：點的坐標（共4小題）

6.（2022?河南）如圖，在平面直角坐標系中，邊長為2的正六邊形/8CQE77的中心與原點。重合，AB//

x軸，交y軸于點P.將△O4P繞點。順時針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)90°,則第2022次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時，點力的

坐標為（）

A.(V3>-I)B.(-1,-V3)C.(-V3?-1)D.(1,V3)

7.（2022?濟南）規(guī)定：在平面直角坐標系中，一個點作“0”變換表示將它向右平移一個單位，一個點作

“1”變換表示將它繞原點順時針旋轉(zhuǎn)90°,由數(shù)字0和1紐成的序列表示一個點按照上面描述依次連

續(xù)變換.例如：如圖，點0（0,0）按序列“（）11…”作變換，表示點。先向右平移一個單位得到S

（1,0）,再將。1（1,0）繞原點順時針旋轉(zhuǎn)90°得至（0，-1），再將。2（。，-I）繞原點順時

針旋轉(zhuǎn)90°得到6（-I，0）…依次類推.點（0，1）經(jīng)過“011011011”變換后得到點的坐標

8.(2022?黔西南州)如圖，在平面直角坐標系中,Ai(2,0),(0,1),小當?shù)闹悬c為g；A2(0,

3),B2(-2,0),42&的中點為。2：力3(-4,0),B3(0,-3),丁當?shù)闹悬c為。3；-4(0,7),

S4(4,0),人治的中點為。4；…；按此做法進行下去，則點。2022的坐標為.

9.(2022?荊門)如圖，過原點的兩條直線分別為小y=2x,/2：y=~x,過點A(1,0)作x軸的垂線與

/(交于點小，過點小作y軸的垂線與11交于點％2，過點42作X軸的垂線與1\交于點力3，過點43作y

軸的垂線與，2交于點44,過點4作X軸的垂線與八交于點為，……，依次進行下去，則點420的坐標

為.

10.（2022?煙臺）觀察如圖所示的象棋棋盤，若“兵”所在的位置用（1,3）表示，“炮”所在的位置用

點C的坐標為__________________

題型四：坐標與圖形性質(zhì)（共4小題）

12.（2022?銅仁市）如圖，在矩形/8CQ中，/（-3,2）,B（3,2）,C（3,-I）,則。的坐標為

)

13.（2022?臺灣）已知坐標平面上有一直線L與一點兒若上的方程式為x=?2,%點坐標為（6,5）,

則4點到直線￡的距離為何？（）

A.3B.4C.7D.8

14.（2022?槐蔭區(qū)一模）以直角絲標系的原點。為圓心，以1為半徑作圓.若點P是該圓上第一象限內(nèi)的

一點，且。尸與x軸正方向組成的角為a,則點尸的坐標為（）

A.（cosa,1）B.（1,sina）

C.（sina,cosa）D.（cosa,sina）

15.（2022?吉林）如圖，在平面直角坐標系中，點力的坐標為（?2,0）,點4在），軸正半軸上，以點4

為圓心，以1長為半徑作弧，交x軸正半軸于點C,則點。的坐標為.

題型五：坐標方法的簡單應用

一、單選題

1.（2020?河北?中考真題）如圖，從筆直的公路/旁一點。出發(fā),向西走6km到達/；從戶出發(fā)向北走6km

也到達/.下列說法錯誤的是（）

/\東

A.從點P向北偏西45。走3km到之/

B.公路/的走向是南偏西45。

C.公路/的走向是北偏東45。

D.從點P向北走3km后，再向西走3km到達/

2.（2022?河北?平泉市教育局教研室二模）如圖，在圍棋棋盤上有3枚棋子，如果黑棋?的位置用有序數(shù)

對（。，-1）表示，黑棋?的位置用有序數(shù)對（-3,（））表示，則白棋③的位置可用有序數(shù)對表示為（）

A.(2,-1)B.(-1,2)C.(-2,1)D.(1,-2)

3.（2022?河南開封?二模）如圖是東西流向且兩岸b互相平行的一段河道，在河岸。有一根小樹A,在

河岸〃的琪琪觀測到小樹A在他的北偏西30。方向上，則琪琪的位置可能是（）

北

-----?東

A

01Q1蒼藍

A.QB.Q2C.&D.Q

二、填空題

4.（2022?甘肅蘭州?中考真題）如圖，小剛在蘭州市平面地圖的部分區(qū)域建立了平面直角坐標系，如果白

塔山公園的坐標是（2,2）,中山橋的坐標是（3,0）,那么黃河母親像的坐標是.

