人教A版高一數學暑假預習：函數的應用（一）（講）-（人教A版必修第一冊）原卷版+解析

3.5函數的應用(一)

【題型解讀】

【知識儲備】

1.實際問題中函數建模的基本步驟

(1)審題：弄清題意，分清條件和結論，理清數量關系，初步選擇模型.

(2)建模：將自然語言轉化為數學語言，利用數學知識，建立相應的函數模型.

(3)求解：根據實際問題所需要解決的目標及函數式的結構特征正確求得函數模型的解.

(4)還原：應用問題不是單純的數學問題，既要符合數學學科背景又要符合實際背景，因此解出的結果要代

入原問題中進行檢驗、評判，最后得出結論，作出回答.

2.一次函數模型的應用

一次函數模型：兒r尸去+伙A力為常數，原0).

一次函數是常見的一種函數模型，在初中就已接觸過.

3.二次函數模型的應用

二次函數模型：/口)="2+區+03力工為常數，存()).

二次函數為生活中常見的一種數學模型，因二次函數可求其最大值(或最小值)，故最優、最省等最值

問題常用到二次函數模型.

4.幕函數模型的應用

幕函數模型應用的求解策略

(1)給出含參數的函數關系式，利用待定系數法求出參數，確定函數關系式.

(2)限據題意，直接列出相應的函數關系式.

5.分段函數模型的應用

由于分段函數在不同區間上具有不同的解析式，因此分段函數在研究條件變化前后的實際問題中具有廣泛

的應用.

6.“對勾”函數模型的應用

對勾函數模型是常考的模型，要牢記此類函數的性質，尤其是單調性：)，二蛇+白伍＞0力＞0),當工＞0時，在。

X

］上遞減，在+8)上遞搜.另外，還要注意換元法的運用.

【題型精講】

【題型一一次函數模型的應用】

例I（2022?河北?武安市第一中學高一期末）我國占代數學著作《九章算術》中有如下問題：“今有人持金

出五關，前關二而稅一，次關三二稅一，次關四而稅一，次關王而稅一，次關六而稅一，并五關所稅，適

重一斤，問本持金兒何？”其意思為：今有人持金出五關，第1關收稅金為持金的第2關收稅金為剩

余金的;，第3關收稅金為剩余金的;，第4關收才兌金為剩余金的。，第5關收稅金為剩余金的9，5關所

3456

收稅金之和恰好重1斤，則此人總共持金（）

A.2斤B.1斤C.g斤D.歷斤

【題型精練】

1.（2022.山東.濟南一中期中）某種產品每件80元，每天可售出30件，如果每件定價120元，則每天可售

出20件，如果售出件數是定價的一次函數，則這個函數解析式為_________.?

2.（2022?安徽宣城市?高一期末）某廠日生產文具盒的總成本y（元）與日產量x（套）之間的關系為），

=6x+3OOOO.而出廠價格為每套12元，要使該廠不虧本，至少日生產文具盒（）

A.2000套B.3000套C.4000套D.5000套

【題型二二次函數模型的應用】

例2（2022?山東濟寧?高一期中）如圖，有一長AM=3（）米，寬AN=2（）米的矩形地塊，物業計劃將其中

的矩形48co建為倉庫，要求頂點。在地塊對角線MN上，出。分別在邊AM.4V上，其他地方建停車場和

路，設AB=x米.

則矩形ABCD的面積S關于/的函數解析式為

【題型精練】

1.（2022?四川涼山?高一期末）生產一定數量的商品的全部費用稱為生產成本，某企業一個月生產某種商品

x萬件時的生產成本為C（x）=gd+2x+20（萬元）.一萬件售價為20萬元，為獲取更大利潤，該企業一個

月應生產該商品數量為萬件.

2.（2022?河北石家莊期中）某公司今年年初用81萬元收購了一個項目，若該公司從第1年到第x（xwN.且

x>l）年花在該項目的其他費用（不包括收購費用）為x（x+2。）萬元，該項目每年運行的總收入為50萬元.

⑴試問該項目運行到第幾年開始盈利？

（2）該項目運行若干年后，公司提出了兩種方案：

①當盈利總額最大時，以56萬元的價格賣出；

②當年平均盈利最大時，以92萬元的價格賣出.

