2026-2027學年浙教版數學九上 第3章 圓的基本性質 單元綜合知識梳理卷

第3章圓的基本性質單元綜合知識梳理卷（時間：120分鐘滿分：120分）一、選擇題(本大題有10個小題，每小題3分，共30分.在每小題給出的4個選項中，只有一項是符合題目要求的)1．數學來源于生活，又服務于生活.以下四幅圖中用數學原理解釋不正確的是（)A．圖（1）工人用直角曲尺檢查工件恰好為半圓形，是利用了90°的圓周角所對的弦是直徑B．圖（2）人字梯中間一般會設計一根“拉桿”，這樣做的道理是利用了三角形的穩定性C．圖（3）一塊三角形模具打碎為三塊，只帶編號為1的那一塊碎片到商店去，就能配一塊與原來一樣的三角形模具是利用了三角形全等中的判別方法SASD．圖（4）體育課測量跳遠的成績是利用了垂線段最短2．在圓柱形油槽內裝有一些油，截面如圖，油面寬AB為6cm，如果再注入一些油后，油面上升1m，油面寬度為8m，圓柱形油槽的直徑為（）A．6m B．8m C．10m D．12m3．如圖，AB是⊙O的弦，點D是弦AB的中點，OD與⊙O交于點C，AE是直徑，連接BE、DE，若DE=6，DO=2，則半徑OC的長為（）A．4 B．25 C．264．如圖，AB是⊙O的直徑，點C、D在⊙O上，∠ACD＝15°，則∠BAD的度數為（）A．75° B．72° C．70° D．65°5．如圖，把一個量角器放在∠BAC的上面，點B恰好在量角器上40°的位置，則∠BAC的度數是（）A．40° B．80° C．20° D．10°6．下列命題中正確的是（）A．正五邊形是中心對稱圖形B．平分弦的直徑垂直于弦C．化簡﹣a?1aD．順次連接對角線互相垂直的四邊形各邊中點所得的四邊形是菱形7．在如圖所示的正方形網格中，點A，B，C，D，O均在格點上，則點O是（）A．△ACD的外心 B．△ACD的內心C．△ABC的外心 D．△ABC的內心8．一張圓形的紙，要想找到它的圓心，至少要對折()次．A．1 B．2 C．4 D．89．如圖，在半徑為3的⊙O中，AB是直徑，AC是弦，D是AC的中點，AC與BD交于點E．若E是BD的中點，則AC的長是（）A．33 B．42 C．3210．如圖，點A，B，C在一條直線上，△ABD，△BCE均為等邊三角形，連接AE和CD，AE分別交CD，BD于點M，P，CD交BE于點Q，連接PQ，BM，下面的結論：①△ABE≌△DBC；②∠DMA=60°；③△BPQ為等邊三角形；④MB平分∠AMC，其中結論正確的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個二、填空題(本大題有6個小題，每小題3分，共18分)11．如圖，分別以等邊三角形的每個頂點為圓心、以邊長為半徑在另兩個頂點間作一段圓弧，三段圓弧圍成的曲邊三角形稱為勒洛三角形．若等邊三角形的邊長為a，則勒洛三角形的周長為．12．如圖，△ABC內接于⊙O，AD是⊙O的直徑，∠ABC=50°，則∠CAD的度數為．13．如圖，在⊙O中，AB為弦，半徑OC⊥AB于E，如果AB=8，CE=2，那么⊙O的半徑為.14．如圖，AB和CD是⊙O的兩條直徑，順次連接AC，CB，BD和DA，得到四邊形ACBD，則四邊形ACBD的形狀一定是．15．正多邊形的一個外角的度數為30°，這個正多邊形的邊數是16．兩個完全相同的正五邊形都有一邊在直線l上，且有一個公共點O，其擺放方式如圖所示，則∠AOB等于度．三、解答題（17、18、19題每題8分，20、21題每題10分，22、23每題14分，共計72分，要求寫出文字說明、證明過程或演算步驟)17．如圖是一名考古學家發現的一塊古代車輪碎片.（1）請你幫他找到這個車輪的圓心（保留作圖痕跡）；（2）若這個圓的半徑為10cm，請求出弦心距為5cm的弦長.18．如圖，有一個亭子，它的地基是半徑為4米的正六邊形.（1）請在圖18-2中利用尺規作出正六邊形ABCDEF（不寫作法，保留作圖痕跡）；（2）求地基的面積（答案保留根號）.19．如圖，在⊙O中，有定長弦AB在圓上滑動，點C是弦AB的中點，過點A作AD丄直徑MN垂足為D，連接CD.（1）當弦AB在⊙O上滑動時，探究∠ADC的大小是否變化，請說明理由（2）當∠ADC=30°，AB=6時，求圓的半徑.20．如圖這是一個殘缺的圓形部件，已知A,B,C是該部件圓弧上的三點．（1）利用尺規作圖作出該部件的圓心；（保留作圖痕跡）（2）若△ABC是等腰三角形，底邊BC=16cm，腰AB=10cm，求該部件的半徑R．21．如圖所示，已知AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點，連結BC，AC，（1）求證：OD//（2）若BC=8，DE=3，求22．（1）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°,∠BAC=30°，將△ABC繞點A逆時針旋轉60°得到△ADE，求（2）下圖是某學校人行過道中的一個以O為圓心的圓形拱門，路面AB的寬為2m，高CD為5m，求圓形拱門所在圓的半徑．23．如圖，將△ABC繞點A順時針旋轉α0°<α<90°后得到△ADE，AE=5，AB=8（1）如圖1，當AB的對應邊AD恰好經過點C時，求CD的長；（2）將△ABC繼續旋轉至如圖2所示的位置，若∠BAE=4∠CAD=80°，求線段AB掃過的面積．第3章圓的基本性質單元綜合知識梳理卷（解析版）（時間：120分鐘滿分：120分）一、選擇題(本大題有10個小題，每小題3分，共30分.在每小題給出的4個選項中，只有一項是符合題目要求的)1．數學來源于生活，又服務于生活.以下四幅圖中用數學原理解釋不正確的是（)A．圖（1）工人用直角曲尺檢查工件恰好為半圓形，是利用了90°的圓周角所對的弦是直徑B．圖（2）人字梯中間一般會設計一根“拉桿”，這樣做的道理是利用了三角形的穩定性C．圖（3）一塊三角形模具打碎為三塊，只帶編號為1的那一塊碎片到商店去，就能配一塊與原來一樣的三角形模具是利用了三角形全等中的判別方法SASD．圖（4）體育課測量跳遠的成績是利用了垂線段最短【答案】C【解析】【解答】解：A：圖（1）工人用直角曲尺檢查工件恰好為半圓形，是利用了90°的圓周角所對的弦是直徑，正確，不符合題意；