5.（2022?浙江麗水?三模）如圖，射線04表示北偏西30。，若射線O8J.O4,則射線08表示的方向為

6.（2020?黑龍江綏化?中考真題）如圖，熱氣球位于觀測塔P的北偏西50。方向，距禽觀測塔100km的力

處，它沿正南方向航行一段時間后，到達位于觀測塔尸的南偏西37。方向的8處，這時，8處距離觀測塔

P有多遠？（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：sin37°?0.60,cos37、0.80,tan37=0.75,sin50'=0.77,

cos50?0.64?tan50?1.19.）

題型六：兩點間距離公式

一.選擇題（共1小題）

1.（2022?江陰市模擬）如圖，半徑為1的。。的圓心在坐標原點，P為直線y=-x+2上一點，過點P作

0。的切線，切點為力，連接。4OP.下列結(jié)論：

①當△（以夕為等腰直角三角形時，點尸坐標為（1,1）；

②當N/OP=6（）"時，點P坐標為（2,0）；

③△。力戶面積最小值為工；

2

④N加Y）W45°.

其中正確的有（）

A.4個B.3個C.2個D.1個

二.填空題（共1小題）

2.（2022?海曙區(qū)自主招生）如圖，點4、B、。均在坐標軸上，AO=BO=CO=\,過4、O、。作O。，E

是。。上任意一點，連結(jié)C￡,BE,則CN+BR的最大值是.

3.（2021?西吉縣二模）閱讀下列一段文字，然后回答下列問題.已知在平面內(nèi)兩點4（勺，為）、P2

（x2,）'2），其兩點間的距離P[P2='（X]_X2）2+（y[_y2）2,同時，當兩點所在的直線在坐標軸或

平行「坐標軸或垂直于坐標軸忖，兩點間距離公式可簡化為應-內(nèi)1或卜2-y小

（1）已知力（2,4）、4（-3,-8）,試求力、4兩點間的距離：

（2）已知力、8在平行于），軸的直線上，點力的縱坐標為4,點4的縱坐標為-1,試求力、8兩點間的

距離;

（3）已知一個三角形各頂點坐標為。（1,6）、F（-2,2）、F（4,2）,你能判定此三角形的形狀

嗎？說明理由.

題型七：數(shù)形結(jié)合思想

1.（2022?館陶縣模擬）如圖，出租車司機王師傅從X地出發(fā)，要到距離力地13A7〃的C地去，先沿：北偏

東70°方向行駛了12公〃，到達4地，然后再從4地行駛了女6到達C地，此時王師傅位于4地的

B.北偏西20°方向上

C.北偏西30°方向上D.北偏西40°方向上

二.填空題（共4小題）

2.（2022?惠陽區(qū)一模）等腰Rt△小8C”等腰等腰Rt△43c2c3…按如圖所示放置，點8的

橫坐標為1,點小，42,43,44…在直線y=X上，分別以42。1，43c2,41c3…的中點。1，。2,。3…為圓

心，山。1，43。2,4。3…的長為半徑畫弓石豆扇耳E??依次按此作法進行下去，則磕！7森

的長是（結(jié)果保留IT）.

3.（2022?渾南區(qū)一模）在平面直角坐標系中，力點坐標為（0,3）,直線y=-2x+8交X軸于點8,交y軸

于點C,第一象限內(nèi)有一動點P,且滿足P/=PC+2,則△〃片臺周長的最小值為.

4.（2022?和縣?模）為了在校運會中取得更好的成績，小丁積極訓練，在某次試投中鉛球所經(jīng)過的路線

是如圖所示的拋物線的一部分.已知鉛球出手處4距離地面的高度是1.68米，當鉛球運行的水平距離為2

米時，達到最大高度2米的4處，則小丁此次投擲的成績是米.

5.（2022?越秀區(qū)校級二模）某學生在一平地上推鉛球，鉛球出手時離地面的高度為9米，出手后鉛球在空

3

中運動的高度y（米）與水平距離x（米）之間的函數(shù)關系式為y=-吉好+人田/當鉛球運行至與出手高

度相等時，與出手點水平距離為8米，則該學生推鉛球的成績?yōu)橐幻?

三.解答題（共5小題）

6.（2022?桂林模擬）如圖，在立面直角坐標系中，已知△力的三個頂點的坐標分別是幺（2,3）,8

（1,1）,C（3,1）.

（1）畫出關于x軸對稱的△小0G；

（2）若點。是△力BC與△小SG的對稱中心，請直接寫出點P的坐標；

（3）以點。為位似中心，在y軸的左側(cè)將△48C放大到原來的2倍，得到△血當。?，請畫出△力232c2.

7.（2022?深圳模擬）如圖，在單位長度為I的正方形網(wǎng)格中建立一直角坐標系，一條圓弧經(jīng)過網(wǎng)格點小

B、C,請在網(wǎng)格圖中進行下列操作（以下結(jié)果保留根號）：

（1）利用網(wǎng)格找出該圓弧所在圓的圓心。點的位置，寫出。點的坐標為；