第11壓桿的穩定問題

1工程力學（靜力學與材料力學）第二篇材料力學返回總目錄第11章壓桿的穩定問題

2與剛體平衡類似，彈性體平衡也存在穩定與不穩定問題。第11章壓桿的穩定問題細長桿件承受軸向壓縮載荷作用時，將會由于平衡的不穩定性而發生失效，這種失效稱為穩定性失效(failurebyloststability)，又稱為屈曲失效(failurebybuckling)。3壓桿第11章壓桿的穩定問題4壓桿第11章壓桿的穩定問題5桁架中的壓桿第11章壓桿的穩定問題6液壓缸頂桿第11章壓桿的穩定問題7液壓缸頂桿第11章壓桿的穩定問題8火箭發射架中的壓桿第11章壓桿的穩定問題9高壓輸電線路保持相間距離的受壓構件第11章壓桿的穩定問題10壓桿穩定性實驗第11章壓桿的穩定問題11工程構件穩定性實驗第11章壓桿的穩定問題12腳手架中的壓桿第11章壓桿的穩定問題13壓桿穩定的基本概念不同剛性支承對壓桿臨界載荷的影響壓桿穩定性設計的安全因數法

結論與討論臨界應力與臨界應力總圖兩端鉸支壓桿的臨界載荷

歐拉公式第11章壓桿的穩定問題返回總目錄14壓桿穩定的基本概念第11章壓桿的穩定問題返回15

壓桿的平衡構形、平衡路徑及其分叉

判別彈性平衡穩定性的靜力學準則第11章壓桿的穩定問題壓桿穩定的基本概念細長壓桿臨界點平衡的穩定性16Δ

壓桿從直線平衡構形到彎曲平衡構形的轉變過程，稱為“屈曲”。由于屈曲，壓桿產生側向位移，稱為屈曲位移。FPFPFP

壓桿的平衡構形、平衡路徑及其分叉

第11章壓桿的穩定問題壓桿穩定的基本概念17FPΔOFPFP>FPcrFPcrF′PFP<FPcrΔFP

分叉點(臨界點)FPFPFPFP平衡路徑第11章壓桿的穩定問題壓桿穩定的基本概念18分叉點FPΔOFPcr平衡路徑平衡路徑

平衡路徑的分叉點：平衡路徑開始出現分叉的那一點。

分叉載荷（臨界載荷）：分叉點對應的載荷，用FPcr表示。第11章壓桿的穩定問題壓桿穩定的基本概念19平衡構形——壓桿的兩種平衡構形

(equilibriumconfiguration)FP<FPcr:

直線平衡構形FPFP>FPcr:彎曲平衡構形

(在擾動作用下)FP

判別彈性平衡穩定性的靜力學準則第11章壓桿的穩定問題壓桿穩定的基本概念20FP

FP<FPcr:在擾動作用下，直線平衡構形轉變為彎曲平衡構形，擾動除去后，能夠恢復到直線平衡構形，則稱原來的直線平衡構形是穩定的。FPFP

判別彈性平衡穩定性的靜力學準則（staticalcriterionforelasticstability）

第11章壓桿的穩定問題壓桿穩定的基本概念21FP

FP>FPcr:在擾動作用下，直線平衡構形轉變為彎曲平衡構形，擾動除去后，不能恢復到直線平衡構形，則稱原來的直線平衡構形是不穩定的。FPFP

判別彈性平衡穩定性的靜力學準則（staticalcriterionforelasticstability）

第11章壓桿的穩定問題壓桿穩定的基本概念22壓桿穩定的概念 前面各章節討論了構件的強度和剛度問題。 本章討論受壓桿件的穩定性問題。穩定性問題的例子平衡形式突然改變喪失穩定性失穩粗短壓桿FF細長拉桿細長壓桿F23平衡的穩定性穩定平衡不穩定平衡隨遇平衡壓桿的平衡 穩定性當F