B：圖（2）人字梯中間一般會設計一根“拉桿”，這樣做的道理是利用了三角形的穩定性，正確，不符合題意；

C：圖（3）一塊三角形模具打碎為三塊，只帶編號為1的那一塊碎片到商店去，就能配一塊與原來一樣的三角形模具是利用了三角

形全等中的判別方法ASA，錯誤，符合題意；

D：圖（4）體育課測量跳遠的成績是利用了垂線段最短，正確，不符合題意；故答案為：C【分析】根據圓周角定義，三角形的穩定性，全等三角形判定定理，垂線段最短逐項進行判斷即可求出答案.2．在圓柱形油槽內裝有一些油，截面如圖，油面寬AB為6cm，如果再注入一些油后，油面上升1m，油面寬度為8m，圓柱形油槽的直徑為（）A．6m B．8m C．10m D．12m【答案】C【解析】【解答】解：如圖，依題意得AB=6m，CD=8m，過O點作AB的垂線，垂足為E，交CD于F點，連接OA，OC，由垂徑定理，得AE=12AB=3m，CF=1在Rt△OAE中，OA2=AE2+OE2，在Rt△OCF中，OC2=CF2+OF2，∵OA=OC，∴32+x2=42+（x﹣1）2，解得x=4，∴半徑OA=32∴直徑MN=2OA=10m．故選：C．【分析】如圖，油面AB上升1分米得到油面CD，依題意得AB=6，CD=8，過O點作AB的垂線，垂足為E，交CD于F點，連接OA，OC，由垂徑定理得AE=12AB=3m，CF=13．如圖，AB是⊙O的弦，點D是弦AB的中點，OD與⊙O交于點C，AE是直徑，連接BE、DE，若DE=6，DO=2，則半徑OC的長為（）A．4 B．25 C．26【答案】C【解析】【解答】解：∵AB是⊙O的弦，點D是弦AB的中點，∴OD⊥AB，AD=DB=1∵AE是直徑，連接BE，DE，∴∠ABE=90°，∴OD是△ABE的中位線，∴OD=1∵DE=6，OD=2，∴BE=2OD=4，在Rt△DBE中DB=D∴AD=DB=25在Rt△ADO中OA=A∴OC=26故答案為：C．

