第3講 隨機過程的基本概念、平穩隨機過程

通信原理電子教案廣東海洋大學信息學院2012年9月《通信原理》電子教案授課班級：通信1103班、通信1104班授課教師：廣東海洋大學信息學院梁能第二章隨機過程

－－本章是本書的數學基礎。

2.1引言

2.2隨機過程的一般表述

2.3平穩隨機過程

2.4平穩隨機過程的相關函數與功率譜密度

2.5高斯過程

2.6窄帶隨機過程

2.7正弦波加窄帶隨機過程

2.8隨機過程通過線性系統2.1引言

通信過程是信號和噪聲通過通信系統的過程，分析與研究通信系統，總是離不開對信號和噪聲的分析。●

隨機信號：通信系統中的信號通常總帶某種隨機性。不可預測，不能用確定函數表示的信號。●隨機噪聲：通信系統必然遇到噪聲。不可預測（熱噪聲）。簡稱噪聲。●隨機過程：從統計學的觀點看，隨機信號和隨機噪聲統稱為隨機過程。統計學中的有關隨機過程的理論可以運用到隨機信號和噪聲分析中來。2.2隨機過程的一般表述

2.2.1概念及定義

考察：

假設有無數臺性能相同的接收機，在同樣條件下不加信號測試其輸出。

得到一系列噪聲波形ξ1(t)、ξ2(t)、ξ3(t)、...、ξn(t)、...。理想時，波形應一致，但實際不然，找不到兩個完全相同的波形。討論：●每一條曲線ξi(t)都是一個隨機起伏的時間函數－－隨機函數。●無窮多個隨機函數的總體在統計學中稱作隨機函數的總集－－隨機過程ξ(t)

。●每一條曲線ξi(t)都是隨機過程的一個實現/樣本。●在某一特定時刻t1觀察各臺接收機的輸出噪聲值ξ(t1)

，發現他們的值是不同的－－是一個隨機量（隨機變量）。概括：

隨機過程ξ(t)的含義／屬性有兩點：（1）ξ(t)是t

的函數；（2）ξ(t)在任一時刻t1上的取值ξ(t1)不是確定的，是一個隨機變量。即每個時刻上的函數值是按照一定的概率分布的。概率論：隨機變量分析－－分布函數和概率密度2.2.2隨機過程統計特征１.分布函數和概率密度（1）一維描述

●一維分布函數隨機過程ξ(t)任一時刻t1

的取值是隨機變量ξ(t1)，則隨機變量ξ(t1)小于等于某一數值x1的概率

F1（x1，t1）=P[ξ(t1)

≤x1]

（2.2.1）叫做隨機過程ξ(t)的一維分布函數。

●一維概率密度函數

若一維分布函數對x1的偏導數存在，則

叫做隨機過程ξ(t)的一維概率密度。

（2）二維描述－－隨機過程不同時刻取值之間的相互關系

●二維分布函數

若隨機過程ξ(t)在時刻

t1

的取值是隨機變量ξ(t1)，而在時刻t2的取值是隨機變量ξ(t2)，則ξ(t2)與ξ(t2)構成一個二元隨機變量[ξ(t1)，ξ(t2)]，稱

F2（x1，x2；t1，t2）=P[ξ(t1)≤x1；ξ(t2)≤x2]為隨機過程ξ(t)的二維分布函數。●二維概率密度函數若二維分布函數對x1和x2二階偏導數存在，則叫做隨機過程ξ(t)的二維概率密度。●同理，可以定義隨機過程的多維分布函數及多維概率密度分別為：統計獨立

對于任何n個隨機變量ξ(t1)，ξ(t2)，...，ξ(tn)，如果下式成立

fn（x1，x2，...，xn；t1，t2，...，tn）

=f1（x1，t1）f2（x2，t2）...fn（xn，tn）則稱這些變量是統計獨立的，否則就是不獨立的或相關的。意義：

●可以把隨機過程ξ(t)當作一個多元的隨機變量來看待，而用這個多元隨機變量ξ(t1)，ξ(t2)，...，ξ(tn)的分布函數或概率密度來描述隨機過程的統計特性。

