函數概念的演變及其對中學函數教學的啟示（初中版）

函數概念的演變及其對中學函數教學的啟示

賈隨軍西北師范大學教育學院jiasuijun@163.com函數概念的演變及其對

中學函數教學的啟示引言對函數概念演變的分析對中學函數教學的啟示3中學數學的中心數學的核心重要的模型函數引言

引言

函數為數學的靈魂，數學中的許多概念由函數派生，由函數統領。（F．klein，1849-1925）函數是描述運動變化的重要模型引言

20世紀以來，世界各國的中學數學教學內容從以解方程為中心轉到以研究函數為中心，1908年，克萊茵首次提出中學數學應當“以函數為綱”，到了20世紀50年代，函數在我國中學數學課程中取得核心地位。

引言

函數的思想方法將貫穿高中數學課程的始終……

引言

引言

本研究依據歷史發生原理（即個體對數學概念的認知發展過程與該概念的歷史發展過程相似）通過對函數概念演變歷史的分析獲取函數概念的教學啟示。對函數概念演變的分析

◆函數的早期形態

◆函數是曲線

◆函數是解析式

◆函數是對應

函數的早期形態

古希臘根據弧的度數確定弦長的正弦表蘇格蘭JohnNapier對數巴比倫60進制的平方表、立方表、平方根表、普林頓322數表等各種數表奧雷斯姆(N．Oresme)運用圖線表示的速率與時間之間的關系

公元前1700年左右，現藏于哥倫比亞大學稀有圖書和手稿圖書館。函數的早期形態

函數是曲線

行星的運動月球的運動地球的運動拋射體的運動單擺的運動

數學從運動的研究中引出了一個基本概念——函數萊布尼茲（Leibniz)的函數概念：任何一個隨著曲線上的點變動而變動的量——例如切線、法線、次切線的長度以及縱坐標等。

函數與曲線緊密相關。函數是曲線評價伽利略證明：把物體斜拋向空中時，它的路徑是一個拋物線。梅森（Mersenne)把旋輪線（cycloid）定義為當車輪沿地面滾動時輪上一個頂點的軌跡。羅伯瓦(Roberval)把正弦曲線定義為旋輪線的伴侶曲線。函數是曲線在17世紀，函數是常常被當做曲線來研究的。(曲線是動點的軌跡。)函數是解析式萊布尼茲（G.W.Leibniz）于1714年用“函數”一詞表示依賴于一個變量的量。這個函數“定義”實質上指出了函數就是兩個變量之間的依賴關系。但在17世紀依賴關系的表達常常要借助曲線。把函數看成曲線不利于函數參與運算，函數概念必須由幾何形態走向代數形態。函數是解析式從17世紀末到18世紀，由于分析學的發展，數學家對超越函數有了更為深刻的認識。牛頓、萊布尼茲、歐拉（L.Euler）等數學家發現了指數函數、對數函數、三角函數等超越函數的冪級數展式。

數學家為超越函數找到了代數表達函數是解析式歐拉在1748年出版的《無窮分析引論》（第一卷）中就把函數定義為由一個變量與一些常量以任何方式形成的解析表達式。他認為一個函數就是一個解析表達式。雖然18世紀對函數概念還有一些其他認識，但占統治地位的函數概念仍然是：函數是由一個解析式（有限的或無限的）所給出的。函數是對應一個函數就是一個解析表達式一個函數對應一條連續曲線后來數學家發現即便是簡單函數也存在著表達式不唯一的情形,如和18世紀后半葉對弦振動問題的討論使部分數學家接受了函數在不同的區域上有不同的表達式的觀點。JeanBaptisteJosephFourier（1768－1830）熱傳導方程求解的需要促使傅立葉建立了其級數理論函數是對應傅立葉（J.Fourier）把一個“不連續”的曲線（由不同連續曲線拼接起來的曲線）用一個表達式表示。函數是對應一個函數就是一個解析式?一個函數對應一條連續曲線?函數概念必須突破解析式的制約。函數是對應函數代表一系列的值或縱坐標，它們中的每一個都是任意的，對于無限多個給定的橫坐標x值，有同樣多個的值，所有值要么為正數，要么為負數，要么是零，無需假設這些縱坐標滿足同一法則，它們以任何方式接續，每一個都好象是單個的量。函數是對應1837年狄里克雷(P.G.Dirichlet)給函數下了一個定義:如果對于給定區間上的每一個x的值有唯一的y值同它對應,那么y就是x的一個函數,至于在整個區間上y是否按照一種規律依賴于x,或者y依賴于x是否可用數學運算來表達,那都是無關緊要的。函數是一個解析式函數是變量之間的依賴關系函數是一條連續曲線函數是對應函數是關系函數概念演變的主要動力●天文學、物理學的需要促進了具體函數的產生。●對運動與變化的研究是函數一般概念產生的直接原因。函數是描述運動與變化的重要的數學模型對中學數學教學的啟示●挖掘小學教材中的函數思想●注重從不同角度認識函數概念●注重對運動、變化的體現與分析●注重函數與曲線、方程等概念的聯系與區別挖掘小學教材中的函數思想圖、表正比例函數反比例函數路程=速度時間總價=單價商品數量注重從不同角度認識函數概念變量說幾何觀念圖像表示解析說代數觀念解析式表示對應說