傳熱學第四版 楊世銘 陶文銓 第二章

傳熱學第二章穩態熱傳導§2-1導熱基本定律----傅里葉定律§2-3典型一維穩態導熱問題的分析解§2-4通過肋片的導熱分析§2-2導熱問題的數學描寫§2-5具有內熱源的一維導熱問題§2-6多維穩態導熱的求解2/2/20231青島科技大學熱能與動力工程§2-1導熱基本定律----傅里葉定律一、溫度場（Temperaturefield）

各時刻物體中各點溫度分布的總稱

溫度場是時間和空間的函數t—為溫度;x,y,z—為空間坐標;-時間坐標穩態溫度場非穩態溫度場非穩態導熱一維溫度場：

二維溫度場：

三維溫度場：

一維穩態溫度場：

穩態導熱2/2/20232青島科技大學熱能與動力工程二、等溫面與等溫線(1)溫度不同的等溫面或等溫線彼此不能相交等溫面：同一時刻、溫度場中所有溫度相同的點連接起來所構成的面

等溫線：用一個平面與各等溫面相交，在該平面上得到一個等溫線簇在二維的截面上等溫面表現為等溫線。

等溫面與等溫線的特點(2)在連續的溫度場中，等溫面或等溫線不會中斷，它們要么封閉,要么終止于物體表面上(3)等溫線的疏密可直觀地反映出不同區域導熱熱流密度的相對大小2/2/20233青島科技大學熱能與動力工程三、溫度梯度（Temperaturegradient）等溫面上沒有溫差，不會有熱傳遞溫度梯度是用以反映溫度場在空間的變化特征的物理量

不同的等溫面之間，有溫差，有導熱系統中某一點所在的等溫面與相鄰等溫面之間的溫差與其法線間的距離之比的極限為該點的溫度梯度，記為gradt

溫度梯度是向量；正向朝著溫度增加的方向2/2/20234青島科技大學熱能與動力工程四、熱流密度矢量(Heatflux)直角坐標系中：熱流密度矢量：等溫面上某點，以通過該點處最大熱流密度的方向為方向、數值上正好等于沿該方向的熱流密度不同方向上的熱流密度的大小不同熱流密度：單位時間單位面積上所傳遞的熱量溫度梯度和熱流密度的方向都是在等溫面的法線方向。由于熱流是從高溫處流向低溫處，因而溫度梯度和熱流密度的方向正好相反。

t+Δttt-Δt2/2/20235青島科技大學熱能與動力工程五、傅里葉定律（Fourier’slaw）1822年，法國數學家傅里葉(Fourier)在實驗研究基礎上，發現導熱基本規律—傅里葉定律導熱基本定律：系統中任一點的熱流密度與該點的溫度梯度成正比而方向相反熱導率（導熱系數）直角坐標系中：傅里葉定律只適用于各向同性材料：熱導率在

各個方向是相同的2/2/20236青島科技大學熱能與動力工程六、導熱系數（Thermalconductivity）由傅利葉定律得到:導熱系數在數值上等于單位溫度梯度作用下單位時間內通過單位面積的熱量。導熱系數表征物質導熱能力大小，由實驗測定。影響熱導率的因素：物質的種類、材料成分、溫度、濕度、壓力、密度等導熱系數反映了物質微觀粒子傳遞熱量的特性。

2/2/20237青島科技大學熱能與動力工程不同物質導熱機理

氣體的導熱系數依靠分子無規則的熱運動和相互碰撞實現熱量傳遞液體的導熱系數主要依靠晶格的振動也有分子的無規則運動和碰撞晶格：理想的晶體中分子在無限大空間里排列成周期性點陣，即所謂晶格固體的熱導率依靠自由電子的遷移和晶格的振動主要依靠前者a)金屬的熱導率：依靠晶格的振動傳遞熱量；比較小b)非金屬的熱導率：2/2/20238青島科技大學熱能與動力工程不同物質的導熱系數0?C時：當λ<0.2W/(m℃)時，這種材料稱為保溫材料。高效能的保溫材料多為蜂窩狀多孔結構。2/2/20239青島科技大學熱能與動力工程§2-2導熱問題的數學描寫傅里葉定律：確定熱流密度的大小，應知道物體內的溫度場理論基礎：傅里葉定律+熱力學第一定律一、導熱微分方程式(3)物體內具有均勻分布內熱源；強度為qv[W/m3]假設：(1)所研究的物體是各向同性的連續介質(2)熱導率、比熱容和密度均為已知qv