【分析】利用垂徑定理得OD⊥AB，AD=DB=12AB，根據過圓周角定理的推論可證得∠ABE=90°，再證明OD4．如圖，AB是⊙O的直徑，點C、D在⊙O上，∠ACD＝15°，則∠BAD的度數為（）A．75° B．72° C．70° D．65°【答案】A【解析】【解答】解：連接BD，

∵∠ACD=15°，∴∠B=∠ACD=15°，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB=90°，∴∠BAD=180°﹣∠ADB﹣∠B=75°，故答案為：A【分析】連接BD，根據圓周角定理求出∠B和∠ADB，再根據三角形內角和定理即可求出答案.5．如圖，把一個量角器放在∠BAC的上面，點B恰好在量角器上40°的位置，則∠BAC的度數是（）A．40° B．80° C．20° D．10°【答案】C【解析】【解答】解：∵OA=OB∴∠BAC=∠OBA∵∠COB=∠BAC+∠OBA=2∠BAC=40°∴∠BAC=20°故答案為：C．【分析】由OA=OB可知∠OAB=∠OBA，再由三角形外角的性質得出∠COB=∠OAB+∠OBA=40°即可求出∠BAC的度數．6．下列命題中正確的是（）A．正五邊形是中心對稱圖形B．平分弦的直徑垂直于弦C．化簡﹣a?1aD．順次連接對角線互相垂直的四邊形各邊中點所得的四邊形是菱形【答案】C【解析】【解答】解：A、正五邊形不是中心對稱圖形，此選項錯誤；B、當被平分的弦為直徑時，兩直徑不一定垂直，此選項錯誤；C、化簡﹣a?1a的結果是D、順次連接對角線互相垂直的四邊形各邊中點所得的四邊形是矩形，此選項錯誤；故選C．【分析】A、根據中心對稱圖形的概念進行判斷；B、根據垂徑定理進行判斷；C、判斷a的正負，再化簡即可判斷；D、根據菱形和矩形的性質即可判斷．7．在如圖所示的正方形網格中，點A，B，C，D，O均在格點上，則點O是（）A．△ACD的外心 B．△ACD的內心C．△ABC的外心 D．△ABC的內心【答案】A【解析】【解答】解：由勾股定理可知：OA=OD=OC=1所以點O是△ACD的外心，故答案為：A．【分析】利用勾股定理求出OA=OD=OC=18．一張圓形的紙，要想找到它的圓心，至少要對折()次．A．1 B．2 C．4 D．8【答案】B【解析】【解答】解：∵圓的對稱軸是任意一條通過圓心的直線，

∴圓心在折痕上，

∴對折2次后，兩次折痕的交點為圓的圓心．故答案為：B.

【分析】根據圓的對稱軸是任意一條通過圓心的直線可判斷兩次折疊后折痕的交點為圓的圓心．9．如圖，在半徑為3的⊙O中，AB是直徑，AC是弦，D是AC的中點，AC與BD交于點E．若E是BD的中點，則AC的長是（）A．33 B．42 C．32【答案】B【解析】【解答】解：如圖，連接OC，OD，設OD交AC于點F，∵D是AC?∴AD=∴∠AOD=∠COD，∵OA=OC，∴OF⊥AC，AF=CF，