Fcr

當F

Fcr

FFF≥FcrF<Fcr24壓桿的平衡 穩定性臨界壓力Fcr當Ｆ

Ｆcr時，壓桿的直線平衡狀態是穩定的。當Ｆ

Ｆcr時，直線平衡狀態轉變為不穩定的，受干擾后成為微彎平衡狀態。使直線平衡狀態是穩定平衡狀態的最大壓力，也是在微彎平衡狀態下的最小壓力。當Ｆ

Ｆcr

當Ｆ

Ｆcr

FFF<FcrF≥Fcr25其它結構形式的穩定性問題例子Ｆ壓桿彎曲Ｆq薄壁筒受內壓薄壁管受扭主壓應力方向其它薄壁結構在主壓應力方向產生失穩,情況類似于細長壓桿。由壓桿穩定性概念和臨界壓力定義可知,臨界壓力是穩定性計算的重要依據,其值顯然與外力無關,而與桿的長度、截面大小和形狀及材料和約束有關。26

當壓縮載荷大于一定的數值時，在任意微小的外界擾動下，壓桿都要由直線的平衡構形轉變為彎曲的平衡構形，這一過程稱為屈曲（buckling）或失穩（loststability）。對于細長壓桿，由于屈曲過程中出現平衡路徑的分叉，所以又稱為分叉屈曲（bifurcationbuckling）。

穩定的平衡構形與不穩定的平衡構形之間的分界點稱為臨界點（criticalpoint）。對于細長壓桿，因為從臨界點開始，平衡路徑出現分叉，故又稱為分叉點。臨界點所對應的載荷稱為臨界載荷（criticalload）或分叉載荷（bifurcationload），用FP表示。

第11章壓桿的穩定問題壓桿穩定的基本概念27兩端鉸支壓桿的臨界載荷

歐拉公式第11章壓桿的穩定問題返回28第11章壓桿的穩定問題兩端鉸支壓桿的臨界載荷歐拉公式

從平衡路徑可以看出，當w00時FPFPcr。這表明，當FP無限接近分叉載荷FPcr時，在直線平衡構形附近無窮小的鄰域內，存在微彎的平衡構形。根據這一平衡構形，由平衡條件和小撓度微分方程，以及端部約束條件，即可確定臨界載荷。

分叉點FPΔOFPcr平衡路徑平衡路徑29假設壓力略大于臨界力，在外界擾動下壓桿處于微彎狀態?？疾煳潬顟B下局部壓桿的平衡：兩端鉸支壓桿的臨界載荷歐拉公式

第11章壓桿的穩定問題30M(x)=FPw(x)假設壓力略大于臨界力，在外界擾動下壓桿處于微彎狀態。考察微彎狀態下局部壓桿的平衡：兩端鉸支壓桿的臨界載荷歐拉公式

第11章壓桿的穩定問題31微分方程的解w=Asinkx+Bcoskx邊界條件w(0)=0,w(l)=0兩端鉸支壓桿的臨界載荷歐拉公式

第11章壓桿的穩定問題32微分方程的解w=Asinkx+Bcoskx邊界條件w(0)=0,w(l)=0根據線性代數知識，上述方程中，常數A、B不全為零的條件是他們的系數行列式等于零：兩端鉸支壓桿的臨界載荷歐拉公式

第11章壓桿的穩定問題33由此得到臨界載荷最小臨界載荷兩端鉸支壓桿的臨界載荷歐拉公式

第11章壓桿的穩定問題34得到屈曲位移函數w=Asinkx+Bcoskx其中A為未定常數。這表明屈曲位移是不確定的量。這與開始推導公式時假設壓桿處于任意微彎狀態是一致的。

兩端鉸支壓桿的臨界載荷歐拉公式

第11章壓桿的穩定問題35Fy當取n=1

時，由則，撓曲線方程為其中，A為桿中點的撓度。A的數值不確定。歐拉公式與精確解曲線精確解曲線理想受壓直桿 非理想受壓直桿時，FcrF36兩端鉸支的臨界壓力歐拉公式的適用條件：(1)理想壓桿(2)線彈性范圍(3)I取Imin可以看出，臨界壓力與外力無關，與桿件本身截面慣性矩Ｉ有關（彎曲），而與桿件長度的平方成反比。桿件在失穩臨界時材料處于彈性范圍。要使桿件有足夠的穩定性，在工作壓力Ｆ時，應滿足：Ｆ≤Ｆcr37不同剛性支承對壓桿臨界載荷的影響第11章壓桿的穩定問題返回38不同剛性支承條件下的壓桿，由靜力學平衡方法得到的平衡微分方程和邊界條件都可能各不相同，確定臨界載荷的表達式亦因此而異，但基本分析方法和分析過程卻是相同的。對于細長桿，這些公式可以寫成通用形式：這一表達式稱為歐拉公式。其中l為不同壓桿屈曲后撓曲線上正弦半波的長度，稱為有效長度(effectivelength)；為反映不同支承影響的系數，稱為長度系數（coefficientof1ength），可由屈曲后的正弦半波長度與兩端鉸支壓桿初始屈曲時的正弦半波長度的比值確定。第11章壓桿的穩定問題不同剛性支承對壓桿臨界載荷的影響39一端自由，一端固定