表示單位體積的導熱體在單位時間內放出的熱量首要任務2/2/202310青島科技大學熱能與動力工程在導熱體中取一微元體d時間內微元體中：[導入與導出凈熱量]+[內熱源發熱量]=[熱力學能的增加]根據能量守恒定律，微元時間段d內凈導入微元體的凈熱量dQd加上微元體內熱源生成的熱量dQv應等于微元體熱力學能的增加量

2/2/202311青島科技大學熱能與動力工程

1

導入與導出微元體的凈熱量d

時間內、沿x軸方向、經x表面導入的熱量：d時間內、沿x軸方向、經x+dx表面導出的熱量：d時間內、沿x軸方向導入與導出微元體凈熱量2/2/202312青島科技大學熱能與動力工程

d時間內、沿x軸方向導入與導出微元體凈熱量

d時間內、沿y軸方向導入與導出微元體凈熱量

d時間內、沿z軸方向導入與導出微元體凈熱量2/2/202313青島科技大學熱能與動力工程[導入與導出凈熱量]由傅里葉定律：2/2/202314青島科技大學熱能與動力工程

2d時間微元體內熱源的發熱量

3d時間微元體熱力學能的增量根據熱力學第一定律導熱微分方程式導熱過程的能量方程2/2/202315青島科技大學熱能與動力工程熱擴散率物性參數、c和均為常數物性參數為常數，無內熱源物性參數為常數，穩態物性參數為常數，無內熱源，穩態二、導熱微分方程式的簡化泊松方程拉普拉斯方程2/2/202316青島科技大學熱能與動力工程三、其他坐標下的導熱微分方程對于圓柱坐標系2/2/202317青島科技大學熱能與動力工程對于球坐標系2/2/202318青島科技大學熱能與動力工程四、導熱過程的單值性條件導熱微分方程式的理論基礎：單值性條件：確定唯一解的附加補充說明條件完整數學描述：導熱微分方程+單值性條件傅里葉定律+熱一律它描寫物體的溫度隨時間和空間變化的關系；沒有涉及具體、特定的導熱過程。通用表達式。對特定的導熱過程：需要得到滿足該過程的補充說明條件的唯一解單值性條件包括四項：幾何條件物理條件初始條件邊界條件2/2/202319青島科技大學熱能與動力工程單值性條件幾何條件如：物性參數、c和的數值，是否隨溫度變化；有無內熱源、大小和分布；又稱時間條件，反映導熱系統的初始狀態

說明導熱體邊界上過程進行的特點，反映過程與周圍環境相互作用的條件說明導熱體的幾何形狀和大小如：平壁或圓筒壁；厚度、直徑等說明導熱體的物理特征

物理條件

初始條件

邊界條件穩態導熱過程不需要時間條件—與時間無關對非穩態導熱過程應給出過程開始時刻導熱體內的溫度分布分類：第一類、第二類、第三類邊界條件2/2/202320青島科技大學熱能與動力工程邊界條件

第一類邊界條件s—邊界面;tw—邊界面上的溫度已知任一瞬間導熱體邊界上溫度值：穩態導熱：tw=const非穩態導熱：tw=f()oxtw1tw2例：2/2/202321青島科技大學熱能與動力工程

第二類邊界條件根據傅里葉定律：已知物體邊界上熱流密度的分布及變化規律：第二類邊界條件相當于已知任何時刻物體邊界面法向的溫度梯度值穩態導熱：qw非穩態導熱：特例：絕熱邊界面：2/2/202322青島科技大學熱能與動力工程

第三類邊界條件傅里葉定律：當物體壁面與流體相接觸進行對流換熱時，已知任一時刻邊界面周圍流體的溫度和表面傳熱系數tf,hqw牛頓冷卻定律：導熱微分方程式的求解方法導熱微分方程＋單值性條件＋求解方法溫度場積分法、分離變量法、積分變換法、數值計算法2/2/202323青島科技大學熱能與動力工程

a反映了導熱過程中材料的導熱能力與沿途物質儲熱能力c

之間的關系.