∴∵AB是⊙O的直徑，

∴OA=OB，∠ECB=90°，∴OF是△ABC的中位線，∠EFD=∠ECB，∴OF=1∵E是BD的中點，∴DE=BE，在△EFD和△ECB中，∠EFD=∠ECB∴△EFD≌△ECBAAS∴BC=DF，∴OF=1又∵⊙O半徑為3，∴OF+DF=3，AB=6，解得：OF=1，∴BC=DF=2OF=2，∴AC=A故答案為：B．【分析】連接OC，OD，設OD交AC于點F，根據圓心角、弧、弦之間的關系得∠AOD=∠COD，根據等腰三角形”三線合一“性質得出OF⊥AC，AF=CF，由此證得OF是△ABC的中位線，從而得OF=12BC，然后證明△EFD≌△ECBAAS，得出BC=DF，10．如圖，點A，B，C在一條直線上，△ABD，△BCE均為等邊三角形，連接AE和CD，AE分別交CD，BD于點M，P，CD交BE于點Q，連接PQ，BM，下面的結論：①△ABE≌△DBC；②∠DMA=60°；③△BPQ為等邊三角形；④MB平分∠AMC，其中結論正確的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】D【解析】【解答】解：∵△ABD、△BCE為等邊三角形，∴AB=DB，∠ABD=∠CBE=60°，BE=BC，

∴∠ABE=∠DBC，∠PBQ=60°，

在△ABE和△DBC中，AB=DB∠ABE=∠DBCBE=BC∴△ABE≌△DBC（SAS），∴①符合題意；

∵△ABE≌△DBC，

∴∠BAE=∠BDC，

∵∠BDC+∠BCD=180°-60°-60°=60°，

∴∠DMA=∠BAE+∠BCD=∠BDC+∠BCD=60°，

∴②符合題意；

在△ABP和△DBQ中，∠BAP=∠BDQAB=DB∠ABP=∠DBQ=60°∴△ABP≌△DBQ（ASA），

∴BP=BQ，

∴△BPQ為等邊三角形，

∴③符合題意；

∵∠DMA=60°，

∴∠AMC=120°，

∴∠AMC+∠PBQ=180°，

∴P、B、Q、M四點共圓，

∵BP=BQ，∴∠BMP=∠BMQ，

即MB平分∠AMC；

∴④符合題意；

綜上所述：正確的結論有4個；

故應選：D?！痉治觥竣俑鶕冗吶切蔚男再|得出AB=DB，∠ABD=∠CBE=60°，BE=BC，根據等式的性質及平角的定義得出∠ABE=∠DBC，∠PBQ=60°，從而利用SAS判斷出△ABE≌△DBC；②根據全等三角形對應角相等得出∠BAE=∠BDC，根據外角的定義得出∠BDC+∠BCD=180°-60°-60°=60°，根據等量代換得出∠DMA=∠BAE+∠BCD=∠BDC+∠BCD=60°；③根據ASA判斷出△ABP≌△DBQ，根據全等三角形的對應邊相等得出BP=BQ，又∠PBQ=60°，從而根據有一個角為60°的等腰三角形是等邊三角形，得出△BPQ為等邊三角形；④首先由∠AMC+∠PBQ=180°得出P、B、Q、M四點共圓，又根據等弦所對的圓周角相等得出∠BMP=∠BMQ，從而得出MB平分∠AMC。二、填空題(本大題有6個小題，每小題3分，共18分)11．如圖，分別以等邊三角形的每個頂點為圓心、以邊長為半徑在另兩個頂點間作一段圓弧，三段圓弧圍成的曲邊三角形稱為勒洛三角形．若等邊三角形的邊長為a，則勒洛三角形的周長為．【答案】πa【解析】【解答】解：如圖．∵△ABC是等邊三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°，AB=BC=CA=a，∴AB的長=BC的長=CA的長=60πa180=πa∴勒洛三角形的周長為πa3故答案為：πa．【分析】利用等邊三角形的性質，可得出∠A=∠B=∠C=60°，AB=BC=CA=a，弧AB=弧BC=弧AC，再利用弧長公式求出弧AB的長，就可得出勒洛三角形的周長。12．如圖，△ABC內接于⊙O，AD是⊙O的直徑，∠ABC=50°，則∠CAD的度數為．【答案】40°【解析】【解答】解：連接BD，