假如要在這兩種方案中選擇一種，你會選擇哪一種？請說明理由.

3.（2022?河北張家口?高一期末）習近平總書記指出：“我們既要綠水青山，也要金山銀山新能源汽車環保、

節能，以電代油，減少排放，既符合我國的國情，也代表了世界汽車產業發展的方向.工業部表示，到2025

年中國的汽車總銷量將達到3500萬輛，并希望新能源汽車至少占總銷量的五分之一.江蘇某新能源公司某年

初購入一批新能源汽車充電樁，每臺13500元，到第x年年末（xeNj每臺設備的累計維修保養費用為

（3CO/+32OOX）元，每臺充電樁每年可給公司收益8000元.（加。4.36）

（1）每臺充電樁第幾年年末開始獲利；

（2）每臺充電樁在第幾年年末時，年平均利潤最大.

【題型三分段函數模型的應用】

例3（2022?綏德中學高一期末）某旅游點有50輛自行車供游客租賃使用，管理這些自行車的費用是每口

115元.根據經驗，若每輛自行車的FI租金不超過6元，則自行車可以全部租出；若超過6元，則每提高1

元，租不出去的自行車就增加3輛.

旅游點規定：每輛自行車的日租金不低于3元并且不超過20元，每輛自行車的日租金x元只取整數，用y

表示出租所有自行車的日凈收入.（日凈收入即一日中出租的所有自行車的總收入減去管理費用后的所得）

（1）求函數>=/（x）的解析式；

（2）試問口凈收入最多時每輛自行車的口租金應定為多少元？日凈收入最多為多少元？?

【題型精練】

1.（2022?北京大興?高一期末）某產品生產廠家根據以往的生產銷售經驗得到下面有關生產銷售的統計規

律：每生產產品x（百臺），其總成本為6（片）（萬元），其中固定成本為2萬元，并且每生產1百臺的生產

成本為1萬元（總成本=固定成本+生產成本）；銷售收入"1）（萬元）滿足：

+y-°&°""嗎假定該產品產銷平衡，那么根據上述統計規律:

10.2（x>5）

（1）要使工廠有扁利，產量x應定制在什么范圍？,

（2）工廠生產多少臺產品時，可使贏利最多？?

2.（2022?河南開封?高一期末）第24屆冬季奧林匹克運動會，即2022年北京冬奧會于2022年2月4日開

幕.冬奧會吉祥物"冰墩墩'’早在2019年9月就正式亮相，到如今已是“墩難求”，并衍生出很多不同品類的

吉祥物手辦.某企業承接了“冰墩墩''玩具手辦的生產，已知生產此玩具手辦的固定成本為200萬元.每生產x

萬盒，需投入成本〃萬元，當產量小于或等于50萬盒時/?（x）=180x+l（X）；當產量大于50萬盒時

/Z（A）=X2+60x4-3500,若每盒玩具手辦售價200元，通過市場分析，該企業生產的玩具手辦可以全部銷售

完.（利潤=銷售總價-成本總價，銷售總價=銷售單價x銷售量，成本總價=固定成本+生產中投入成本）

⑴求“冰墩墩'’玩具手辦銷售利潤），（萬元）關于產量x（萬盒）的函數關系式；

（2）當產后為多少萬盒時，該企業在牛產中所獲得利潤最大.

3.（2022?陜西?長安一中高一期末）十九大指出中國的電動汽車革命早已展開，通過以新能源汽車替代汽/

柴洵車，中國正在大力實施一項將重塑全球汽車行業的計劃，2020年某企業計劃引進新能源汽車生產設備

看，通過市場分析，全年需投入同定成本3000萬元，每生產%（百輛）需另投入成本），（萬元），且

10_?+200.%0<%<40,

）'=）》10000，八由市場調研知，每輛車售價6萬元，且全年內生產的車輛當年能全部銷售完.

601x+------4500/240.

x

（1）求出2020年的利潤S（萬元）關于年產量x（百輛）的函數美系式：（利潤=銷售額減去成本）

（2）當2020年產量為多少百輛時，企業所獲利潤最大?并求出最大利潤.