a越大，表明熱量能在整個物體中很快擴散，溫度扯平的能力越大，故稱為熱擴散率熱擴散率a

分子是物體的導熱系數。

分母c是單位體積的物體溫度升高1℃所需的熱量。越大，表明在相同溫度梯度下可以傳到更多的熱量c越小，溫度上升1℃所吸收的熱量越少，可以剩下更多的熱量繼續向物體內部傳遞，使物體各點溫度更快的升高。是與1/(c)兩個因子的結合

a越大，材料中溫度變化越迅速，a也是材料傳播溫度變化能力大小的指標，故有導溫系數之稱。2/2/202324青島科技大學熱能與動力工程§2-3典型一維穩態導熱問題的分析解一、通過平壁的導熱ox假設導熱微分方程

幾何條件：單層（或多層）；厚度物理條件：、c、

已知；有或無內熱源邊界條件：

時間條件：長度和寬度遠大于厚度——簡化為一維導熱問題單值性條件第一類：已知tw第三類：已知h,tf穩態2/2/202325青島科技大學熱能與動力工程1.

通過單層平壁的導熱

導熱微分方程

1.1無內熱源，λ為常數，第一類邊界求得平壁內溫度分布ox邊界條件微分方程線性分布2/2/202326青島科技大學熱能與動力工程導過平壁的熱流量熱流密度——導熱面積為A是導熱熱阻——單位面積上的導熱熱阻2/2/202327青島科技大學熱能與動力工程

1.2

無內熱源，λ不為常數，第一類邊界微分方程邊界條件(λ0、b為常數)物理條件求得平壁內溫度分布二次曲線方程2/2/202328青島科技大學熱能與動力工程熱流密度或常數b的討論2/2/202329青島科技大學熱能與動力工程其拋物線的凸凹性取決于系數b的正負。λ=λ0(1+bt)當b<0，隨著t增大，λ減小，高溫區的溫度梯度dt/dx較大。當b>0，隨著t增大，λ增大，即高溫區的導熱系數大于低溫區。根據Q=-λA(dt/dx)可知，高溫區的溫度梯度dt/dx較小，而形成上凸的溫度分布。2/2/202330青島科技大學熱能與動力工程

1.3有內熱源，λ為常數，第一類邊界平壁內有均勻的內熱源qv，且認為導熱系數λ為常數，平壁兩邊溫度相等。

twtw0xqv積分后：溫度分布：邊界條件微分方程2/2/202331青島科技大學熱能與動力工程

1.4無內熱源，λ為常數，第三類邊界邊界條件微分方程2/2/202332青島科技大學熱能與動力工程

k—傳熱系數[W/(m2K)]

2/2/202333青島科技大學熱能與動力工程2.通過多層平壁的導熱

多層平壁：由幾層不同材料組成例：房屋的墻壁—白灰內層、水泥沙漿層、紅磚（青磚）主體層等組成假設各層之間接觸良好，可以近似地認為接合面上各處的溫度相等推廣到n層壁的情況:

2.1

無內熱源，λ為常數，第一類邊界2/2/202334青島科技大學熱能與動力工程多層平壁的總熱阻等于各層熱阻之和

2.2

無內熱源，λ為常數，第三類邊界2/2/202335青島科技大學熱能與動力工程二、通過圓筒壁的導熱

假設微分方程圓筒軸向長度遠大于徑向厚度管壁內外表面保持均勻的溫度

幾何條件：單層或多層；物理條件：、c、

已知；有或無內熱源邊界條件：

時間條件：單值性條件第一類：已知tw第三類：已知h,tf2/2/202336青島科技大學熱能與動力工程1通過單層圓筒壁的導熱微分方程tw1

r1

tw2

rr2得出圓筒壁的溫度分布為邊界條件對數曲線

1.1無內熱源，λ為常數

2/2/202337青島科技大學熱能與動力工程溫度梯度

單位長度圓筒壁的熱流量不同半徑處溫度梯度不同——單位長度圓筒壁的導熱熱阻2/2/202338青島科技大學熱能與動力工程

溫度分布的凸凹性tw1

r1

tw2

rr22/2/202339青島科技大學熱能與動力工程1.2通過含內熱源圓柱體的導熱

tctwrwr0得出圓柱體內的溫度分布微分方程邊界條件熱流密度分布溫度梯度熱流量2/2/202340青島科技大學熱能與動力工程2通過多層圓筒壁的導熱由不同材料構成的多層圓筒壁第一類邊界條件第三類邊界條件

