選修2-33.1回歸分析的基本思想及其初步應用

3.1回歸分析的基本思想及其初步應用（一）高二數學選修2-32023/2/1數學３——統計內容畫散點圖了解最小二乘法的思想求回歸直線方程

y＝bx＋a用回歸直線方程解決應用問題2023/2/1問題1：正方形的面積y與正方形的邊長x之間的函數關系是y=x2確定性關系問題2：某水田水稻產量y與施肥量x之間是否有一個確定性的關系？復習變量之間的兩種關系自變量取值一定時，因變量的取值帶有一定隨機性的兩個變量之間的關系叫做相關關系。2023/2/1

現實生活中存在著大量的相關關系。

如：人的身高與年齡；產品的成本與生產數量；商品的銷售額與廣告費；家庭的支出與收入。等等探索：水稻產量y與施肥量x之間大致有何規律？2023/2/11020304050500450400350300·······發現：圖中各點，大致分布在某條直線附近。探索2：在這些點附近可畫直線不止一條，哪條直線最能代表x與y之間的關系呢？xy散點圖施化肥量水稻產量施化肥量x15202530354045水稻產量y3303453654054454504552023/2/1稱為樣本點的中心，線性回歸直線一定過樣本中心。2、對兩個變量進行的線性分析叫做線性回歸分析。1、所求直線方程叫做回歸直線方程；相應的直線叫做回歸直線。2023/2/1求回歸直線方程的步驟：（3）代入公式（4）寫出直線方程為,即為所求的回歸直線方程。2023/2/1例1、觀察兩相關量得如下數據:x-1-2-3-4-553421y-9-7-5-3-115379求兩變量間的回歸方程.解：列表：i12345678910xi-1-2-3-4-553421yi-9-7-5-3-115379xiyi91415125515121492023/2/1所求回歸直線方程為2023/2/1例題

從某大學中隨機選出8名女大學生，其身高和體重數據如下表：編號12345678身高165165157170175165155170體重4857505464614359

求根據一名女大學生的身高預報她的體重的回歸方程，并預報一名身高為172ｃｍ的女大學生的體重。2023/2/1分析：由于問題中要求根據身高預報體重，因此選取身高為自變量，體重為因變量．2.回歸方程：1.散點圖；2023/2/1

探究：身高為172cm的女大學生的體重一定是60.316kg嗎？如果不是，你能解析一下原因嗎？

答：身高為172cm的女大學生的體重不一定是60.316kg，但一般可以認為她的體重接近于60.316kg。2023/2/1例1從某大學中隨機選取8名女大學生，其身高和體重數據如表1-1所示。編號12345678身高/cm165165157170175165155170體重/kg4857505464614359求根據一名女大學生的身高預報她的體重的回歸方程，并預報一名身高為172cm的女大學生的體重。案例1：女大學生的身高與體重解：1、選取身高為自變量x，體重為因變量y，作散點圖：2、由散點圖知道身高和體重有比較好的線性相關關系，因此可以用線性回歸方程刻畫它們之間的關系。3、從散點圖還看到，樣本點散布在某一條直線的附近，而不是在一條直線上，所以不能用一次函數y=bx+a描述它們關系。2023/2/1在線性回歸模型(4)中，隨機誤差e的方差越小。2s由于樣本點不在同一條直線上，只是散布在某一條直線附近，所以身高與體重的關系可用線性回歸模型:y=bx+a+e,

……

(3)來表示，其中a和b為模型的未知參數，e是y與bx+a之間的誤差.通常e為隨機變量，稱為隨機誤差(randomerror),即e稱為隨機誤差.它的均值E(e)=0,方差D(e)=σ2.這樣線性回歸模型的完整表達式為：2023/2/1思考:產生隨機誤差項e的原因是什么？隨機誤差e的來源(可以推廣到一般）：1、忽略了其它因素的影響：影響身高y的因素不只是體重x，可能還包括遺傳基因、飲食習慣、生長環境等因素；2、用線性回歸模型近似真實模型所引起的誤差；3、身高y的觀測誤差。

以上三項誤差越小，說明我們的回歸模型的擬合效果越好。2023/2/1探究3：在線性回歸模型中，e是用bx+a預報真實值y的隨機誤差，它是一個不可觀測的量，那么怎樣研究隨機誤差呢？是真實值與估計值的差！2023/2/1思考：如何發現數據中的錯誤？如何衡量模型的擬合效果？2023/2/12023/2/12023/2/12023/2/1例2、在一段時間內，某中商品的價格x元和需求量Y件之間的一組數據為：求出Y對的回歸直線方程，并說明擬合效果的好壞。價格x1416182022需求量Y1210753解：2023/2/1例2、在一段時間內，某中商品的價格x元和需求量Y件之間的一組數據為：求出Y對的回歸直線方程，并說明擬合效果的好壞。價格x1416182022需求量Y1210753列出殘差表為0.994因而，擬合效果較好。00.3-0.4-0.10.24.62.6-0.4-2.4-4.42023/2/1即在實際應用中應該盡量選擇R2大的回歸模型.2023/2/1案例