＝2.0兩端固定＝0.5一端鉸支，一端固定

＝0.7兩端鉸支

＝1.0不同剛性支承對壓桿臨界載荷的影響第11章壓桿的穩定問題40

需要注意的是,臨界載荷公式只有在壓桿的微彎曲狀態下仍然處于彈性狀態時才是成立的。

不同剛性支承對壓桿臨界載荷的影響第11章壓桿的穩定問題41表14.1

壓桿的長度系數

4歐拉公式的普遍形式l相當長度；長度系數。42例1 已知:

兩端固支壓桿，E,

I，l。求：臨界壓力。解：lx考察微彎平衡狀態

x

處截面的彎矩

撓曲線近似微分方程兩端的水平約束力為零vyxFFMeMeFM43

撓曲線近似微分方程xwyxFFMeMe引入記號通解為其中，A、B為積分常數，由邊界條件確定。44xwyxFFMeMe通解為其中，A、B為積分常數，由邊界條件確定。邊界條件為:時，時，將邊界條件代入通解又代入45通解為邊界條件為:時，時，將邊界條件代入通解又代入代入代入通解46最小非零解為代入47例2由壓桿撓曲線的微分方程,導出一端固定、另一端鉸支壓桿的歐拉公式w’’=-——+——(l-x)FwQEIEIxFQylx48k2=——

FEIw’’+k2w=——(l-x)QEI通解加特解:w=Asinkx+Bcoskx+——(l-x)QF49邊界條件x=0時,w=0,w’=0x=l時,v=0得B+—l=0QFAk-—=0QFAsinkl+Bcoskl=0v=Asinkx+Bcoskx+——(l-x)QF50B+—l=0QFAk-—=0QFAsinkl+Bcoskl=0A,B,Q不能都為零，則其系數行列式必為零01lk0-1sinklcoskl0=051tgkl=kl最小非零解kl=4.49Fcr=———

20.19EIl2

———p2EI(0.7l)252例3材料及橫截面均相同，哪一根最容易失穩，哪一根最不容易失穩。比較μL(a)5l;(b)4.9l;(c)4.5l;(d)4l;(d)最不易失穩53臨界應力與臨界應力總圖

第11章壓桿的穩定問題返回54

臨界應力與長細比的概念三類不同壓桿的不同失效形式三類壓桿的臨界應力公式第11章壓桿的穩定問題臨界應力與臨界應力總圖臨界應力總圖與P、s值的確定55

前面已經提到歐拉公式只有在彈性范圍內才是適用的。這就要求在分叉載荷即臨界載荷作用下，壓桿在直線平衡構形時，其橫截面上的正應力小于或等于材料的比例極限，即

其中σcr稱為臨界應力(criticalstress)；

σp為材料的比例極限。臨界應力與臨界應力總圖

臨界應力與長細比的概念第11章壓桿的穩定問題56

長細比是綜合反映壓桿長度、約束條件、截面尺寸和截面形狀對壓桿分叉載荷影響的量，用表示，由下式確定：

其中，I為壓桿橫截面的慣性半徑，由下式確定：

從上述二式可以看出，長細比反映了壓桿長度、支承條件以及壓桿橫截面幾何尺寸對壓桿承載能力的綜合影響。臨界應力與臨界應力總圖第11章壓桿的穩定問題57用長細比表示的細長桿臨界應力公式臨界應力與臨界應力總圖第11章壓桿的穩定問題58

歐拉公式的適用范圍經驗公式由臨界壓力概念和定義，它是保持軸向平衡方式的最大軸向壓力。所以此時仍處于軸向變形情況，其軸向應力為：σcr稱為臨界應力，λ－柔度臨界應力與臨界壓力的歐拉公式是完全等效的。用臨界應力表達更簡單方便591臨界應力

