第三章 第2節　導數與函數的單調性

第2節導數與函數的單調性[課程標準要求]1.結合實例,借助幾何直觀了解函數的單調性與導數的關系.2.能利用導數研究函數的單調性,對于多項式函數,能求不超過三次的多項式函數的單調區間.夯實·必備知識知識梳理1.函數的單調性與導數的關系條件恒有結論函數y=f(x)在區間(a,b)上可導f′(x)>0f(x)在區間(a,b)內f′(x)<0f(x)在區間(a,b)內f′(x)=0f(x)在區間(a,b)上是

函數單調遞增單調遞減常數釋疑·函數f(x)在區間(a,b)上單調遞增(減),則f′(x)≥0(f′(x)≤0),“f′(x)>0(f′(x)<0)在(a,b)上恒成立”是“f(x)在(a,b)上單調遞增(減)”的充分不必要條件.如f(x)=x3在定義域上是增函數,但是其導數f′(x)=3x2≥0.2.利用導數判斷函數單調性的步驟第1步,確定函數的

;第2步,求出導數f′(x)的

;第3步,用f′(x)的零點將f(x)的定義域劃分為若干個區間,列表給出f′(x)在各區間上的正負,由此得出函數y=f(x)在定義域內的單調性.定義域零點基礎自測1.思考辨析(在括號內打“√”或“×”).(1)如果函數f(x)在某個區間內恒有f′(x)=0,則f(x)在此區間內沒有單調性.(

)(2)在(a,b)上f′(x)≤0且f′(x)=0的根有有限個,則f(x)在(a,b)上單調遞減.(

)(3)若函數f(x)在定義域上都有f′(x)>0,則f(x)在定義域上一定單調遞增.(

)(4)函數f(x)=x-sin

x在R上是增函數.(

)×√√√2.(人教A版選擇性必修第二冊P97習題5.3T1改編)函數f(x)=xln

x+1的單調遞減區間是(

)A3.(人教A版選擇性必修第二冊P89練習T3改編)在同一平面直角坐標系中作出三次函數f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)及其導函數的圖象,下列一定不正確的序號是(

)CA.①② B.①③ C.③④ D.①④【解析】

當f′(x)>0時,y=f(x)是單調遞增的,當f′(x)<0時,y=f(x)是單調遞減的,故可得①②中函數圖象的增減趨勢與導函數的正負區間是吻合的,故正確;而③中導函數為負的區間內相應的函數不單調遞減,故錯誤;④中導函數為負的區間內相應的函數不單調遞減,故錯誤.故選C.(-1,1)提升·關鍵能力利用導函數圖象研究函數的單調性考點1[例1]

(2026·黑龍江齊齊哈爾模擬)設函數f(x)在定義域內可導,y=f(x)的圖象如圖所示,則其導函數y=f′(x)的圖象可能是(

)AAB

C D【解析】

由f(x)的圖象可知,當x∈(-∞,0)時,函數單調遞增,則f′(x)≥0,故排除C,D;當x∈(0,+∞)時,f(x)先遞增,再遞減最后遞增,所以所對應的導數值應該先大于0,再小于0,最后大于0,排除B.故選A.解題策略·函數圖象與其導函數圖象的關系當導函數f′(x)的圖象在x軸上方時,對應的自變量的取值區間為函數f(x)的單調遞增區間;當導函數f′(x)的圖象在x軸下方時,對應的自變量的取值區間為函數f(x)的單調遞減區間.[針對訓練]

(多選)如圖所示是函數y=f(x)的導函數y=f′(x)的圖象,則下列判斷正確的是(

)A.在區間(-2,1)上f(x)單調遞增B.在區間(2,3)上f(x)單調遞減C.在區間(4,5)上f(x)單調遞增D.在區間(3,5)上f(x)單調遞減BC求不含參數函數的單調區間考點2C(2)函數f(x)=xcos

x-sin

x在以下哪個區間內單調遞增(

)B【解析】(2)f′(x)=cosx-xsinx-cosx=-xsinx,選項中只有B項滿足f′(x)>0.故選B.解題策略·求函數的單調區間的步驟(1)確定函數y=f(x)的定義域.(2)求導數f′(x).(3)解不等式f′(x)>0,解集與定義域的交集為單調遞增區間.(4)解不等式f′(x)<0,解集與定義域的交集為單調遞減區間.注意:(1)不能漏掉求函數的定義域.(2)函數的單調區間不能用并集,要用“,”或“和”隔開.[針對訓練]

1.函數y=ex-5x的單調遞增區間為

.

(ln5,+∞)【解析】

y=ex-5x的定義域為R,y′=(ex-5x)′=ex-5,令y′>0,得x>ln5,所以y=ex-5x的單調遞增區間為(ln5,+∞).(0,1),(1,e)討論含參數函數的單調性考點3②若a=-e,當x∈(-∞,1)時,x-1<0,ex-e<0,f′(x)>0;當x∈[1,+∞)時,x-1≥0,ex-e≥0,f′(x)≥0,當且僅當x=1時,等號成立,所以f(x)在R上單調遞增.③若-e<a<0,則ln(-a)<1,當x∈(-∞,ln(-a))時,f′(x)>0,f(x)單調遞增;當x∈(ln(-a),1)時,f′(x)<0,f(x)單調遞減;當x∈(1,+∞)時,f′(x)>0,f(x)單調遞增.④若a<-e,則ln(-a)>1,當x∈(-∞,1)時,f′(x)>0,f(x)單調遞增;當x∈(1,ln(-a))時,f′(x)<0,f(x)單調遞減;當x∈(ln(-a),+∞)時,f′(x)>0,f(x)單調遞增.綜上,當a≥0時,f(x)在(-∞,1)上單調遞減,在(1,+∞)上單調遞增;當a=-e時,f(x)在R上單調遞增;當-e<a<0時,f(x)在(-∞,ln(-a)),(1,+∞)上單調遞增,在(ln(-a),1)上單調遞減;當a<-e時,f(x)在(-∞,1),(ln(-a),+∞)上單調遞增,在(1,ln(-a))上單調遞減.解題策略·研究含參函數的單調性,要依據參數對不等式解集的影響進行分類討論.分類討論主要是討論在參數取不同值時函數的單調性,主要討論點:(1)最高次項系數是否為0.(2)導函數是否有零點.(3)導函數兩零點的大小關系.(4)導函數零點與定義域的關系.解題策略·注意:(1)若函數的