●顯然，n越大，對隨機過程的描述越充分。2.數字特征引言●問題：隨機過程的分布函數（或概率密度）族能夠完善地刻畫隨機過程的統計特性。但實際中：難；不必。●措施：用隨機過程的數字特征來描繪隨機過程的統計特性，更簡單方便。●方法：求隨機過程數字特征的方法有“統計平均”和“時間平均”兩種。統計平均:

對隨機過程ξ(t)某一特定時刻不同實現的可能取值ξ(ti)－－隨機變量

，用統計方法得出的種種平均值叫統計平均。時間平均:對隨機過程ξ(t)的某一特定實現ξi(t)

，用數學分析方法對時間求平均得出的種種平均值叫時間平均。（一）統計平均1.均值隨機過程在任意時刻t的取值所組成隨機變量ξ(t)的均值稱為隨機過程的均值，也稱為統計平均或數學期望。即注：t1→t，x1→x

物理意義：均值代表隨機過程的擺動中心。2.均方值

隨機變量ξ(t)的二階原點矩稱為隨機過程ξ(t)的均方值。－－相對于橫軸的振動程度

。3.方差

隨機變量ξ(t)的二階中心矩稱為隨機過程ξ(t)的方差。－－相對于均值的振動程度

。4.協方差與相關函數－－隨機過程不同時刻取值之間的相互關系

衡量隨機過程ξ(t)在任意兩個時刻t1和t2上獲得的隨機變量ξ(t1)和ξ(t2)的統計相關特性時，常用協方差函數B(t1，t2)和相關函數R(t1，t2)來表示。（1）相關函數

ξ(t1)和ξ(t2)的二階原點混合矩稱為隨機過程ξ(t)的相關函數。（2）協方差函數（3）協方差與相關函數的關系稱為隨機過程ξ(t)的協方差。（3）協方差與相關函數的關系顯然，有以上兩式可得

B(t1，t2)=R(t1，t2)-E[ξ(t1)]E[ξ(t2)]（2.2.7）若E[ξ(t1)]或E[ξ(t2)]為零，則

B(t1，t2)=R(t1，t2)

這里的R(t1，t2)及B(t1，t2)由于是衡量同一過程的相關程度，因此又常分別稱為自相關函數和自協方差函數。

（2）協方差函數ξ(t1)和ξ(t2)的二階中心混合矩5.互協方差與互相關函數－－不同隨機過程間的關系（1）互相關函數

設ξ(t)與η(t)分別表示兩個隨機過程，則互相關函數定義為

Rξη(t1，t2)=E[ξ(t1)η(t2)]

如果兩個隨機過程的互相關函數為零，即下列條件成立

Rξη(t1，t2)=0

則稱它們是不相關的---正交的隨機過程。統計獨立的兩個隨機過程是不相關的。（2）互協方差互協方差定義為

Bξη(t1，t2)=E{ξ(t1)-a(t1)]E[η(t2)]--a(t2)]}

若

Bξη(t1，t2)=0

則兩個過程是不相關的。（二）時間平均

－－非周期函數平均值1.平均值（或直流分量）

設ξi(t)是隨機過程ξ(t)的一個典型的樣本函數，則樣本函數的時間平均為注：結果與時間無關，為常數。2.均方值（或總平均功率）3.方差（或交流功率）4.自相關函數

樣本函數ξi(t)的自相關函數定義為2.3平穩隨機過程

2.3.1定義

1.狹義平穩隨機過程

假設一個隨機過程ξ(t)，如果它的任何n維分布或概率密度函數與時間起點無關，即對于任意的t和τ，隨機過程ξ(t)的n

維概率密度函數滿足

fn（x1，x2，...，xn；t1，t2，...，tn）

=fn（x1，x2，...，xn；t1+τ，t2+τ，...，tn+τ） （2.2.2）則稱ξ(t)是嚴平穩隨機過程或狹義平穩隨機過程。顯見，平穩隨機過程具有如下特點：■統計特性將不隨時間的推移而不同。它的一維分布與t無關，二維分布僅與時間間隔τ有關。■數字特征變得“平穩”、簡單： 數學期望與