歐拉公式

柔度

(長細比)柔度是壓桿穩定問題中的一個重要參數，它全面反映了壓桿長度、約束條件、截面尺寸和形狀對臨界應力的影響。i

慣性半徑柔度的物理意義更明確，臨界應力只用一個參數表達，桿件的自身柔度決定了其臨界應力。602歐拉公式的適用范圍歐拉公式成立的條件為：可以看出：P

只與材料的性質有關,滿足上式的壓桿稱為大柔度桿(細長桿)3直線經驗公式歐拉公式成立條件等效為:λ≥λP當不滿足大柔度桿條件時,材料處于非線彈性,歐拉公式不成立,采用經驗公式:614壓桿分類不同柔度的壓桿，需應用不同的臨界應力的公式。可根據柔度將壓桿分為三類(1)大柔度桿(細長桿)

P

的壓桿(2)中柔度桿

P

S

的壓桿(3)小柔度桿(短粗桿)

S

的壓桿直線經驗公式的適用范圍為滿足強度條件應有:所以:經驗公式的適用范圍是:滿足該條件的稱為中柔度桿62大柔度桿小柔度桿中柔度桿5臨界應力總圖S636拋物線經驗公式拋物線經驗公式為式中，a1

,b1

是與材料性質有關的常數。

說明若壓桿的局部有截面被削弱的情況，則：進行穩定性計算時，可忽略若壓桿的局部削 弱，仍用原來截面的面積和慣性矩計算臨界 應力；進行強度計算時，應按削弱后的面積計算。64例題

1

兩根直徑均為d的壓桿，材料都是Q235鋼，但二者長度和約束條件各不相同。試；

2.已知：d=160mm，

E=206GPa,

求：兩根桿的臨界載荷。

1.分析:哪一根壓桿的臨界載荷比較大？

臨界應力與臨界應力總圖第11章壓桿的穩定問題65

1.分析兩根壓桿的臨界載荷

從臨界應力總圖可以看出，對于材料相同的壓桿，長細比越大，臨界載荷越小。所以判斷哪一根壓桿的臨界載荷大，必須首先計算壓桿的長細比，長細比小者，臨界載荷大。臨界應力與臨界應力總圖第11章壓桿的穩定問題662.已知：

d=160mm，

Q235鋼，

E=206GPa,確定兩根桿的臨界載荷首先計算長細比，判斷屬于哪一類壓桿：Q235鋼p=101二者都屬于細長桿，都可以采用歐拉公式。臨界應力與臨界應力總圖第11章壓桿的穩定問題672.已知：

d=160mm，

Q235鋼，

E=206GPa,確定兩根桿的臨界載荷臨界應力與臨界應力總圖對于Q235鋼，p=101，二者都屬于細長桿，都可以采用歐拉公式。

對于兩端鉸支的壓桿，就有第11章壓桿的穩定問題682.已知：

d=160mm，

Q235鋼，

E=206GPa，確定兩根桿的臨界載荷臨界應力與臨界應力總圖

對于Q235鋼，p=101，二者都屬于細長桿，都可以采用歐拉公式。

對于兩端固定的壓桿，就有第11章壓桿的穩定問題69工程力學（靜力學與材料力學）第二篇材料力學返回總目錄第11章壓桿的穩定問題

70

需要注意的是,臨界載荷公式只有在壓桿的微彎曲狀態下仍然處于彈性狀態時才是成立的。

不同剛性支承對壓桿臨界載荷的影響第11章壓桿的穩定問題71表14.1

壓桿的長度系數

4歐拉公式的普遍形式l相當長度；長度系數。72

歐拉公式的適用范圍經驗公式由臨界壓力概念和定義，它是保持軸向平衡方式的最大軸向壓力。所以此時仍處于軸向變形情況，其軸向應力為：σcr稱為臨界應力，λ－柔度臨界應力與臨界壓力的歐拉公式是完全等效的。用臨界應力表達更簡單方便731臨界應力