2.1

多層圓筒壁的換熱量計算

2/2/202341青島科技大學熱能與動力工程

2.2臨界熱絕緣直徑工程上，為減少管道的散熱損失，常在管道外側覆蓋熱絕緣層或稱隔熱保溫層問題：覆蓋熱絕緣層是否在任何情況下都能減少熱損失？保溫層是否越厚越好？為什么？單位長度管道上的總熱阻：Rl~dx非單調變化—先減小、后增大；有極小值insql2/2/202342青島科技大學熱能與動力工程管道外表面畢渥數Bi，當保溫層外表面的Bi數大于2時，增加保溫層厚度可以進一步減少熱損失，若Bi數小于2，則增加保溫層厚度反其道強化傳熱的作用?！艿劳獗砻嫦鄳獏礏i2/2/202343青島科技大學熱能與動力工程臨界熱絕緣直徑：總熱阻達到極小值時的熱絕緣層外徑總熱阻2/2/202344青島科技大學熱能與動力工程三、通過球殼的導熱邊界條件熱流量熱阻r1r2t1t2熱流密度在常物性、無內熱源、第一類邊界微分方程

溫度分布

2/2/202345青島科技大學熱能與動力工程四、通過接觸面的導熱實際固體表面不是理想平整的，所以兩固體表面直接接觸的界面容易出現點接觸，或者只是部分的而不是完全的和平整的面接觸—給導熱帶來額外的熱阻當界面上的空隙中充滿導熱系數遠小于固體的氣體時，接觸熱阻的影響更突出—接觸熱阻當兩固體壁具有溫差時，接合處的熱傳遞機理為接觸點間的固體導熱和間隙中的空氣導熱，對流和輻射的影響一般不大2/2/202346青島科技大學熱能與動力工程當熱流量不變時，接觸熱阻rc

較大時，必然在界面上產生較大溫差當溫差不變時，熱流量必然隨著接觸熱阻rc的增大而下降即使接觸熱阻rc

不是很大，若熱流量很大，界面上的溫差是不容忽視的2/2/202347青島科技大學熱能與動力工程

1.2無內熱源，λ不為常數的求解積分一次：再積分一次：代入邊界條件：2/2/202348青島科技大學熱能與動力工程溫度分布求出兩個常數2/2/202349青島科技大學熱能與動力工程§2-4通過肋片的導熱一、引子第三類邊界條件下通過平壁的一維穩態導熱為了增加傳熱量，可以采取哪些措施?（1）增加溫差（tf1-tf2），但受工藝條件限制（2）減小熱阻：減小金屬壁厚度、增大

增大h1、h2增大換熱面積A但導熱熱阻一般不大但提高h1、h2并非任意的一條有效途徑2/2/202350青島科技大學熱能與動力工程

肋片現象2/2/202351青島科技大學熱能與動力工程肋片類型2/2/202352青島科技大學熱能與動力工程二、等截面直肋的穩態導熱微分方程嚴格地說，肋片中的溫度場是三維的。其溫度分布取決于內部x、y、z三個方向的導熱熱阻以及表面與流體之間的對流換熱熱阻。求解三維、二維問題較復雜；將問題進行簡化：（1）大、<<H，認為溫度沿厚度變化很小（2）寬度l>>，認為肋片溫度只沿高度方向變化l假設簡化為一維溫度場2/2/202353青島科技大學熱能與動力工程取一微元體，穩態下能量方程：

凈導入微元體的熱流量＝散失于環境中的換熱熱流量由傅里葉定律，導入微元體的熱流量0xdxQxQx+dxWδHQc導出微元體的熱流量凈導入微元體的熱流量為肋片導熱的微分方程式Ac和P分別為肋片的橫截面積和周長2/2/202354青島科技大學熱能與動力工程按照牛頓冷卻公式，散失于環境中的換熱熱流量為:肋片導熱的微分方程式對于等截面的直肋，方程變為：邊界條件：0xdxQxQx+dxWδHQc2/2/202355青島科技大學熱能與動力工程引入過余溫度

二階齊次線性常微分方程，其通解為肋片導熱的微分方程式的求解0xdxQxQx+dxWδHQc2/2/202356青島科技大學熱能與動力工程得到肋片的溫度分布為