【題型四“對勾”函數模型的應用】

例4（2021?廣西高一期末）如圖，某房地產開發公司計劃在一棟樓區內建造一個矩形公園A8CQ,公園

由矩形的休閑區（陰影部分）A渴CQ和環公園人行道組成，已知休閑區4用GR的面積為1000平方米，

人行道的寬分別為4米和10米，設休閑區的長為x米.

（1）求矩形A8CZ）所占面積S（單位：平方米）關于*的函數解析式；

（2）要使公園所占面積最小,問休閑區A8GR的長和寬應分別為多少米？

【題型精練】

1.（2022?陜西?咸陽市高新一中高一期中）上海市某地鐵項目正在緊張建設中，通車后將給更多市民出行帶

來便利，已知該線路通車后，地鐵的發車時間間隔單位：分鐘）滿足2qK2O,，eN“，經測算，在某

一時段，地鐵載客量與發車時間間隔￡相關，當103420時地鐵可達到滿載狀態，載客量為1200人，當

2口＜10時，載客量會減少，減少的人數與（10-，）的平方成正比，且發車時間間隔為2分鐘時載客量為560

人,記地鐵載客量為P&）.

（1）求P"）的解析式；,

（2）若該時段這條線路每分鐘的凈收益為。=皿匕鵬-360（元），問當發車時間間隔為多少時，該時

段這條線路每分鐘的凈收益最大？

2.（2022?安徽宣城?高一期中）2020年初至今，新冠肺炎疫情襲擊全球，對人民生命安全和生產生活造成

嚴重影響.在黨和政府強有力的抗疫領導下，我國控制住疫情后，一方面防止境外疫情輸入，另一方面逐步

復工復產，減輕經濟下降對企業和民眾帶來的損失.為降低疫情影響，某廠家擬在2022年舉行某產品的促

2

銷活動，經調查測算，該產品的年銷售量（即該廠的年產量）xTJ件與年促銷費用，〃萬元（〃之0）滿足k4-

m+\

已知生產該產品的固定成本為8萬元，生產成本為16萬元/萬件，廠家將產品的銷售價格定為E&萬

X

元/萬件（產品年平均成本）的L5倍.

⑴將2022年該產品的利潤y萬元表示為年促銷費用機萬元的函數；

（2）該廠家2022年的促銷費用投入多少萬元時，廠家的利潤最大？

3.（2022?廣東深圳?高一期木）珍珠棉是聚乙烯塑料顆粒經過加然、擠壓、發泡等工藝制成的一種新型的包裝

材料.2020年疫情期間珍珠棉的需求量大幅增加，某加工珍珠棉的公司經市場調研發現，若本季度在原材料

上多投入x（l<x<l。）萬元，珍珠保的銷售量可增加〃=生噸，每噸的銷售價格為（3一心］萬元，另外生產

x+1IP）

〃噸珍珠棉還需要投入其他成本4萬元.

（I）寫出該公司本季度增加的利潤y萬元與x之間的函數關系；

（2）當x為多少萬元時，公司在本季度增加的利潤y最大？最大為多少萬元？

3.5函數的應用(一)

【題型解讀】

【知識儲備】

1.實際問題中函數建模的基本步驟

(1)審題：弄清題意，分清條件和結論，理清數量關系，初步選擇模型.

⑵建模：將自然語言轉化為數學語言，利用數學知識，建立相應的函數模型.

(3)求解：根據實際問題所需要解決的目標及函數式的結構特征止確求得函數模型的解.

(4)還原：應用問題不是單純的數學問題，既要符合數學學科背景又要符合實際背景，因此

解出的結果要代入原問題中進行檢驗、評判，最后得出結論，作出回答.

2.一次函數模型的應用

一次函數模型：?x)=kx+b(k,b為常數,原0).

一次函數是常見的一種函數模型，在初中就已接觸過.

3.二次函數模型的應用

二次函數模型：J(x)=ax2+bx+c(a.b.c為常數.cM).

二次函數為生活中常見的一種數學模型，因二次函數可求其最大值(或最小值)，故最優、最

省等最值

問題常用到二次函數模型.

4.幕函數模型的應用

尋函數模型應用的求解策略

(1)給出含參數的函數關系式，利用待定系數法求出參數，確定函數關系式.

⑵根據題意，直接列相應的函數關系式.