歐拉公式

柔度

(長細比)柔度是壓桿穩定問題中的一個重要參數，它全面反映了壓桿長度、約束條件、截面尺寸和形狀對臨界應力的影響。i

慣性半徑柔度的物理意義更明確，臨界應力只用一個參數表達，桿件的自身柔度決定了其臨界應力。742歐拉公式的適用范圍歐拉公式成立的條件為：可以看出：P

只與材料的性質有關,滿足上式的壓桿稱為大柔度桿(細長桿)3直線經驗公式歐拉公式成立條件等效為:λ≥λP當不滿足大柔度桿條件時,材料處于非線彈性,歐拉公式不成立,采用經驗公式:754壓桿分類不同柔度的壓桿，需應用不同的臨界應力的公式?？筛鶕岫葘簵U分為三類(1)大柔度桿(細長桿)

P

的壓桿(2)中柔度桿

P

S

的壓桿(3)小柔度桿(短粗桿)

S

的壓桿直線經驗公式的適用范圍為滿足強度條件應有:所以:經驗公式的適用范圍是:滿足該條件的稱為中柔度桿76大柔度桿小柔度桿中柔度桿5臨界應力總圖S77壓桿穩定性設計的安全因數法第11章壓桿的穩定問題返回78

本章前面幾節所討論的壓桿，都是理想化的，即壓桿必須是直的，沒有任何初始曲率；載荷作用線沿著壓桿的中心線；由此導出的歐拉臨界載荷公式只適用于應力不超過比例極限的情形。

實際工程中的壓桿大都不滿足上述理想化的要求。因此，實際壓桿的設計都是以經驗公式為依據的，這些經驗公式是以大量實驗結果為基礎建立起來的。

第11章壓桿的穩定問題壓桿穩定性設計的安全因數法

79

穩定性設計內容

安全因數法與穩定性安全條件

穩定性設計過程壓桿穩定性設計的安全因數法

第11章壓桿的穩定問題80

壓桿的穩定校核工作安全系數穩定安全系數穩定校核滿足穩定性要求時，應有:81壓桿穩定問題的解題步驟1穩定校核問題

1) 計算

P

，S，；

2) 確定屬于哪一種桿(大柔度，中柔度， 小柔度)；

3) 根據桿的類型求出cr和Fcr; 4) 計算桿所受到的實際壓力F；

5) 校核n=Fcr/F

nst

是否成立。2確定許可載荷 前3步同穩定校核問題；

4) FFcr/nst

。新課822確定許可載荷 前3步同穩定校核問題；

4) F

Fcr/nst

。

3) 進一步求出直徑d(若為圓截面桿)

; 4) 計算

P

和；求出Fcr：

5) 檢驗

P

是否成立。若成立，則結束;I3截面設計問題

1) 計算實際壓力F；

2)由于截面末知,無法計算柔度,可先假設為大柔度桿，由歐拉公式求出I,即:Fcr=

nstF；83

3) 先假設為大柔度桿，由歐拉公式求出I,

進一步求出直徑d(若為圓截面桿)

; 4) 計算

P

和；

5) 檢驗

P

是否成立。若成立，則結束;

6)若

P

不成立，則設為中柔度桿，按經 驗公式求出

; 8) 計算S；

9) 檢驗

S是否成立。

10)若

S成立，則由求出慣性半徑i,

再求出直徑d(若為圓截面桿)，結束。84例題

2已知：b=40mm,h=60mm,l=2300mm,Q235鋼E＝205GPa,FP＝150kN,[n]st=1.8

校核:穩定性是否安全？正視圖俯視圖壓桿穩定性設計的安全因數法

第11章壓桿的穩定問題85解：壓桿在正視圖平面內，兩端約束為鉸支,屈曲時橫截面將繞z軸轉動：y=yl/iy,Iz=bh3/12Iy=hb3/12z=132.6y=99.48z=zl/iz,

壓桿在俯視圖平面內，兩端約束為固定端,屈曲時橫截面將繞y軸轉動：因此，壓桿將在正視圖平面內屈曲。壓桿穩定性設計的安全因數法

第11章壓桿的穩定問題86工作安全因數為Iz=bh3/12z=132.6z=zl/iz,因此，壓桿將在正視圖平面內屈曲。壓桿穩定性設計的安全因數法

第11章壓桿的穩定問題87nw>[n]st=1.8

因此，壓桿的穩定性是安全的。工作安全因數為壓桿穩定性設計的安全因數法

第11章壓桿的穩定問題88壓桿穩定性設計的安全因數法

已知：在如圖所示的結構中，梁AB為No.l4普通熱軋工字鋼，CD為圓截面直桿，其直徑為

d＝20mm，二者材料均為

Q235鋼。結構受力如圖所示，A、C、D三處均為球鉸約束。若已知FP＝25kN，l1＝1.25m，l2＝0.55m，s＝235MPa。強度安全因數ns＝1.45，穩定安全因數[n]st＝1.8。例題

