金融經濟學第五章之三

金融經濟學第五章之三

投資組合理論1通過證券市場投資配置資源的兩部分工作：（１）證券與市場的分析，對投資者可能選擇的所有投資工具的風險及預期收益的特性進行評估．（２）對資產進行最優的資產組合的構建，涉及在可行的資產組合中決定最佳風險－收益機會，從可行的資產組合中選擇最好的資產組合．2圍繞風險的三個議題基本原則，即投資者規避風險并對風險投資要求有相應的回報，回報采取的是風險溢價的形式，即預期收益率高于可供選擇的無風險投資所能提供的收益率．概括并確定投資者個人在資產組合風險與預期收益之間的權衡．我們引入效用函數，假定投資者能夠根據風險與收益情況為所有的資產組合標定一個福利或效用的數值．我們無法脫離資產組合而對其中某一部分資產的風險進行單獨的評估．測度單個資產的風險的正確方法是評價它對整個投資組合變動的影響．因為一些看起來有風險的資產也許正是資產組合的穩定器．3處理不確定性的三種數學方法預期效用函數分析基于偏好假定，非常完美但要刻畫一個人在所有不同狀態下的效用幾乎不可能均值—方差分析：投資組合理論盡管不能完全刻畫個體的偏好（某些條件下可以）避免討論具體的效用函數，靈活方便，可以檢驗套利分析：APT基于均值—方差分析和市場均衡理論，做了更多假定簡化計算，使用方便，可以檢驗方法論的里程碑4馬科維茨(H.Markowitz,1927～)《證券組合選擇理論》瑞典皇家科學院決定將1990年諾貝爾獎授予紐約大學哈利.馬科維茨（HarryMarkowitz）教授,為了表彰他在金融經濟學理論中的先驅工作—資產組合選擇理論。一、現代投資組合理論的起源5發展了一個在不確定條件下嚴格陳述的可操作的選擇資產組合理論：均值方差方法Mean-Variancemethodology.這個理論演變成進一步研究金融經濟學的基礎；這一理論通常被認為是現代金融學的發端。馬科維茨的工作所開始的數量化分析和MM理論中的無套利均衡思想相結合，醞釀了一系列金融學理論的重大突破。