∵AD是⊙O的直徑，

∴∠ABD=90°，

∵∠ABC=50°，

∴∠DBC=40°，

∴∠DAC=40°.故答案為：40°.【分析】連接BD，由AD是⊙O的直徑，可得∠ABD=90°，進而得出∠DBC=40°，根據同弧所對的圓周角相等即可得出答案.13．如圖，在⊙O中，AB為弦，半徑OC⊥AB于E，如果AB=8，CE=2，那么⊙O的半徑為.【答案】5【解析】【解答】連接OA．∵半徑OC⊥AB于E，∴AE=12AB＝4，又OE＝OC﹣CE＝r﹣2，OA＝在Rt△AOE中，由勾股定理，得：AE2+OE2＝OA2，即42+（r﹣2）2＝r2，解得：r＝5．故答案為：5．【分析】連接OA，由垂徑定理可知AE=12AB＝4，OE＝OC﹣CE＝r﹣2，OA＝r．在Rt△14．如圖，AB和CD是⊙O的兩條直徑，順次連接AC，CB，BD和DA，得到四邊形ACBD，則四邊形ACBD的形狀一定是．【答案】矩形【解析】【解答】解：∵AB和CD是⊙O的兩條直徑，∴∠CAD=∠ADB=∠DBC=∠BCA=90°，∴四邊形ACBD的形狀是矩形，故答案為：矩形．

【分析】根據圓內接四邊形的性質及矩形的判定方法求解即可。15．正多邊形的一個外角的度數為30°，這個正多邊形的邊數是【答案】12【解析】【解答】解：∵360°÷30°=12，則正多邊形的邊數為12．故答案為：12．【分析】根據正多邊形的性質可得邊數為360°÷外角度數16．兩個完全相同的正五邊形都有一邊在直線l上，且有一個公共點O，其擺放方式如圖所示，則∠AOB等于度．【答案】108【解析】【解答】解：如圖所示：

∵兩個完全相同的正五邊形都有一邊在直線l上，且有一個公共點O，

∴∠AOC=∠BOD=540°÷5=108°，∠OCD=∠ODC=180°-108°=72°，

∴∠COD=180°-2×72°=36°，

∴∠AOB=360°-∠COD-2∠AOC=360°-36°-2×108°=108°.

故答案為：108°.

【分析】先由正五邊形性質及內角和，求得∠AOC=∠BOD108°，∠OCD=∠ODC=72°，再根據等腰三角形性質求得∠COD=36°，最后由∠AOB=360°-∠COD-2∠AOC代入數據計算即可求解.三、解答題（17、18、19題每題8分，20、21題每題10分，22、23每題14分，共計72分，要求寫出文字說明、證明過程或演算步驟)17．如圖是一名考古學家發現的一塊古代車輪碎片.（1）請你幫他找到這個車輪的圓心（保留作圖痕跡）；（2）若這個圓的半徑為10cm，請求出弦心距為5cm的弦長.【答案】（1）解：作出圓的兩條弦的垂直平分線的交點O，如圖所示：（2）解：由題意得下圖：其中OC=10，OD=5，在Rt△OCD中根據勾股定理得；CD=O∴圓的半徑為10cm，弦心距為5cm的弦長為：2CD=103【解析】【分析】（1）在弧AB上任意取一點C，連接AC、BC，作線段AC、BC的垂直平分線，兩線的交點O即為所求；

（2）由題意得OC=10，OD=5，利用勾股定理求出DC的長，由垂徑定理即可求出結論.18．如圖，有一個亭子，它的地基是半徑為4米的正六邊形.（1）請在圖18-2中利用尺規作出正六邊形ABCDEF（不寫作法，保留作圖痕跡）；（2）求地基的面積（答案保留根號）.【答案】（1）解：作法如圖所示所以正六邊形ABCDEF為所求.（2）解：如圖，連接OB，作OP⊥AB，垂足為P.∵六邊形ABCDEF是正六邊形，∴△OAB是等邊三角形.∴∠OAP=60°.∵OP⊥AB，在Rt△OAP中，∠AOP=30°∴APOP∴亭子地基的面積S=6S△【解析】【分析】