3

校核:此結構是否安全？

第11章壓桿的穩定問題89壓桿穩定性設計的安全因數法

解：在給定的結構中共有兩個構件：梁AB，承受拉伸與彎曲的組合作用，屬于強度問題；桿CD承受壓縮載荷，屬于穩定問題。

1.大梁AB的強度校核

大梁AB在截面C處彎矩最大，該處橫截面為危險截面，其上的彎矩和軸力分別為

第11章壓桿的穩定問題90壓桿穩定性設計的安全因數法

解：1.大梁AB的強度校核由型鋼表查得No.14普通熱軋工字鋼的參數為

Wz=102cm3=102103mm3；A＝21.5cm2＝21.5102mm2

由此得到梁內最大應力第11章壓桿的穩定問題91壓桿穩定性設計的安全因數法

解：1.大梁AB的強度校核

由此得到梁內最大應力第11章壓桿的穩定問題92壓桿穩定性設計的安全因數法

解：1.大梁AB的強度校核由此得到梁內最大應力Q235鋼的許用應力

max略大于[]，但（max一[]）100％/[]＝0.7％＜5％，在工程上仍認為是安全的。

第11章壓桿的穩定問題93壓桿穩定性設計的安全因數法

解：2.

校核壓桿CD的穩定性

由平衡方程求得壓桿CD的軸向壓力

因為是圓截面桿,故慣性半徑

第11章壓桿的穩定問題94壓桿穩定性設計的安全因數法

解：2.

校核壓桿CD的穩定性

又因為兩端為球鉸約束，＝1.0，所以

這表明，壓桿CD為細長桿，故需采用歐拉公式計算其臨界應力。第11章壓桿的穩定問題95壓桿穩定性設計的安全因數法

解：2.

校核壓桿CD的穩定性

這表明，壓桿CD為細長桿，故需采用歐拉公式計算其臨界應力。第11章壓桿的穩定問題96壓桿穩定性設計的安全因數法

解：2.

校核壓桿CD的穩定性

這表明，壓桿CD為細長桿，故需采用歐拉公式計算其臨界應力。于是，壓桿的工作安全因數

第11章壓桿的穩定問題97壓桿穩定性設計的安全因數法

解：2.

校核壓桿CD的穩定性

這一結果說明，壓桿的穩定性是安全的。上述兩項計算結果表明，整個結構的強度和穩定性都是安全的。

第11章壓桿的穩定問題98例3 已知:

活塞直徑D=65mm，p=求：活塞桿直徑d。解：這是截面設計問題。臨界壓力的最大值為先假設為大柔度桿Pp1.2MPa,l=1250mm,45鋼，sp=220MPa,

E=210GPa,

nst=6?；钊麠U所受壓力用歐拉公式計算臨界壓力99解：這是截面設計問題。臨界壓力的最大值為先假設為大柔度桿Pp活塞桿所受壓力用歐拉公式計算臨界壓力活塞桿可簡化為兩端鉸支桿取100活塞桿可簡化為兩端鉸支桿取根據求出的d計算柔度計算

1

因為，是大柔度桿。以上計算正確。101例１ＦＡＢＣ30°L圖示簡單桁架Q235鋼材,許用應力[σ]=160MPa,a=304MPa,b=1.12MPa,AC桿直徑d1=30mm,BA桿直徑d2=50mm,L=1m,彈性模量Ｅ＝200GPa,σP=200MPa,σs=235MPa穩定安全系數nst=5試求許可載荷。解：由結點Ａ平衡得到：由ＡＣ桿的強度條件：102由ＡＣ桿的強度條件：ＦＡＢＣ30°LAC桿穩定性計算：λS