主要貢獻6西方投資管理經歷了三個發展階段：投機階段、職業化階段和科學化階段。1952年，HarryMarkowitz發表的“投資組合選擇”作為投資學或金融經濟學產生的標志。1963年，WillianSharpe提出了單指數模型。1964年，Sharpe，Lintner,Mossin分別獨立地提出了資本資產定價模型（CAPM）。1973年，Black和Scholes提出了第一個完整的期權定價模型即Black-Scholes公式。1976年，Ross提出了套利定價理論(APT)。證券投資理論的發展7投資組合理論的基本思想投資組合是一個風險與收益的tradeoff問題，此外投資組合通過分散化的投資來對沖掉一部分風險。——“nothingventured,nothinggained”——"foragivenlevelofreturntominimizetherisk,andforagivenlevelofriskleveltomaximizethereturn“——“Don’tputalleggsintoonebasket”8實現方法收益——證券組合的期望報酬風險——證券組合的方差風險和收益的權衡——求解二次規劃9二、投資組合的收益與不確定性首先，投資組合的兩個相關特征是：（1）它的期望回報率（均值）（2）可能的回報率圍繞其期望偏離程度的某種度量，其中方差作為一種度量在分析上是最易于處理的。其次，理性的投資者將選擇并持有有效率投資組合，即那些在給定的風險水平下的期望回報最大化的投資組合，或者那些在給定期望回報率水平上使風險最小化的投資組合。10再次，通過對某種資產的期望回報率、回報率的方差和某一資產與其它資產之間回報率的相互關系（用協方差度量）這三類信息的適當分析，辨識出有效投資組合在理論上是可行的。最后，通過求解二次規劃，可以算出有效投資組合的集合，計算結果指明各種資產在投資者的投資中所占份額，以便實現投資組合的有效性——即對給定的風險使期望回報率最大化，或對于給定的期望回報使風險最小化。注：二次效應函數：投資者的效用函數是二次的，即u(W)=a+bW+CW2。11（一）假定條件122.收益率131415假設投資者投資的時間為一期，投資的初始財富W0為17200元，投資者選擇A、B、C三種股票進行投資。投資者估計它們的期望回報率分別為16.2%、24.6%和22.8%。這等價于，投資者估計三種股票的期末價格分別為46.48元[因為（46.48-40）/40=16.2%]、43.61元[因為（43.61-35）/35=24.6%]和76.14元[因為（76.14-62）/62=22.8%]。證券組合期望回報率有幾種計算方式，每種方式得到相同的結果。16（1）證券和證券組合的值證券名稱在證券組合中的股數每股的初始市場價格總投資在證券組合的初始市場價值中的份額A10040元4000元4000/17200=0.2325B20035元7000元7000/17200=0.4070C10062元6200元6200/17200=0.3605證券組合的初始市場價值W0=17200元總的份額=1.000017（2）利用期末價格計算證券組合的期望回報率證券名稱在證券組合中的股數每股的期末預期價值總的期末預期價值A10046.48元46.48元*100=4648元B20043.61元43.61元*200=8722元C10076.14元76.14元*100=7614元證券組合的期末預期價值=20984元證券組合的期望回報率=（20984元-17200元）/17200元=22.00%18（3）利用證券的期望回報率計算證券組合的期望回報率證券名稱在證券組合初始價值中的份額證券的期望回報率在證券組合的期望回報率中所起的作用A0.232516.2%0.2325*16.2%=3.77%B0.407024.6%0.4070*24.6%=10.01%C0.360522.8%0.3605*22.8%=8.22%證券組合的期望回報率==22.00%19（二）期望效用分析與均值－方差分析的關系一般來說，資產回報的均值和方差并不能完全包含個體做選擇時所需要的全部信息但在一定條件下，個體的期望效用函數能夠僅僅表示為資產回報的均值和方差的函數，從而投資者可以只把均值和方差作為選擇的目標條件為：預期效用函數為二次效用函數或者資產回報服從正態分布2021

假設個體的初始財富為W0，個體通過投資各種金融資產來最大化他的期末財富帶來的期望效用。設個體的Von-Neumann-Morgenstern效用函數為u，在期末財富的期望值這一點，對效用函數進行Taylor展開：22馮·紐曼--摩根斯坦效用函數（vonNeumann-Morgensternutilityfunction）也稱VNM效用函數VNM效用函數理論是20世紀50年代,馮·紐曼和摩根斯坦(VonNeumannandMorgenstern)在公理化假設的基礎上，運用邏輯和數學工具，建立了不確定條件下對理性人(rationalactor)選擇進行分析的框架。

2324假設上述Taylor展開式收斂且期望運算和求和運算可以交換順序，則個體的期望效用函數可以表示成：上式說明個體偏好不僅依賴于財富的均值與方差，還依賴于財富的高階矩。但是，如果財富的高階矩為0或者財富的高階矩可用財富的期望和方差來表示，則期望效用函數就僅僅是財富的期望和方差的函數。25定理1:如果u是一個解析函數，則（a）對任意分布的期末財富，存在函數使得當且僅當這里，為常數

下面的定理證明了：當預期效用函數為二次函數或者資產回報服從正態分布時，均值—方差與預期效用函數等價，可以完全刻畫投資者的偏好特征。（b）對任意偏好函數u，如果期末財富服從正態分布，則存在函數，使得26二次效用函數的假設和正態分布的假設不符合實際的消費者投資情況