5.分段函數模型的應用

由于分段函數在不同區間上具有不同的解析式，因此分段函數在研究條件變化前后的實際問

題中具有廣泛的應用.

6.“對勾”函數模型的應用

對勾函數模型是常考的模型，要牢記此類函數的性質，尤其是單調性：產”+2(〃>()力>()),

X

當Q0時，在上遞減，在（、上,+8）上遞增.另外，還要注意換元法的運用.

【題型精講】

【題型一一次函數模型的應用】

例1（2022?河北?武安市第一中學高一期末）我國古代數學著作《九章算術》中有如下問

題：”今有人持金出五關，前關二而稅一，次關三二稅一，次關四而稅一，次關五而稅一，

次關六而稅一，并五關所稅，適重一斤，問本持金幾何？”其意思為：今有人持金出五關,

第1關收稅金為持金的;，第2關收稅金為剩余金的!，第3關收稅金為剩余金的;，第4

關收稅金為剩余金的工，第5關收稅金為剩余金的!，5關所收稅金之和恰好重1斤，則此

56

人總共持金（）

A.2斤B.1斤C.1斤D.

。2）1U

【答案】C

【解析】設總共持金X斤，再根據過5關后剩X-1斤列式計算即可.

由題得xx[l—萬1——

3JIF

故選：C

【題型精練】

1.（2022?山東?濟南一中期中）某種產品每件80元，每天可售出30件，如果每件定價120

元，則每天可售出20件，如果售出件數是定價的一次函數，則這個函數解析式為_________.?

【答案】y=-3+5（Ue（O,2OO）.,

【解析】設每件件價小元時，售出y件，設丁=履+"左=0,

因為x=80,），=30,所以3O=8（M+b①，

因為x=120,y=20，，所以20=1204+8②，

解由①②組成的方程組得，k=-；力=50,所以y=:x+50.

44

由y=--x+50>0,x<200.?

故答案為：y=--x+5O,xe(O,2OO).-

2.（2022?安徽宣城市-高一期末）某廠日生產文具盒的總成本y（元）與日產量x（套）

之間的關系為），=6x+30000.而出廠價格為每套12元，要使該廠不虧木，至少日生產文具

盒()

A.2000套B.300()套C.4000套D.5000套

【解析】解：設利潤為z,

則z=12x-y=12x-(6x+30000)=6x-30000,

由z=6x-3000020,得戈2500().

???要使該廠不虧本，至少日生產文具盒5000套.

故選：D.

【題型二二次函數模型的應用】

例2(2022?山東濟寧?高一期中)如圖，有一長AM=30米，寬AN=20米的矩形地塊，物

.業計劃將其中的矩形A8CQ建為倉庫，要求頂點。在地決對角線MN上，分別在邊

上，其他地方建停車場和路，設AK=x米.

則矩形ABCD的面積S關于x的函數解析式為一

2

【答案】S=--x2+20x(0<x<30)

DCDN

【解析】在直角4M中~AM~~AN

所以方20—A。

20

2

Z.AO=20——x,

3

2o

S=.r(20--x)=--x2+20.r(0<x<30),?

所以矩形ABCD的面積S關丁x的函數解析式為S=+20x(0<x<30).

【題型精練】

1.(2022.四川涼山.高一期末)生產一定數量的商品的全部費用稱為生產成木，某企業一個

月生產某種商品上萬件時的生產成本為。(x)=g/+2x+20(萬元).一萬件售價為20萬元,

為獲取更大利潤，該企業一個月應生產該商品數量為________萬件.

【答案】18

【解析】設利潤為〃x),則〃x)=20x-C(x)=-；(%-18產+142,當x=18時，“外有最大

值，

故答案為：18」

2.(2022?河北石家莊期中)某公司今年年初用81萬元收購了一個項目，若該公司從第1年到

第x(xeN+且工〉1)年花在該項目的其他費用(不包括收購費用)為x(x+20)萬元，該

項目每年運行的總收入為50萬元.

(1)試問該項目運行到第幾年開始盈利？

(2)該項目運行若干年后，公司提出了兩種方案：

①當盈利總額最大時，以56萬元的價格賣出；

②當年平均盈利最大時，以92萬元的價格賣出.