（1）首先再圓的任意一個位置取一點A，再以A為圓心，OA為半徑截取B點，再以B為圓心等長為半徑依次截取點C，D，E，F，畫出圖形，解答即可；

（2）根據正六邊形的性質得到△OAB是等邊三角形，∠OAP=60°，再計算出∠AOP=30°，利用30°角的性質得到AP=19．如圖，在⊙O中，有定長弦AB在圓上滑動，點C是弦AB的中點，過點A作AD丄直徑MN垂足為D，連接CD.（1）當弦AB在⊙O上滑動時，探究∠ADC的大小是否變化，請說明理由（2）當∠ADC=30°，AB=6時，求圓的半徑.【答案】（1）證明：根據圓的軸對稱性，作點A關于直徑MN的對稱點A’，連接A'D，AO，BO，AD=A'D∴D為A'A中點，C為AB中點，

∴CD為△AA'B的中位線，

∴A'B//CD，∠ADC=∠A’

在⊙O中根據圓周角定理得∠A’=12∴∠ADC=12∵弦AB為定長，

∴在同圓中定長弦所對圓心角相等，即∠AOB為定值，所以∠ADC為定值所以當弦AB在⊙O上滑動時，∠ADC的大小不變（2）解：由（1）知當∠ADC=30°，∠AOB=2∠ADC=60°∴△AOB為等邊三角形，AO=AB=6∴圓的半徑為6【解析】【分析】（1）作點A關于直徑MN的對稱點A’，連接A'D，AO，BO，AD=A'D，再根據三角形中位線定理可得A'B//CD，∠ADC=∠A’，再根據圓周角定理即可求出答案.

（2）由（1）知當∠ADC=30°，∠AOB=2∠ADC=60°，再根據等邊三角形判定定理及性質即可求出答案.20．如圖這是一個殘缺的圓形部件，已知A,B,C是該部件圓弧上的三點．（1）利用尺規作圖作出該部件的圓心；（保留作圖痕跡）（2）若△ABC是等腰三角形，底邊BC=16cm，腰AB=10cm，求該部件的半徑R．【答案】（1）解：如圖所示：分別作弦AB和AC的垂直平分線，交點O即為所求圓形部件的圓心；???????（2）解：連接AO,OB,BC,BC交OA于D，如圖所示：∵BC=16cm，AB=AC，∴BD=CD=8cm，BC⊥OA.∵AB=10cm，∴AD=A設圓片的半徑為R，在Rt△BOD中，OD=R?6∴解得：R=25?????∴圓片的半徑R為253【解析】【分析】（1）弦AB和AC的垂直平分線交點O即為所求的圓心，據此即可完成作圖；（2）連接AO,OB,BC，記BC與AO相交于點D，根據垂徑定理可得BD=8cm，再結合勾股定理可得AD的長；設圓片的半徑為R，在Rt△BOD中利用勾股定理即可求解．（1）解：如圖所示：分別作弦AB和AC的垂直平分線交點O即為所求的圓心；（2）解：連接AO,OB,BC,BC交OA于D．∵BC=16cm，∴BD=8cm，∵AB=10cm，∴AD=A設圓片的半徑為R，在Rt△BOD中，OD=R?6∴解得：R=25∴圓片的半徑R為25321．如圖所示，已知AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點，連結BC，AC，（1）求證：OD//（2）若BC=8，DE=3，求【答案】（1）證明：∵AB是⊙O的直徑，

∴∠C=90°，

∵OD⊥BC，

∴∠OEB=∠C=90°，

∴OD∥AC；（2）解：設⊙O的半徑為r，則OE=r-3，

∵OD⊥BC，

∴BE=CE=12BC=4，

在Rt△BOE中，由勾股定理得r2=42+(r?3)【解析】【分析】（1）由直徑所對的圓周角是直角得∠C=90°，由垂直定義得∠OEB=∠C=90°，從而根據同位角相等，兩直線平行得OD∥AC；

（2）設圓O的半徑為r，則OE=r-3，由垂徑定理得BE=1222．（1）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°,∠BAC=30°，將△ABC