因為二次函數具有遞增的絕對風險厭惡和滿足性兩個性質。滿足性意味著在滿足點以上，財富的增加使效用減少，遞增的絕對風險厭惡意味著風險資產是劣質品。這與那些偏好更多的財富和將風險視為正常商品的投資者不符。此外，正態分布的中心軸對稱與一般股票的有限責任不一致。注：均值-方差模型不是一個資產選擇的一般性模型。它在金融理論中之所以扮演重要的角色，是因為它具有數理分析的簡易性和豐富的實證檢驗。27重要的性質定理2當資產的回報率r服從以為均值、以為標準差的正態分布時，風險厭惡者的回報與風險之間的替代率是正的，無差異曲線是凸的，并且越是位于西北方向的無差異曲線，其效用越高。28(三）投資組合收益和風險的度量設一項投資組合含有n項風險資產，令：:風險資產i的隨機收益率；：風險資產i的期望收益率，；：風險資產i和j的收益間的協方差；則有即：風險資產i和j的收益間的相關系數；

的方差29從“歷史”樣本估計收益和風險：投資組合收益的期望值；：投資組合收益的方差。：投資組合中風險資產i所占的百分比；：投資組合的隨機收益率；3031

組合的方差將平方項展開得到3233根據概率論，對于任意的兩個隨機變量，總有下列等式成立組合的風險變小34例題例1：假設兩個資產收益率的均值為0.12，0.15，其標準差為0.20和0.18，占組合的投資比例分別是0.25和0.75，兩個資產協方差為0.01，則組合收益的期望值和方差為35

例2：假設某組合包含n種股票。投資者等額地將資金分配在上面，即每種股票占總投資的1/n，每種股票的收益也是占總收益的1/n。設若投資一種股票，其期望收益為r，方差為σ2，且這些股票之間兩兩不相關，求組合的收益與方差。36相關系數與協方差密切相關的另一個統計測量度是相關系數。事實上，兩個隨機變量間的協方差等于這兩個隨機變量之間的相關系數乘以它們各自的標準差的積。證券A與B的相關系數為37測量兩種股票收益共同變動的趨勢:Corr(RA,RB)或A,B-1.0+1.0完全正相關:+1.0完全負相關:-1.0完全負相關會使風險消失完全正相關不會減少風險在-1.0和+1.0之間的相關性可減少風險，但不是全部38若n=2時，若再假定其中一項如第２項是無風險資產，則有39從上式解得如果現在市場的無風險利率是6％，資產1的預期收益率是14％，標準差是20％。現在我們希望組合的預期收益率是11％，則組合的構成和風險將是多少？40例子

假設我們要構造一個能源投資的Ace組合,我們選擇了雪佛龍德士古(ChevronTexaco)石油公司和巴羅德(Ballard)燃料電池公司.由于燃料電池提供了替代汽油的清潔能源,所以,這兩家公司的股票價格運動方向相反.我們設,對兩家公司各投資50%.雪佛龍德士古公司股票的標準差和預期回報分別是：，巴羅德公司股票的標準差和預期回報分別是：41求解Ace組合的標準差和預期回報：即42將分解如下：第一部分是只與單個方差項相關的風險，稱為非系統性風險；第二部分是由各項資產收益間的相關性所帶來的風險，稱為系統性風險（或市場風險）。（四）風險的分散化43由上可知，證券組合的方差不僅取決于單個證券的方差，而且還取決于各種證券間的協方差。隨著組合種證券數目的增加，在決定組和方差時，協方差的作用越來越大，而方差的作用越來越小。例如，在一個由30種證券組成的組合中，有30個方差和870個協方差。若一個組合進一步擴大到包括所有的證券，則協方差幾乎就成了組合標準差的決定性因素。風險的分散化原理被認為是現代金融學中唯一“免費的午餐”。將多項有風險資產組合到一起，可以對沖掉部分風險而不降低平均的預期收益率，這是馬科維茨的主要貢獻。44證券組合消除的是非系統性風險，系統性風險不能消除非系統風險是企業特有的風險，諸如企業陷入法律糾紛、罷工、新產品開發失敗，等等。可稱為可分散風險、特有風險、特定資產風險。非系統性風險主要通過分散化減少，因此由許多種資產構成的組合將幾乎不存在非系統性風險.系統風險是指整個市場承受到的風險，如經濟的景氣情況、市場總體利率水平的變化等因為整個市場環境發生變化而產生的風險。可稱為不可分散風險、市場風險。系統性風險影響所有的資產，不能通過分散化來去除。451005001530非系統風險規模1005001530總風險規模1005001530系統風險規模46組合的風險–標準差組合中的股票數量市場風險特定公司風險總風險可分散風險非系統性風險不可分散風險47結論只要資產不是完全正相關，投資組合的分散化便可以在不減少平均收益的前提下降低組合的風險；在分散化良好的投資組合里，非系統風險由于逐漸趨于零而可以被排除掉；由于系統風險不隨分散化而消失，必須對其進行處置和管理。48三、證券投資組合的可行集、有效集（一）可行集（二）有效集（三）有效前沿均值與方差的關系49（一）可行集N個證券可以形成無窮多個組合，由N種證券所形成的所有預期收益率和方差的組合的集合就是可行集。它包括了現實生活中所有可能的組合，也就是說，所有可能的證券投資組合將位于可行集的內部或邊界上。50兩種資產組合的結合線證券A，B在今后一段時間內（例如，一年）的收益率分別為rA，rB，其投資比例分別為xA，xB，且xA+xB=1，由它們形成一個證券組合P，則P的收益率為：rP=xA

