（新課改地區）2021屆高考數學一輪復習課件：第五章平面向量、復數5.2平面向量的分解與向量的坐標運算

第二節平面向量的分解與向量的坐標運算【教材·知識梳理】

1.平面向量基本定理(1)定理：如果e1，e2是一平面內的兩個_______的向量，那么該平面內的任一向量a，存在唯一的一對實數a1，a2，使a=________.(2)基底：_______的向量e1，e2叫做表示這一平面內所有向量的一組基底.2.平面向量的正交分解在_________下分解向量，叫做正交分解.不平行a1e1+a2e2不共線正交基底3.平面向量的坐標運算向量加法、減法、數乘向量及向量的模的坐標表示.設a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，則a+b=_____________，a-b=_____________，λa=____________，|a|=______________.4.平面向量共線的坐標表示設a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，其中b≠0，則a∥b的充要條件是__________.(x1+x2，y1+y2)(x1-x2，y1-y2)(λx1，λy1)x1y2-x2y1=0【常用結論】1.向量共線的充要條件有兩種：(1)a∥b?a=λb(b≠0).(2)a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，則a∥b?x1y2-x2y1=0.2.兩向量相等的充要條件：它們的對應坐標相等.3.注意向量坐標與點的坐標的區別：(1)向量與坐標之間是用等號連接.(2)點的坐標，是在表示點的字母后直接加坐標.(3)是用B點的橫縱坐標減去A點的橫縱坐標，既有方向的信息也有大小的信息，其向量位置不確定.(4)點的坐標含有橫坐標和縱坐標，點是唯一的.【知識點辨析】(正確的打“√”,錯誤的打“×”)(1)平面內的任何兩個向量都可以作為一組基底. (

)(2)同一向量在不同基底下的表示是相同的. (

)(3)設a,b是平面內的一組基底,若實數λ1,μ1,λ2,μ2滿足λ1a+μ1b=λ2a+μ2b,則λ1=λ2,μ1=μ2. (

)(4)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),則a∥b的充要條件可以表示成 (

)提示:(1)×.共線向量不可以作為基底.(2)×.同一向量在不同基底下的表示不相同.(3)√.用平面向量基本定理解釋.(4)×.若b=(0,0),則無意義.【易錯點索引】序號易錯警示典題索引1忽略作為基底的必要條件是非零向量基礎自測T12不能準確建立平面幾何與向量的關系考點一、T13不能靈活運用“三角形法則”、“平行四邊形法則”,不能將所求向量用基底表示考點二、T14混淆平行與垂直關系的坐標公式考點三、角度1【教材·基礎自測】

1.(必修4P103練習AT1改編)下列各組向量中,可以作為基底的是 (

)A.e1=(0,0),e2=(1,-2)B.e1=(-1,2),e2=(5,7)C.e1=(3,5),e2=(6,10)D.e1=(2,-3),e2=【解析】選B.兩個不共線的非零向量構成一組基底.2.(必修4P105練習AT1改編)已知向量a=(4,2),b=(x,3),且a∥b,則x的值是 (

)A.-6

B.6

C.9

D.12【解析】選B.因為a∥b,所以4×3-2x=0,所以x=6.3.(必修4P106習題2-2BT2改編)已知三個力F1=(-2,-1),F2=(-3,2),F3=(4,-3)同時作用于某物體上一點,為使物體保持平衡,現加上一個力F4,則F4等于(

)A.(-1,-2) B.(1,-2)C.(-1,2) D.(1,2)【解析】選D.根據力的平衡原理有F1+F2+F3+F4=0,所以F4=-(F1+F2+F3)=(1,2).4.(必修4P102例6改編)設P是線段P1P2上的一點,若P1(1,3),P2(4,0)且P是線段P1P2的一個三等分點(靠近點P1),則點P的坐標為 (

)A.(2,2) B.(3,-1)C.(2,2)或(3,-1) D.(2,2)或(3,1)【解析】選A.由已知=(3,-3).設P(x,y),則(x-1,y-3)=(1,-1),所以x=2,y=2,點P(2,2).5.(必修4P105習題2-2AT4改編)設e1,e2是不共線的兩個向量,且λ1

e1+λ2

e2=0,則λ1+λ2=________.

【解析】因為e1,e2是不共線的兩個向量,且λ1

e1+λ2

e2=0,所以λ1=λ2=0,所以λ1+λ2=0.答案:0思想方法數形結合思想在向量中的應用

【典例】已知||=1,||=,=0,點C在∠AOB內,且的夾角為30°,設(m,n∈R),則的值為________.

【解析】因為=0,所以,以OA為x軸,OB為y軸建立平面直角坐標系,則=(1,0),因為tan30°=,所以m=3n,即=3.答案:3

【思想方法指導】向量中的數形結合思想必須理清的四個問題一是向量運算的平行四邊形法則、三角形法則;二是向量模的幾何意義;三是向量的方向;四是題目中涉及圖形有哪些性質.

【遷移應用】已知在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=1,AC=2,D是△ABC內一點,且∠DAB=60°,設

(λ,μ∈R),則= (

)

【解析】選A.如圖,以A為原點,AB所在直線為x軸