≤λ≤λP中柔度桿許可載荷：[Ｆ]＝56.52KN103例2qL1L2hbdABC圖示結構,AB桿為矩形截,h=2b=10cm,許用應力[σ]=160MPa,BC直徑d=30mm,材料為優質碳鋼,a=461MPa,b=2.568MPa,E=200GPa,σp=280MPa,σs=306MPa,L1=1m,L2=2m,nst=5,試求許可載荷q。解此例為梁、桿組合靜不定結構FNFNL2L1q取相當系統如圖示變形協調關系為：104qL1L2hbdABC(1)梁的強度計算，作彎矩圖0.5q0.28q(彎矩圖)(2)壓桿穩定計算（為兩端鉸支）大柔度桿105qL1L2hbdABC大柔度桿由梁的強度條件得到的許可載荷為：所以許可載荷是：106

結論與討論第11章壓桿的穩定問題返回107

結論與討論穩定設計的重要性影響壓桿承載能力的因素提高壓桿承載能力的主要途徑穩定設計中需要注意的幾個重要問題第11章壓桿的穩定問題

要正確應用歐拉公式108

穩定設計的重要性

由于受壓桿的失穩而使整個結構發生坍塌，不僅會造成物質上的巨大損失，而且還危及人民的生命安全。在19世紀末，瑞士的一座鐵橋，當一輛客車通過時，橋梁桁架中的壓桿失穩，致使橋梁發生災難性坍塌，大約有200人遇難。加拿大和俄國的一些鐵路橋梁也曾經由于壓桿失穩而造成災難性事故。

雖然科學家和工程師早就針對這類災害進行了大量的研究，采取了很多預防措施，但直到現在還不能完全制止這種災害的發生。

結論與討論第11章壓桿的穩定問題109

影響壓桿承載能力的因素

影響壓桿穩定承載能力的因素不同于影響強度的因素

一般情形下，控制構件強度的因素主要是個別危險截面上的內力、危險面的幾何形狀和尺寸。

而壓桿喪失穩定，由直線平衡構形轉變為彎曲平衡構形，這一過程不是某個截面或某幾個截面的行為，而是壓桿的一種整體行為。

與梁的位移形成過程相似，壓桿的屈曲過程是壓桿所有橫截面彎曲變形的累加結果。所以，個別截面的削弱對于壓桿臨界載荷的數值影響不大。

結論與討論第11章壓桿的穩定問題110

兩端鉸支的壓桿，若在某一截面處開一小孔，對強度和穩定性將會產生什么影響？

影響壓桿穩定承載能力的因素不同于影響強度的因素

結論與討論第11章壓桿的穩定問題111影響壓桿穩定承載能力的因素不同于影響強度的因素

結論與討論第11章壓桿的穩定問題112

影響壓桿承載能力的因素

對于細長桿，其臨界載荷為

所以，影響承載能力的因素較多。臨界載荷不僅與材料的彈性模量E有關，而且與長細比有關。長細比包含了截面形狀、幾何尺寸以及約束條件等多種因素。

結論與討論第11章壓桿的穩定問題113

影響壓桿承載能力的因素

對于中長桿，臨界載荷為因而影響其承載能力的主要是材料常數a和b，以及壓桿的長細比，當然還有壓桿的橫截面積。

結論與討論第11章壓桿的穩定問題114

影響壓桿承載能力的因素

對于粗短桿,因為不發生屈曲，而只發生屈服或破壞，故有

因而臨界載荷主要取決于材料的屈服強度和桿件的橫截面積。

結論與討論第11章壓桿的穩定問題115

首先，只有細長桿才能應用歐拉公式計算其臨界載荷。所謂細長桿，不能只看壓桿的長度，而要綜合考慮長度、約束性質以及截面的慣性矩。也就是要根據長細比和材料的性能判斷是不是細長桿。