·rA+xB·

rB51證券A：收益率高，風險高證券B：收益率低，風險低即：E(rA)>

E(rB),σA>σB52無論投資組合權重如何變化，組合收益的方差都隨著組合內資產相關系數的減少而直線下降53選擇不同的組合權重，相關系數對組合收益率方差的影響將隨著組合權重偏向低風險資產而減少，反之增加。圖5-6、5-7表明，雖然我們無法決定資產A或B的收益及其風險，但可以通過選擇具有特定相關關系的的資產來構造組合并通過調整分配給各資產的投資比重來調整組合的收益和風險。這意味著：人們無需開發新的金融資產就可以創造新的投資品種。54兩個證券組合的可行集舉例證券預期收益標準差A5%20%B15%40%組合ABCDEFGX1X21.000.000.830.170.670.330.50.50.330.670.170.830.001.0055相關系數分別為1，-1，0時，組合的期望收益與標準差分別是多少？組合ABCDEFG預期收益56.78.31011.713.315標準差下限=－1上限=1=02020201023.3317.94026.6718.811030.0022.362033.3327.603036.6733.3740.0040.0040.005657情形1：A、B完全正相關E(rp)=w1

·E(r1)

+w2

·

E(r2

)w1

+w2

=1E(rp)=w1

·E(r1)

+（1-w1

）E(r2

)由以上兩式所確定的是一條直線，通過點（σA，EA）和（σB，EB）

允許賣空時，為了得到無風險的證券組合，需要賣空高風險證券并投資在低風險證券（圖中虛線部分）58命題1：完全正相關的兩種資產構成的可行集是一條直線。證明：由資產組合的計算公式可得59兩種資產組合（完全正相關），當權重w1從1減少到0時可以得到一條直線，該直線就構成了兩種資產完全正相關的可行集（假定不允許買空賣空）。收益Erp風險σp60情形2：A、B完全負相關E(rp)=w1

·E(r1)+w2

·E(r2)w1+w2=1E(rp)=w1

·E(r1)+（1-w1）E(r2)此時，σP與E(rp)之間是分段線性關系61命題2：完全負相關的兩種資產構成的可行集是兩條直線，其截距相同，斜率異號。

證明：6263兩種證券完全負相關的圖示收益rp風險σp64情形3：A、B不完全相關E(rp)=w1

·E(r1)+w2

·E(r2)w1+w2=1E(rp)=w1

·E(r1)+（1-w1）E(r2)此時，確定的是一條通過A、B的雙曲線結論：通過按適當比例買入兩種證券，獲得比兩種證券中任何一種證券的風險都小的證券組合。圖中C點為最小方差組合；組合中越靠近A，買入的A越多；而A點的東北部曲線上的點代表的組合由賣空B證券、買入A證券形成。65兩種不完全相關的風險資產的組合的可行集66情形4：一般情形E(rp)=w1