假如要在這兩種方案中選擇一種，你會選擇哪一種？請說明理由.

【答案】(1)第4年

(2)選擇方案②.理由見解析

【解析】(1)解：設項目運行到第x年的盈利為丫萬元，

則尸50刀-小+20)-81=-12+30工-81,

由>〉0，WX2-30X+81<0.解得3cx<27,

所以該項目運行到第4年開始盈利.

(2)解：方案①)，=-/+3(11-81=-(15y+144,

當x=15時，丫有最大值144.

即項目運行到第15年，盈利最大，且此時公司的總盈利為144+56=200萬元，

、，x?(si、I$rr

方案②)=-戈+30-a=30-x+—<30-2Jx--=12,

xxvx)Vx

Q1

當且僅當工=一，即x=9時，等號成立.

x

即項目運行到第9年，年平均盈利最大，且此時公司的總盈利為12x9+92=200萬元.

綜上，兩種方案獲利相等，但方案②時間更短，所以選舉方案②.

3.(2022?河北張家口.高一期末)習近平總書記指出：“我們既要綠水青山，也要金山銀山

新能源汽車環保、節能，以電代油，減少排放，既符合我國的國情，也代表了世界汽車產業

發展的方向.工業部表示，到2025年中國的汽車總銷量將達到35(X)萬輛，并希望新能源汽車

至少占總銷量的五分之一江蘇某新能源公司某年初購入一批新能源汽車充電樁，每臺13500

元，到第x年年末(工€乂)每臺設備的累計維修保養費用為(300f+3200.。元，每臺充電樁

每年可給公司收益8000元.(炳=4.36)

(1)每臺充電機第幾年年末開始獲利；

(2)每臺充電樁在第幾年年末時，年平均利潤最大.

【答案】(1)第4年；

⑵第7年.

【解析】(1)設每臺充電樁在第x年年末的利潤為了(“，

則/(x)=8000%-(3OOx2+3200A)-13500=-3OOx2+4800x-13500,

令/(x)>0,解得：8—M<X<8+M，又加才4.36，.\3.64<x<12.36.

VxwN.,.?.每臺充電樁從第4年年末開始獲利；

(2)設g(x)為每臺充電樁在第x年年末的年平均利潤，

則g(x)=Z0=_3OOX_^52]+48OO；

?.?y=300x+生里在(0,3石)上單調遞減，在卜石,+8)上單調遞增，

??.g(x)在(0,3石)上單調遞增，在卜石,+8)上單調遞減，

又XGN.，3石=6.708,g⑹=750,g(7)?771,「.g⑺vg(6),

??.每臺充電樁在第7年年末時，年平均利潤最大.

【題型三分段函數模型的應用】

例3(2022?綏德中學高一期末)某旅游點有50輛自行車供游客租賃使用，管理這些自行

車的費用是每日115元.根據經驗，若每輛自行車的日租金不超過6元，則自行車可以全部

租出；若超過6元，則每提高1元，租不出去的自行車就增加3輛.

旅游點規定：每輛自行車的口租金不低于3元并且不超過20元，每輛自行車的口租金x元

只取整數，用y表示出租所有自行車的日凈收入.(日凈收入即一日中出租的所有自行車的

總收入減去管理費用后的所得)

(1)求函數y=的解析式；

(2)試問日凈收入最多時每輛自行車的日租金應定為多少元？日凈收入最多為多少元？

)

【答案】⑴50A-1I5,(3<X<6,XG/V

/(3N+68106c-N)；(2)H租金定為11元時，日凈收

入最多，為270元.

【解析】(1)由題知：當x?6時，/(x)=50x-115,

令50%一115>(),解得x〉23,因為xwN,所以3<x<6,xwN.

當6cx420時，/(x)=[50-3(x-6)]x-l15=-3x2+68x-l15,6<x<20,XGN.

50X-115,(3<X<6^€/V)

所以=<

-3x2+68.r-l15,(6<x<20,xGN)

(2)當34x46,且xwN時，/(x)=50x-115為增函數,

所以〃力皿=〃6）=儂元.

2011

當6<工<20,且xwN時,f(x)=-3x2+68x-115=-3+彳

當x=U時，/（x）a=270元.

