第五部分概率統計方法

第五部分概率統計模型定義1

在統計學中，常把研究對象的全體稱為總體，也稱母體，而把組成總體的每個元素稱為個體

。定義2從總體X中，隨機地抽取n個個體，這n個個體的指標分別為,通常記為，稱為總體X的一個樣本

,或稱子樣，n稱為樣本的容量。

定義3

若總體X的一個樣本滿足代表性和獨立性，則稱為總體X的一個簡單隨機樣本

，或稱為來自總體X的簡單隨機樣本。若總體X的分布函數是,由代表性知的分布函數為,再由獨立性，顯然可得樣本的聯合分布函數為

若總體X為連續型隨機變量，且其密度函數為，則的聯合密度函數為定義4設是來自某總體X的一個容量為n的樣本，若樣本函數中不含任何未知參數，則稱T為統計量

。例1設總體X服從正態分布N()，其中已知參數，為未知參數，是來自總體X的樣本,則，，均是統計量，而，都不是統計量。（1）、樣本均值定義5設樣本來自總體X，則稱統計量為樣本均值

。

性質1設總體X的數學期望EX＝

及方差DX＝存在，樣本來自總體X，則

。（2）、樣本方差定義6設樣本來自總體X，則稱統計量為樣本方差，稱為樣本標準差。稱統計量為修正樣本方差，稱為修正樣本標準差。性質2設總體X的數學期望EX＝及方差DX＝存在，樣本來自總體X，則。（3）、樣本的相關系數定義7設是來自二維總體的一個樣本，則稱統計量

為樣本的相關系數。定義8設樣本來自總體，統計量稱為樣本階矩或樣本階原點矩，其中k是正整數。而統計量

稱為樣本階中心矩，其中k是正整數。（4）、樣本矩定義9我們稱統計量的分布為抽樣分布。定理1設是來自正態總體N()的一個樣本，統計量U是樣本的任一確定的線性函數，即則U也是正態隨機變量，即推論1設是來自正態總體N（）的一個樣本，則樣本均值也是正態隨機變量，即推論2設是來自正態總體N（）的一個樣本，則

定義10設是相互獨立且服從于N（0,1）的隨機變量，則稱隨機變量服從自由度為n的－分布，記作（2）、－分布性質3設,且和相互獨立，則＋。即－分布具有可加性。定理2設是來自正態總體N()的一個樣本，且則（1）；（2）與相互獨立。定義11設，且X與Y相互獨立，則稱隨機變量服從自由度為n的t-分布，記作（3）、t-分布性質4

t-分布的極限分布為標準正態分布N(0，1)，即定理3設是來自正態總體的一個樣本，則統計量

～。（4）、F－分布定義12

設，且X與Y獨立，則稱隨機變量服從自由度為的分布，其中m稱為第一自由度，n稱為第二自由度，記作。定理5

設()是來自正態總體N()時一個樣本，()是來自正態總體N()的一個樣本，且()與()獨立，則其中，的定義同定理4。一、點估計1．矩估計法

2．最大似然估計法

例4設總體()2,~smNX，2,sm未知，()nXXX,,,21K為來自X的樣本，求m和2s的最大似然估計。

二、估計的優良性準則

2．無偏性

三、參數的區間估計2．兩個正態總體參數的區間估計

第三節假設檢驗一、假設檢驗的基本思想和基本概念我們把任何一個在總體未知分布上所作的假設稱為統計假設，簡稱假設

僅涉及總體分布所包含的未知參數的統計假設稱為參數假設

假設只能直接給在未知分布函數的形式上或它的某些數字特征上，我們稱這樣的假設為非參數假設

對于一個假設檢驗問題，首先要根據實際問題提出統計假設，而提出統計假設的目的是通過已經獲得的樣本，在原假設和對立假設兩者之間作出選擇或判斷，稱這類問題為假設檢驗問題。另外，在有些實際問題中，只提出一個假設，而且我們的目的也僅僅是判斷這個統計假設是否成立，這類檢驗問題稱為顯著性檢驗。3、假設檢驗的步驟(1)根據實際問題提出統計假設：原假設0H和對立假設1H。

(2)選取合適的統計量T

(5)作出判斷。4、兩類錯誤

5、雙側假設檢驗和單側假設檢驗

拒絕域分布在接受域的兩側，我們稱這類假設檢驗為雙側假設檢驗。二、單個正態總體參數的假設檢驗三、兩個正態總體參數的假設檢驗

第四節回歸分析一、一元線性回歸分析

2．回歸方程的顯著性檢驗

記統計量4．可以化為一元線性回歸的曲線回歸問題二、多元線性回歸分析

第四節回歸分析一、一元線性回歸分析

問題的提出：

某商店在一周的某商品的銷售量是隨機的。一般情況下，每周的周末要根據商店的該商品存貨多少決定是否訂貨和進貨以供下周銷售。根據經驗，當存貨不少于S時可以不需要進貨，當存貨少于S時需要進貨，進貨以后使下周初存量達到T。其中有訂貨費、貯存費、商品的價格以及缺貨的損失費。問如何確定S，T，使得效益最好？這種策略稱為（S，