其次，要正確確定橫截面的慣性矩。為此，必須判斷屈曲時．壓桿的橫截面將繞哪一根慣性主軸轉動。

要正確應用歐拉公式

結論與討論第11章壓桿的穩定問題116I如何確定？

結論與討論第11章壓桿的穩定問題117兩端球鉸約束的壓桿，橫截面有如下不同形式，請分析確定臨界應力時，慣性矩I應該怎樣確定？

結論與討論第11章壓桿的穩定問題118

首先，要正確進行受力分析，判斷哪些構件受壓；對于受壓桿，特別是細長壓桿，必然存在穩定性問題。

其次，要根據約束性質，以及截面的幾何形狀和尺寸，確定壓桿的長細比。

然后，要根據長細比的大小，正確區分三類不同壓桿，分別采用相應的公式計算其臨界載荷。

需要特別指出的是：屈曲失效與強度和剛度失效有著本質上的差異，前者失效時的載荷遠低于后者，而且往往是突發性的，因而常常造成災難性后果。

穩定設計中需要注意的幾個重要問題

結論與討論第11章壓桿的穩定問題119

為了提高壓桿承載能力，防止屈曲失效，必須綜合考慮桿長、支承性質、截面的合理性以及材料性能等因素的影響。

提高壓桿承載能力的主要途徑

結論與討論第11章壓桿的穩定問題120盡量減小壓桿長度

對于細長桿，其臨界載荷與桿長平方成反比。因此，減小壓桿長度，可以顯著地提高壓桿的承載能力。在某些情況下，通過改變結構或增加支點可以達到減小壓桿長度、提高壓桿承載能力的目的。

圖示的兩種桁架，其中的①、④桿均為壓桿，但是左圖中①、④桿的長度大于右圖中①、④桿的長度。所以，右圖中桁架的承載能力，要遠遠高于左圖中的桁架。

結論與討論第11章壓桿的穩定問題121增強支承的剛性

支承的剛性越大，壓桿長度系數μ值越低，臨界載荷也就越大。例如，將兩端鉸支的細長桿，變成兩端固定約束的情形，臨界載荷將增加數倍。

結論與討論第11章壓桿的穩定問題122合理選擇截面形狀

當壓桿兩端在各個方向上都具有相同的約束條件時，壓桿將在剛度最小的主軸平面內屈曲。這時如果只增加截面某個方向的慣性矩（例如，增加矩形截面高度），并不能提高壓桿的承載能力。最經濟的辦法是將截面設計成中空的，并且盡量使截面在各個方向上的慣性矩都相等，也就是使Iy=Iz。從這一角度考慮，對于一定的橫截面積，正方形截面或圓截面比矩形截面好；空心正方形或圓環形截面比實心截面好。

當壓桿端部在不同的方向上具有不同的約束條件時，應采用最大與最小主慣性矩不等的截面（例如矩形截面），并使壓桿在慣性矩較小的方向具有較大剛性的約束，盡量使壓桿在兩個主慣性矩方向的長細比相互接近。

結論與討論第11章壓桿的穩定問題123合理選用材料

在其他條件均相同的情形下，選用彈性模量E數值大的材料，可以提高大長細比壓桿的承載能力。例如鋼桿臨界載荷大于銅、鑄鐵或鋁制壓桿的臨界載荷。但是，普通碳素鋼、合金鋼以及高強度鋼的彈性模量數值相差不大。因此，對于細長鋼制壓桿，若選用高強度鋼，對壓桿臨界載荷的影響甚微，意義不大，反而造成材料的浪費。但是，對于粗短桿或中長桿，其臨界載荷與材料的比例極限和屈服強度有關，這時選用高強度鋼會使臨界載荷有所提高。

結論與討論第11章壓桿的穩定問題1241選擇合理的截面形狀截面的慣性矩

I越大，或慣性半徑i

越大,就越不容易失穩，即穩定性越好。所以，應選擇合理的截面形狀，使得:在截面積相等的情況下，使I

或i

較大125各縱向平面內的約束情況相同時應使對各形心軸的I

或i

接近相等。兩縱向對稱平面內的約束情況不相同時應使在兩個形心主慣性平面內的柔度接近相等.所以，應選擇合理的截面形狀，使得:在截面積相等的情況下，使I

或i

較大126兩縱向對稱平面內的約束情況不相同時應使在兩個形心主慣性平面內的柔度接近相等.1272改變壓桿的約束條件約束越強，越不容易失穩128第12章A

動載荷與疲勞強度概述(1)

返回總目錄工程力學（靜力學與材料力學）第二篇材料力學129第12章A動載荷與疲勞強度概述(1)

本書前面幾章所討論的都是靜載荷作用下所產生的變形和應力，這種應力稱為靜載應力（staticalstresses），簡稱靜應力。靜應力的特點：一是與加速度無關；二是不隨時間的改變而變化。

工程中一些高速旋轉或者以很高的加速度運動的構件，以及承受沖擊物作用的構件，其上作用的載荷，稱為動載荷(dynamicalload)。構件上由于動載荷引起的應力，稱為動應