專題05 棋盤擺米問題

良棋盤擺米問題※知識精要棋盤擺米問題是用方程思想解決求和問題。此方法還可以解決循環小數化分數問題?！c突破解題的關鍵是根據題意發現規律，再用方程思想解決求和問題?！淅v例：棋盤擺米：古時候，在某個王國里有一位聰明的大臣，他發明了國家象棋，獻給了國王，國王從此迷上了下棋，為了對聰明的大臣表示感謝，國王答應滿足這位大臣的一個要求。大臣說：“就在這個棋盤上放一些米粒吧。第1格放1粒米，第2格放2粒米，第3格放4粒米，然后是8粒、16粒、32粒 一直到第64格?！薄澳阏嫔?就要這么一點米粒？！”國王哈哈大笑，大臣說：“就怕您的國庫里沒有這么多米！”你認為國王的國庫里有這么多米嗎？事實上，按照這位大臣的要求，放滿一個棋盤上的64個格子需要1+2+22+23+ 263=（264—1）粒米，264-1到底多大呢？借助計算機中的計算器進行計算，可知答案是一個20位數：18446744073709551615.【解析】設5=1+2+22+23-24 253①則2j=2+23+23+24 2s4②（g_?得：歸7※課堂精練1.為了求1+2+22+23+ +22016的值，可令S=1+2+22+23++22016，則2S=2+22+23+ +22017，因此匕2S—S=22017—1，所以1+2+22+23+ +22016=22017—1，請仿照以上推理計算出1+5+52+53++52016的值是（ ）52017—1A. 52017一1 B?C.5C.52016—14D. 52016—1【答案】B【解析】°?.設S=1+5+52+53+...+52°i6,貝y5S=5+52+53+...+52016+52017，4S二5201=1,5201=14故選B.求1+2+22+，求1+2+22+，+…+2^2的值，可令s=1+2+2?+2?+…+2^^^^,則2s=2+22+23+24+...+22018,因此2s-s=22018-l,即s=丹丄1,仿照以上推理，計算出1+3+3^+3^+...+的值為護19_]【答案】——【解析】■$■5=1+3-護一滬 3201%則35=3+32+33 320-%：3S-S=^---\?解得后竺寧?故答案為故答案為3.觀察下列運算過程:=1+3+32+3°+???+32012+3201°①運用上面計算方法計算：1+5+L+53+…+5?013= .52“4—1【答案】—【解析】首先根據已知設S=1+5+52+53+...+524+525①，再將其兩邊同乘5得到關系式②，②-①即可求得答案.設S=1+5+52+53+...+52013①,則5S=5+52+53+54...+520i4②,5_52014-1②-①得：4S=520i4-l,所以S=4 ,5_52014-1故答案為：' 44．閱讀材料：計算3l＋32＋33＋34＋35＋36.解：設S=31+32+33+34+35+36,①則3S=32+33+34+35+36+37,②37-3由②一①，得3S-S=37-31，則S=237-3即31+32+33+34+35+36= 2 .仿照以上解題過程,計算：5l＋52＋53＋54＋55＋.＋520l8.【答案】—【解析】設￡=5】+齊+即+于+亍+...+匚工3①貝ij5S=52+5:+54+5-+...+5-0]?；②由②-①，得4S=5-'3]?-5,即孚+爭+戸+爭+矣+…+牛）]』=蘭寧5?閱讀材料：求1+2+22+23+24+...+22013的值.解：設S=1+2+22+23+24+.+22012+22013，將等式兩邊同時乘以2得:2S=2+22+23+24+25+.+22013+22014將下式減去上式得2S-S=22014-1即S=22014-1即1+2+22+23+24+.+22013=22014-1請你仿照此法計算：（1）1+2+22+23+24+.+210（2）1+3+32+33+34+...+3n（其中n為正整數）.【答案】見解析.【解析】（1）設S=1+2+22+23+24+...+21°,兩邊乘以2后得到新的等式，與已知等式相減，變形即可求

出所求式子的值；（2）類比題目中的方法即可得到所求式子的值．（1） 設S=l+2+22+23+24+...+2io,將等式兩邊同時乘以2得2S=2+22+23+24+...+210+211,將下式減去上式得：2S-S=211-1，即S=211-1,則1+2+22+23+24+.+210=211-1；（2） 設S=1+3+32+33+34+...+3n①，兩邊乘以3得：3S=3+32+33+34+.+3n+3n+1②，1②-①得：3S-S=3n+1-1，即S=—（3n+1-1），1則1+3+32+33+34+...+3n=-（3n+1-1）.6．在求1＋6＋62＋63＋64＋65＋66＋67＋68＋69的值時，小林發現：從第二個加數起每一個加數都是前610-15—個加數的6倍，于是她設：S=1+6+62+63+64+65+66+67+68+69①，然后在①式的兩邊都乘以6,得6S=6+62+63+64+65+66+67+68+69+610②，②一①得6S—S=610—1，即5S=610—1，所以S=得出答案后，愛動腦筋的小林想：如果把“6”換成字母“a”（a^O且a^l）,求1+a+a2+a3+a4610-15a2017-1【答案【解析】設3=1+應+臚+臚+/+...+臚工$①；在等式兩邊同乘以圧得血=&+圧+川+E+…-臚皿+尿川②,②-①得11111—+ + + +■■■+ 7.在數學活動中，小明為了求 的值（結果用n表示），設計如圖所示的幾何圖形.11111—+ + + +■■■+ 請你利用這個幾何圖形求 的值.i-A【答案】1【解析】方法1?把一個面積為1的正方形分成兩個面積為2的長方形，接著把面積為2的長方形分成兩111個面積為°的正方形，再把面積為°的正方形分成兩個面積為'的三角形，…，由圖形揭示的規律進行解答即可得.1 1—=1——由圖可知2 2,111—+——=1 1111-+——+——=1 22223231111++???+——1 2222"2"，111111——- -J- -|- -■■ 1— 所以方法2此題也可以用以上方法解決設5=1+±一丄一亠一…一丄?---￥②一?得：^=1-—8．閱讀理解題：你知道為什么任何無限循環小數都可以寫成分數形式嗎？下面的解答過程會告訴你原因和方法（1）閱讀下列材料：?問題：利用一元一次方程將0.7化成分數．設0.7=x.由0.7=0.777，可知10X0.7=7.777 =7+0.7,即7+x=10x.（請你體會將方程兩邊都乘以10起到的作用）7 ?7可解得x=9，即0.7=9.?填空：將0.4直接寫成分數形式為 ?2）請仿照上述方法把小數0.25化成分數，要求寫出利用一元一次方程進行解答的過程.4【答案】（1）9（2）見解析【解析】（1）根據0-7轉化井數的方法，設0-4=x,仿照例題的解法即可得出結論；（2）①根據0一7轉化分數的方法，設0.25=x,仿照例題的解法（幻0換成xlOO）即可得出結論⑴設CH=x.方程兩邊都乘以W,可得10x0.4=10x.由0.4=