概率論與數理統計(第四版)第二章

第二章

隨機變量及其分布§2.1隨機變量例

電話總機某段時間內接到的電話次數，可用一個變量X

來描述：X=0，1，2，…隨機變量的概念例檢測一件產品可能出現的兩個結果，也可以用一個變量來描述:例考慮“測試燈泡壽命”這一試驗，以

X記燈泡的壽命（以小時計）則：X=t，(t≥0)設S是隨機試驗E的樣本空間，若定義則稱S上的單值實值函數X()為隨機變量隨機變量一般用大寫英文字母X，Y

，Z，或小寫希臘字母，，，表示隨機變量是上的映射，

此映射具有如下特點:

定義域

事件域S

；

隨機性

隨機變量X

的可能取值不止一個，試驗前只能預知它的可能的取值但不能預知取哪個值；

概率特性

X

以一定的概率取某個值或某些值。

引入隨機變量的意義

有了隨機變量，隨機試驗中的各種事件，就可以通過隨機變量的關系式表達出來。

如：單位時間內某電話交換臺收到的呼叫次數用X

表示，它是一個隨機變量。{

收到不少于1次呼叫}{沒有收到呼叫}隨機變量分類所有取值可以逐個一一列舉全部可能取值不僅無窮多，而且還不能一一列舉。§2.2離散型隨機變量及其分布律例有獎儲蓄，20萬戶為一開獎組，設特等獎20名，獎金4000元；一等獎120名，獎金400元；二等獎1200名，獎金40元；末等獎4萬名，獎金4元。考察得獎金額X

。X的可能取值為：Ｘ04404004000p解：4000，400，40，4，0。.0001.0006.7933.2.006

若隨機變量X

的可能取值是有限個或可列個，則稱X

為離散型隨機變量。定義描述X的概率特性常用概率分布列或分布列X

p

即或

概率分布的性質

非負性

正則性概率分布的特征例1一批產品的次品率為8%，從中抽取1件進行檢驗，令寫出X的分布律.X的分布律為:

X

p

概率分布圖:

0.0801

xy0.92

解：兩點分布(0–1分布)

只取兩個值的概率分布分布律為：X10pkp1-p0<p<1或應用場合

凡試驗只有兩個可能結果，常用0–1分布描述，如產品是否合格，人口性別統計，系統是否正常，電力消耗是否超標等。10件產品中，有3件次品，任取兩件，X是“抽得的次品數”，求分布律。X

可能取值為0，1，2。例2解：所以，X的分布律為：X012p7/157/151/15注

求分布律，首先弄清X的確切含義及其所有可能取值。例3

上海的“天天彩”中獎率為p

，某人每天買1張，若不中獎第二天繼續買1張，中獎為止。求該人購買次數X的分布律。X=k表示購買了k

張，前k-1張都未中獎，第k

張中了獎。幾何分布適用于試驗首次成功的場合解：123…k-1

k×××…×√二項分布貝努里概型和二項分布設試驗E只有兩個結果：Ａ和，記:將

E獨立地重復

n次，則稱這一串重復的獨立試驗為

n重貝努利(Bernoulli)試驗，簡稱為貝努利(Bernoulli)試驗在n重貝努利試驗中，事件A可能發生0,

1,2,…n

次稱

X服從參數為

p的二項分布(binomial)。記作：

當n=1時，

P(X=k)=pk(1-p)1-k

k=0,1

即0-1分布（2）每次試驗只考慮兩個互逆結果A或，

貝努里概型對試驗結果沒有等可能的要求，但有下述要求：（1）每次試驗條件相同；

且P(A)=p

，；（3）各次試驗相互獨立。二項分布描述的是n重貝努里試驗中出現“成功”次數X的概率分布。例5

已知100個產品中有5個次品，現從中有放回地取3次，每次任取1個，求在所取的3個中恰有2個次品的概率。解:依題意，p=0.05設X為所取的3個中的次品數。則X~B(3,0.05),于是，所求概率為：計算例6設有80臺同類型設備，各臺工作是相互獨立的，發生故障的概率都是0.01，且一臺設備的故障能由一個人處理。考慮兩種配備維修工人的方法，其一是由4人維護，每人負責20臺；其二是由4人共同維護80臺。試比較這兩種方法在設備發生故障時不能及時維修的概率大小。X=某人維護的20臺中同一時刻故障臺數；Ai

：第i人維護的20臺故障不能及時維修”（i＝1，2，3，4）；解：按第一種方法。而X～b（20,

0.01）不能及時維修的概率為：計算設：Y=80臺中同一時刻發生故障的臺數；按第二種方法。第二種方法優于第一種方法此時Y～b（80，0.01）

，故80臺中發生故障而不能及時維修的概率為：計算高爾頓釘板試驗Poission分布

例單位時間內某電話總機收到的呼叫次數用X表示，它是一個離散型隨機變量。X=0，1，…其中，λ為常數稱X服從參數為λ

的Poisson分布，記為：計算二項分布的Poisson近似泊松定理其中

設λ是一個正整數，，則有：n≥100，np≤10時近似效果就很好：

定理的條件意味著當

n很大時，pn

必定很小.因此，泊松定理表明，當n

很大，p

很小時有以下近似式：其中

計算例7

為保證設備正常工作，需要配備適量的維修人員.設共有300臺設備，每臺的工作相互獨立，發生故障的概率都是0.01.若在通常的情況下，一臺設備的故障可由一人來處理.問至少應配備多少維修人員，才能保證當設備發生故障時不能及時維修的概率小于0.01?我們先對題目進行分析：