t無關：a(t)=a

；

自相關函數只與τ有關：R(t1，t1+τ)=R(τ)。fn（x1，x2，...，xn；t1，t2，...，tn）

=fn（x1，x2，...，xn；t1+τ，t2+τ，...，tn+τ） 2.廣義平穩隨機過程

一隨機過程ξ(t)，如果它滿足：

（1）數學期望與t無關，即：a(t)=a

；

（2）自相關函數只與時間間隔τ有關，即：

R(t1，t1+τ)=R(τ)。則稱ξ(t)是廣義平穩的隨機過程。意義：●平穩隨機過程具有各態歷經性－－十分有趣，非常有用。●通信系統中所遇到的信號與噪聲，大多數可視為平穩的隨機過程。

則說ξ(t)為具有各態歷經性（遍歷性）的平穩隨機過程.。

2.各態歷經的含義

隨機過程的任一實現（樣本函數），都經歷了隨機過程的所有的可能狀態。3.各態歷經隨機過程的特點－－好處

任何一個實現都能代替整個隨機過程。給實際測量、分析計算帶來極大方便。2.3.2平穩隨機過程的各態歷經性1.各態歷經隨機過程

假設ξ(t)是一個平穩隨機過程，如果有下列式子成立2.3.3平穩隨機過程的自相關函數

（1）平穩隨機過程的統計特性，如數字特征等，可通過相關函數來描述；（2）相關函數揭示了隨機過程的頻譜特性。1.相關函數的性質

設ξ(t)為實平穩隨機過程，相關函數

R(τ)=E[ξ(t)ξ(t+τ)]具有如下性質：（1）R(0)=E[ξ2(t)]=s---ξ(t)的平均功率。（2）R(τ)=R(-τ) ---R(τ)是偶函數。（3）

|R(τ)|≤R(0) ---R(τ)的上界。（4） R(∞)=E2[ξ(t)]=a2

---ξ(t)的直流功率。（5） R(0)－R(∞)=σ2

----方差，ξ(t)的交流功率。（3） |R(τ)|≤R(0)---R(τ)

的上界。證：由于E[ξ(t)±ξ(t+τ)]2≥0

從而

E[ξ(t)±ξ(t+τ)]2

=E[ξ2(t)+ξ2(t+τ)±2ξ(t)ξ(t+τ)] =E[ξ2(t)]+E[ξ2(t+τ)]±2E[ξ(t)ξ(t+τ)];----平穩

=2R(0)±2R(τ)≥0

所以，得R(0)≥±R(τ)

即 |R(τ)|≤R(0)（4） R(∞)=E2[ξ(t)]=a2

---ξ(t)的直流功率。證：注：這里利用了當τ→∞時ξ(t)與ξ(t+τ)變得沒有依賴關系，即統計獨立，且認為ξ(t)不含有周期分量。（5） R(0)-R(∞)=σ2

----方差，ξ(t)的交流功率。證：

由D[ξ(t)]=E{ξ(t)-E[ξ(t)]}2

=E[ξ2(t)-2ξ(t)E[ξ(t)]+E2[ξ(t)]} =E[ξ2(t)]-E2[ξ(t)]=R(0)-a2

得σ2=R(0)-R(∞)2.3.4平穩隨機過程的自相關函數R(τ)與功率譜密度Pξ(ω)的關系

---相關函數R(τ)的又一重要性質。

設：ξ(t)平穩，R(τ)絕對可積則簡記為：Pξ(ω)←→R(τ)意義：平穩隨機過程的自相關函數與其功率譜密度之間互為傅里葉關系。證：分三步來考慮：(1)

對于任一確知能量信號f(t)，根據瑞利能量定理，有(2)

假設f(t)為時間無限信號（功率信號），若用fT(t)代表f(t)在-T/2＜t＜T/2區間上的短截函數，即只要T為有限值fT(t)就具有有限的能量，即若 FT(ω)←→fT(t)，則根據瑞利定理：根據平均功率的定義：當T→∞時，︱ｌFT(ω)ｌ2/T趨于一個極限，并將其定義為功率譜密度，用符號Ps(ω)表示，即單位為瓦/赫。因此信號的平均功率可寫成（３）某一實現的功率譜密度，不能作為過程的功率譜密度。應：過程的功率譜密度應看作是每一可能實