·E(r1)+w2

·E(r2)w1+w2=1E(rp)=w1

·E(r1)+（1-w1）E(r2)此時，確定的仍是一條通過A、B的雙曲線，其彎曲程度取決于相關系數的大小在不允許賣空的情況下，相關系數越小，證券組合的風險越小。67證券A、B組合在R-平面的映射（組合線）的形狀取決于二證券收益率的相關程度。如下圖：

R

B

=-1

=-0.5

A

O=0=1=0.568多種證券組合的可行域

（例如，3種證券構造的500個隨機組合樣本）（1）投資者可以構造無窮多種組合，獲得不同的收益和風險特征；（2）投資者可以獲得的收益和風險被局限在一定的區域（可行域）內，并獲得任意的收益和風險結構；（3）投資者的理性選擇必將在可行域的邊界上69可行集具有兩個重要性質：1、只要N>2，可行集對應于均值－標準差平面上的區域為二維的；2、可行集的左邊界向左凸。說明：由于一個證券組合對應于均值—標準差平面的一個點，所以，我們既可以用各個證券的權重來表示證券組合，也可以用均值—標準差平面上的一個點來表示它。這也是我們用均值—標準差平面上的一個集合來表示可行的證券組合集合的原因。70投資組合的幾何表示和可行集選定了證券的投資比例，就確定了組合。以EP為縱坐標、σP為橫坐標，在EP-σP坐標系中可以確定一個點。每個組合對應EP-σP中的一個點；反過來，EP-σP中的某個點有可能反映某個組合。選擇“全部”有可能選擇的投資比例，那么，全部組合在EP-σP中的“點”組成EP-σP中的區域－－可行集（feasibleset）可行集中的點所對應的組合才是“有可能實現”的組合。可行集之外的點是不可能實現的證券組合。可行集＝機會集71可行集可能的形狀（1）（4）（3）（2）（2）和（3）是不允許賣空條件下的可行域（1）和（4）是允許賣空條件下的可行域72收益風險ANHBN種證券的可行集73收益rp風險σp不可能的可行集AB74（二）有效集或有效前沿

1.有效集的定義可行集中有無窮多個組合，但是投資者有必要對所有這些組合進行評價嗎？理性的風險厭惡者的投資選擇：對于同樣的風險水平，將會選擇能提供最大預期收益率的組合；對于同樣的預期收益率，將會選擇風險最小的組合；如果一個組合比另一個組合的風險低、收益高，更加偏好這個組合。能滿足這兩個條件的投資組合的集合被稱為有效集（EfficientSet）或有效邊界（有效集定理）。75收益風險最小方差組合MVP2.有效集的形狀有效集（有效邊界）是滿足占優法則的所有組合的點的集合（軌跡）76占優法則：投資者都是不知足的和厭惡風險的，遵循占優原則，即：在同一風險水平下，選擇收益率較高的證券；在同一收益率水平下，選擇風險較低的證券。補充：77占優原則（DominancePrinciple）1234期望回報方差或者標準差?

2占優1;2占優于3;4占優于3;78有效集曲線的形狀具有如下特點：（1）有效集是一條向右上方傾斜的曲線，它反映了“高收益、高風險”的原則；（2）有效集是一條向左凸的曲線。有效集上的任意兩點所代表的兩個組合再組合起來得到的新的點（代表一個新的組合）一定落在原來兩個點的連線的左側，這是因為新的組合能進一步起到分散風險的作用，所以曲線是向左凸的；（3）有效集曲線上不可能有凹陷的地方。