一只紅鈴蟲的產卵數y和溫度x有關。現收集了7組觀測數據列于表中：（1）試建立產卵數y與溫度x之間的回歸方程；并預測溫度為28oC時產卵數目。（2）你所建立的模型中溫度在多大程度上解釋了產卵數的變化？溫度xoC21232527293235產卵數y/個711212466115325非線性回歸問題2023/2/1選模型由計算器得：線性回歸方程為y=19.87x-463.73

相關指數R2=r2≈0.8642=0.7464估計參數解：選取氣溫為解釋變量x，產卵數為預報變量y。選變量所以，一次函數模型中溫度解釋了74.64%的產卵數變化。探索新知畫散點圖050100150200250300350036912151821242730333639方案1分析和預測當x=28時，y=19.87×28-463.73≈93一元線性模型假設線性回歸方程為

：2023/2/1奇怪？93>66?模型不好？2023/2/1

y=bx2+a變換y=bt+a非線性關系線性關系方案2問題１選用y=bx2+a，還是y=bx2+cx+a？問題3

產卵數氣溫問題2如何求a、b？合作探究

t=x2二次函數模型2023/2/1方案2解答平方變換：令t=x2，產卵數y和溫度x之間二次函數模型y=bx2+a就轉化為產卵數y和溫度的平方t之間線性回歸模型y=bt+a溫度21232527293235溫度的平方t44152962572984110241225產卵數y/個711212466115325作散點圖，并由計算器得：y和t之間的線性回歸方程為y=0.367t-202.543，相關指數R2=0.802將t=x2代入線性回歸方程得：

y=0.367x2-202.543當x=28時，y=0.367×282-202.54≈85，且R2=0.802，所以，二次函數模型中溫度解釋了80.2%的產卵數變化。t2023/2/1問題２變換y=bx+a非線性關系線性關系問題１如何選取指數函數的底?產卵數氣溫指數函數模型方案3合作探究對數2023/2/1方案3解答溫度xoC21232527293235z=lny1.9462.3983.0453.1784.1904.7455.784產卵數y/個711212466115325xz當x=28oC時，y≈44，指數回歸模型中溫度解釋了98.5%的產卵數的變化由計算器得：z關于x的線性回歸方程為

對數變換：在中兩邊取常用對數得令，則就轉換為z=bx+a.相關指數R2=0.982023/2/1最好的模型是哪個?產卵數氣溫產卵數氣溫線性模型二次函數模型指數函數模型2023/2/1比一比函數模型相關指數R2線性回歸模型0.7464二次函數模型0.80指數函數模型0.98最好的模型是哪個?2023/2/1回歸分析（二）則回歸方程的殘差計算公式分別為：由計算可得：x21232527293235y7112124661153250.557-0.1011.875-8.9509.230-13.38134.67547.69619.400-5.832-41.00-40.104-58.26577.968因此模型（1）的擬合效果遠遠優于模型（2）。2023/2/1用身高預報體重時，需要注意下列問題：1、回歸方程只適用于我們所研究的樣本的總體；2、我們所建立的回歸方程一般都有時間性；3、樣本采集的范圍會影響回歸方程的適用范圍；4、不能期望回歸方程得到的預報值就是預報變量的精確值。事實上，它是預報變量的可能取值的平均值。——這些問題也適用于其他問題。涉及到統計的一些思想：模型適用的總體；模型的時間性；樣本的取值范圍對模型的影響；模型預報結果的正確理解。小結2023/2/1一般地，建立回歸模型的基本步驟為：（1）確定研究對象，明確哪個變量是解析變量，哪個變量是預報變量。（2）畫出確定好的解析變量和預報變量的散點圖，觀察它們之間的關系（如是否存在線性關系等）。（3）由經驗確定回歸方程的類型（如我們觀察到數據呈線性關系，則選用線性回歸方程y=bx+a）.（4）按一定規則估計回歸方程中的參數（如最小二乘法）。（5）得出結果后分析殘差圖是否有異常（個別數據對應殘差過大，或殘差呈現不隨機的規律性，等等），過存在異常，則檢查數據是否有誤，或模型是否合適等。2023/2/1什么是回歸分析？

（內容）從一組樣本數據出發，確定變量之間的數學關系式對這些關系式的可信程度進行各種統計檢驗，并從影響某一特定變量的諸多變量中找出哪些變量的影響顯著，哪些不顯著利用所求的關系式，根據一個或幾個變量的取值來預測或控制另