設X為300臺設備同時發生故障的臺數，300臺設備，獨立工作，每臺出故障概率p=0.01.可看作n=300的貝努里概型.可見，X~B(n，p)，n=300，p=0.01設需配備N個維修人員，所求的是滿足的最小的N.P(X>N)<0.01或P(X

N)0.99

P(X>N)n大，p小，np=3，用=np=3的泊松近似我們求滿足的最小的N.查泊松分布表得N+19，即N8即至少需配備8個維修人員.計算x定義

設X為隨機變量，x是任意實數，稱函數為X

的分布函數。幾何意義：Xx§2.3隨機變量的分布函數

分布函數的基本性質

單調性

有界性

右連續性鑒別一個函數是否是某隨機變量的分布函數的充分必要條件。x

由定義知X落在區間(a，b]里的概率可用分布函數來計算：baax]aa-Δxx用分布函數表示概率請填空解：X的分布律為

X012p7/157/151/15

例1

求例2中的分布函數并作圖.

012x

分布函數為xxxx012x1F(x)的圖形為:7/157/151/15一般情形為:x2x1x1xnxkpkp2p1pnx例2設隨機變量X的分布函數為:試求：（1）系數A，B;

（2）X落在（-1，1]內的概率解：由性質——柯西分布函數離散隨機變量的分布函數

F(x)是分段階梯函數，在X

的可能取值xk處發生間斷，間斷點為第一類跳躍間斷點，在間斷點處有躍度

pkxyy=f(x)§2.4

連續型隨機變量及其概率密度幾何意義xX返回

對任意實數x，若隨機變量X的分布函數可寫成：定義2.3其中，則稱X

是連續型隨機變量，稱f(x)為X

的概率密度函數，簡稱為密度函數或概率密度。

記為:概率密度f(x)的性質常利用這兩個性質檢驗一個函數能否作為連續性隨機變量的密度函數，或求其中的未知參數。1.2.3.在f(x)

的連續點處有4.對連續型隨機變量X有：1.2.3.圖形例1

已知某型號電子管的使用壽命X為連續隨機變量，其密度函數為：(1)求常數c；

(2)計算(3)已知一設備裝有3個這樣的電子管，每個電子管能否正常工作相互獨立，求在使用的最初1500小時只有一個損壞的概率。解：(1)

令c=1000(2)

(3)設A表示一個電子管的壽命小于1500小時設在使用的最初1500小時三只晶體管中損壞的只數為Y例2

設隨機變量X的分布函數為：(1)求X取值在區間(0.3，0.7)的概率；(2)求X的概率密度。解:(1)

P(0.3<X<0.7）=0.72-0.32=0.4=F(0.7)-F(0.3)例3

設隨機變量X的分布函數為解:

(2)

f(x)=注意到F(x)在x=1處導數不存在，根據改變被積函數在個別點處的值不影響積分結果的性質，可以在沒意義的點處，任意規定的值。若隨機變量X的密度函數為：xf(x)ab則稱X

服從區間[a

，b]上的均勻分布。記作均勻分布幾個重要的連續性分布例4若，求F(x)。解：xf(x)abxxf(x)abxF(x)baF(x)的圖形：即X

的取值在(a，b)內任何長為

d–c的小區間的概率與小區間的位置無關，只與其長度成正比。

若隨機變量X的密度函數為：其中μ，σ>0為未知參數，則稱X

服從參數為μ，σ的正態分布，記為：正態分布

正態分布有廣泛的應用，如地區的年降雨量,在正常條件下各種產品的質量指標，如零件的尺寸；纖維的強度和張力；農作物的產量，小麥的穗長、株高；測量誤差，射擊目標的水平或垂直偏差；信號噪聲等等，都服從或近似服從正態分布。0μμ-σμ+σxy正態分布密度函數μ00.20.40.60.811.21.4動態演示稱X服從標準正態分布概率密度函數為：分布函數為：的函數值可查正態分布表。例：0.8413記為：對標準正態分布，有：0x-x引理：于是：例3：

這在統計學上稱作“3準則”

（三倍標準差原則）。可以認為，Y的取值幾乎全部集中在區間內.分位點則稱為標準正態分布的上分位點。

0常用值：0.0010.0050.010.0250.050.103.0902.5762.3271.9601.6451.282§2.5隨機變量函數的分布問題的提出

在實際中，人們常常對隨機變量的函數更感興趣.例如，已知t=t0

時刻噪聲電壓V的分布，求功率

W=V2/R

的分布

設隨機變量X

的分布已知，Y=g(X)(設g是連續函數），如何由X

的分布求出

Y

的分布？

這個問題無論在實踐中還是在理論上都是重要的。下面進行討論。例

離散型隨機變量函數的分布求Y

1=2X–1與

Y2=X

2

的分布律解:X-10