綜上所述，當每口自行車口租金定為11元時，口凈收入最多，為270元.

【題型精練】

I.（2022?北京大興?高一期末）某產品生產廠家根據以往的生產銷售經驗得到下面有關生產

銷售的統計規律：每生產產品x（百臺），其總成本為。（元）（萬元），其中固定成本為2萬

元，并且每生產1百臺的生產成本為1萬元（總成本=固定成本+生產成本）；銷售收入

—0.4A-'+4.2A--0.8(0?%W5)

R（x）（萬元）滿足:&心=?,假定該產品產銷平衡，那么根據

10.2(x>5)

上述統計規律：

（1）要使工廠有贏利，產量x應控制在什么范圍？

（2）工廠生產多少臺產品時，可使贏利最多？

【答案】（1）產品應控制在大于100臺，小于820臺的范圍內；（2）當工廠生產400臺產品

時，贏利最多,

【解析】依題意，G（x）=x+2.設利潤函數為〃x）,則

-0.4X2+3.2A-2.8(0<X<5)

f(x)=R(x)-G(x)=<

8.2—x(x>5)

（1）要使工廠有贏利,即解不等式/@）>。?，當0。5時,

解不等式-0.4/+32r-2.8>().

即X2-8X+7<0.-

1<x<7/.1<x<5,

當x>5?時，解不等式8.2-x>0,

得x<82,/.5<x<8.2.

綜上所述，要使工廠贏利，廠應滿足l〈x<8.2,

即產品應控制在大于100臺，小于820臺的范圍內.?

（2）04x45時，〃x）=-0.4（x—4）2+3.6故當x=4時，/（2有最大值3.6.

而當x>5?時，<8.2-5=3.2

所以，當工廠生產400臺產品時，扁利最多.?

2.（2022?河南開封?高一期末）笫24屆冬季奧林匹克運動會，即2022年北京冬奧會于2022

年2月4日開幕.冬奧會吉祥物“冰墩墩”早在2019年9月就正式亮相，到如今已是“一墩難

求”，并衍生出很多不同品類的吉祥物手辦.某企業承接j'“冰墩墩”玩具手辦的生產，已知生

產此玩具手辦的固定成本為200萬元.每生產X萬盒，需投入成本/心:）萬元，當產量小于或等

于50萬盒時〃*）=180x+100；當產量大于50萬盒時〃（外=/+60工+3500,若每盒玩具手

辦售價200元，通過市場分析?，該企業生產的玩具手辦可以全部銷售完.（利潤:銷售總價-

成本總價，銷售總價;銷售單價x銷售量，成本總價=固定成本+生產中投入成本）

（I）求“冰墩墩''玩具手辦銷售利潤y（萬元）關于產量x（萬盒）的函數關系式;

（2）當產量為多少萬盒時,該企業在生產中所獲得利潤最大.

20x-300.0^x<50

【答案】（i）y=_,XGN

-X2+14CIV-3700,X>50

（2）70萬盒，利潤最大為1200萬元

【解析】（1）當產量小于或等于50萬盒時,y=200x-200-180x-100=20x-300,

當產量大于50萬盒時,y=200x-200-x2-60A-35(X)=-X2+14O.r-3700,

故銷售利潤y(萬元)關于產量x(萬盒)的函數關系式為：

20.r-300,0<x<50

y=<-，XGN、

-X2+140X-3700,X>50

⑵當x<50時，y<20x50-300=7()0(萬元)；

當x>50時，y=-x2+14O.v-37OO,

當x=70時，），=一丁+140、—3700取到最大值1200萬元.

3.（2022?陜西?長安一中高一期末）十九大指出中國的電動汽車革命早已展開，通過以新能

源汽車替代汽/柴油車，中國正在大力實施一項將重塑全球汽車行業的計劃，2020年某企業

計劃引進新能源汽車生產設備看，通過市場分析，全年需投入固定成本3000萬元，每生產

1Ox2+200x,0<x<40,

一百輛）需另投入成本八萬元），且）,=6。皿理一45。。44。.由市場調研知'每輛

車售價6萬元，旦全年內生產的車輛當年能全部銷售完.