793.有效集的得出所有可能的點（rp，p）構成了（rp，p）平面上可行區域，對于給定的rp，使組合的方差越小越好，即求解下列二次規劃：80或給定風險水平的條件下，使期望收益達到最大，即求解81均值-方差模型：有效集的數學推導基本假設：無摩擦的證券市場中，有N≥3種風險資產，資產收益率的期望和方差有限，可以無限制地賣空，任何資產的收益率不能表示為其它資產收益率的線性組合（相互獨立）。目標：在具有相同期望收益率的資產組合中，具有最小方差的資產組合稱為前沿資產組合。828384Markowitz提出：理性的投資者總是尋求這樣的投資組合,它在給定期望收益水平的條件下，使風險達到最小，即求解：85對于上述帶有約束條件的優化問題，可以引入拉格朗日乘子λ和γ來解決這一優化問題。構造拉格朗日函數如下上式左右兩邊對wi求導數，令其一階條件為0，得到方程組86證券組合p是前沿證券組合，當且僅當規劃的求解:拉格朗日方程一階條件87二次規劃的解884.不具有無風險資產的有效組合前沿（1）一個證券組合稱為前沿證券組合，如果它在所有具有相同期望回報的證券組合中具有最小方差，即是如下二次規劃的解89寫成矩陣形式為其中：90（2）有效邊界的求解91

假設所有資產期望回報率和方差均有限且期望互不相等，N種風險資產線性獨立。構造Lagrangian乘子函數，求一階導數，并令一階導數等于零，得這里且（*）92由V的正定性知B>0，C>0，D>0，且二次規劃的一階條件既是必要條件也是充分條件，即一階條件為是以為期望回報率的邊界證券組合的充要條件。從而，任何邊界證券組合均可表示成（*）式；反過來，由（*）式表示的任何證券組合均為邊界證券組合。所有前沿證券組合的集合稱為證券組合前沿。對應不同的收益率，優化問題可以得到不同的解，進而得到不同的邊界證券組合。

“取遍”所有可能的收益率，其“軌跡”就是一條曲線。

由全體“前沿證券組合”構成的“集合”稱為證券組合前沿（portfoliofrontier），它是定義有效前沿的基礎。93判斷組合好壞的公認標準——投資者共同偏好第一：以期望衡量收益率，方差衡量風險，僅關心期望和方差第二：期望收益率越高越好，方差越小越好可行集內部和右下邊緣上的任意組合，均可以在左上邊界上找到一個比它好的組合。淘汰！最佳組合“必須來自”左上邊界——有效前沿有效組合——有效前沿對應的組合（3）有效前沿和有效組合94對于任意兩個前沿證券組合，其回報率的協方差為：從而，對于任意前沿證券組合，其回報率和標準差滿足如下方程：

因此證券組合前沿是以為中心，以為漸進線的雙曲線（4）證券組合前沿的幾何結構95雙曲線圖形A/CE(r

)0mvp機會集雙曲線最小方差證券組合mvp對應的點為說明：1、MVP是一個特殊點，是一個全局最小方差點；2、由無差異曲線形狀可知，風險厭惡者將只在雙曲線的上半只選擇投資點。965.具有無風險資產的有效證券組合前沿（1）當存在無風險證券時，可以得到更簡單的結果；無風險債券，是指回報率確定的證券，通常將政府發行的國庫券視為無風險證券；買賣債券只不過是手段，本質是無風險的借貸行為；投資于無風險資產又稱作“無風險貸出”（risk-freelending），賣空無風險資產又稱為“無風險借入”（risk-freeborrowing）。假定：無摩擦的證券市場，N種風險證券和一種無風險證券，P為N+1種資產形成的一個前沿證券組合，WP表示投資在N中風險資產上的權重；97設是如下規劃的解：98利用拉格朗日法求解，有以下有關投資組合的收益與風險的關系：如果這里A、B、C是推導馬氏雙曲線的變量即所有N+1種資產的證券組合前沿為過點（0，rf)，斜率為的半射線組成。99（2）存在無風險借貸機會時組合的收益與風險

設組合P是有一無風險資產與一風險組合（由（n-1）種風險證券構成）所構成，則：從而1002.無風險證券情況下證券組合前沿的幾何結構無風險收益率的大小將會影響證券邊界，具體是直線的“模樣”，分三種情況rf＜A/C、rf＞A/C、rf＝A/C其中A/C表示不存在無風險資產情況下mvp的期望值存在無風險資產之后，證券組合前沿由雙曲線向左進行了擴張。可行集是由兩條射線所“圍成”的區域。101（1）rf＜A/C0E(r)A/