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文檔簡介

§1

第一型曲線積分

本節將研究定義在平面或空間曲線段上的第一型曲線積分.此類積分的典型物理背景是求非均勻分布的曲線狀物體的質量.二、第一型曲線積分的計算

一、第一型曲線積分的定義

第二十章

曲線積分

一、問題的提出實例1:求曲線形構件的質量均勻之質量分割求和取極限近似值精確值近似取設線密度為：(連續)個可求長度的小曲線段的弧長,它把定義在上的函數.

對曲線做分割分成記為分割的細度為在上任取一點若有極限為平面上可求長度的曲線段,定義1設為且的值與分割的取法無關,

則稱此極限為上的第一型曲線積分,

記作(1)為空間可求長曲線段,

若為定義在上

的函數,

則可類似地定義在空間曲線上

的第一型曲線積分,并且記作(2)曲線形構件的質量注:曲線積分也是一個確定的常數，它只與被積函數f(x,y)及積分弧段L有關.1.

若存在，為

常數,

則也存在,且2.

若曲線段由曲線首尾相接而成,

都存在,則

也存在,且2.第一型曲線積分性質3．都存在,且在

則4．也存在,

且5．存在,的弧長為則存在常數

使得二．第一型曲線積分的計算定理20.1

設有光滑曲線為定義在上的連續函數,則基本思路:計算定積分轉化求曲線積分說明:因此積分限必須滿足(2)注意到上有連續的導函數時,(3)式成為當曲線由方程表示,且在上有連續導函數時,(3)式成為當曲線L由方程表示,且在如果方程為極坐標形式:則推廣:

設空間曲線弧的參數方程為則對弧長的曲線積分的計算步驟：化為：例1.

計算其中L是拋物線與點

B(1,1)之間的一段弧.解:上點O(0,0)例2.解:oayxA所以Ｂ注：第一類曲線積分的對稱性LL1OyxLL1OxyLL1Oxy例3.計算其中L為雙紐線解:

在極坐標系下它在第一象限部分為利用對稱性,得例4.計算曲線積分

其中為螺旋的一段弧.解:

線例5.

計算其中為球面被平面所截的圓周.解:由對稱性可知例6.計算其中為球面解:化為參數方程則思考與練習1.已知橢圓周長為a,求提示:原式=利用對稱性分析:作業：P2011(2)(3)(4)(7);2內容小結1.定義2.性質(l

曲線弧

的長度)3.計算?對光滑曲線弧?對光滑曲線弧?對光滑曲線弧復習思考題1.若在光滑曲線上連續,是否一定存在

使得其中s是曲線L的弧長.2.

設在光滑曲線L上連續,L滿足條件:若滿足條件:

是否有若滿足條

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