⑴求出2020年的利潤5（萬元）關于年產量x（百輛）的函數關系式；（利潤=銷售額減去

成本）

⑵當2020年產量為多少百輛時，企業所獲利潤最大?并求出最大利潤.

-1Of+400/-3000,0<x<40

【答案】⑴S（x）=15。。…如包心4。

x

(2)100百輛時，1300萬元

【解析】(1)解：由題意得當0<x<40,

S(x)=600x-(10x2+200x)-3000=-1Ox2+400x-3000,

當x，40時，S(x)=600x601x+-4500|-3000=1500-x-^522,

IxJx

-10x2+400x-3000,0<x<40

所以5(x)=，“八10000

1500~x----------,xN40

x

(2)當0<x<40時，S(x)=-10x2+400x-3000,

當x=20時，5nm(x)=1000,

當x>。時，S(X)=I500T-3=1500-。+如竺)

由對勾函數…+等,當E00時％12。。,

AS(x)<1500-200=1300,.?j=100時，5nm(x)=1300,

?.1300>1000.“=100時,

即2020年產量為100百輛時，企業所獲利潤最大，且最大利潤為1300萬元

【題型四“對勾”函數模型的應用】

例4(2021?廣西高一期末)如圖，某房地產開發公司計劃在一棟樓區內建造一個矩形公

園ABC。，公園由矩形的休閑區(陰影部分)AqGR和環公園人行道組成，已知休閑區

A4GA的面積為1000平方米，人行道的寬分別為4米和10米，設休閑區的長為x米.

41_---------------------?_I」

|10米||1()米8

(1)求矩形A8CQ所占面積S(單位：平方米)關于>的函數解析式；

(2)要使公園所占面積最小，問休閑區A&G。的長和寬應分別為多少米？?

10()()

【答案】(1)S=(x+20)(—+8),(x>0)；(2)休閑區A4GR的長和寬應分別為50米，20

x

米.

【解析】(1)因為休閑區的長為X米，休閑區44GA的面枳為1000平方米，所以休閑區

的寬為駟米；從而矩形A3CZ)長與寬分別為4+20米，儂+8米，

XX

1000

因此矩形ABCD所占面積S=(x+20)(——+8),*>0),

x

/C、0，”、,10006102()(X)0c一/八c/20000,，“八

(2)S=(x+20)(--------1-8)=1160+---------+8,v>1160+2J-----------8x=1960

XXVX

當且僅當也2=8x.x=5O時取等號，此時儂=20

因此要使公園所占面積最小，休閑區?的長和寬應分別為50米，20米.

【題型精練】

1.（2022?陜西?咸陽市高新一中高一期中）上海市某地鐵項目正在緊張建設中，通車后將給

更多市民出行帶來便利，已知該線路通車后，地鐵的發車時間間隔￡（單位：分鐘）滿足

2</<20,經測算，在某一時段，地鐵載客量與發車時間間隔￡相關，當10<區20

時地鐵可達到滿載狀態，載客量為1200人，當24r<10時，載客量會減少，減少的人數與

（10-/）的平方成正比，H.發車時間間隔為2分鐘時載客量為560人，記地鐵載客量為〃（/）.

（1）求〃⑺的解析式：?

（2）若該時段這條線路每分鐘的凈收益為。=6〃⑺-336。―360（元），問當發車時間間隔

t

為多少時，該時段這條線珞每分鐘的凈收益最大？

-10/2+10()/+200,?<t<

【答案】（1）OwN)；(2)6分鐘.

120Ci,?(^z<20

2200—KfHO—八2

【解析】（1）由題意知〃⑺=%200與<1'?一（4為常數），■

因p(2)=1200-Z(10-2尸=1200-64%=560,則Z=10,

-20/2+200/+200,?<t<

所以〃")=<(f)；

1200,?^t<20

6㈠0入2。。/+2。))-3360_360,2工《0

(2)由)=6p⑴—3360—3的.得Q=.

^5-060.?

840-60(r+—),2</<10

即Q=<(f,.

^^-360,10^r<20

①當2Wf<10時，Q=840—60（1+一）?840—60xl2=120,當且僅當，=6等號成立；

t

②當10WY2O時，。=^^-360在［10,20］上遞減，當/=10時。取最大值24,

由①@可知，當發車時間間隔為，=